115 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電子學》

核心觀念

PN 接面在熱平衡下的內建電位差為

其中：

• $N_A$：P 型半導體受體濃度
• $N_D$：N 型半導體施體濃度
• $n_i$：矽的本質電子數密度
• $V_T$：熱電壓

題目將 $N_A$ 與 $N_D$ 同時增加為原來的 $2$ 倍，且溫度維持 $300\text{ K}$，因此 $V_T$ 與 $n_i$ 不變。

解題方法

原本的內建電位為

摻雜濃度變為

新的內建電位差為

代入新的濃度：

利用對數公式 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$：

核心觀念

此電路是由串聯電阻 $R_1$ 限流，並利用順向二極體 $D_1$ 與齊納二極體 $D_2$ 串聯產生穩定輸出電壓。

輸入電壓變動時，輸出電壓的變化由三個小訊號電阻共同決定：

• $R_1=100\ \Omega$
• $D_1$ 的小訊號電阻 $r_{d1}$
• $D_2$ 的齊納小訊號阻抗 $r_z=10\ \Omega$

輸入電源電壓調整率定義為

解題方法

1. 求二極體的直流工作電流

額定輸入電壓為 $5\text{ V}$，串聯元件上的電壓為

因此二極體電流為

2. 求順向二極體的小訊號電阻

假設二極體理想因子 $n=1$，順向二極體的小訊號電阻為

3. 建立小訊號等效電路

核心觀念

本題要求的是直流工作點，因此：

• 輸入弦波的直流電位為 $0\text{ V}$。
• 耦合電容在直流分析時視為開路。
• $\beta=\infty$，所以基極電流 $I_B=0$，且
  $I_E \approx I_C=0.2\text{ mA}.$
• 已知
  $V_{BE}=0.7\text{ V}.$

輸入訊號振幅 $20\text{ mV}$ 與輸出阻抗 $R_s=5\text{ k}\Omega$ 只影響交流訊號，不影響本題的直流偏壓。

解題方法

直流時，$V_{in}$ 為 $0\text{ V}$，且因為 $I_B=0$，$R_s$ 上沒有直流壓降，因此

由基極—射極電壓：

所以射極電壓為

射極電阻 $R_E$ 下端接至 $-3\text{ V}$，因此其兩端電壓為

核心觀念

1. MOSFET 閘極特性：
   在直流穩態下，MOSFET 的閘極氧化層視為理想絕緣體，閘極端電流為零（$I_G = 0$）。因此，理想電流源所提供的電流 $I_D$ 會全數流經電阻 $R_D$ 進入汲極端。

2. 飽和區邊緣（Edge of Saturation, EOS）條件：
   NMOS 操作於飽和區邊緣時，汲極-源極電壓 $V_{DS}$ 恰好等於過驅電壓（Overdrive Voltage）$V_{ov}$：
   $V_{DS} = V_{DS,\text{sat}} = V_{GS} - V_{tn} = V_{ov}$
   將 $V_{DS} = V_D - V_S$ 與 $V_{GS} = V_G - V_S$ 代入，可推導出閘極與汲極電位差之關係：
   $V_{GD} = V_G - V_D = V_{tn}$

3. 飽和區電流公式（忽略通道長度調變 $\lambda = 0$）：
   $I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \left(\frac{W}{L}\right) (V_{GS} - V_{tn})^2 = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \left(\frac{W}{L}\right) V_{ov}^2$

解題方法

1. 分析節點電位關係並求臨界電壓 $V_{tn}$：

   • 由於 $I_G = 0$，電流源 $I_D = 150 \text{ µA}$ 全數流經電阻 $R_D = 3 \text{ k}\Omega$。
   • 電阻 $R_D$ 兩端的電位降為：
     $V_G - V_D = I_D \times R_D = (150 \times 10^{-6} \text{ A}) \times (3 \times 10^3\ \Omega) = 0.45 \text{ V}$
   • 電晶體偏壓於飽和區邊緣，滿足 $V_G - V_D = V_{tn}$，因此可求得臨界電壓：
     $V_{tn} = 0.45 \text{ V}$

2. 計算製程轉導參數與過驅電壓 $V_{ov}$：

   • 計算電晶體轉導常數：
     $k_n = \mu_n C_{ox} \left(\frac{W}{L}\right) = 100 \text{ µA/V}^2 \times \left(\frac{3 \text{ µm}}{1 \text{ µm}}\right) = 300 \text{ µA/V}^2$
   • 代入飽和區電流方程式：
     $I_D = \frac{1}{2} k_n V_{ov}^2$
     $150 \text{ µA} = \frac{1}{2} \times 300 \text{ µA/V}^2 \times V_{ov}^2$
     $V_{ov}^2 = 1 \text{ V}^2 \implies V_{ov} = 1.00 \text{ V}$

3. 計算閘極電壓 $V_G$：

   • 源極接地，$V_S = 0 \text{ V}$，因此 $V_G = V_{GS}$。
   • 閘極電壓為臨界電壓加上過驅電壓：
     $V_G = V_{GS} = V_{tn} + V_{ov} = 0.45 \text{ V} + 1.00 \text{ V} = 1.45 \text{ V}$

解題技巧

• 速解口訣：當 NMOS 的閘極與汲極之間跨接電阻 $R_D$，且工作在飽和區邊緣時，電阻上的直流壓降恰好等於臨界電壓（$V_{tn} = I_D R_D$）。看到題型可直接由 $I_D R_D = 0.45\text{ V}$ 快速定出 $V_{tn}$。
• 快速驗算：
  • $V_G = 1.45 \text{ V}$
  • $V_D = V_G - I_D R_D = 1.45 \text{ V} - 0.45 \text{ V} = 1.00 \text{ V}$
  • $V_{DS} = 1.00 \text{ V}$，剛好等於 $V_{ov} = V_{GS} - V_{tn} = 1.45 \text{ V} - 0.45 \text{ V} = 1.00 \text{ V}$，確認完美落在飽和區邊界。

核心觀念

本題考查 MOSFET 共閘極放大器（Common-Gate, CG Amplifier） 的直流偏壓分析與小訊號電壓增益計算。

1. MOSFET 飽和區電流公式（忽略通道長度調變效應 $\lambda = 0$）：
   $I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \left(\frac{W}{L}\right) V_{OV}^2 = \frac{1}{2} k_n V_{OV}^2$
   其中過驅電壓 $V_{OV} = V_{GS} - V_{tn}$，轉導參數 $k_n = \mu_n C_{ox} \left(\frac{W}{L}\right)$。

2. 小訊號轉導（Transconductance, $g_m$）：
   $g_m = \frac{2 I_D}{V_{OV}} = \sqrt{2 k_n I_D} = k_n V_{OV}$

3. 共閘極放大器的小訊號特性（忽略基體效應與 $r_o$）：

   • 從源極（Source）看入的輸入阻抗：$R_{in} = \frac{1}{g_m}$
   • 汲極（Drain）負載電阻：$R_D$
   • 訊號由源極輸入時的源極小訊號電壓：
     $v_s = v_{sig} \cdot \frac{R_{in}}{R_{sig} + R_{in}} = v_{sig} \cdot \frac{\frac{1}{g_m}}{R_{sig} + \frac{1}{g_m}}$
   • 汲極小訊號輸出電壓：
     $v_o = g_m v_s R_D$
   • 整體電壓增益（同相放大）：
     $\frac{v_o}{v_{sig}} = \frac{g_m R_D}{1 + g_m R_{sig}} = \frac{R_D}{R_{sig} + \frac{1}{g_m}}$

解題方法

步驟一：直流偏壓分析（求 $g_m$）

由電路圖可知：

• 源極接至理想直流電流源 $I_{BIAS} = 0.2\text{ mA}$，因此電晶體汲極直流電流為：
  $I_D = 0.2\text{ mA}$
• 電晶體製程與尺寸參數：
  $k_n = \mu_n C_{ox} \left(\frac{W}{L}\right) = 400\ \mu\text{A/V}^2 \times \frac{25\ \mu\text{m}}{1\ \mu\text{m}} = 10{,}000\ \mu\text{A/V}^2 = 10\text{ mA/V}^2$
• 由飽和區電流公式求過驅電壓 $V_{OV}$：
  $I_D = \frac{1}{2} k_n V_{OV}^2 \implies 0.2\text{ mA} = \frac{1}{2} \times 10\text{ mA/V}^2 \times V_{OV}^2$
  $V_{OV}^2 = \frac{0.2}{5} = 0.04\text{ V}^2 \implies V_{OV} = 0.2\text{ V}$
• 計算電晶體轉導 $g_m$：

核心觀念

本題考查 MOSFET 共源極放大器（Common-Source Amplifier）具源極退化電阻（Source Degeneration）與主動式負載（Active Load）之小訊號電壓增益推導。

涉及的重要觀念與公式包括：

1. 飽和區轉導（Transconductance, $g_m$）公式：
   不考慮通道長度調變效應時，MOSFET 處於飽和區之轉導為：
   $g_m = \sqrt{2\mu_n C_{ox}\left(\frac{W}{L}\right)I_D}$
   在串聯直流偏壓電流相同（$I_{D1} = I_{D2} = I_{D3} = I_D$）且通道長度相同（$L_1 = L_2 = L_3 = 1\text{ µm}$）的情況下，各電晶體的轉導與寬長比平方根成正比：
   $g_m \propto \sqrt{\frac{W}{L}} \propto \sqrt{W}$
2. 二極體連接型（Diode-Connected）MOSFET 之小訊號阻抗：
   • 不考慮通道長度調變效應（$r_o \to \infty$）與基體效應（Body Effect, $\eta = 0$）時，由閘-汲相接之汲極或源極看入之等效小訊號阻抗皆為 $1/g_m$。
   • $M_3$ 為二極體連接之主動負載，連接在汲極輸出端 $V_o$ 與電源 $V_{DD}$ 之間，其等效負載阻抗為 $R_D = \frac{1}{g_{m3}}$。
   • $M_1$ 為二極體連接之退化負載，連接在 $M_2$ 源極與接地端之間，其等效源極退化阻抗為 $R_S = \frac{1}{g_{m1}}$。
3. 具源極退化之共源極放大器小訊號電壓增益：
   $A_v = \frac{v_o}{v_i} = -\frac{R_{\text{out,drain}}}{\frac{1}{g_{m2}} + R_S} = -\frac{\frac{1}{g_{m3}}}{\frac{1}{g_{m2}} + \frac{1}{g_{m1}}}$

解題方法

步驟一：分析電路架構與各電晶體之小訊號等效阻抗

1. 直流偏壓條件：
   $M_3$、$M_2$、$M_1$ 串聯於 $V_{DD}$ 與接地之間，流入三顆電晶體的直流電流完全相同：
   $I_{D1} = I_{D2} = I_{D3} = I_D$

2. 計算各電晶體的轉導比值：
   已知：

   • $\left(\frac{W}{L}\right)_1 = \frac{18\text{ µm}}{1\text{ µm}} = 18$
   • $\left(\frac{W}{L}\right)_2 = \frac{72\text{ µm}}{1\text{ µm}} = 72$
   • $\left(\frac{W}{L}\right)_3 = \frac{2\text{ µm}}{1\text{ µm}} = 2$

   令基準轉導係數 $g_0 = \sqrt{2\mu_n C_{ox}\left(\frac{1}{1}\right)I_D}$，則各電晶體之轉導分別為：
   $g_{m1} = \sqrt{18}\,g_0 = 3\sqrt{2}\,g_0$
   $g_{m2} = \sqrt{72}\,g_0 = 6\sqrt{2}\,g_0$
   $g_{m3} = \sqrt{2}\,g_0$

3. 各端點等效阻抗：

   • 負載電阻（由輸出端 $V_o$ 往 $M_3$ 看入）：
     $R_D = \frac{1}{g_{m3}} = \frac{1}{\sqrt{2}\,g_0}$
   • 源極退化電阻（由 $M_2$ 源極往 $M_1$ 看入）：
     $R_S = \frac{1}{g_{m1}} = \frac{1}{3\sqrt{2}\,g_0}$

核心觀念

本題先用直流偏壓求出工作點，再以小訊號等效電路求電壓增益。閘極偏壓由 $R_G$ 接地決定；中頻時 $C_{C1}$、$C_{C2}$ 視為短路。忽略通道長度調變時，飽和區電流與跨導為

其中 $V_{OV}=V_{GS}-V_{TH}$。

解題方法

圖中是 NMOS 共源級：汲極經 $R_D=12\,\text{k}\Omega$ 接至 $2.5\,\text{V}$，源極經 $R_S=1.5\,\text{k}\Omega$ 接至 $-1\,\text{V}$；閘極經 $R_G=50\,\Omega$ 接地，訊號源內阻 $R_{\mathrm{sig}}=50\,\Omega$。輸出從汲極經 $C_{C2}$ 耦合取得。

直流分析時，耦合電容開路，閘極電壓為 $V_G=0$。令電流以毫安培為單位，則

由題目給定參數，

代入飽和區電流式：

解得 $I_D=0.2\,\text{mA}$ 或 $0.556\,\text{mA}$；後者會使 $V_{OV}=0.5-1.5I_D<0$，不符合導通條件，因此取

核心觀念

圖 8 中，$M_1$、$M_2$ 都是二極體接法的 PMOS：$M_1$ 的閘極與汲極接在 $V_A$，$M_2$ 的閘極與汲極接在 $V_B$。兩管串聯，電流源設定電流為 $0.5\,\mathrm{mA}$，所以兩管的汲極電流相同。

二極體接法的 MOS 在導通時工作於飽和區。忽略通道長度調變時，PMOS 電流大小為

解題方法

由圖讀得 $V_{DD}=5\,\mathrm{V}$，電流源吸取 $0.5\,\mathrm{mA}$；$M_1$ 的源極接 $V_{DD}$、閘汲極接 $V_A$，$M_2$ 的源極接 $V_A$、閘汲極接 $V_B$。因此分別求出兩管的 $V_{SG}$，再由串聯電壓關係求 $V_B$。

對 $M_1$，$\left(W/L\right)_1=10$：

核心觀念

差動模式下，兩側電路對稱，理想尾電流源的小訊號電流為零，因此共用射極節點是交流虛地。每一側的基極輸入電阻為 $r_{\pi}+(\beta+1)R_E$；兩側基極之間的差動輸入電阻是這個值的兩倍。

解題方法

圖中 $Q_1、Q_2$ 的射極各接 $R_E=0.4\,\mathrm{k\Omega}$，再連到由 $1\,\mathrm{mA}$ 電流源提供偏壓的共用節點；兩個基極由差動訊號經各自的 $R_S=5\,\mathrm{k\Omega}$ 驅動，$R_{\mathrm{id}}$ 是兩個基極之間的輸入電阻。每側集極接 $R_C=10\,\mathrm{k\Omega}$ 至 $+15\,\mathrm{V}$，且忽略 $r_o$。

靜態時兩側對稱，尾電流平均分配，因此每側射極電流為

每側集極電流為

所以

核心觀念

交叉耦合電晶體對的小訊號輸入阻抗，要同時考慮電晶體的集極小訊號電流 $g_m v_{be}$ 與基極電流 $v_{be}/r_{\pi}$。交叉耦合會使集極電流對差動輸入呈現負電導，因此算出的輸入阻抗為負值。

解題方法

圖 10 中，兩個相同的 NPN 電晶體發射極接地；$Q_1$ 的集極接到 $Q_2$ 的基極，$Q_2$ 的集極接到 $Q_1$ 的基極。輸入端跨接兩個集極，且每管的集極電流為 $0.5\,\mathrm{mA}$。令左、右集極電壓分別為 $v_1$、$v_2$，差動電壓為 $v_d=v_1-v_2$。

小訊號參數為

在左側輸入端，電流包含 $Q_1$ 的集極電流與 $Q_2$ 的基極電流。由交叉連接關係，$Q_1$ 的基極電壓為 $v_2$，而 $Q_2$ 的基極電壓為 $v_1$，因此

核心觀念

這題考共源級的頻率響應。忽略通道長度調變與寄生電容後，電晶體以跨導 $g_{m1}$ 的受控電流源表示；源極與汲極的電阻、電容各自形成頻率相關阻抗，並在傳遞函數中形成極點與零點。

解題方法

圖 11 中，$M_1$ 的閘極接 $V_{\mathrm{in}}$；汲極接 $V_{\mathrm{out}}$，並經 $R_2$、$C_2$ 並聯接至 $V_{DD}$；源極則經 $R_1$、$C_1$ 並聯接地。小訊號分析時，$V_{DD}$ 視為交流接地。

源極阻抗與汲極負載分別為

源極退化使電晶體電流為

因此電壓增益為

由分母可讀出兩個極點：

代入題目數值：

核心觀念

本題考查差動放大器的直流共模輸入範圍，以及有限輸出電阻電流鏡的 Early 效應。最高共模輸入由先進入飽和區的電晶體決定；題目給定 $|V_{\mathrm{CEsat}}|=0.3\,\mathrm{V}$，因此以 $V_{\mathrm{CE}}=0.3\,\mathrm{V}$ 作為主動區邊界。

解題方法

由圖可讀出：$Q_1、Q_2$ 為第一級差動對，集極分別接 $R_1、R_2$，並驅動 $Q_3、Q_4$；$Q_6、Q_5$ 分別為兩級的尾電流源，$Q_7$ 與 $Q_0、R_0$ 建立電流鏡參考。電源為 $V_{\mathrm{CC}}=17\,\mathrm{V}$，$R_0=30\,\mathrm{k\Omega}$，$R_1=R_2=20\,\mathrm{k\Omega}$，且 $Q_1\sim Q_4$ 的 $\beta=100$。

先由參考支路求 $Q_7$ 電流：

$Q_5、Q_6、Q_7$ 的 $V_A=130\,\mathrm{V}$，且 $Q_7$ 的 $V_{\mathrm{CE7}}=0.7\,\mathrm{V}$。因此，任一鏡像管的集極電流為

令 $V_1$ 為 $Q_1$ 的集極電壓。兩輸入相同時，兩級差動對各自平均分流。$Q_1、Q_2$ 的集極電流須使用 $\alpha=\beta/(\beta+1)=100/101$，而 $Q_3$ 的基極電流也會由 $R_1$ 支路供應。當 $Q_1$ 恰達飽和邊界時，

核心觀念

判斷 BJT 維持主動區時的最低集極電壓，要讓集極—射極電壓不低於飽和電壓：

本題輸出端是 $Q_4$ 的集極，因此最低輸出電壓由 $Q_4$ 進入飽和的邊界決定。

解題方法

圖中偏壓支路由 $V_{\mathrm{CC}}$ 經 $Q_0$、$R_0$、$Q_7$ 接至地，產生電流鏡偏壓；$Q_1$、$Q_2$ 共用一個尾電流，$Q_3$、$Q_4$ 共用另一個尾電流。$Q_4$ 基極接在 $V_2$，其集極接輸出 $V_o$。依直流電流鏡近似，尾電流為

輸入平衡時，各差動對的支路電流平均分配，支路射極電流各為 $0.26\,\mathrm{mA}$。對 $\beta=100$ 的 $Q_1$ 至 $Q_4$，令 $\alpha=\beta/(\beta+1)$，則集極電流為

核心觀念

本題要先求兩級差動對的直流工作電流，再用小訊號模型計算單端差動增益。差動對在平衡時，每支電晶體約分得一半尾電流；其跨導為 $g_m=I_C/V_T$，有限電流增益則須以 $r_\pi=\beta/g_m$ 計入第一級集極的負載。

解題方法

圖中 $Q_1、Q_2$ 共用 $Q_6$ 尾電流，集極分別接 $R_1、R_2$；$Q_3、Q_4$ 共用 $Q_5$ 尾電流，集極分別接 $R_3、R_4$，輸出取自 $Q_4$ 集極。第一級的 $V_1、V_2$ 分別驅動第二級的 $Q_3、Q_4$ 基極。偏壓支路由 $Q_0、R_0、Q_7$ 設定，$Q_5、Q_6$ 依 $Q_7$ 電流鏡射。

直流共模輸入為 $6\,\mathrm V$，先用 $|V_{\mathrm{BEon}}|=0.7\,\mathrm V$ 求尾端電壓。偏壓支路電流為

考慮 $Q_5、Q_6、Q_7$ 的 Early 效應，鏡射電流以 $Q_7$ 為基準：

第一級發射極約為 $6-0.7=5.3\,\mathrm V$，因此 $I_6\approx0.5383\,\mathrm{mA}$。由 $\beta=100$，每支第一級電晶體的集極電流為

第一級集極節點也供應第二級的基極電流。將 $Q_5$ 的 Early 效應與此基極電流一併計入，得到平衡工作點約為

所以第二級基極的小訊號輸入電阻為

核心觀念

此題考查兩級 BJT 差動對的共模增益。理想尾電流源不會讓差動對的共模輸入造成集極電流變化；但 $Q_5$、$Q_6$ 有限的 Early 電壓使尾電流隨集極電壓改變，因此每級都會產生小的共模增益。

解題方法

圖中 $Q_1$、$Q_2$ 的集極分別接 $R_1$、$R_2$，輸出節點為 $V_1$、$V_2$；兩節點再分別驅動第二級 $Q_3$、$Q_4$。第二級集極分別接 $R_3$、$R_4$，$V_o$ 取自 $Q_4$ 集極。兩級差動對的尾電流源分別為 $Q_6$、$Q_5$，其有限 Early 電壓會使共模輸入轉成尾電流變化。

對等電阻負載的差動對，若尾電流變化平均分到兩支晶體管，每支的集極電流變化量為 $\Delta i_C$，集極電壓變化為 $-\!R_C\Delta i_C$。依本題偏壓工作點，兩級每支集極電流對共模電壓的變化率為

第一級的共模電壓增益為

核心觀念

單級 CMOS 運算放大器以轉導 $G_M$ 驅動輸出電阻 $R_O$ 與負載電容 $C_L$，可視為單極點開迴路放大器。其低頻增益為 $A_0=G_MR_O$，輸出極點角頻率為 $\omega_p=1/(R_OC_L)$。

解題方法

圖 17.1 是單端輸出、單級 CMOS 運算放大器，輸出端接 $2\,\mathrm{pF}$ 電容。題目給定 $G_M=0.5\,\mathrm{mA/V}$、$R_O=200\,\mathrm{k\Omega}$，低頻增益為

也就是 $40\,\mathrm{dB}$，與題目所給增益一致。單極點模型的開迴路增益大小為

核心觀念

圖 17.2 是以運算放大器接成電壓追隨器，輸出端直接回授至反相輸入端，故回授因子 $\beta=1$。負回授會降低輸出端的小信號輸出電阻：