115 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》考古題與詳解

Question 1

Consider a particle in a 2D rectangular box. Let the box widths be $L$ and $2L$ , respectively, in the $x$ - and $y$ -dimensions. Which of the following expressions is the correct first excited state energy?
( $h$ = Planck constant, $m$ = particle mass)
(A) $\frac{h^2}{8mL^2}$
(B) $\frac{h^2}{16mL^2}$
(C) $\frac{h^2}{4mL^2}$
(D) $\frac{h^2}{2mL^2}$
(E) $\frac{h^2}{32mL^2}$

Accepted Answer

核心觀念 二維矩形箱（寬度 $Lx = L$、$Ly = 2L$）中粒子的能量為 $$E{nx,ny} = \frac{h^2}{8m}\left(\frac{nx^2}{L^2} + \frac{ny^2}{(2L)^2}\right), \quad nx, ny = 1, 2, 3, \dots$$ 能量由兩個方向的量子數共同決定，$y$ 方向的寬度為 $2L$，其分母應為 $4L^2$。 解題方法 1. 基態 $(1,1)$：$E = \frac{h^2}{8m}\left(\frac{1}{L^2} + \frac{1}{4L^2}\right) = \frac{5h^2}{32mL^2}$。 2. 比較候選激發態（以 $\frac{h^2}{32mL^2}$ 為單位）： - $(1,2)$：$\frac{h^2}{8m}\left(\frac{1}{L^2} + \frac{4}{4L^2}\right) = \frac{h^2}{8m}\cdot\frac{2}{L^2} = \frac{h^2}{4mL^2} = 8$ 單位。 - $(2,1)$：$\frac{h^2}{8m}\left(\frac{4}{L^2} + \frac{1}{4L^2}\right) = \frac{17h^2}{32mL^2}$，即 17 單位。

Question 2

Consider the EM wave mode with wave vector $k$ and frequency $f$ , in a cavity of temperature $T$ . The average number of photons in the mode, in the limit where $k_B T \gg hf$ , is given by
( $k_B$ = Boltzmann constant, $h$ = Planck constant)
(A) $\frac{k_B T}{hf}$
(B) $\frac{1}{\exp\left(\frac{k_B T}{hf}\right) - 1}$
(C) $\frac{k_B T}{hf}$
(D) $\frac{1}{\exp\left(\frac{hf}{k_B T}\right) - 1}$
(E) $\frac{1}{\exp\left(\frac{hf}{k_B T}\right) + 1}$

Accepted Answer

考點：黑體輻射的光子數分布與高溫極限展開。 1. 依照普朗克分布，單一電磁模式的平均光子數 $$\langle n\rangle=\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{hf}{kB T}\right)-1}.$$ 2. 當 $kB T\gg hf$（高溫極限），指數項可展開 $$\exp\!\left(\frac{hf}{kB T}\right)\approx 1+\frac{hf}{kB T}.$$ 3. 代入得

Question 3

A muon has a mean lifetime of $2.20 	imes 10^{-6}$ s at rest. If it travels at a speed of $0.99c$, how far can it travel before decaying? Given that the light velocity $c = 3 	imes 10^8$ m/s. (A) 65 m (B) 653 m (C) 4632 m (D) 6534 m (E) 92 m

Accepted Answer

核心觀念 本題考查狹義相對論的時間膨脹。μ 子在自身靜止參考系中的平均壽命為固有壽命： $$ 	au0=2.20	imes10^{-6}\ 	ext{s} $$ 相對於實驗室觀察者，μ 子以高速運動，其平均壽命會延長為： $$ 	au=\gamma	au0 $$ 其中洛倫茲因子為： $$ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \beta=\frac{v}{c} $$ μ 子在實驗室中行進的平均距離為： $$ L=v	au=v\gamma	au0 $$ --- 解題方法 已知： $$ v=0.99c,\qquad \beta=0.99 $$ 先計算洛倫茲因子： $$ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(0.99)^2}} =\frac{1}{\sqrt{1-0.9801}} =\frac{1}{\sqrt{0.0199}} \approx 7.09 $$ 因此，實驗室中觀察到的μ 子平均壽命為： $$ 	au=\gamma	au0 =(7.09)(2.20	imes10^{-6}) \approx 1.56	imes10^{-5}\ 	ext{s} $$ μ 子在這段時間行進的平均距離： $$ \begin{aligned} L&=v	au\ &=(0.99c)(\gamma	au0)\ &=(0.99)(3	imes10^8)(1.56	imes10^{-5})\ &\approx 4.63	imes10^3\ 	ext{m} \end{aligned} $$ 所以： $$ L\approx 4632\ 	ext{m} $$ 應選 （C）。 --- 選項分析

Question 4

A beam of ultraviolet light with wavelength 250 nm shines on a metal surface and ejects photoelectrons with a maximum speed of $0.004c$ . Which of the following statements is correct? Given that the light velocity $c = 3 \times 10^8$ m/s, the Planck's constant $h = 6.626 \times 10^{-34}$ J·s, the elementary positive charge $q = 1.6 \times 10^{-19}$ C, and the electron mass $m_e = 9.11 \times 10^{-31}$ kg.
(A) The work function of the metal is 0.87 eV.
(B) A wavelength larger than 1.45 µm can eject electrons from this metal.
(C) The photon energy is 4.10 eV.
(D) The threshold frequency is about $1.2 \times 10^{15}$ Hz.
(E) The kinetic energy of the photoelectron is $6.56 \times 10^{-19}$ eV.

Accepted Answer

光電方程式 $$ E{	ext{ph}}=h
u=\frac{hc}{\lambda},\qquad K{\max }=\frac12mv^{2},\qquad \phi =E{	ext{ph}}-K{\max } . $$ 1. 光子能量 $$ E{	ext{ph}}=\frac{6.626	imes10^{-34}\;	ext{J·s}\; 	imes 3.0	imes10^{8}\;	ext{m/s}}{250	imes10^{-9}\;	ext{m}} =7.95	imes10^{-19}\;	ext{J}= \frac{7.95	imes10^{-19}}{1.6	imes10^{-19}}\;	ext{eV}=4.97\;	ext{eV}. $$ 2. 電子最大動能 $$v=0.004c=0.004	imes3.0	imes10^{8}=1.20	imes10^{6}\;	ext{m/s},$$ $$ K{\max }=\frac12(9.11	imes10^{-31})(1.20	imes10^{6})^{2} =6.56	imes10^{-19}\;	ext{J}= \frac{6.56	imes10^{-19}}{1.6	imes10^{-19}}\;	ext{eV}=4.10\;	ext{eV}. $$ 3. 工作函數

Question 5

Find the correct description:
(A) The photon energy of light from the Paschen series (transitions from $n \ge 4$ to $n = 3$ ) of the hydrogen atom is sufficient to induce the photoelectric effect in silver (work function $\approx 4.7$ eV).
(B) For $n = 4$ , the radius of the hydrogen atom in the Bohr model is $4a_0$ , where $a_0$ is the Bohr radius.
(C) The Balmer series, corresponding to electronic transitions from any higher level ( $n \ge 3$ ) to $n = 2$ , mainly lies in the visible region of hydrogen's atomic spectrum.
(D) Rutherford's scattering experiment suggested that the positive and negative charges are uniformly distributed throughout the atom.
(E) In the Bohr model, electrons continuously lose energy while orbiting the nucleus and eventually spiral into it.

Accepted Answer

A Paschen 系列光子能量 $$E{ph}=13.6\ {\rm eV}\Bigl(\frac1{3^2}-\frac1{n^2}\Bigr)\le13.6\cdot\frac1{9}=1.51\ {\rm eV}$$ 銀的逸出功 $W\approx4.7\ {\rm eV}$，遠大於任何 Paschen 光子能，故無法致光電。錯

Question 6

Johnny just found a box containing multiple wafers (thickness: 380 µm). On the label attached to the box, he found that the wafers are made of different materials: InP, GaP, GaAs, Ge, and Si, respectively. His advisor asked him to sort them. He randomly picked up one of them and discovered that it allows visible light to pass through under ambient light. Which wafer could it be?
(A) InP (bandgap $\approx 1.27$ eV)
(B) GaP (bandgap $\approx 2.26$ eV)
(C) GaAs (bandgap $\approx 1.42$ eV)
(D) Ge (bandgap $\approx 0.66$ eV)
(E) Si (bandgap $\approx 1.12$ eV)

Accepted Answer

核心觀念 本題考查半導體的能隙 $Eg$ 與光吸收、穿透之間的關係。 光子能量為 $$ E{\gamma}=h
u=\frac{hc}{\lambda} $$ 其中可見光波長約為 $380\sim780\ 	ext{nm}$，對應光子能量約為 $$ E{\gamma}\approx 1.59\sim3.26\ 	ext{eV} $$ 半導體吸收光子的基本條件是 $$ E{\gamma}\geq Eg $$ 當光子能量大於能隙時，價帶電子可吸收光子並躍遷至導帶，因此該波長的光會被吸收；當 $$ E{\gamma}<Eg $$ 時，光子能量不足以造成跨能隙躍遷，該波長的光便能穿透材料。 由能隙可換算吸收截止波長： $$ \lambdag=\frac{hc}{Eg} \approx\frac{1240}{Eg(	ext{eV})}\ 	ext{nm} $$ 波長大於 $\lambdag$ 的光，其光子能量小於 $Eg$，較能穿透半導體。 解題方法 題目給定晶圓厚度為 $380\ \mu	ext{m}$，這是相當厚的半導體晶圓。若材料對可見光有強烈吸收，光在通過此厚度後的強度會大幅降低；因此能觀察到可見光穿透，必須具有足夠大的能隙，使部分可見光光子的能量低於能隙。 逐一計算各材料的吸收截止波長： (A) InP $$ \lambdag=\frac{1240}{1.27}\approx976\ 	ext{nm} $$ 可見光範圍約為 $380\sim780\ 	ext{nm}$，全部小於 $976\ 	ext{nm}$，因此可見光光子能量皆大於 $1.27\ 	ext{eV}$，會被吸收。 (B) GaP $$ \lambdag=\frac{1240}{2.26}\approx549\ 	ext{nm} $$ 波長大於約 $549\ 	ext{nm}$ 的黃光、橙光與紅光，其光子能量小於 $2.26\ 	ext{eV}$，不易引發跨能隙吸收，因此這些可見光成分可以穿透 $380\ \mu	ext{m}$ 厚的晶圓。 GaP 的能隙在選項中最大，最符合「可讓可見光通過」的條件。 (C) GaAs $$ \lambdag=\frac{1240}{1.42}\approx873\ 	ext{nm} $$

Question 7

Which of the following statements about free particles is correct?
(A) Based on the Einstein-de Broglie relation, the particle speed can be determined by the ratio of the de Broglie angular frequency to the wavenumber.
(B) Wave-particle duality becomes apparent when the particle dimension is comparable to its matter-wave wavelength.
(C) The Schrödinger equation can be used to describe particles at small length scales while accounting for the effects of special relativity.
(D) For free particles, both the uncertainties in momentum and position are finite, and their product has a lower bound that satisfies Heisenberg's uncertainty relation.
(E) In the Schrödinger equation, the product of the group and phase velocities does not exceed the speed of light, since the speed of information propagation cannot be greater than the speed of light.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查自由粒子的德布羅意物質波、波粒二象性、薛丁格方程的適用範圍，以及相速度、群速度與測不準原理。 德布羅意關係為 $$ E=\hbar\omega,\qquad p=\hbar k $$ 其中 $\omega$ 為角頻率、$k$ 為波數。因此： - 相速度： $$vp=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}$$ - 群速度： $$vg=\frac{d\omega}{dk}=\frac{dE}{dp}$$ 對自由粒子而言，群速度才對應粒子的經典速度。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合上述定義與物理適用範圍： 1. 檢查 $\omega/k$ 是相速度還是粒子速度。 2. 判斷物質波波長與粒子尺度的關係。 3. 判斷薛丁格方程是否包含相對論效應。 4. 檢查自由粒子的動量、位置不確定度是否必然有限。 5. 推導薛丁格自由粒子的相速度與群速度。 --- 選項分析 (A) 錯誤 由德布羅意關係， $$ \frac{\omega}{k} = \frac{E/\hbar}{p/\hbar} = \frac{E}{p} $$ 這是物質波的相速度，而非粒子速度。 在非相對論情況下， $$ E=\frac{p^2}{2m} $$ 因此 $$ \omega=\frac{\hbar k^2}{2m} $$ 相速度為 $$ vp=\frac{\omega}{k} =\frac{\hbar k}{2m} =\frac{p}{2m} =\frac{v}{2} $$ 而群速度為 $$ vg=\frac{d\omega}{dk} =\frac{\hbar k}{m} =\frac{p}{m} =v $$ 所以粒子速度應由群速度決定，不能由 $\omega/k$ 直接決定。 --- (B) 正確 德布羅意波長為 $$ \lambda=\frac{h}{p} $$ 當粒子的尺度遠大於其物質波波長時，波動性通常不明顯，粒子可近似使用經典力學描述。 當粒子尺度與物質波波長相當時，繞射、干涉等波動現象會變得明顯，波粒二象性因此容易被觀察到。 因此，粒子尺度與物質波波長同量級，是觀察波粒二象性的重要條件。 --- (C) 錯誤 薛丁格方程是非相對論量子力學的基本方程。含時薛丁格方程為

Question 8

Which of the following statements correctly describes quantum particles under time-independent, externally applied potentials?
(A) For a particle in a box, the wavefunction forms standing waves whose energy is proportional to the sum of the squares of the numbers of antinodes.
(B) For particles in one-dimensional space, the wavefunction is always real rather than complex as long as the potential is finite.
(C) For a harmonic oscillator, the energy difference between successive quantum states depends on the number of nodes in the wavefunction.
(D) In the tunneling effect, particles experience a Dirac delta potential, and the tunneling probability is zero because the potential becomes infinite at a specific point.
(E) If the potential is finite but discontinuous at some points, the derivative of the wavefunction may or may not be smooth, depending on the functional form of the potential.

Accepted Answer

參考書等級：大學部上課用教材（如《量子力學概論》或《近代物理》課本）即可。 解析 - (A) 粒子被限制在多維矩形盒子中，波函數為各方向的正弦函數，形成駐波。能量本徵式為 $$E{nx,ny,nz}= \frac{\hbar^2\pi^2}{2m}\left(\frac{nx^2}{Lx^2}+\frac{ny^2}{Ly^2}+\frac{nz^2}{Lz^2}\right)$$ 其中 $ni$ 為第 $i$ 方向的波節（節點）或波腹（反節點）個數。能量正比於各方向反節點數的平方和，敘述正確。

Question 9

Light with a wavelength of 434 nm is observed from a hydrogen discharge lamp. Which initial energy level (higher level) most likely produced this emission, assuming the electron transitions to a lower level?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6

Accepted Answer

核心觀念 氫原子電子由高能階 $ni$ 跃遷至低能階 $nf$ 時，會放出光子。光子能量等於兩能階的能量差： $$ E{\gamma}=E{ni}-E{nf}=hf=\frac{hc}{\lambda} $$ 氫原子的能階為 $$ En=-\frac{13.6\ 	ext{eV}}{n^2} $$ 因此可利用里德伯公式求發射光波長： $$ \frac{1}{\lambda} = RH\left(\frac{1}{nf^2}-\frac{1}{ni^2}ight), \qquad ninf $$ 觀察到波長 $434\ 	ext{nm}$，屬於氫原子的 Balmer 系列，代表電子最後躍遷至 $$ nf=2 $$ 解題方法 將 $nf=2$ 代入里德伯公式，並測試各個初始能階： $$ \frac{1}{434	imes 10^{-9}} = RH\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{ni^2}ight) $$ 取 $RH\approx 1.097	imes 10^7\ 	ext{m}^{-1}$： $$ \frac{1}{ni^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{RH\lambda} $$ 計算得 $$ \frac{1}{RH\lambda} \approx 0.210 $$ 所以 $$ \frac{1}{ni^2}\approx 0.250-0.210=0.040 $$ 因此 $$ ni^2\approx 25 \quad\Rightarrow\quad ni=5 $$ 也可直接辨認 Balmer 系列的譜線： $$ n=3	o 2:\ 656\ 	ext{nm} $$ $$ n=4	o 2:\ 486\ 	ext{nm} $$ $$ n=5	o 2:\ 434\ 	ext{nm} $$ $$ n=6	o 2:\ 410\ 	ext{nm} $$ 故 $434\ 	ext{nm}$ 對應於電子由 $n=5$ 躍遷至 $n=2$。 選項分析

Question 10

Assuming the human body temperature is approximately 37 °C, which of the following wavelengths is closest to the peak wavelength of its thermal radiation?
(A) 9.0 µm
(B) 9.4 µm
(C) 9.8 µm
(D) 10.2 µm
(E) 10.6 µm

Accepted Answer

核心觀念

人體可近似視為溫度為 $T$ 的黑體，其熱輻射光譜峰值波長由維恩位移定律決定：

\lambda_{\max}T=b

其中：

$\lambda_{\max}$ ：熱輻射強度最大的峰值波長
$T$ ：絕對溫度，單位為 K
$b$ ：維恩位移常數，

b=2.898\times 10^{-3}\ \text{m}\cdot\text{K}

溫度必須使用絕對溫標：

T=37+273.15=310.15\ \text{K}

解題方法

將人體溫度代入維恩位移定律：

\lambda_{\max} =\frac{b}{T} =\frac{2.898\times10^{-3}}{310.15}\ \text{m}

計算得：

\lambda_{\max}\approx 9.344\times10^{-6}\ \text{m} =9.344\ \mu\text{m}

因此，人體熱輻射的峰值波長約為 $9.34\ \mu\text{m}$ 。比較各選項可知，最接近的是 $9.4\ \mu\text{m}$ 。

選項分析

(A) $9.0\ \mu\text{m}$ ：錯誤。
與計算值 $9.34\ \mu\text{m}$ 相差約 $0.34\ \mu\text{m}$ 。

Question 11

Which of the following statements are correct?
(A) In the classical limit, high temperature or low density, both Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics approach the Maxwell-Boltzmann distribution.
(B) Helium-4 atoms obey Fermi-Dirac statistics.
(C) Photons obey Bose-Einstein statistics and have a chemical potential equal to zero.
(D) Bose-Einstein statistics are commonly used to describe phonons in semiconductors because phonons are integer-spin quasiparticles and their number is not conserved.
(E) In heavily doped semiconductors, if the carrier concentration approaches or exceeds the effective density of states, electrons or holes can no longer be described by Maxwell-Boltzmann statistics and must instead be treated using Fermi-Dirac statistics.

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查三個近代物理主題： 1. 黑體輻射：需以能量量子化解釋其光譜分布。 2. 光電效應：需使用光量子的能量 $$E\gamma=hf$$ 以及光電方程 $$K{\max}=hf-\phi,$$ 其中 $\phi$ 為金屬功函數。 3. Rutherford 散射：主要以經典電磁學中的庫侖斥力描述，散射角與入射 $\alpha$ 粒子的能量有關。 --- 解題方法 逐項檢查各敘述是否符合上述理論： - 涉及黑體輻射與光電效應時，判斷能量量子化是否必要。 - 涉及光電效應時，使用 $K{\max}=hf-\phi$ 判斷光強度的作用。 - 涉及 Rutherford 散射時，判斷作用力的性質，以及入射能量增加後散射角的變化。 --- 選項分析 （A）正確 黑體輻射的經典理論會導致紫外災變，必須引入 Planck 的能量量子化假設： $$En=nhf,\qquad n=1,2,3,\ldots$$ 光電效應則由 Einstein 光量子理論解釋，每個光子的能量為 $$E\gamma=hf.$$ 電子吸收光子後，能量守恆給出 $$hf=\phi+K{\max}.$$ 因此，黑體輻射與光電效應都需要能量量子化觀念。 Rutherford 散射在基本模型中，是以帶正電的 $\alpha$ 粒子與原子核之間的庫侖斥力進行經典力學分析，不需要先假設能量量子化。因此本選項正確。 --- （B）錯誤 光電效應的主要解釋只需使用光子的能量： $$E\gamma=hf.$$ 由能量守恆： $$K{\max}=hf-\phi.$$ 此式能解釋： - 存在截止頻率； - 光電子最大動能由頻率決定； - 光強度增加主要增加光電子數目； - 光電子幾乎立即逸出。 光子的動量 $$ p\gamma=\frac{h}{\lambda} $$ 在光電效應中並非解釋上述現象所必需的量。光子動量在 Compton 散射等動量交換問題中較為關鍵。因此「只有光電效應需要使用光子動量」的說法錯誤。 --- （C）錯誤 光電方程為 $$K{\max}=hf-\phi.$$

Question 12

Which of the following statements are correct?
(A) In the classical limit, high temperature or low density, both Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics approach the Maxwell-Boltzmann distribution.
(B) Helium-4 atoms obey Fermi-Dirac statistics.
(C) Photons obey Bose-Einstein statistics and have a chemical potential equal to zero.
(D) Bose-Einstein statistics are commonly used to describe phonons in semiconductors because phonons are integer-spin quasiparticles and their number is not conserved.
(E) In heavily doped semiconductors, if the carrier concentration approaches or exceeds the effective density of states, electrons or holes can no longer be described by Maxwell-Boltzmann statistics and must instead be treated using Fermi-Dirac statistics.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三種統計分布及其適用條件： 1. Maxwell–Boltzmann statistics（MB，馬克士威–波茲曼統計） 適用於非簡併、低密度或高溫的粒子系統。平均佔據數為 $$f{\mathrm{MB}}(E)=\exp\left[-\frac{E-\mu}{kBT}\right]。$$ 2. Fermi–Dirac statistics（FD，費米–狄拉克統計） 適用於半整數自旋的費米子，且遵守泡利不相容原理： $$f{\mathrm{FD}}(E)=\frac{1}{\exp\left[\frac{E-\mu}{kBT}\right]+1}。$$ 3. Bose–Einstein statistics（BE，玻色–愛因斯坦統計） 適用於整數自旋的玻色子： $$f{\mathrm{BE}}(E)=\frac{1}{\exp\left[\frac{E-\mu}{kBT}\right]-1}。$$ 當 $$\exp\left[\frac{E-\mu}{kBT}\right]\gg 1$$ 時，分母中的 $+1$ 或 $-1$ 相對於指數項可以忽略，因此 $$ f{\mathrm{FD}}(E)\approx f{\mathrm{BE}}(E)\approx \exp\left[-\frac{E-\mu}{kBT}\right] =f{\mathrm{MB}}(E)。 $$ 這種情況對應高溫、低密度或粒子系統處於非簡併狀態。 --- 解題方法 逐一檢查每個敘述的三項條件： - 粒子的自旋是整數還是半整數； - 粒子數是否守恆，是否需要化學勢； - 系統是否處於經典極限； - 半導體載子濃度是否足以造成量子簡併。 依此判斷各選項的正誤。 --- 選項分析 (A) 正確 在高溫或低密度下，粒子較不容易大量佔據相同量子態，系統進入經典極限。此時 $$\exp\left[\frac{E-\mu}{kBT}\right]\gg 1，$$ 因此 $$ \frac{1}{e^{(E-\mu)/kBT}\pm1} \approx e^{-(E-\mu)/kBT}。 $$ 所以 Bose–Einstein 統計與 Fermi–Dirac 統計都趨近 Maxwell–Boltzmann 分布。 --- (B) 錯誤 氦-4 原子由兩個質子、兩個中子及兩個電子組成。每個質子、中子與電子皆為半整數自旋粒子，但氦-4 原子的總自旋為整數，基態總自旋為 $0$。

Question 13

Which three of the following statements are correct?
(A) The Einstein model for calculating the specific heat of solids does not account for the polarization of lattice vibrations, and its predictions are consistent with experimental results at low temperatures.
(B) In both the photoelectric effect and blackbody radiation, the number of photons is quantized and is not conserved.
(C) The cosmic microwave background radiation can be approximated as blackbody radiation in order to estimate the temperature of the universe.
(D) For quantum tunneling, the tunneling probability is always 100% as long as the particle's kinetic energy is greater than the potential barrier, which reduces to the classical result.
(E) In the hydrogen atom, the orbital quantum number is related not only to the rotational kinetic energy but also to the number of radial nodes in the wavefunction.

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查三個量子力學模型： 1. 一維簡諧振子的能階與零點能。 2. 二維方形盒中的能階簡併。 3. 氫原子的量子數、能量與波函數對稱性。 4. 束縛態波函數的邊界條件與無限遠行為。 判斷選項時，必須特別注意「能量是否完全相同」、「簡併度」以及「波函數是否可歸一化」。 --- 解題方法 逐項檢查各模型的標準結果： - 簡諧振子： $$En=\left(n+\frac12ight)\hbar\omega,\qquad n=0,1,2,\ldots$$ - 二維方形盒： $$E{nx,ny}=\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}(nx^2+ny^2)$$ - 氫原子： $$En=-\frac{13.6\ 	ext{eV}}{n^2}$$ - 束縛態： 波函數必須可歸一化，因此在無限遠處必須趨近於零。 --- 選項分析 (A) 錯誤 簡諧振子的薛丁格方程解為 $$ En=\left(n+\frac12ight)\hbar\omega =\left(n+\frac12ight)h
u , $$ 其中 $\omega=2\pi
u$。 普朗克早期提出的量子化公式通常寫成 $$ En=nh
u , $$ 並沒有簡諧振子的零點能項 $\frac12h
u$。因此，量子簡諧振子的能階並非「完全等同」於普朗克的量子化公式，只能說兩者都具有等間隔的能量量子化特徵。 此外，普朗克提出能量以離散量子交換的觀念，並非完全沒有物理詮釋。因此本選項的「exactly」說法不成立。 --- (B) 錯誤 對邊長為 $L$ 的二維方形無限深方形盒，能量為 $$ E{nx,ny} = \frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2} \left(nx^2+ny^2ight), $$ 其中 $$ nx,ny=1,2,3,\ldots $$ 基態為 $$ (nx,ny)=(1,1), $$ 其能量為 $$ E{1,1}=2\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}, $$ 只有一個量子態。 第一激發態來自 $$ (1,2),\quad (2,1), $$ 兩者能量相同： $$ E{1,2}=E{2,1} = 5\frac{\hbar^2\pi^2}{2mL^2}. $$ 因此基態簡併度為 $1$，第一激發態簡併度為 $2$，兩者並不相同。 --- (C) 正確 簡諧振子的基態波函數為高斯形式： $$ \psi0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}ight)^{1/4} e^{-m\omega x^2/(2\hbar)}. $$

Question 14

Which three of the following statements are correct?
(A) The Einstein model for calculating the specific heat of solids does not account for the polarization of lattice vibrations, and its predictions are consistent with experimental results at low temperatures.
(B) In both the photoelectric effect and blackbody radiation, the number of photons is quantized and is not conserved.
(C) The cosmic microwave background radiation can be approximated as blackbody radiation in order to estimate the temperature of the universe.
(D) For quantum tunneling, the tunneling probability is always 100% as long as the particle's kinetic energy is greater than the potential barrier, which reduces to the classical result.
(E) In the hydrogen atom, the orbital quantum number is related not only to the rotational kinetic energy but also to the number of radial nodes in the wavefunction.

Accepted Answer

解說 - (A) Einstein 模型僅考慮單一振動頻率，未加入振動的極化模式。低溫下它預測 $C\propto e^{-\ThetaE/T}$，實驗卻呈現 $C\propto T^{3}$（Debye 定律），故預測不符合低溫實驗。錯誤 - (B) 光電效應與黑體輻射皆以光子 $\gamma$ 描述，光子是離散的量子且在過程中可被吸收或產生，故光子數不守恆。正確

Question 15

Now, we have two electrons whose orbital angular momentum quantum numbers are 1 and 3, respectively. Choose the correct answers.
(A) The possible TOTAL angular momentum quantum number $l$ can be 1
(B) The possible ORBITAL angular momentum quantum number $L$ can be 1
(C) The possible SPIN angular momentum quantum number $S$ can be 1
(D) The possible MAGNETIC quantum number of total angular momentum number $m_j$ can be $\frac{1}{2}$
(E) The possible spin multiplicities for this two-electron system are singlet and triplet.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個電子的角動量耦合，包括： 1. 軌道角動量耦合 $$\mathbf{L}=\mathbf{l}1+\mathbf{l}2$$ 若兩電子的軌道量子數分別為 $l1=1$、$l2=3$，則總軌道角動量量子數 $L$ 的範圍為 $$L=|l1-l2|,\,|l1-l2|+1,\ldots,l1+l2$$ 2. 自旋角動量耦合 每個電子的自旋量子數皆為 $$s1=s2=\frac12$$ 因此總自旋量子數 $S$ 可為 $$S=|s1-s2|,\ldots,s1+s2=0,1$$ 分別對應單重態 singlet 與三重態 triplet。 3. 總角動量耦合 總角動量為 $$\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$$ 對固定的 $L$ 與 $S$，總角動量量子數 $J$ 可取 $$J=|L-S|,\,|L-S|+1,\ldots,L+S$$ 題目選項 A 將總角動量量子數寫成 $l$，依物理慣例總角動量量子數應記為 $J$ 或 $j$；以下依其「TOTAL angular momentum」的物理意義判斷。 解題方法 第一步：求總軌道角動量 $L$ 由 $l1=1$、$l2=3$： $$L=|1-3|,|1-3|+1,\ldots,1+3$$ 因此 $$\boxed{L=2,3,4}$$ 第二步：求總自旋角動量 $S$ 兩個電子各自具有 $s=\frac12$，所以 $$S=\left|\frac12-\frac12ight|,\ldots,\frac12+\frac12$$ 得到 $$\boxed{S=0,1}$$ 其中： - $S=0$：singlet，單重態 - $S=1$：triplet，三重態 第三步：求總角動量 $J$ 要判斷總角動量是否能為 $1$，選取 $L=2$、$S=1$： $$J=|2-1|,|2-1|+1,\ldots,2+1$$ 所以 $$J=1,2,3$$ 因此總角動量量子數確實可以為 $1$。 此外，所有 $L$ 與 $S$ 的組合如下： $$ \begin{array}{c|c|c} L&S&J\ \hline 2&0&2\ 3&0&3\ 4&0&4\ 2&1&1,2,3\ 3&1&2,3,4\ 4&1&3,4,5 \end{array} $$ 由此可知所有可能的 $J$ 為 $$J=1,2,3,4,5$$ 選項分析 （A）The possible TOTAL angular momentum quantum number $l$ can be 1 正確。 題目中的總角動量量子數應理解為 $J$ 或 $j$。當 $$L=2,\qquad S=1$$ 時， $$J=|L-S|,\ldots,L+S=1,2,3$$ 所以 $J=1$ 是允許的。 $$\boxed{	ext{…

Question 16

We usually need to use the concept of "effective mass" to analyze and predict the properties of electronic and optoelectronic devices. It can be calculated by $\frac{1}{m^} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2 E(k)}{\partial k^2}$, where $m^$ is the effective mass, and $E(k)$ is the energy of the carrier as a function of the wave vector $k$. The effective mass of carriers in a material can be measured using the cyclotron resonance method. In short, this method is performed by applying a magnetic field to the material and irradiating it with electromagnetic waves, assuming that the absorption frequency of the sample matches the cyclotron frequency of the carriers in the magnetic field. Hint: You may start the derivation from the classical equation of motion of a charged particle in a magneti…

Accepted Answer

核心觀念 1. 有效質量（Effective Mass）定義： 在晶體固態物理中，電子在週期性晶格位能中運動時，外力與加速度的關係可透過引入「有效質量 $m^$」簡化為類似牛頓第二運動定律的形式。其定義由能帶結構 $E(k)$ 的二階導數（能帶曲率）決定： $$\frac{1}{m^} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2 E(k)}{\partial k^2}$$ - 能帶曲率愈大，有效質量愈小。 - $m^$ 可大於、小於電子靜止質量 $me$，在能帶頂部（曲率為負）時甚至為負值（即電洞行為）。 2. 金屬與半導體的能帶理論： 金屬內部的傳導電子同樣受到晶格週期性位能影響，其費米面與傳導特性亦需依賴能帶結構與有效質量描述；自由電子模型（Free Electron Model）僅為最基礎之近似。 3. 迴旋共振（Cyclotron Resonance）： 帶電載子垂直進入均勻磁場 $B$ 時，勞侖茲力提供向心力使載子作等速圓周運動： $$qvB = \frac{m^ v^2}{r}$$ 由此可推導迴旋角頻率 $\omegac$、迴旋共振頻率 $fc$ 及軌道速率 $v$： $$\omegac = \frac{qB}{m^} \implies fc = \frac{\omegac}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi m^}$$ $$v = \omegac r = 2\pi fc r$$ --- 解題方法 1. 觀念判定（選項 A、B、C）： - 檢驗固態物理能帶理論之適用範圍與有效質量之物理定義。 - 根據 $\frac{1}{m^} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2 E(k)}{\partial k^2}$ 判斷有效質量的範圍及幾何意義。 2. 數值計算（選項 D、E）： - 選項 (D)：由迴旋共振頻率公式反求載子有效質量 $m^ = \frac{eB}{2\pi f}$，並與電子質量 $me = 9.11 	imes 10^{-31}	ext{ kg}$ 進行比值換算。 - 選項 (E)：由圓周運動切向速度公式 $v = 2\pi f r$ 直接求得載子運動速度。 --- 選項分析 - (A) 錯誤： 有效質量並非僅適用於半導體。金屬內部的電子同樣處於週期性晶格位能中，其費米面附近的傳導電子必須以能帶理論與有效質量來準確描述其動力學與傳導行為。自由電子模型無法合理解釋多價金屬的反常霍爾係數（正霍爾效應）以及特定金屬的比熱與光學性質。 - (B) 正確： 有效質量由能帶曲率決定。在許多半導體材料的導帶底端，能帶曲率非常大，使得電子有效質量遠小於自由電子的靜止質量 $me$。例如：砷化鎵（$	ext{GaAs}$）中 $me^ \approx 0.067\,me$；銻…

Question 17

A beam of neutrons is traveling at a speed of $v = 800$ m/s and is directed through a single slit of width $a = 1.0$ µm. Given the Planck's constant $h = 6.626 \times 10^{-34}$ J·s and the neutrons have mass $m_n = 1.675 \times 10^{-27}$ kg. Consider the neutrons as free quantum particles and their wave-like behavior. Which of the following statements are correct?
(A) The de Broglie wavelength of the neutrons is approximately $4.945 \times 10^{-10}$ m.
(B) The first minimum of the diffraction pattern on a screen far away from the slit occurs at an angle $\theta$ given by $\sin\theta = \lambda/a$ .
(C) The phase velocity of the neutron wave is greater than the speed of particles.
(D) The group velocity of the neutron wave packet is equal to the speed of the particles.
(E) The uncertainty in the neutron's transverse momentum due to the slit is approximately $6.63 \times 10^{-28}$ kg·m/s.

Accepted Answer

核心觀念 - 德布羅意關係：$\lambda = \dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m v}$。 - 單狹縫繞射：第一暗紋位置滿足 $a\sin	heta=\lambda$。 - 非相對論自由粒子的色散關係：$E=\dfrac{p^2}{2m}$，$\omega=\dfrac{\hbar k^2}{2m}$。相速度 $vp=\dfrac{\omega}{k}=\dfrac{\hbar k}{2m}=\dfrac{v}{2}$；群速度 $vg=\dfrac{d\omega}{dk}=\dfrac{\hbar k}{m}=v$。 - 海森堡不確定性關係：$\Delta y\,\Delta py\ge\dfrac{\hbar}{2}$，以狹縫寬度 $a$ 作為位置不確定度時，橫向動量不確定度的量級為 $\hbar/a$。 解題方法 德布羅意波長。 動量 $p=mn v=1.675	imes10^{-27}	imes800=1.34	imes10^{-24}$ kg·m/s， $$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6.626	imes10^{-34}}{1.34	imes10^{-24}}=4.945	imes10^{-10}\ 	ext{m}$$ 繞射。 單狹縫繞射的第一個暗紋條件為 $a\sin	heta=\lambda$，即 $\sin	heta=\lambda/a=4.945	imes10^{-4}$，繞射角很小。 相速度與群速度。 自由粒子 $\omega=\hbar k^2/2m$，所以相速度只有粒子速度的一半，群速度等於粒子速度；波包的移動速度就是粒子的速度。 橫向動量不確定度。 以 $\Delta y\approx a=1.0\ \mu	ext{m}$ 代入不確定性關係：

Question 18

Which of the following statements are correct?
(A) In the classical limit, high temperature or low density, both Bose-Einstein and Fermi-Dirac statistics approach the Maxwell-Boltzmann distribution.
(B) Helium-4 atoms obey Fermi-Dirac statistics.
(C) Photons obey Bose-Einstein statistics and have a chemical potential equal to zero.
(D) Bose-Einstein statistics are commonly used to describe phonons in semiconductors because phonons are integer-spin quasiparticles and their number is not conserved.
(E) In heavily doped semiconductors, if the carrier concentration approaches or exceeds the effective density of states, electrons or holes can no longer be described by Maxwell-Boltzmann statistics and must instead be treated using Fermi-Dirac statistics.

Accepted Answer

核心觀念 本題涵蓋五個近代物理核心觀念： - X 光晶體繞射的 Bragg 定律 - 經典與相對論 Doppler 效應 - 平面波的機率密度 - Compton 散射的波長改變 - 動量本徵態與不確定性原理 --- 解題方法與選項分析 (A) Bragg 繞射 Bragg 定律為 $$ n\lambda=2d\sin	heta $$ 其中 $n$ 為繞射階數，$\lambda$ 為 X 光波長，$d$ 為晶格平面間距，$	heta$ 為入射光與晶面所夾的角度。 題目給定第一階繞射 $n=1$： $$ \sin	heta=\frac{\lambda}{2d} =\frac{0.154}{2(0.5)} =0.154 $$ 因此 $$ 	heta=\sin^{-1}(0.154)\approx 8.85^\circ $$ 並非約 $18^\circ$，所以 $$ \boxed{(A)	ext{ 錯誤}} $$ --- (B) 經典與相對論 Doppler 位移的辨識 星體朝向地球運動，速度為 $$ v=6	imes 10^6\ 	ext{m/s} $$ 光速取 $$ c=3	imes 10^8\ 	ext{m/s} $$ 因此 $$ \beta=\frac{v}{c}=0.02 $$ 經典 Doppler 效應 對於光源朝向觀察者運動，經典近似為 $$ \lambda{	ext{cl}}=\lambda0(1-\beta) $$ 代入 $\lambda0=500\ 	ext{nm}$： $$ \lambda{	ext{cl}}=500(1-0.02)=490\ 	ext{nm} $$ 相對論 Doppler 效應 相對論公式為 $$ \lambda{	ext{rel}} =\lambda0\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} $$ 因此 $$ \lambda{	ext{rel}} =500\sqrt{\frac{0.98}{1.02}} \approx 490.29\ 	ext{nm} $$ 兩者差異為 $$ \Delta\lambda =\lambda{	ext{rel}}-\lambda{	ext{cl}} \approx 490.29-490 =0.29\ 	ext{nm} $$ 儀器的偵測極限為 $0.5\ 	ext{nm}$，而 $$ 0.29\ 	ext{nm}<0.5\ 	ext{nm} $$ 所以無法分辨兩種 Doppler 位移的差異。因此 $$ \boxed{(B)	ext{ 錯誤}} $$ --- (C) 平面波的機率密度 波函數為 $$ \psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)} $$ 機率密度定義為

Question 19

Consider 2 quantum, spin-1/2, non-interacting electrons in a 1D box. Let the box width = L. Let n = quantum number of the one-electron energy eigenstate with, for example, n = 0 for the ground state, n = 1 for the 1st excited state, and so on. Denote the two-electron state by $(n_1, n_2)$ , where $n_1$ and $n_2$ are the quantum numbers of the one-electron states occupied. Which of the following statements are correct, regarding the two-electron state?
(A) The ground state is given by $(n_1 = 0, n_2 = 0)$ .
(B) The first excited state is given by $(n_1 = 0, n_2 = 1)$ .
(C) The two spins in the state $(n_1 = 0, n_2 = 0)$ are anti-parallel.
(D) The two spins in the state $(n_1 = 0, n_2 = 1)$ can be either parallel or anti-parallel.
(E) The two spins in the state $(n_1 = 1, n_2 = 1)$ can be either parallel or anti-parallel.

Accepted Answer

核心觀念 一維箱中單電子的能量與量子數的關係為 $En \propto (n+1)^2$（題目以 $n=0$ 為基態，故 $n+1$ 為通常的能階序號）。兩個電子的總波函數必須是反對稱的（費米子），因此： - 若兩電子佔據同一個空間軌域（$n1 = n2$），空間部分為對稱，自旋部分必須為反對稱，即單態、自旋反平行。 - 若兩電子佔據不同的空間軌域（$n1 
e n2$），空間部分可以對稱或反對稱，分別對應自旋單態（反平行）或三重態（平行），兩者皆允許。 解題方法 兩電子狀態的能量為 $E{n1 n2} = E0\left[(n1+1)^2 + (n2+1)^2ight]$，其中 $E0$ 為單位能量。 - $(0,0)$：$2E0$（基態） - $(0,1)$：$5E0$（最低的高於基態的狀態） - $(1,1)$：$8E0$ - $(0,2)$：$10E0$

Question 20

Which of the following statements are wrong, for a particle totally confined in a 1D asymmetric, piecewise constant potential V(x).
(A) The ground state wave function is even in parity.
(B) The probability vanishes at infinity.
(C) The first excited state wave function is odd in parity.
(D) The quantization leads to discrete energy levels.
(E) The ground state is non-degenerate.

Accepted Answer

解題要點 1. 只要勢能 $V(x)$ 不是偶函數，系統不具空間反射對稱 ($x	o -x$)，因此哈密頓不與 parity 交換。 ⇒ 本徵態不必是奇或偶函數，僅在對稱勢能時才會分為偶/奇。 2. 「完全束縛」意指能量 $E<V(\pm\infty)$。在一維束縛態下，波函數在 $x	o\pm\infty$ 必指數衰減，$|\psi(x)|^{2}	o0$。 ⇒ 機率密度在無限遠處必為零。

115 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》

第 1 題

核心觀念

解題方法

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

核心觀念

解題方法

(A) InP

(B) GaP

(C) GaAs

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 11 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）正確

（B）錯誤

（C）錯誤

第 12 題

第 13 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 錯誤

(B) 錯誤

(C) 正確

第 14 題

第 15 題

核心觀念

解題方法

第一步：求總軌道角動量 LLL

第二步：求總自旋角動量 SSS

第三步：求總角動量 JJJ

選項分析

（A）The possible TOTAL angular momentum quantum number lll can be 1

第 16 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 17 題

核心觀念

解題方法

第 18 題

核心觀念

解題方法與選項分析

(A) Bragg 繞射

(B) 經典與相對論 Doppler 位移的辨識

經典 Doppler 效應

相對論 Doppler 效應

(C) 平面波的機率密度

第 19 題

核心觀念

解題方法

第 20 題

其他考古題

115 年臺灣聯合大學系統的其他科目

臺灣聯合大學系統《近代物理》其他年度

其他學校的電機系考古題

115 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》

第一步：求總軌道角動量 $L$

第二步：求總自旋角動量 $S$

第三步：求總角動量 $J$

（A）The possible TOTAL angular momentum quantum number $l$ can be 1