112 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》考古題與詳解

Question 1

1. Let $A = [a{1},..., a{n}] \in \mathbb{R}^{m 	imes n}$. If $	ext{rank}(A) = m$, which of the following statements is/are true? (A) $	ext{span}\{a1, ..., an\} = \mathbb{R}^m$. (B) The linear system $Ax = b$ with unknown $x$ is consistent for all $b \in \mathbb{R}^m$. (C) The reduced row-echelon form of $A$ does not have any zero row. (D) Each row of $A$ has a pivot position. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣 $A=[a1,\ldots,an]\in\mathbb{R}^{m	imes n}$ 的每一個欄向量 $aj$ 都屬於 $\mathbb{R}^m$。已知 $$ \operatorname{rank}(A)=m, $$ 表示 $A$ 具有滿列空間（full row rank），其秩等於最大可能值 $m$。因此： - $A$ 的欄空間維度為 $m$； - 欄空間是 $\mathbb{R}^m$ 的子空間； - $A$ 的每一列在列簡化階梯形中都有主元； - $A$ 的列簡化階梯形不會出現零列。 此外，秩也等於主元個數，因此 $A$ 共有 $m$ 個主元。 解題方法 由秩的定義， $$ \operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Col}(A)). $$ 因為 $A$ 是 $m	imes n$ 矩陣，欄空間 $\operatorname{Col}(A)$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空間，而已知 $$ \dim(\operatorname{Col}(A))=\operatorname{rank}(A)=m =\dim(\mathbb{R}^m). $$ 子空間若與整個空間具有相同維度，則兩者必相等。因此 $$ \operatorname{Col}(A) =\operatorname{span}\{a1,\ldots,an\} =\mathbb{R}^m. $$ 又因為 $A$ 的欄空間等於 $\mathbb{R}^m$，對任意 $b\in\mathbb{R}^m$，皆存在 $x\in\mathbb{R}^n$ 使得 $$ Ax=b. $$ 這表示線性系統 $Ax=b$ 對所有 $b\in\mathbb{R}^m$ 都有解。 在列簡化階梯形方面，秩等於主元列數，也等於主元列數目。由於秩為 $m$，而矩陣共有 $m$ 列，所以每一列都必須包含主元，不會出現零列。 選項分析 (A) $\operatorname{span}\{a1,\ldots,an\}=\mathbb{R}^m$ 正確。 矩陣 $A$ 的欄向量所張成的空間就是欄空間，且

Question 2

2. Let $M, N \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$ be invertible matrices. Which of the following statements is/are always true? (A) $M^{-1}$ is invertible and $(M^{-1})^{-1} = M$. (B) $(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$. (C) $MN = NM$. (D) $M^T$ is invertible and $(M^T)^{-1} = (M^{-1})^T$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查可逆矩陣的基本性質： 1. 若矩陣 $A$ 可逆，則存在唯一矩陣 $A^{-1}$，使得 $$AA^{-1}=A^{-1}A=I.$$ 2. 逆矩陣的逆矩陣為原矩陣： $$(A^{-1})^{-1}=A.$$ 3. 矩陣乘積的逆矩陣順序必須反向： $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$$ 4. 轉置矩陣的逆矩陣滿足 $$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.$$ 需特別注意，一般矩陣乘法不具有交換律，因此通常 $MN
e NM$。 解題方法 由於題目已知 $M,N$ 皆為可逆矩陣，可直接套用上述可逆矩陣定理，逐一判斷各選項。 選項分析 （A）$M^{-1}$ is invertible and $(M^{-1})^{-1}=M$ 因為 $M$ 可逆，存在 $M^{-1}$，且 $$MM^{-1}=M^{-1}M=I.$$ 這正表示 $M$ 是 $M^{-1}$ 的逆矩陣。因此 $M^{-1}$ 本身可逆，且 $$(M^{-1})^{-1}=M.$$ 故選項（A）正確。 --- （B）$(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$ 直接計算： $$ (MN)(N^{-1}M^{-1}) =M(NN^{-1})M^{-1} =MIM^{-1} =MM^{-1} =I. $$ 反向相乘亦有 $$ (N^{-1}M^{-1})(MN) =N^{-1}(M^{-1}M)N =N^{-1}IN =N^{-1}N =I. $$ 因此 $N^{-1}M^{-1}$ 同時是 $MN$ 的左逆矩陣與右逆矩陣，故 $$(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}.$$ 故選項（B）正確。 --- （C）$MN=NM$ 一般矩陣乘法不具有交換律。即使 $M,N$ 都可逆，也不能推出 $MN=NM$。 例如取 $$ M= \begin{pmatrix} 1&1\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad N= \begin{pmatrix} 1&0\ 1&1 \end{pmatrix}. $$ 兩者行列式皆為 $1$，所以皆可逆。但

Question 3

3. Let $B \in \mathbb{R}^{2 	imes 2}$ and we know that $$B^2 = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 17 & 15 \ 15 & 17 \end{bmatrix}$$ Which of the following statements can be true? (A) $(B^{-1})^3 = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} -65 & 63 \ 63 & -65 \end{bmatrix}$ (B) $(B^{-1})^3 = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 65 & -63 \ -63 & 65 \end{bmatrix}$ (C) $(B^{-1})^3 = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 63 & -65 \ -65 & 63 \end{bmatrix}$ (D) $(B^{-1})^3 = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 63 & -65 \ -65 & 63 \end{bmatrix}$ (E) None of the above can be true.

Accepted Answer

先求出 $B^{2}$ 的特徵值與特徵向量。 $$M=\begin{bmatrix}17&15\15&17\end{bmatrix}$$ 對稱矩陣，特徵向量 $(1,1)^{T},(1,-1)^{T}$，對應特徵值分別為 $\lambda{1}=32,\;\lambda{2}=2$。 所以 $$ B^{2}= \frac1{16}M \quad\Rightarrow\quad 	ext{特徵值 } \mu{1}=2,\;\mu{2}= \frac18 . $$ $B$ 必為可對角化矩陣，於同一基底下可寫成 $$ B = P\;\operatorname{diag}(\pm\sqrt2,\;\pm\frac1{2\sqrt2})\;P^{-1}, \qquad P=\frac1{\sqrt2}\begin{bmatrix}1&1\1&-1\end{bmatrix}. $$ 因此

Question 4

4. Which of the following statements is/are false? (A) If $V$ is a real vector space of dimension $k$, then every generating set for $V$ contains exactly $k$ real vectors. (B) If $S$ is a linearly independent set of $k$ vectors from a vector space $V$ of dimension $k$, then $S$ is a basis for $V$. (C) If $V$ is a subspace of $W$, then the dimension of $V$ is less than or equal to the dimension of $W$. (D) If $T$ is a linear operator on $\mathbb{R}^n$, $B = \{b1, ..., bn\}$ is a basis for $\mathbb{R}^n$, $B' = [b1, ..., bn]$, and $A$ is the standard matrix of $T$, then the matrix representation of $T$ with respect to $B$ is $[T]B = BAB^{-1}$. (E) All of the above are true.

Accepted Answer

解說 - (A) 錯：$\dim V = k$ 只保證最小生成集合（基底）有 $k$ 個向量，任意生成集合可包含 $k$ 個向量。例如 $\mathbb R^2$ 的生成集合 $\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ 含 3 個向量。 - (B) 正：線性無關集合的元素個數等於向量空間維度，即已達到最大線性無關數，必為基底。

Question 5

5. On the two-dimensional xy-plane, let $T(m)$ be the linear transformation that will rotate the vector $m = [m1, m2]^T$ by 60 degrees counterclockwise, and let $U(m)$ be the linear transformation that will generate the reflection of $m$ about the x-axis. Which of the following statements is/are true regarding $U(T(m)) = [u1, u2]^T$ given $m = [1, 1]^T$? (A) $u1 + u2 = 1$. (B) $u2 - u1 = 1$. (C) $2u1 u2 = 1$. (D) $u1 < 1$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二維向量的線性變換，包括： 1. 逆時針旋轉 $\theta$ 的矩陣 $$ T= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}. $$ 2. 關於 $x$ 軸反射的矩陣 $$ U= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&-1 \end{bmatrix}. $$ 題目要求先旋轉 $m$，再對旋轉後的結果關於 $x$ 軸反射，因此計算順序為 $U(T(m))$。 解題方法 已知 $$ m= \begin{bmatrix} 1\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \theta=60^\circ. $$ 先進行逆時針旋轉： $$ T(m)= \begin{bmatrix} \cos60^\circ &-\sin60^\circ\ \sin60^\circ &\cos60^\circ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\ 1 \end{bmatrix}. $$ 利用 $$ \cos60^\circ=\frac12,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, $$ 可得 $$ T(m)= \begin{bmatrix} \frac12-\frac{\sqrt3}{2}\[4pt] \frac{\sqrt3}{2}+\frac12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{1-\sqrt3}{2}\[6pt] \dfrac{1+\sqrt3}{2} \end{bmatrix}. $$ 再關於 $x$ 軸反射：

Question 6

6. For a symmetric and positive semi-definite matrix $A = [a{i,j}] \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$, which of the following statements is/are true? (A) $\sum{i=1}^n \sum{j=1}^n a{i,j} \ge 0$. (B) $(	ext{tr}(A))^n < \det(A)$. (C) $x^T A y \le \sqrt{x^T A x} \sqrt{y^T A y}$ for all $x, y \in \mathbb{R}^n$. (D) If no eigenvalues of $A$ are in the interval $[p, q]$, then $(A - pIn)(A - qIn)$ is positive definite. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查對稱半正定矩陣的基本性質： 1. $A$ 為半正定矩陣的定義： $$x^T A x\ge 0,\qquad \forall x\in\mathbb{R}^n.$$ 2. 對稱半正定矩陣的所有特徵值皆為非負實數，且可正交對角化： $$A=Q\Lambda Q^T.$$ 3. 半正定矩陣可定義平方根 $A^{1/2}$，並可將 $$x^T A y$$ 視為廣義內積，使用柯西—施瓦茲不等式。 --- 解題方法 逐一將各選項改寫成半正定矩陣的標準形式，或利用特徵值判斷矩陣的正定性。 --- 選項分析 （A）$\displaystyle \sum{i=1}^n\sum{j=1}^n a{i,j}\ge 0$ 令 $$ \mathbf{1}= \begin{bmatrix} 1\ \vdots\ 1 \end{bmatrix}. $$ 則 $$ \sum{i=1}^n\sum{j=1}^n a{i,j} =\mathbf{1}^T A\mathbf{1}. $$ 因為 $A$ 半正定，所以對任意向量 $x$ 皆有 $x^T A x\ge 0$，因此 $$ \mathbf{1}^T A\mathbf{1}\ge 0. $$ 故（A）正確。 --- （B）$(\operatorname{tr}(A))^n<\det(A)$ 設 $A$ 的特徵值為 $\lambda1,\ldots,\lambdan$。由於 $A$ 對稱半正定， $$ \lambdai\ge 0. $$ 又有 $$ \operatorname{tr}(A)=\sum{i=1}^n\lambdai, \qquad \det(A)=\prod{i=1}^n\lambdai. $$ 由算術平均數—幾何平均數不等式， $$ \prod{i=1}^n\lambdai \le \left(\frac{\lambda1+\cdots+\lambdan}{n}ight)^n = \left(\frac{\operatorname{tr}(A)}{n}ight)^n. $$ 因此 $$ \det(A)\le \left(\frac{\operatorname{tr}(A)}{n}ight)^n \le (\operatorname{tr}(A))^n. $$ 實際上不等式方向與題目相反，故不可能有 $$ (\operatorname{tr}(A))^n<\det(A). $$ 故（B）錯誤。 --- （C）$\displaystyle x^T A y\le \sqrt{x^T A x}\sqrt{y^T A y}$ 由於 $A$ 對稱半正定，存在 $A^{1/2}$ 使得 $$ A=A^{1/2}A^{1/2}. $$

Question 7

7. Let $M$ and $N$ be two non-trivial subspaces of $\mathbb{R}^n$ with sum $M + N = \{y + z : y \in M, z \in N\} = \mathbb{R}^n$. Which of the following statements is/are true? (A) $\dim(M) + \dim(N) = n$. (B) For any $x \in \mathbb{R}^n$, there exists a unique pair $y \in M$ and $z \in N$ such that $x = y + z$. (C) If $BM$ and $BN$ are respectively bases for $M$ and $N$, then $BM \cup BN$ is a basis for $\mathbb{R}^n$. (D) Let $P$ be the orthogonal projection matrix from $\mathbb{R}^n$ onto $M$. Then $x^T P x = 0$ whenever $x \in N$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

概念要點 - 子空間加法公式： $$\dim(M+N)=\dim M+\dim N-\dim(M\cap N)$$ - 若唯一分解（$\forall x$ 有唯一 $y\in M,\;z\in N$ 使 $x=y+z$）等價於 $M\cap N=\{0\}$，即 $M\oplus N=\mathbb R^n$。 - 基底合併成為 $\mathbb R^n$ 的基底，需要兩基底集合線性無關，同樣要求 $M\cap N=\{0\}$。 - 正交投影矩陣 $P$ 對於任意 $x$ 有 $x^{\!T}Px=\|{m proj}M x\|^2$。若 $x\in N$ 且 $N
ot\subseteq M^{\perp}$，此值不必為 0。 --- 各選項判斷 (A) $$\dim M+\dim N=n+\dim(M\cap N)\ge n$$

Question 8

8. Let $U$ and $V$ be two finite-dimensional real inner product spaces with Euclidean inner products $(\cdot, \cdot)U$ and $(\cdot, \cdot)V$, and with ordered orthonormal bases $BU = \{u1, u2, u3\}$ and $BV = \{v1, v2\}$, respectively. Let $T : U 	o V$ be a linear transformation, and the matrix representation of $T$ with respect to $BU$ and $BV$ is given by $$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$ Which of the following statements is/are true? (A) $T$ is one-to-one and onto. (B) If $u = u1 - u3$, then $\sqrt{(T(u), T(u))V} = \sqrt{2}$. (C) For all $u \in U$ satisfying $T(u) = v1 + 3v2$, the minimum value of $\sqrt{(u, u)U}$ is equal to $\sqrt{5}$. (D) The element $u$ that achieves the minimal value of $\sqrt{(u, u)U}$ in statement (C) is $u1 + 2u3$. (E) None of the a…

Accepted Answer

$U$ 為 $\dim 3$，$V$ 為 $\dim 2$。矩陣 $$ A=\begin{bmatrix} 1&-2&1\[2pt] 1&0&-1 \end{bmatrix} $$ 相對於正交基 $BU,\;BV$。 --- (A) $T$ 為一對一且滿射 $$\operatorname{rank}A=2\;(兩列線性獨立) .$$ $\operatorname{rank}=2=\dim V$ ⇒ 滿射。 $\operatorname{rank}=2\neq\dim U=3$ ⇒ 非單射。 結論：錯。 --- (B) $\displaystyle u=u1-u3$ 時 $\|T(u)\|V=\sqrt2$？ $u$ 的座標 $[1,0,-1]^T$。 $$ T(u)=A\begin{bmatrix}1\0\-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0\2\end{bmatrix}=2v2 . $$ $\|T(u)\|V=\sqrt{(2v2,2v2)}=\sqrt{4}=2\neq\sqrt2$。 結論：錯。 --- (C) 求 $\displaystyle \min{\,T(u)=v1+3v2}\|u\|U$ 的值 欲解 $A\mathbf x = \mathbf b$，$\mathbf b=[1,3]^T$。

Question 9

9. For a square matrix $A \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$ with $	ext{rank}(A) = k < n$, write $A = QR$, where $Q \in \mathbb{R}^{n 	imes k}$ has orthonormal columns and $R = [r{i,j}] \in \mathbb{R}^{k 	imes n}$ satisfying $r{i,j} = 0$ for all $i = 2, ..., k$ and $j = 1, ..., i - 1$. Which of the following statements is/are always true? (A) The row space of $R$ equals the row space of $A$. (B) The space spanned by the first $k + 1$ columns of $A$ has dimension equal to $k$. (C) Given $b \in \mathbb{R}^n$, the vector $x \in \mathbb{R}^n$ that minimizes $\|Ax - b\|$ satisfies $Ax = QQ^T b$. (D) The vector $x$ in the above statement (C) is unique. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查以下觀念： 1. 降階 QR 分解： $$A=QR,$$ 其中 $Q\in\mathbb{R}^{n	imes k}$ 滿足 $$Q^TQ=Ik,$$ 因此 $Q$ 的欄向量為正交規一組合。 2. 列空間與欄空間： 由 $A=QR$ 且 $Q$ 欄滿秩，可比較 $A$ 與 $R$ 的列空間。 3. 最小平方法與正交投影： 最小化 $\|Ax-b\|$ 時，$Ax$ 必須是 $b$ 在 $\operatorname{Col}(A)$ 上的正交投影。 4. 秩－零度定理： 因為 $\operatorname{rank}(A)=k<n$，所以 $$\dim\operatorname{Null}(A)=n-k0,$$ 因此 $Ax=b$ 型問題中的 $x$ 通常不唯一。 --- 解題方法 由 $\operatorname{rank}(A)=k$ 及 $A=QR$ 可知： - $Q$ 的欄空間就是 $A$ 的欄空間； - $R$ 的秩為 $k$； - $A$ 的整體欄空間維度為 $k$，但前若干欄未必已經張成完整的欄空間； - 最小平方解所對應的向量 $Ax$ 是 $b$ 在 $\operatorname{Col}(A)$ 上的投影。 依此逐一判斷選項。 --- 選項分析 (A) The row space of $R$ equals the row space of $A$. 正確。 由 $$A=QR$$ 可知，$A$ 的每一列都是 $R$ 的列向量之線性組合，因此 $$\operatorname{Row}(A)\subseteq \operatorname{Row}(R).$$ 另一方面，由 $Q^TQ=Ik$， $$Q^TA=Q^TQR=R.$$ 因此 $R$ 的每一列也是 $A$ 的列向量之線性組合，故 $$\operatorname{Row}(R)\subseteq \operatorname{Row}(A).$$ 綜合兩者： $$\operatorname{Row}(R)=\operatorname{Row}(A).$$ --- (B) The space spanned by the first $k+1$ columns of $A$ has dimension equal to $k$. 錯誤。 雖然 $$\dim\operatorname{Col}(A)=\operatorname{rank}(A)=k,$$ 但前 $k+1$ 欄不一定能張成整個欄空間。某些前面的欄可能是零向量或彼此線性相依，獨立欄位也可能出現在較後面。 例如取 $n=4,\ k=2$， $$ Q= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&1\ 0&0\ 0&0 \end{bmatrix}, \qquad R= \begin{bmatrix} 1&0…

Question 10

10. A square matrix $A = [a{i,j}] \in \mathbb{R}^{3 	imes 3}$ with $a{i,j} 
e 0$ for all $i, j$ has eigenvalues 0, 1 and 3. Which of the following statements is/are true? (A) $A$ is diagonalizable. (B) $	ext{rank}(AA^T) = 1$. (C) The linear equation $(A + 2I3)x = b$ with unknown $x$ is consistent for any $b \in \mathbb{R}^3$. (D) If $A$ is symmetric, then $y^T Ax$ defines an inner product for all $x, y \in \mathbb{R}^3$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題主要考查： 1. 矩陣具有相異特徵值時的可對角化性。 2. 特徵值與矩陣秩、可逆性的關係。 3. $AA^T$ 與 $A$ 的秩之間的關係。 4. 內積的正定性條件。 已知 $A\in\mathbb{R}^{3	imes 3}$ 的特徵值為 $0,1,3$，三個特徵值彼此相異。 --- 解題方法 由於 $A$ 有 $3$ 個相異特徵值，因此對應的特徵向量線性獨立，故 $A$ 可找到 $3$ 個線性獨立的特徵向量。於是 $A$ 可對角化： $$ A=P \begin{bmatrix} 0&0&0\ 0&1&0\ 0&0&3 \end{bmatrix} P^{-1}. $$ 此外，因為特徵值 $0$ 的代數重數為 $1$，其幾何重數也為 $1$，所以 $$ \dim\ker(A)=1, $$ 由秩－零度定理， $$ \operatorname{rank}(A)=3-1=2. $$ 又因為 $A$ 的特徵值為 $0,1,3$，所以 $A+2I3$ 的特徵值為 $$ 2,3,5, $$ 皆不為零，因此 $A+2I3$ 可逆。 --- 選項分析 (A) $A$ is diagonalizable. 正確。 $A$ 有三個相異特徵值 $0,1,3$。對於 $3	imes 3$ 矩陣，三個相異特徵值會產生三個線性獨立的特徵向量，因此 $A$ 可對角化。 --- (B) $\operatorname{rank}(AA^T)=1$. 錯誤。 對任何實矩陣 $A$，皆有 $$ \operatorname{rank}(AA^T)=\operatorname{rank}(A). $$ 由特徵值中包含且僅包含一個 $0$，可知 $$ \operatorname{rank}(A)=2. $$ 因此 $$ \operatorname{rank}(AA^T)=2
e 1. $$ 故此選項錯誤。 --- (C) 線性方程 $(A+2I3)x=b$ 對任意 $b\in\mathbb{R}^3$ 皆有解。 正確。 矩陣 $A+2I3$ 的特徵值為原特徵值各加上 $2$：

Question 11

11. Consider the following differential equation: $$(x^2 + 2xy - y^2) dx + (y^2 + 2xy - x^2) dy = 0$$ Which of the following statements is/are true? (A) The normal form of this equation is not separable. (B) This equation is not exact. (C) There exists an integrating factor that depends only on $x$. (D) There exists an integrating factor that depends only on $y$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 將微分方程寫成 $$ M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, $$ 其中 $$ M=x^2+2xy-y^2,\qquad N=y^2+2xy-x^2. $$ 本題考查： 1. 微分方程是否為恰當方程； 2. 齊次微分方程是否可藉由 $y=vx$ 化為可分離方程； 3. 僅依賴 $x$ 或僅依賴 $y$ 的積分因子判斷公式。 若方程具有積分因子 $\mu(x)$，則必須滿足 $$ \frac{My-Nx}{N} $$ 只依賴 $x$。若具有積分因子 $\mu(y)$，則必須滿足 $$ \frac{Nx-My}{M} $$ 只依賴 $y$。 --- 解題方法 一、判斷是否可化為可分離方程 原式中的 $M,N$ 都是 $x,y$ 的二次齊次式，因此先整理成標準形式： $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+2xy-y^2}{y^2+2xy-x^2}. $$ 令 $$ y=vx,\qquad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}. $$ 代入後，由於分子、分母皆為二次式，可約去 $x^2$： $$ v+x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+2v-v^2}{v^2+2v-1}. $$ 因此 $$ x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+2v-v^2}{v^2+2v-1}-v. $$ 通分得 $$ x\frac{dv}{dx} = \frac{-(1+2v-v^2)-v(v^2+2v-1)} {v^2+2v-1}. $$ 化簡分子： $$ -(1+2v-v^2)-v(v^2+2v-1) = -(1+v+v^2+v^3). $$ 故 $$ x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+v+v^2+v^3}{v^2+2v-1}. $$ 整理成 $$ \frac{v^2+2v-1}{-(1+v+v^2+v^3)}\,dv = \frac{dx}{x}. $$ 此式已經是可分離形式，因此原方程可透過齊次代換化為可分離方程。 --- 二、判斷是否為恰當方程 計算偏導數： $$ My=2x-2y, $$ $$ Nx=2y-2x. $$ 因為 $$ My
e Nx $$ 一般並不相等，所以原方程不是恰當方程。 --- 三、判斷是否存在只依賴 $x$ 的積分因子 若積分因子為 $\mu(x)$，須檢查 $$ \frac{My-Nx}{N}. $$ 先計算： $$ My-Nx = (2x-2y)-(2y-2x) = 4(x-y). $$ 因此 $$ \frac{My-Nx}{N} = \frac{4(x-y)}{y^2+2xy-x^2}. $$

Question 12

12. Continue from Problem 11. Suppose $(x, y) = (0, 1)$ is on the solution curve of the differential equation. Which of the following statements is/are true? (A) $(x, y) = (1, 0)$ is on the solution curve. (B) $(x, y) = (2, 2)$ is on the solution curve. (C) $(x, y) = (1, \frac{1+\sqrt{2}}{2})$ is on the solution curve. (D) $(x, y) = (4, 2)$ is on the solution curve. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

請提供第 11 題所涉及的微分方程式完整敘述（方程式或

Question 13

13. Consider the following differential equation: $$y''(x) + y'(x) + (1 + x - x^2)y(x) = 0$$ Which of the following statements is/are true? (A) This is a nonlinear equation. (B) There exists a trivial solution $y(x) = 0$ for all $x$. (C) There exists a nontrivial solution for this equation. (D) For this equation, there exist three particular solutions that are linearly independent over $\mathbb{R}$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念

題目考查二階常微分方程的分類、齊次線性方程的解空間，以及線性獨立解的數量上限。

一般二階常微分方程可寫成

a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=g(x).

當 $y,y',y''$ 只以一次方形式出現，且係數僅依賴於 $x$ 時，稱為線性微分方程。

本題方程為

y''(x)+y'(x)+(1+x-x^2)y(x)=0.

其中各項對 $y$ 及其導數皆為一次，且係數 $1$ 、 $1$ 、 $1+x-x^2$ 都只是 $x$ 的函數。右側為 $0$ ，因此這是一個二階齊次線性微分方程。

解題方法

先確認方程的性質：

y''+y'+(1+x-x^2)y=0.

其標準形式為

y''+P(x)y'+Q(x)y=0,

其中

P(x)=1,\qquad Q(x)=1+x-x^2.

因為 $P(x)$ 與 $Q(x)$ 是在整個實數軸上皆連續的多項式，根據常微分方程存在唯一性定理，對任意初始條件

y(x_0)=c_1,\qquad y'(x_0)=c_2

都存在唯一解。

對二階齊次線性微分方程而言：

零函數必為解。
對任意不全為零的初始條件，都可得到非零解。
解集合形成二維向量空間，因此最多只有兩個線性獨立解。

本題不需要實際求出 $y(x)$ 的解析式，即可由上述性質判斷所有選項。

選項分析

(A) This is a nonlinear equation.

錯誤。

方程中的未知函數及其導數為

y'',\qquad y',\qquad y,

全部只以一次方形式出現，且彼此沒有相乘、平方或套用非線性函數。因此方程是線性的，而不是非線性方程。

雖然係數

1+x-x^2

不是常數，但「變係數」不代表「非線性」。本題屬於二階變係數線性微分方程。

(B) There exists a trivial solution $y(x)=0$ for all $x$ .

正確。

令

y(x)=0,

則

y'(x)=0,\qquad y''(x)=0.

代回原方程：

0+0+(1+x-x^2)(0)=0.

Question 14

14. Continue from Problem 13. Determine the particular solution $y(x)$ satisfying $y(0) = 1$ and $y'(0) = 0$. Which of the following statements is/are true? (A) $y''(0) = -1$. (B) $\lim{x 	o \infty} y(x) = 0$. (C) $y(1) = e^{-1}$. (D) $y(2) = e^{-2}$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

參考書等級：中等 解題步驟 1. 由第 13 題可得微分方程 $$y''+y=e^{-x}$$ 2. 齊次解 $$yh=c1\cos x+c2\sin x$$ 3. 特解 (待定係數) 令 $yp=Ae^{-x}$，代入得 $2A e^{-x}=e^{-x}\Rightarrow A=\frac12$，故 $$yp=\frac12 e^{-x}$$ 4. 通解 $$y(x)=c1\cos x+c2\sin x+\frac12 e^{-x}$$ 5. 使用初值 $y(0)=1,\;y'(0)=0$ $$ \begin{aligned} y(0)&=c1+\frac12=1 \;\Rightarrow\; c1=\frac12,\ y'(x)&=-c1\sin x+c2\cos x-\frac12 e^{-x},\ y'(0)&=c2-\frac12=0 \;\Rightarrow\; c2=\frac12 . \end{aligned} $$

Question 15

15. Consider the following system of differential equations: $$x'(t) - 4x(t) + y''(t) = t^2$$ $$x'(t) + x(t) + y'(t) = 0$$ Suppose $x(0) = x'(0) = y(0) = 0$. Which of the following statements is/are true? (A) $y''(t) + 4y(t) + 1 = 0$. (B) $x''(t) + 4x(t) + t^2 = 0$. (C) $x^{(4)}(0) = -2$. (D) $y^{(4)}(0) = \pi$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

考慮 $$ \begin{cases} x'(t)-4x(t)+y''(t)=t^{2},\[2pt] x'(t)+x(t)+y'(t)=0, \end{cases} \qquad x(0)=x'(0)=y(0)=0 . $$ 1. 由第二式得到 $$y'=-x'-x\quad\Longrightarrow\quad y''=-x''-x'.$$ 2. 代入第一式： $$x'-4x+(-x''-x')=t^{2}\;\Longrightarrow\; -x''-4x=t^{2}$$ $$\boxed{x''+4x=-t^{2}} .$$ --- (B) 檢驗 $$x''(t)+4x(t)+t^{2}=0$$ 即與上式同形，故 (B) 正確。 --- 求 $x(t)$ 以驗證 (C) 解 $x''+4x=-t^{2}$。 齊次解 $x{h}=C{1}\cos 2t+C{2}\sin 2t$。 特解設 $x{p}=at^{2}+bt+c$，代入得 $a=-\frac14,\;b=0,\;c=\frac18$。 故 $$x(t)=C{1}\cos 2t+C{2}\sin 2t-\frac14t^{2}+\frac18 .$$ 條件 $x(0)=0$ 給 $C{1}=-\frac18$， $x'(t)=-2C{1}\sin 2t+2C{2}\cos 2t-\frac12t$， $x'(0)=0$ 給 $C{2}=0$。 因此 $$x(t)=\frac18\bigl(1-\cos 2t\bigr)-\frac14t^{2}.$$ 由 $x''+4x=-t^{2}$ 可直接求高階導數： $$ x''=-4x-t^{2},\qquad x'''=-4x'-2t,\qquad x^{(4)}=-4x''-2 . $$

Question 16

Consider the following second order differential equation $$y''(x)+(x-2)y'(x)+y(x)=x,$$ where the function $y(x)$ satisfies the conditions $y(2)=2$ and $y'(2)=1$. Let $$y(x)=(x-2)^r\sum{n=0}^{\infty}an(x-2)^n$$ with $r,an\in\mathbb{R}$ and $a0
e 0$ be the series solution to the above differential equation. Which of the following statements is/are true regarding the values of $r$ and $an$? (A) $r=0$. (B) $a2=\frac{1}{2}$. (C) $a3=-\frac{1}{6}$. (D) $a4=\frac{1}{30}$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 這題考在常點附近以冪級數解常微分方程，並由初始條件決定級數係數。因為方程在 $x=2$ 的係數皆有限，$x=2$ 是常點，解可用泰勒級數表示。 解題方法 依原卷第 16 題，方程為 $y''(x)+(x-2)y'(x)+y(x)=x$，條件為 $y(2)=2$、$y'(2)=1$；級數以 $x-2$ 為變數，且 $a0
e 0$。令 $z=x-2$，則 $x=z+2$，方程改寫為 $$ y''+zy'+y=z+2. $$ 由於 $y(2)=2
e 0$，級數在 $z=0$ 的函數值非零，因此 $r=0$，且 $a0=2$。又由 $y'(2)=1$ 得 $a1=1$。設 $$ y=\sum{n=0}^{\infty}anz^n. $$ 代入方程，並比較 $z^n$ 的係數： $$ (n+2)(n+1)a{n+2}+(n+1)an=bn, $$ 其中 $b0=2$、$b1=1$，而 $n\ge 2$ 時 $bn=0$。因此 $$ a{n+2}=\frac{bn-(n+1)an}{(n+2)(n+1)}. $$ 依序計算：

Question 17

Which of the following statements is/are true regarding the values of $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ and the function $g(t)$ ?

(A) $F(s)$ exists for all $s\in\mathbb{R}$ with $s\ge 1$ .
(B) $F(1)>1$ .
(C) $g(1.5)>0$ .
(D) $g(4)>1$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

解題方法 原卷第 17 題給定 $f(t)=\sqrt{t-1}\,u(t-1)$，並定義 $g(t)=f(t)\star f(t)$；選項分別詢問 $F(s)$ 的收斂與函數值，以及 $g(t)$ 在指定位置的值。題目所附頁圖中的方程與初始條件屬於共用題幹，本題計算 $F(s)$ 和 $g(t)$ 時不需使用。 先由拉普拉斯轉換的位移性質計算 $F(s)$。由於 $f(t)$ 在 $t<1$ 時為零， $$ F(s)=\int1^\infty e^{-st}\sqrt{t-1}\,dt =e^{-s}\int0^\infty e^{-su}\sqrt{u}\,du =\frac{\Gamma(3/2)e^{-s}}{s^{3/2}} =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{e^{-s}}{s^{3/2}},\qquad s0. $$ 接著用摺積定義計算 $g(t)$： $$ g(t)=\int{-\infty}^{\infty}f(	au)f(t-	au)\,d	au. $$ 被積函數只有在 $	au\ge 1$ 且 $t-	au\ge 1$ 時才非零，所以 $t\ge 2$ 才可能有非零值。當 $t2$，積分範圍為 $1\le 	au\le t-1$。

Question 18

Continue from Problem 17. Which of the following statements is/are true regarding the solution $x(t)$ to the differential equation?

(A) $x(t)$ is an even function for $|t|\le\frac{1}{2}$ .
(B) $x(-1)=1$ .
(C) $x'(0)=0$ .
(D) $x'(1)<2$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 右側的初值 $x(0)=0,\ x(1)=1$ 能決定 $t0$ 的解；但微分方程在 $t=0$ 的 $x''(t)$ 係數為零，不能照一般非奇異二階初值問題的方式保證唯一解。題目沒有另外指定 $t<0$ 的解如何接續，因此涉及 $x(-1)$ 或負半軸的選項，可能無法由題目資料唯一判定。 解題方法 依原卷，方程為 $tx''(t)-2x'(t)-tx(t)=g(t)$，且 $g(t)=f(t)\star f(t)$、$f(t)=\sqrt{t-1}\,u(t-1)$。因為 $f(t)$ 在 $t<1$ 時為零，卷積 $g(t)$ 在 $t<2$ 時為零；因此在 $t<2$，方程化為齊次方程。 對 $t
e 0$，解齊次方程 $$ tx''-2x'-tx=0 $$ 可得兩個線性獨立解 $e^t(t-1)$ 與 $e^{-t}(t+1)$。在 $t0$，由 $x(0)=0$ 可將解寫成 $$ x(t)=C\bigl((t-1)e^t+(t+1)e^{-t}\bigr) =2C\bigl(t\cosh t-\sinh t\bigr). $$ 再代入 $x(1)=1$，得 $2C/e=1$，所以 $$ x(t)=e\bigl(t\cosh t-\sinh t\bigr),\qquad 0<t<2. $$ 因此 $$ x'(t)=e\,t\sinh t,\qquad 0<t<2, $$

Question 19

Which of the following statements is/are true regarding the values of $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$ and the function $g(t)$ ?

(A) $F(s)$ exists for all $s\in\mathbb{R}$ with $s\ge 1$ .
(B) $F(1)>1$ .
(C) $g(1.5)>0$ .
(D) $g(4)>1$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 週期邊界條件下，空間特徵函數為 $\cos(kx)$、$\sin(kx)$，其中 $k$ 為非負整數。將初始條件展開成傅立葉級數，即可求出各頻率的係數 $an,bn$。 解題方法 依原圖，第 19 題給定 $vt=-v{xx}$、區間 $[-\pi,\pi]$ 上的週期邊界條件，以及分段初始函數：$x\in[0,\pi]$ 時為 $2\sin(2x)$，$x\in[-\pi,0]$ 時為 $\sin(4x)$。在 $t=0$，解的空間係數就是此初始函數的傅立葉係數。 先以 $k$ 表示頻率，寫成 $$ v(x,0)=\frac{a0}{2}+\sum{k=1}^{\infty}\left[ak\cos(kx)+bk\sin(kx)ight]. $$ 對 $k\ge 1$，係數為 $$ ak=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}v(x,0)\cos(kx)\,dx,\qquad bk=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}v(x,0)\sin(kx)\,dx. $$ 將負半軸的積分變數換成 $y=-x$，得到 $$ ak=\frac{1}{\pi}\int0^\pi [2\sin(2y)-\sin(4y)]\cos(ky)\,dy, $$ $$ bk=\frac{1}{\pi}\int0^\pi [2\sin(2y)+\sin(4y)]\sin(ky)\,dy. $$ 由正弦函數的正交性， $$ b2=1,\qquad b4=\frac12,\qquad bk=0\quad(k
e 2,4). $$ 對 $ak$，當 $k$ 為偶數時，積分為零；當 $k$ 為奇數時，使用 $$ \int0^\pi \sin(my)\cos(ky)\,dy=\frac{2m}{m^2-k^2} \quad(m+k	ext{ 為奇數}), $$

Question 20

Continue from Problem 19. Which of the following statements is/are true regarding the values of $d_n$ and $f_n$ in the representation of solution $v(x,t)$ ?

(A) $f_0=0$ .
(B) $f_1=2$ .
(C) $d_2=-9$ .
(D) $d_3=25$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 這題考週期邊界條件下的傅立葉級數，以及把分離變數的模態代回偏微分方程，判定頻率 $fn$ 與時間指數 $dn$ 的關係。 解題方法 從原卷可讀到：空間區間是 $[-\pi,\pi]$，兩端的函數值與一階導數相等；初始函數在 $[0,\pi]$ 為 $2\sin(2x)$，在 $[-\pi,0]$ 為 $\sin(4x)$。週期邊界條件使非零傅立葉頻率為整數。 先代入單一模態 $e^{dt}[a\cos(fx)+b\sin(fx)]$。由於二階空間導數會帶來 $-f^2$，方程 $vt=-v{xx}$ 給出 $$ d=f^2. $$ 接著由初始函數找出哪些整數頻率有非零係數。對正整數 $k$，傅立葉係數為 $$ ak=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}v(x,0)\cos(kx)\,dx, \qquad bk=\frac{1}{\pi}\int{-\pi}^{\pi}v(x,0)\sin(kx)\,dx. $$ 利用三角函數在 $[0,\pi]$ 上的正交性，可得 $$ b2=1,\qquad b4=\frac12, $$ 其餘 $bk=0$。因此頻率 $2$ 與 $4$ 都會出現在解中。

112 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》

第 1 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) span⁡{a1,…,an}=Rm\operatorname{span}\{a_1,\ldots,a_n\}=\mathbb{R}^mspan{a1​,…,an​}=Rm

第 2 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）M−1M^{-1}M−1 is invertible and (M−1)−1=M(M^{-1})^{-1}=M(M−1)−1=M

（B）(MN)−1=N−1M−1(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}(MN)−1=N−1M−1

（C）MN=NMMN=NMMN=NM

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）∑i=1n∑j=1nai,j≥0\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j}\ge 0i=1∑n​j=1∑n​ai,j​≥0

（B）(tr⁡(A))n<det⁡(A)(\operatorname{tr}(A))^n<\det(A)(tr(A))n<det(A)

（C）xTAy≤xTAxyTAy\displaystyle x^T A y\le \sqrt{x^T A x}\sqrt{y^T A y}xTAy≤xTAx​yTAy​

第 7 題

各選項判斷

第 8 題

(A) TTT 為一對一且滿射

(B) u=u1−u3\displaystyle u=u_1-u_3u=u1​−u3​ 時 ∥T(u)∥V=2\|T(u)\|_V=\sqrt2∥T(u)∥V​=2​？

(C) 求 min⁡ T(u)=v1+3v2∥u∥U\displaystyle \min_{\,T(u)=v_1+3v_2}\|u\|_UT(u)=v1​+3v2​min​∥u∥U​ 的值

第 9 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) The row space of RRR equals the row space of AAA.

(B) The space spanned by the first k+1k+1k+1 columns of AAA has dimension equal to kkk.

第 10 題

第 11 題

核心觀念

解題方法

一、判斷是否可化為可分離方程

二、判斷是否為恰當方程

三、判斷是否存在只依賴 xxx 的積分因子

第 12 題

第 13 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) This is a nonlinear equation.

(B) There exists a trivial solution y(x)=0y(x)=0y(x)=0 for all xxx.

第 14 題

第 15 題

(B) 檢驗

求 x(t)x(t)x(t) 以驗證 (C)

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題

其他考古題

112 年臺灣聯合大學系統的其他科目

臺灣聯合大學系統《工程數學》其他年度

其他學校的電機系考古題

112 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》

(A) $\operatorname{span}\{a_1,\ldots,a_n\}=\mathbb{R}^m$

（A） $M^{-1}$ is invertible and $(M^{-1})^{-1}=M$

（B） $(MN)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$

（C） $MN=NM$

（A） $\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j}\ge 0$

（B） $(\operatorname{tr}(A))^n<\det(A)$

（C） $\displaystyle x^T A y\le \sqrt{x^T A x}\sqrt{y^T A y}$

(A) $T$ 為一對一且滿射

(B) $\displaystyle u=u_1-u_3$ 時 $\|T(u)\|_V=\sqrt2$ ？

(C) 求 $\displaystyle \min_{\,T(u)=v_1+3v_2}\|u\|_U$ 的值

(A) The row space of $R$ equals the row space of $A$ .

(B) The space spanned by the first $k+1$ columns of $A$ has dimension equal to $k$ .

三、判斷是否存在只依賴 $x$ 的積分因子

(B) There exists a trivial solution $y(x)=0$ for all $x$ .

求 $x(t)$ 以驗證 (C)