112 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電子學》

題目資訊不足

核心觀念

目前僅提供題號「第 2 題 (c)、(d)」，未提供題目文字、電路圖、元件參數、選項或已知條件，因此無法判定考查的電子學觀念，也無法進行唯一的公式推導與數值計算。

解題方法

核心觀念

目前提供的題目內容僅有：

第 3. $V_o=3.78\ \text{V}$ 題

缺少電子學題目的電路圖、元件數值、輸入條件及完整問句，因此無法判定本題涉及二極體、BJT、MOSFET、運算放大器或其他電路分析觀念，也無法寫出具備推導過程的參考書等級詳解。

解題方法

要完成正確推導，至少需要下列資訊：

資訊說明

題目僅提供 $A_v=13.6\ \mathrm{V/V}$，未附電路圖、元件值、輸入輸出定義及選項，因此無法推導其電路增益；以下依「判讀電壓增益」作答。

核心觀念

電壓增益定義為輸出電壓與輸入電壓之比：

其中單位 $\mathrm{V/V}$ 表示輸出電壓與輸入電壓的比例，實際上為無因次量。

題目給定：

因此輸出電壓為輸入電壓的 $13.6$ 倍：

因為題目給出的增益為正值，代表輸出電壓與輸入電壓同相；若增益為負值，才表示輸出反相。

解題方法

直接依電壓增益定義判讀：

故：

• 電壓增益大小為 $|A_v|=13.6$。
• 輸出電壓振幅是輸入電壓振幅的 $13.6$ 倍。
• 正號表示輸出與輸入同相。

若輸入電壓為 $v_i=0.1\ \mathrm{V}$，則輸出電壓為：

核心觀念

本題考查三運算放大器儀表放大器的差動增益，以及不同輸入端所看到的輸入電阻。

右側差動放大器的增益為

左側兩個運算放大器由中間的 $R_3$ 形成增益設定網路，其差動增益為

因此整體差動增益大小為

輸出極性依圖中差動輸入與輸出的定義可能帶有負號，但差動增益大小為 $110\ \text{V/V}$。

輸入電阻判斷

若以圖中 $v_i$ 所跨接的中間電阻 $R_3$ 作為輸入端，理想運算放大器的輸入端不取電流，因此輸入電流只流經 $R_3$：

若以 $v_{id}$，也就是兩個理想運算放大器非反相輸入端之間的差動電壓，作為輸入端，兩個運算放大器輸入端均不取電流，因此

選項分析

核心觀念

本題考查 MOSFET 的下列特性：

1. 通道長度調變效應（channel-length modulation）
2. 閘極氧化層電容與氧化層厚度的關係
3. 通道長度對導通電流的影響
4. 短通道效應與次臨界導通電流

長通道 MOSFET 在飽和區的理想汲極電流為

其中

而考慮通道長度調變效應後，

其中 $\lambda$ 為通道長度調變參數。由於 $V_{DS}$ 增加時有效通道長度縮短，因此飽和區的 $I_D$ 仍會隨 $V_{DS}$ 略微增加。

解題方法

逐一檢查各選項所描述的物理關係：

• 通道長度調變效應會使飽和區電流上升還是下降？
• 氧化層厚度變化與 $C_{\mathrm{ox}}$ 的關係？
• 通道長度 $L$ 變短時，$I_D$ 如何變化？
• 短通道效應對次臨界電流的影響？

只要將每一項與基本公式及物理現象比對，即可判定答案。

選項分析

(a) 通道調變效應使得 $i_D$-$V_{DS}$ 特性在飽和區的 $i_D$ 減小

錯誤。

通道長度調變效應發生時，$V_{DS}$ 增加會使汲極端的空乏區向通道延伸，使有效通道長度 $L_{\mathrm{eff}}$ 變短。由於

所以有效通道越短，汲極電流越大。

考慮通道長度調變後，

因此在飽和區，$I_D$ 會隨 $V_{DS}$ 增加而略微上升，使輸出特性曲線具有正斜率，而不是減小。

(b) 通道越短，通道調變效應越可忽略

錯誤。

通道長度調變效應在短通道 MOSFET 中更加明顯。由於汲極端空乏區所占的比例相對於通道長度變大，$V_{DS}$ 的變化會造成更顯著的有效通道長度改變。

一般而言，通道越短，$\lambda$ 越大，輸出電阻

核心觀念

本題考查 MOSFET 的：

1. 放大器偏壓工作區域
2. 三極區的 $i_D-v_{DS}$ 特性
3. 基體效應（body effect）
4. 溫度對啟始電壓與載子移動率的影響

以 NMOS 為例，常用區域條件如下：

• 截止區：$V_{GS}<V_t$
• 三極區：$V_{GS}>V_t$ 且 $0\le V_{DS}<V_{GS}-V_t$
• 飽和區：$V_{GS}>V_t$ 且 $V_{DS}\ge V_{GS}-V_t$

在三極區中：

其中

在飽和區中：

解題方法

逐一檢查各敘述是否符合 MOSFET 的基本物理與工作區域定義。此題為複選題，最後只有當所有敘述皆錯誤時，選項（f）才成立。

選項分析

（a）MOSFET 作為線性放大器時，偏壓工作點大都在三極區

錯誤。

MOSFET 作為類比線性放大器時，通常利用汲極電流對閘極電壓的控制作用，並將工作點 $Q$ 設定在飽和區：

在飽和區中，汲極電流主要由 $V_{GS}$ 控制，且對 $V_{DS}$ 的依賴較小，因此可以得到較大的輸出電阻與電壓增益。

三極區的 MOSFET 類似電壓控制電阻，通常用於開關導通狀態或類比開關，而非一般電壓放大器的主要偏壓區域。

因此（a）錯誤。

（b）在固定閘極電壓 $V_{GS}$ 下，$i_D-v_{DS}$ 特性於三極區隨 $V_{DS}$ 增加，通道電阻越小

錯誤。

三極區電流為：

若以平均導通電阻表示：

代入上式可得：

當固定 $V_{GS}$ 且增加 $V_{DS}$ 時，分母中的

會變小，因此 $R_{\mathrm{on}}$ 反而會變大。

核心觀念

此題考查共源極 NMOS 放大器及其負載電阻 $R_D$ 對輸出擺幅、電壓增益與數位反相器速度的影響。

輸出電壓為

在靜態工作點 $Q$ 附近：

• 輸出向上擺動：晶體管趨近截止，最大值約為 $V_{DD}$。
• 輸出向下擺動：晶體管趨近飽和邊界，最小值約為 $V_{DS,\text{sat}}$。

因此

其中

選項分析

(a) 正確

$R_D$ 太大時，

會降低，使靜態工作點靠近飽和區。此時向下擺動至 $V_{DS,\text{sat}}$ 的距離變小，因此輸出 $V_{DS}$ 的負擺幅不足。

(b) 正確

$R_D$ 太小时，$V_{DSQ}$ 接近 $V_{DD}$，靜態工作點靠近截止區。輸出向上擺動至 $V_{DD}$ 的距離變小，因此正擺幅不足。

(c) 錯誤

共源極放大器的電壓增益近似為

核心觀念

本題考查 MOSFET 小訊號模型與兩種基本放大器：

• (a) 為源極跟隨器（共汲極放大器）。
• (b) 為共閘極放大器。
• $r_o=\infty$，因此忽略 $r_o$。
• $C=\infty$，在中頻小訊號分析時視為短路。
• $g_m=10\ \text{mA/V}=0.01\ \text{S}$，故

(a) 電路分析

(a) 是源極跟隨器，汲極接交流地，源極接 $10\ \text{k}\Omega$ 電阻。

電壓增益

源極跟隨器的電壓增益為

其中

因此

所以選項 (a) 正確。

輸出電阻

由源極看入 MOSFET 的小訊號電阻為

並聯源極電阻 $10\ \text{k}\Omega$：

所以選項 (b) 正確。

(b) 電路分析

(b) 為共閘極放大器，閘極接交流地，輸入由源極端加入。

輸出端的交流負載為 $2\ \text{k}\Omega$，並與汲極電阻 $5\ \text{k}\Omega$ 並聯：

輸入電阻

由源極看入共閘極 MOSFET，輸入電阻約為 $1/g_m$，並聯源極的 $10\ \text{k}\Omega$ 電阻：

核心觀念

本題考二極體的分段線性模型與導通狀態判斷：二極體導通時，陽極至陰極電壓為 $0.7\text{ V}$；截止時視為開路。先假設各二極體的導通或截止狀態，求出節點電壓，再檢查電壓是否符合該狀態。

解題方法

依原圖，$D_1$ 的導通方向由 $V_{\text{in}}$ 指向 $R_1$ 與輸出端；$D_2$ 的導通方向由輸出端指向節點 $V_A$。$R_1、R_2、R_3、R_4$ 均為 $1\text{ k}\Omega$，其中 $R_3$ 由 $V_A$ 接地、$R_4$ 由 $V_{\text{out}}$ 接地。

當 $V_{\text{in}}=1\text{ V}$：

令 $D_1$ 導通、$D_2$ 截止。$D_1$ 的陰極電壓為

因 $D_2$ 截止，$R_1$ 與 $R_4$ 構成分壓，因此

$V_A$ 由 $R_2、R_3$ 分壓：

$D_2$ 的陽極在輸出端、陰極在 $V_A$，其陽極至陰極電壓為

核心觀念

這題考二極體的直流工作點與小訊號等效電阻。一般二極體順向導通時，其小訊號電阻為

在小訊號等效電路中，電阻串聯相加，再用分壓關係求輸出電壓變化。

解題方法

依圖可讀出：$V_{\text{in}}$ 經 $R_1=100\ \Omega$ 接到輸出節點；輸出節點往下依序串接一般二極體 $D_1$ 與齊納二極體 $D_2$，最後接地。工作時 $D_1$ 順向導通、$D_2$ 逆向崩潰，因此兩者的直流壓降分別為 $0.7\text{ V}$ 與 $2.7\text{ V}$。

先求直流電流：

因此 $D_1$ 的小訊號電阻為

核心觀念

本題結合 BJT 的指數型電流關係與直流偏壓分析：

因此

另外，基極電流與射極電流分別為 $I_B=I_C/\beta$、$I_E=I_C+I_B$。

解題方法

圖中為 NPN 電晶體：集極電流 $I_C$ 向下，射極經 $1\,\text{k}\Omega$ 電阻接地；基極經 $R_1=5\,\text{k}\Omega$ 接至電壓源 $V_B$。題目給定 $\beta=100$、$I_S=4\times10^{-16}\,\text{A}$、$I_C=1\,\text{mA}$，並忽略 Early effect。

先由電流方程求出 $V_{BE}$：

基極電流與射極電流為

核心觀念

本題考小訊號混合 $\pi$ 模型，以及從電晶體基極看入、由射極負載反映到基極的阻抗。忽略歐里效應時，電晶體的電流增益為 $\beta=g_mr_\pi$；若射極接有阻抗 $Z_E$，基極看入阻抗為

解題方法

由圖可讀出：輸入接在 $Q_1$ 的基極，$Q_1$ 的集極接地，射極接到二極體接法的 $Q_2$；$Q_2$ 的電源端為交流接地。兩顆電晶體皆工作於主動區，且忽略歐里效應。

先求 $Q_2$ 從其二極體接法端看入的等效小訊號阻抗。其基極與集極相連，因此看入端的小訊號導納為 $g_{\text{m2}}+1/r_{\pi2}$，故

$Q_1$ 的電流增益為

核心觀念

此題考共射極放大器的中頻小訊號電壓增益。輸出與輸入的總增益可拆成輸入分壓與電晶體級增益：

圖中標示為 $\infty$ 的耦合與旁路電容，在中頻小訊號分析中視為短路；直流電源 $V_{CC}$ 則視為交流接地。

解題方法

電路中，訊號源經 $R_S=1\,\text{k}\Omega$ 與輸入耦合電容接到基極；基極另接 $R_1=R_2=5\,\text{k}\Omega$，集極接 $R_C=5\,\text{k}\Omega$，輸出經耦合電容接上 $R_L=5\,\text{k}\Omega$。射極的旁路電容短路 $R_E$，因此射極為交流接地。題目給定 $g_m=40\,\text{mA/V}$、$r_\pi=2.5\,\text{k}\Omega$，且 $r_o=\infty$。

基極對交流地的等效輸入電阻為

核心觀念

本題考的是兩級串接共射極差動放大器的整體電流增益。需要掌握：

1. BJT 差動放大器的小訊號模型與電流增益定義
2. 各級之間的負載效應：第一級的集極電阻 $R_C$ 與第二級的輸入阻抗 $R_{\text{in2}}$ 形成分流
3. BJT 的電流增益 $\beta$ 在多級串接中的傳遞關係

解題方法

從原卷頁圖讀取的關鍵資訊：

• 所有 BJT 的 $\beta = 99$
• 第一級：$r_{e1} = 50\;\Omega$，每個電晶體配有 $R_E = 100\;\Omega$（射極電阻）與 $R_C = 3\;\text{k}\Omega$（集極電阻）
• 第二級：$r_{e2} = 30\;\Omega$
• 題目僅在第一級敘述中提及 $R_E = 100\;\Omega$，第二級並未提及射極電阻，因此第二級無額外射極電阻

電流增益的推導：

整體電流增益 $A_i$ 定義為：從第一級輸入端注入的訊號電流 $i_{\text{in}}$，到第二級集極端輸出的訊號電流 $i_{o}$ 之比值。

步驟一：第二級的輸入阻抗 $R_{\text{in2}}$

第二級為共射極差動放大器，無射極電阻（$R_E = 0$），其差動輸入阻抗為：

但需注意：差動放大器的單端輸出（從第一級一側集極端看進去），第二級的差動輸入等效為兩個電晶體的基極分別接到第一級的兩個集極輸出。對第一級的每一側而言，所看到的第二級輸入阻抗為：

步驟二：第一級每一側集極端的電流分流

第一級每一側的集極電流 $i_{c1}$ 流經 $R_C = 3{,}000\;\Omega$，而第二級對應的輸入阻抗為 $R_{\text{in2,half}} = 3{,}000\;\Omega$。流入第二級基極的電流為：

核心觀念

本題考查 NMOS 差動對搭配 PMOS 電流鏡主動負載的單端電壓增益。小訊號增益可用輸入電晶體的跨導乘上輸出端等效電阻估算：

其中 $g_m$ 是跨導，$r_o$ 是考慮通道長度調變後的輸出電阻。

解題方法

圖中 $Q_1,Q_2$ 為 NMOS 差動對，尾電流源提供 $I=200\ \mu\text{A}$；$Q_3,Q_4$ 為 PMOS 電流鏡負載，輸出 $v_o$ 取自 $Q_2,Q_4$ 的汲極節點。差動對平衡時，兩支路各流過 $100\ \mu\text{A}$；電流鏡使 $Q_4$ 的靜態電流也為 $100\ \mu\text{A}$。

先求 $Q_1$ 的跨導。題目給定 $(W/L)_{1,2}=25$，且 $\mu_nC_{\text{ox}}=200\ \mu\text{A}/\text{V}^2$：

核心觀念

差動放大器的共模抑制比定義為差模增益與共模增益之比：

負載電阻不匹配時，共模輸入會在兩側輸出造成不同的電壓變化，形成差動共模增益。尾端電流源的有限輸出電阻 $R_{\mathrm{SS}}$ 則決定共模訊號被抑制的程度。

解題方法

圖中第 15 題承接前題；共用題幹給定 $R_D=32\,\text{k}\Omega$、尾端電流 $I=0.25\,\text{mA}$、$R_{\mathrm{SS}}=160\,\text{k}\Omega$，以及 $(W/L)=10$。差動對稱時每顆 NMOS 的偏壓電流為 $I_D=I/2=0.125\,\text{mA}$。

先求跨導：

核心觀念

圖中是反相積分器：輸入端經 $R_1=10\,\text{k}\Omega$ 接到運算放大器反相端，回授元件為跨接輸出端與反相端的 $C_1=1\,\text{pF}$，非反相端接地。理想運算放大器下，電壓增益大小為

解題方法

令增益大小等於題目指定的 $1\,\text{V/V}$：

核心觀念

本題考查有限開路增益的運算放大器，接上回授電路後的閉迴路極點。極點由閉迴路傳遞函數分母為零決定；頻率換算關係為 $\omega_p=2\pi f_p$。

解題方法

圖中為反相電路：$V_{\text{in}}$ 經 $R_1=10\,\text{k}\Omega$ 接至反相端，$C_1=1\,\text{pF}$ 從輸出端回授至反相端，非反相端接地。依題意，運算放大器開路增益為 $A=100$，輸入阻抗與輸出阻抗等特性理想。

令反相端電壓為 $V_-$，則 $V_{\text{out}}=-A V_-$。在反相端套用節點電流定律：

代入 $V_{\text{out}}=-A V_-$：

因此電路的傳遞函數為

核心觀念

本題考查負回授對增益、頻寬、製程敏感度、穩定度與失真的影響，以及四種放大器的回授拓樸。令放大器開路增益為 $A$、回授因子為 $\beta$，迴路增益為 $T=A\beta$，則負回授閉迴路增益為

當 $|A\beta|\gg 1$ 時，閉迴路增益主要由回授網路決定，對放大器增益變動較不敏感。

解題方法

依原卷第 16 頁第 18 題，題目詢問負回授的敘述何者正確，為可複選題；本頁沒有需要代入的電路圖或數值。判斷時分別檢查負回授對增益與頻寬的代價、閉迴路增益對製程變異的敏感度、轉阻放大器的回授拓樸，以及負回授的穩定度與失真特性。

選項分析

• (A) 錯誤。 負回授通常能增加頻寬，但也會降低閉迴路增益。以單極點放大器為例，負回授使頻寬約增加 $1+A\beta$ 倍，增益則約降低相同比例；因此不能說「不影響低頻增益」就增加頻寬。
• (B) 正確。 閉迴路增益對開路增益變動的相對敏感度為

核心觀念

輸出阻抗的定義是將輸入訊號設為零、把獨立電源設為交流接地，再從輸出端施加測試電壓，計算

本題要一併考慮 MOSFET 的 $g_m$、$r_o$、輸出端的電阻分壓器，以及二極體接法 PMOS 負載所形成的小訊號路徑。

解題方法

圖中左側為 NMOS 差動對，兩管共接理想尾電流源 $I_1$；上方是二極體接法 PMOS 與 PMOS 電流鏡；右側 NMOS 的閘極接在 $R_1$、$R_2$ 的中點，輸出端則接在 $R_1$ 上端。令輸入 $v_{in}=0$，電源端為交流接地，理想尾電流源的小訊號電阻視為無限大。

令左側共用汲極節點電壓為 $v_x$、NMOS 共源節點電壓為 $v_s$。因 MOS 閘極不取電流，右側閘極電壓由分壓器決定：

使用 $g_{on}=g_{op}=1/r_o=0.1\,\text{mS}$，左側節點的 KCL 為

代入 $g_{mp}=10\,\text{mS}$、$g_{mn}=20\,\text{mS}$：

共源節點沒有其他小訊號電流路徑，因此 KCL 為

代入 $v_{g2}=v_o/2$ 並使用上式，可得