115 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電路學》

核心觀念

本題考查理想運算放大器的負回授分析，以及電阻分壓。理想運算放大器在負回授下有 $V_-=V_+$，且輸入端電流為零。

解題方法

先求非反相端電壓。由 $R_3$、$R_4$ 組成分壓器：

因此 $V_-=V_+$。在反相端套用 KCL：

整理得：

代入 $V_-=V_+$：

與題目給定的 $V_o=-k_1V_1+k_2V_2$ 比較，可得：

代入數值

核心觀念

線性電路可用重疊定理求輸出：每次只保留一個獨立源，將其他獨立電壓源短路、獨立電流源開路；最後將各來源造成的輸出電壓代數相加。

本題以圖中 $V_o$ 上端為正端，計算兩個來源各自對 $V_o$ 的貢獻。

解題方法

一、只保留 $8\text{ V}$ 電壓源

將 $3\text{ mA}$ 電流源開路。從節點 $V_1$ 經 $2\,\text{k}\Omega$ 向右看，接地路徑為兩個 $3\,\text{k}\Omega$ 串聯，因此該支路總電阻為 $8\,\text{k}\Omega$。節點 $V_1$ 對地等效電阻為

由分壓得

流經右側 $2\,\text{k}\Omega$ 與兩個 $3\,\text{k}\Omega$ 串聯支路的電流為

$V_o$ 是右側兩個相等的 $3\,\text{k}\Omega$ 電阻中，接地電阻上的電壓，因此

核心觀念

利用電容電壓與電感電流的連續性決定初始條件，再以節點方程和電感伏秒關係建立微分方程。圖中開關在 $t=0$ 時使左側接地開關斷開、右側 $15\text{ V}$ 電源接通；以下令 $t\geq 0$。

解題方法

在 $t<0$，左側開關接通，將電容兩端短路；右側開關斷開。電路已達直流穩態，因此

其中 $i_L$ 定義為由 $v_1$ 節點流向 $v_2$ 節點的電感電流。由電容電壓、電感電流連續：

$t=0^+$ 時，$v_2$ 節點沒有電容，電壓可立即改變。對該節點套用 KCL：

代入 $i_L(0^+)=0$，得

對 $v_1$ 節點套用 KCL，電容值為 $1\text{ F}$：

而 $v_2$ 節點方程可寫成 $i_L=\frac{2}{5}v_2-1$，所以

電感值為 $1\text{ H}$，依被動符號約定：

核心觀念

電容電壓與電感電流不能瞬間改變，因此：

切換後達到直流穩態時，電容視為開路、電感視為短路。

解題方法

切換前左側開關將 $v_1$ 節點短路至地，因此 $v_1(0^-)=0$。由電容電壓連續性：

切換前電路已達穩態，電感兩端電壓為零；右側電阻支路沒有電源接入，故 $i_L(0^-)=0$，由電感電流連續性得 $i_L(0^+)=0$。

在 $t=0^+$，右側開關接通 15 V 電源。由於電感電流瞬間仍為零，$v_2$ 節點的電流平衡為：

解得：

核心觀念

初值定理與終值定理可分別由拉氏轉換結果驗算電壓的切換瞬間值與穩態值：

依 Fig. 3，$t=0$ 時左側開關切換、右側 $15\text{ V}$ 電源接入。電容電壓不能突變，電感電流也不能突變；但 $v_2$ 是電阻上的電壓，可以在切換瞬間跳變。

解題方法

由前兩小題的電路模型，零初始電感電流下，兩個節點電壓的拉氏轉換為

用初值定理：

核心觀念

週期方波的第 $n$ 次諧波可寫成 $a_n\cos(n\theta)+b_n\sin(n\theta)$，其振幅為

因此，即使波形相對 $\theta=0$ 有相位位移，仍可由這對傅立葉係數求出諧波振幅。

解題方法

由 Fig. 4(a) 可讀出：波形週期為 $2\pi$，電平為 $+V$ 與 $-V$，各維持半個週期，也就是各 $\pi$。圖上波形在 $\theta=0$ 後才由 $-V$ 跳至 $+V$；上升沿的精確相位未標示，以下以 $\delta$ 表示。這個相位不影響諧波振幅。

令 $+\!V$ 出現在 $\delta<\theta<\delta+\pi$，並令 $-\!V$ 出現在 $\delta+\pi<\theta<\delta+2\pi$。使用傅立葉係數定義：

分別對正、負電平積分，可得

核心觀念

利用傅立葉級數求週期波形的諧波振幅。圖 (b) 中，正、負脈波的中心相隔 $\pi$，兩脈波間的零電壓區間寬度為 $\alpha$，因此每個脈波的寬度為

波形具有半波對稱性 $v(\theta+\pi)=-v(\theta)$，所以直流分量與所有偶次諧波皆為零。

解題方法

將座標原點平移至正脈波中心。座標平移不影響諧波振幅。此時正脈波位於 $-\tau/2\leq\theta\leq\tau/2$，負脈波位於 $\pi-\tau/2\leq\theta\leq\pi+\tau/2$。

由傅立葉係數定義，餘弦係數為

分別計算正、負脈波的積分：

核心觀念

• 單相交流負載的電功率以向量形式表示：
  $\mathbf{S}=P+jQ\quad\text{(單位：VA)}$

• 顯性功率 $P$ 與視在功率 $S$ 的關係：$P=S\cos\phi$（$\phi$ 為相位角）。

• 無功功率 $Q$ 與視在功率的關係：$Q=S\sin\phi$。

• 失效因數 (power factor, pf) 定義為 $\cos\phi$。pf 為 lagging 時表示感性（$Q>0$），為 leading 時表示容性（$Q<0$）。

• 已知 $S$ 與 pf，或已知 $P$ 與 pf，可分別求出 $Q$ 或 $S$。

• 三個負載並聯時，總功率為各負載功率的向量相加：

解題方法

1. 依題目給定的 視在功率、實功 或 無功 以及 功率因數，先分別求出每一負載的 $P$ 與 $Q$。
2. 計算時使用：
   • 若已知 $S$ 與 pf：$P=S\cdot\text{pf}$、$Q=S\sqrt{1-\text{pf}^{2}}$。
   • 若已知 $P$ 與 pf：$S=P/\text{pf}$、$Q=S\sqrt{1-\text{pf}^{2}}$。
   • 若已知 $S$ 與 $Q$：$P=\sqrt{S^{2}-Q^{2}}$。
3. 依據 lagging 或 leading 判斷 $Q$ 的正負號（感性為正，容性為負）。
4. 求得三個負載的 $P$ 與 $Q$ 後，以向量相加得到總 $P$ 與總 $Q$，最後算出總視在功率 $S_{\text{total}}$。

詳細計算

核心觀念

Δ 負載的每一支路直接跨接在線間，因此支路電壓等於相應的線電壓。先由 $I=V/Z$ 求出三支路電流，再在各線端套用 KCL，得到線電流。

以下採用電路學相量慣例，將題目給的 $339.4\text{ V}$ 視為線電壓有效值，並令 $V_{AB}$ 為參考相位。ABC 正相序下：

解題方法

依圖中支路電流方向，$I_{AB}$ 由 A 流向 B、$I_{BC}$ 由 B 流向 C、$I_{CA}$ 由 C 流向 A。各支路電流為：

核心觀念

本題考查反相 Buck-boost 轉換器在不連續導通模式（DCM）下的電感伏秒平衡。穩態時，電感一個開關週期內的電壓平均值為零：

圖中 $V_o$ 的正端標在下方、負端標在上方，因此 $V_o$ 表示輸出電壓的正值大小。

解題方法

一個開關週期分成三段：

1. 開關 $S_1$ 導通，占空比為 $d_1$。二極體截止，電感上端接至輸入電壓正端，因此 $v_L=V_i$。
2. 開關截止、二極體 $D_1$ 導通，占空比為 $d_2$。電感上端接至輸出負端，因此依圖示輸出極性，$v_L=-V_o$。

核心觀念

此電路由兩級升壓單元構成，兩級共用開關，且工作於連續導通模式。理想元件下，電感在一個週期內的平均電壓為零；二極體的電壓應力則由其截止時兩端的電位差決定。

解題方法

令第一級電容電壓為 $V_{C1}$，輸出電壓為 $V_o$。開關導通時間比例為 $d$，關斷時間比例為 $1-d$。

開關導通時，兩個電感分別充電；開關關斷時，$D_1$ 導通，第一級電感向 $C_1$ 傳能，$D_2$ 導通，第二級電感向輸出傳能。對兩個電感分別套用伏秒平衡：

解得：

核心觀念

電感在穩態下，每一個開關週期的平均電壓為零，也就是電感伏秒平衡：

圖 7 的電路以單一開關驅動兩級升壓。假設元件理想、電路工作於連續導通模式，分別對 $L_1$、$L_2$ 套用伏秒平衡，即可求出輸出電壓。

解題方法

令中間電容電壓為 $V_{C1}$。開關導通時間占週期 $d$，關斷時間占週期 $1-d$。

對第一個電感 $L_1$：

• 開關導通時，$L_1$ 充電，$v_{L1}=V_i$。
• 開關關斷時，$L_1$ 將能量送至中間電容，$v_{L1}=V_i-V_{C1}$。

因此，

整理得