115 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（B）》

核心觀念

本題考二維離散隨機變數：聯合 PMF 的正規化條件 $\sum_x\sum_y P_{XY}(x,y)=1$、邊際 PMF $P_Y(y)=\sum_x P_{XY}(x,y)$，以及 $E[Y]$ 與 $\operatorname{Var}(Y)=E[Y^2]-(E[Y])^2$。

解題方法

先依條件 $|x+y|\le 2$、$0\le y\le 2$、$x\le 0$ 找出支撐。若 $x,y$ 取整數，則 $y=0$ 時 $P_{XY}=0$；$y=1$ 時 $x\in\{-3,-2,-1,0\}$；$y=2$ 時 $x\in\{-4,\dots,0\}$。此時正規化條件得 $\frac{-26}{a}=1$，即 $a=-26$，與選項 (A) 的 $a=-9$ 不符，也與標準答案 E 不符（詳見下方選項分析）。

標準答案與 (A)–(D) 的數值相容的設定為 $x\in\{-2,-1,0\}$、$y\in\{1,2\}$，以下依此設定計算：

• $\sum_x x=-3$，$\sum_y y=3$，故 $\sum_x\sum_y xy=(-3)(3)=-9$，正規化得 $a=-9$。

核心觀念

本題考條件分布與聯合密度的關係 $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_{Y|X}(y\mid x)$、由聯合密度求邊際密度、條件期望，以及獨立性的判斷方法。

解題方法

$X$ 在 $[0,\tfrac12]$ 上均勻分布，故 $f_X(x)=2$，$0\le x\le\tfrac12$。給定 $X=x$，$Y$ 在 $[0,2x]$ 上均勻分布，故

$$f_{Y|X}(y\mid x)=\frac{1}{2x},\qquad 0\le y\le 2x.$$

因此聯合密度為 $f_{X,Y}(x,y)=2\cdot\dfrac{1}{2x}=\dfrac1x$，其支撐為 $0\le y\le 2x\le 1$。

邊際密度對 $x$ 積分（條件為 $x\ge \tfrac y2$ 且 $x\le\tfrac12$）：

$$f_Y(y)=\int_{y/2}^{1/2}\frac{1}{x}\,dx=\ln\frac{1}{y}=-\ln y,\qquad 0<y\le 1.$$

檢驗：$\int_0^1(-\ln y)\,dy=1$，正確。

條件期望為區間中點：$E[Y\mid X=x]=\dfrac{0+2x}{2}=x$。

選項分析

• (A) $f_{Y|X}(y\mid x)=\dfrac{1}{2x}$，$0\le y\le 2x\le 1$：真。

解題要點

1. 常數 $c$ 之求法

$$1=\int_{|x|\ge1}c\,e^{-|x|}\,dx =c\Bigl(\int_{-\infty}^{-1}e^{x}dx+\int_{1}^{\infty}e^{-x}dx\Bigr) =c\bigl(e^{-1}+e^{-1}\bigr)=2c\,e^{-1}$$

故 $c=\dfrac{e}{2}$。
⇒ (A) 為 真。

2. $Y=X^{2}$ 的密度
   變換 $x=\pm\sqrt{y}$（$y\ge1$），雅可比 $\bigl|\dfrac{dx}{dy}\bigr|=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}$。

$f_{Y}(y)=\frac{c\,e^{-\sqrt y}}{\sqrt y},\qquad y\ge1$

代入 $c=\frac{e}{2}$ 得

$f_{Y}(y)=\frac{e^{\,1-\sqrt y}}{2\sqrt y},\qquad y\ge1$

之所以只能在 $y\ge1$ 定義，是因為原始 $X$ 只在 $|x|\ge1$。
⇒ (D) 錯（支援區間寫成 $y\ge0$）。

核心觀念

聯合分布在多邊形上均勻時，聯合密度為面積的倒數；給定 $Y=y$ 時，$X$ 在該水平截面上均勻分布，因此條件機率等於截面落在指定區間內的長度比例。

解題方法

三角形頂點為 $(-2,0)$、$(2,0)$、$(0,1)$，面積為 $\tfrac12\cdot 4\cdot 1=2$，聯合密度為 $f_{X,Y}=\tfrac12$。

在高度 $y$（$0\le y\le 1$）的水平截面，左右邊界為 $x=\pm 2(1-y)$，截面長度為 $4(1-y)$。

當 $Y=\tfrac34$ 時，截面為 $-\tfrac12\le X\le\tfrac12$，長度為 $1$。由於 $[-\tfrac12,\tfrac12]\subset[-1,1]$，故

核心觀念

本題考查聯合機率密度函數的因式分解、邊際密度、獨立性，以及條件機率與條件期望。若聯合密度可寫成 $f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，則 $X$ 與 $Y$ 獨立；此時 $Y$ 的條件分布不受 $X$ 影響。

解題方法

依原卷圖，第 5 題給定

$$f_{XY}(x,y)=12xy(1-x),\qquad 0\le x\le 1,\quad 0\le y\le 1,$$

並問哪些敘述為錯。將密度拆成只含 $x$ 與只含 $y$ 的乘積：

$$f_{XY}(x,y)=\bigl[6x(1-x)\bigr]\bigl[2y\bigr].$$

兩因子各自在 $[0,1]$ 上積分為 $1$，因此分別是 $X$、$Y$ 的邊際密度，且 $X,Y$ 獨立：

$$f_X(x)=6x(1-x),\qquad f_Y(y)=2y.$$

由 $Y$ 的邊際密度，

$$E[Y]=\int_0^1 y f_Y(y)\,dy =\int_0^1 2y^2\,dy =\frac{2}{3}.$$

因為 $X,Y$ 獨立，$E[Y\mid X]=E[Y]=\frac{2}{3}$，所以選項 (D) 所寫的 $\frac{1}{3}$ 不正確。

選項分析

核心觀念

本題考聯合機率密度函數的正規化、邊際密度與條件密度，以及條件期望和區域機率的計算。會用到：

• 聯合密度在整個平面上的積分必須等於 $1$。
• 邊際密度由聯合密度對另一個變數積分取得。
• 條件密度為 $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$。
• 條件期望可用條件密度計算，或利用獨立性簡化。

解題方法

依原卷圖，第 6 題的聯合密度在正方形 $0\le x\le1,\ 0\le y\le1$ 上為 $cxy$，其餘為 $0$；題目問哪些選項為真。先由正規化條件求 $c$，再求邊際密度，以檢查條件密度和條件期望，最後直接積分計算 $P(Y\ge X)$。

正規化得到

$$1=\int_0^1\int_0^1 cxy\,dy\,dx =c\left(\int_0^1x\,dx\right)\left(\int_0^1y\,dy\right) =\frac{c}{4},$$

所以 $c=4$，而聯合密度可寫成

$$f_{X,Y}(x,y)=(2x)(2y),\qquad 0\le x,y\le1.$$

兩個變數因此獨立，且邊際密度為

$$f_X(x)=2x,\qquad f_Y(y)=2y,\qquad 0\le x,y\le1.$$

代入條件密度公式，在 $y=\frac12$ 時，

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid\frac12\right) =\frac{4x(\frac12)}{2(\frac12)} =2x,\qquad 0\le x\le1.$$

核心觀念

本題考查二維常態分配的條件期望、零相關與獨立性，以及常態變數的線性組合。

對聯合常態變數，條件期望為

$$E[X\mid Y] = E[X]+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{Var}(Y)} \bigl(Y-E[Y]\bigr).$$

若此條件期望是常數，便可推出 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$；聯合常態下，零相關代表 $X$ 與 $Y$ 獨立。

解題方法

依原卷第 7 題，$X,Y$ 聯合常態，且 $E[X]=2$、$E[Y]=-2$、$\operatorname{Var}(X)=2$、$\operatorname{Var}(Y)=1$、$E[X\mid Y]=2$。由條件期望公式可得 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，因此 $X,Y$ 獨立。

接著用獨立性計算各選項所需的條件期望、線性組合變異數與動差生成函數。

選項分析

(A) 錯。 因 $X,Y$ 獨立，

$$E[XY\mid X=1] =1\cdot E[Y\mid X=1] =E[Y] =-2,$$

不是 $-4$。

(B) 對。 令 $S=X+Y$。其平均數與變異數為

$$E[S]=2+(-2)=0,\qquad \operatorname{Var}(S)=2+1=3.$$

因此

$$E[(X+Y)^2]=E[S^2]=3,$$

而

核心觀念

$X\sim\operatorname{Unif}(0,1]$，所以在區間 $(0,1]$ 上的機率密度為 $f_X(x)=1$。題目中的 $Y$ 只取 $0$ 或 $1$，因此可用伯努利隨機變數的期望與變異數公式：

$$E[Y]=P(Y=1),\qquad \operatorname{Var}(Y)=P(Y=1)\bigl(1-P(Y=1)\bigr).$$

解題方法

依原卷圖，$Y=0$ 的條件是 $1/X\ge 3$，$Y=1$ 的條件是 $1/X<3$。由於 $X>0$，兩個條件分別等價於 $X\le 1/3$ 與 $X>1/3$。因此 $Y=1$ 對應區間 $(1/3,1]$，其機率為

$$P(Y=1)=1-\frac13=\frac23.$$

故

$$E[Y]=\frac23,\qquad \operatorname{Var}(Y)=\frac23\left(1-\frac23\right)=\frac29.$$

給定 $Y=1$ 時，$X$ 在 $(1/3,1]$ 上均勻分布，條件期望為

$$E[X\mid Y=1] =\frac{\frac13+1}{2} =\frac23.$$

核心觀念

本題考的是線性最小均方誤差估計。對估計式 $\widehat X=bY_1+cY_2$，使 $E[(X-\widehat X)^2]$ 最小的係數，須滿足正交原理：估計誤差與觀測量 $Y_1,Y_2$ 的相關性皆為零。等價地，係數滿足

$$\begin{bmatrix} E[Y_1^2] & E[Y_1Y_2]\\ E[Y_1Y_2] & E[Y_2^2] \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b\\c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}E[XY_1]\\E[XY_2]\end{bmatrix}.$$

解題方法

依圖中第 9 題，$X$ 為均值 $0$、變異數 $2$ 的高斯隨機變數；兩個觀測為 $Y_1=X+N_1$、$Y_2=X+N_2$，其中 $N_1,N_2$ 均值為 $0$、變異數為 $1$，且三者相互獨立。題目要找使均方誤差最小的 $b,c$。

先計算觀測量的二階矩。由相互獨立且均值為零，

$$E[Y_1^2]=E[(X+N_1)^2]=2+1=3,$$ $$E[Y_2^2]=E[(X+N_2)^2]=2+1=3,$$ $$E[Y_1Y_2]=E[(X+N_1)(X+N_2)]=E[X^2]=2.$$

同理，

$$E[XY_1]=E[X(X+N_1)]=2,\qquad E[XY_2]=E[X(X+N_2)]=2.$$

代入正交原理的方程組：

$$\begin{bmatrix} 3&2\\ 2&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b\\c\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}.$$

也就是

核心觀念

本題考查依機率收斂的定義判斷隨機變數序列、用聯合密度求條件期望、由獨立性計算和的動差生成函數，以及用中央極限定理近似機率。

解題方法

依原卷第 5 頁，$X_1,X_2,\ldots$ 相互獨立且均勻分布於 $[-1,1]$，$S_n=X_1+\cdots+X_n$。逐一檢查各選項：依機率收斂使用機率極限，條件期望由條件密度計算，和的變異數則由獨立性相加後標準化。

• (A) 依機率收斂到 $0$ 的條件是：對每個 $\varepsilon>0$，$\mathbb P(|Z_n|>\varepsilon)\to 0$。由於 $|X_n|$ 均勻分布於 $[0,1]$，當 $0<\varepsilon<1$ 時，

$$\mathbb P(|Z_n|>\varepsilon) =\mathbb P\bigl(|X_n|>\varepsilon^{1/n}\bigr) =1-\varepsilon^{1/n}\longrightarrow 0.$$

若 $\varepsilon\ge 1$，該機率為 $0$。因此 $Z_n=X_n^n$ 依機率收斂到 $0$，(A) 正確。

• (B) 在條件 $X_1+X_2=1$ 下，若 $X_1=x$，則 $X_2=1-x$。兩者都落在 $[-1,1]$ 時，$x$ 的範圍為 $[0,1]$。由於原聯合密度為常數，條件密度在此區間上均勻，因此

$$\mathbb E[X_1\mid X_1+X_2=1] =\int_0^1 x\,dx =\frac12.$$

雖然 $X_1+X_2=1$ 是機率為零的事件，仍可依聯合密度定義其條件分布；本題在該條件值下得到上述結果。

核心觀念

矩陣的秩等於列空間與行空間的維度，且由秩－零度定理，

$$\operatorname{rank}(A)+\dim\mathcal{N}(A)=4.$$

若 $B$ 可逆，則左乘 $B$ 不會改變矩陣的零空間，因為 $BAx=0$ 等價於 $Ax=0$。

解題方法

依原卷圖中第 11 題，矩陣四列依序為 $(1,2,4,1)$、$(1,1,3,2)$、$(2,3,7,3)$、$(4,5,13,7)$。第三列是前兩列相加，第四列是第一列加上第二列的三倍；前兩列彼此不成比例，因此獨立。故 $\operatorname{rank}(A)=2$，進而

$$\dim\mathcal{N}(A)=4-\operatorname{rank}(A)=2.$$

也可直接解 $Ax=0$。前兩列給出

$$\begin{aligned} x_1+2x_2+4x_3+x_4&=0,\\ x_1+x_2+3x_3+2x_4&=0. \end{aligned}$$

核心觀念

線性轉換是同構，必須同時是一對一與映 onto。對有限維向量空間而言，同構要求定義域與值域維度相同；若兩者維度相同，只要轉換矩陣可逆，就能判定為同構。

本題中 $\dim(\mathbb{R}^3)=3$，而 $R_2[x]$ 是次數不超過 $2$ 的實係數多項式空間，基底可取 $\{1,x,x^2\}$，因此 $\dim(R_2[x])=3$。

解題方法

圖中第 12 題的關鍵資訊是：選項 (A)、(B) 的值域為 $R_2[x]$；(C) 的值域為 $\mathbb{R}^4$；(D) 的值域為 $\mathbb{R}^3$。判斷多項式值域時，將輸出的多項式依序看成基底 $\{1,x,x^2\}$ 下的係數向量，再檢查轉換是否可逆。

對 (A)，輸出多項式的係數向量為

$$\begin{bmatrix} a_1\\ a_1+a_2\\ a_1+a_2+a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}.$$

此矩陣為下三角矩陣，行列式為 $1$，所以可逆。也可以直接由輸出係數 $c_0,c_1,c_2$ 還原輸入：

核心觀念

本題考查行列式的基本性質、實矩陣 $AA^T$ 的行列式，以及奇數階反對稱矩陣的行列式；另須辨認 Vandermonde 矩陣的行列式公式。

解題方法

依原卷圖，第 13 題的 (D) 矩陣各列是 $[1,x,x^2,x^3]$，其中 $x$ 依序為 $2,3,5,7$。因此可用 Vandermonde 行列式公式計算；其餘選項則直接以行列式性質判斷。

選項分析

(A) 錯誤。 一般而言，行列式不具有對矩陣加法的線性性。取 $1\times1$ 矩陣 $A=B=[2]$，則

$$\det(A+B)=\det([4])=4, \qquad \det(A)+\det(B)=2+2=4.$$

這組例子恰好相等，不能作為反例；改取 $A=[1]$、$B=[2]$ 仍會相等，因為 $1\times1$ 情況行列式就是數值。取 $2\times2$ 矩陣 $A=B=I_2$，則

$$\det(A+B)=\det(2I_2)=4, \qquad \det(A)+\det(B)=1+1=2.$$

兩者不相等，因此 (A) 不成立。

(B) 正確。 若 $A$ 是實方陣，利用 $\det(A^T)=\det(A)$ 可得

$$\det(AA^T)=\det(A)\det(A^T)=(\det A)^2\geq 0.$$

所以不可能有 $\det(AA^T)=-1$。

核心觀念

本題考查矩陣的特徵值與特徵值變換、行列式的性質，以及矩陣的秩。若 $A$ 的特徵值為 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，則

$$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\lambda_3,\qquad \det(A+I)=\prod_{i=1}^{3}(\lambda_i+1).$$

若 $\lambda_i\ne 0$，則 $A^{-1}$ 的特徵值為 $1/\lambda_i$；而 $A^3$ 的特徵值為 $\lambda_i^3$。

解題方法

依原卷第 14 題圖，已知 $A$ 是 $3\times3$ 矩陣，特徵值為 $1,2,3$；選項分別詢問 $2A^{-1}+I$ 的特徵值、$\det(A+I)$、$\det(2AA^T)$、$\operatorname{rank}(A^3)$，以及以上皆非。先由特徵值求 $\det(A)=1\cdot2\cdot3=6$，再逐項套用特徵值與行列式的性質。

選項分析

核心觀念

本題考查特徵向量的線性組合、相似矩陣與特徵向量的關係，以及實對稱矩陣的譜性質。

若 $Av=\lambda v$ 且 $v\ne 0$，則 $v$ 是 $A$ 的特徵向量。相似矩陣 $B=P^{-1}AP$ 與 $A$ 有相同特徵值，但特徵向量會隨座標變換；若 $x$ 是 $B$ 的特徵向量，則 $Px$ 是 $A$ 的特徵向量。實對稱矩陣的特徵值皆為實數，但不保證互異。

解題方法

圖中第 15 題詢問哪些敘述正確，選項依序討論兩個特徵向量的和、對稱矩陣與非對稱矩陣是否相似、相似矩陣的特徵向量，以及實對稱矩陣特徵值是否相異。逐項用定義與反例判斷即可。

選項分析

(A) 錯誤。 兩個特徵向量的和不一定是特徵向量。取

$$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix},\qquad v_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad v_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}.$$

其中 $v_1,v_2$ 分別對應特徵值 $1,2$。但

$$A(v_1+v_2)=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$$

不是 $v_1+v_2=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 的純量倍數，因此其和不是特徵向量。

核心觀念

子空間的判定需要三個條件：含有零向量、對加法封閉、對純量乘法封閉。本題的重點是加法封閉性，因為十六進位加法會因進位而增加位數。

解題方法

令 $S$ 為三位數十六進位數的集合，本題採長度為三、允許前導零的讀法，因此 $\mathrm{000}\in S$。

1. 零向量：$\mathrm{000}\in S$，零向量並未缺少。
2. 加法封閉：題目給出 $\mathrm{ACF}+\mathrm{3B2}$ 的和仍為三位數；但 $\mathrm{FCF}+\mathrm{FA3}=\mathrm{1F72}$ 是四位數，已超出 $S$。因此 $S$ 對加法不封閉，不是子空間。

題幹範例有兩處印刷誤差：依十六進位加法，$\mathrm{ACF}+\mathrm{3B2}$ 應為 $\mathrm{E81}$（原印 $\mathrm{E71}$）；$\mathrm{CA3}$ 的第二項應為 $10\times16^1$（$\mathrm{A}=10$）才會得到 $3235$（原印 $16^1$）。這兩處不影響判斷。

核心觀念

內積空間 $S$ 必定是向量空間，因此若 $A,B\in S$，可以檢查 $A,B$ 是否線性獨立，並據此得知 $\dim(S)$ 的下界。但只知道 $S$ 含有 $A,B$，不能直接確定 $S$ 就是整個矩陣空間，也不能確定其維度恰為 $2$。

解題方法

原卷給出的 $A$、$B$ 都是 $2\times4$ 矩陣，題目只說它們屬於內積空間 $S$，沒有指定 $S$ 的完整內容。將矩陣視為向量，先檢查 $A$、$B$ 是否線性獨立，再判斷這能對 $S$ 的維度提供什麼資訊。

若 $A$、$B$ 線性相依，其中一個必為另一個的純量倍數。比較矩陣的 $(1,1)$ 與 $(1,2)$ 項：由於 $A_{11}=B_{11}=1$，若 $B=cA$，必有 $c=1$；但 $A_{12}=-5$，而 $B_{12}=1$，不符合 $B=A$。因此 $A$、$B$ 線性獨立。

也可直接令 $\alpha A+\beta B=0$。比較 $(1,1)$ 與 $(1,2)$ 項，得到

$$\alpha+\beta=0,\qquad -5\alpha+\beta=0.$$

核心觀念

本題考 QR 分解、正交矩陣與矩陣乘積的欄向量表示。若 $A=XY$，則 $A$ 的每個欄向量都是 $X$ 的欄向量依 $Y$ 對應欄位係數所作的線性組合：

$$A_{:,j}=X\,Y_{:,j}.$$

若 $X$ 的欄向量互相正交且長度皆為 $1$，則 $X$ 是正交因子；$X$ 為方陣時，也稱正交矩陣。

解題方法

依原卷第 18 題圖，$A$ 是 $3\times2$ 矩陣，並寫成 $A=XY$，其中 $X$ 是 $3\times3$ 矩陣、$Y$ 是 $3\times2$ 矩陣。判斷選項時，分別檢查 $X$ 的欄向量是否正交規一、$A^T$ 的零空間，以及 $Y$ 與 $A$ 的欄空間；最後利用 $A=XY$ 判斷欄向量的線性組合關係。

記 $X$ 的三個欄向量為 $x_1,x_2,x_3$。由題目所列矩陣可見，它們兩兩內積為 $0$，且各自長度為 $1$，所以 $X$ 的欄向量正交規一。再看 $Y$ 的兩個欄向量，可得：

$$A_{:,1}=\sqrt{3}\,x_1, \qquad A_{:,2}=\frac{2}{\sqrt{3}}x_1+\frac{2}{\sqrt{6}}x_2.$$

因此，$A$ 的欄向量確實可由 $X$ 的欄向量線性組合得到。

選項分析

(A) 錯。 $X$ 有三欄不代表它不是正交因子。題目中的三個欄向量互相正交且長度皆為 $1$，所以 $X$ 是正交矩陣，也是正交因子。

(B) 錯。 題目列出的向量確實屬於 $\operatorname{null}(A^T)$。因為 $A$ 的兩個欄向量為 $(1,1,1)^T$ 與 $(1,0,1)^T$，而