114 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電路學》

本題考驗最大功率傳輸定理。最大功率傳輸定理指出，當負載阻抗是電源內部阻抗的共軛複數時，負載可獲得最大功率。

首先，我們需要找出電源的內部阻抗。題目中提到功率放大器的輸出阻抗為 $Z_{out} = 40 + j8 \Omega$。在最大功率傳輸的條件下，負載阻抗 $Z_L$ 必須是輸出阻抗的共軛複數，即 $Z_L = Z_{out}^* = 40 - j8 \Omega$。

然而，題目中提到「no-load output voltage of 146 V」，這表示當沒有接負載時，輸出電壓為 $146$ V。這個電壓是放大器在沒有負載情況下的開路電壓，我們可以將其視為一個理想電壓源 $V_{oc} = 146$ V 與輸出阻抗 $Z_{out} = 40 + j8 \Omega$ 所組成的戴維寧等效電路。

核心觀念

交流串聯電路的功率因數定義為

$$\mathrm{PF}=\cos\phi=\frac{R}{|Z|}$$

其中：

• $R$ 為電阻值；
• $|Z|$ 為電路阻抗的大小；
• $\phi$ 為總電壓與總電流的相位差。

由於電阻上的電壓與電流同相，因此也可利用

$$\mathrm{PF}=\frac{V_R}{V_T}$$

其中 $V_R$ 是電阻電壓，$V_T$ 是電路總電壓。

解題方法

已知總阻抗大小為

$$|Z|=5\,\text{k}\Omega=5000\,\Omega$$

總電流為

$$I=25\,\text{mA}=0.025\,\text{A}$$

依交流歐姆定律，電路總電壓大小為

$$V_T=I|Z|$$

代入數值：

$$V_T=(0.025)(5000)=125\,\text{V}$$

題目給定電阻兩端電壓為

$$V_R=100\,\text{V}$$

因此功率因數為

$$\mathrm{PF}=\frac{V_R}{V_T} =\frac{100}{125} =0.8$$

故本題依題目所給數據，功率因數為

$$\boxed{\mathrm{PF}=0.8}$$

選項分析

核心觀念

本題考查三相平衡負載的功率因數改善。電容器並聯於負載後，提供超前無效功率，以抵消原本感性負載的部分落後無效功率。

重要公式如下：

$$S^2=P^2+Q^2$$

其中：

• $P$：實功率
• $Q$：無效功率
• $S$：視在功率

目標功率因數為 $0.95$ lagging，因此補償後仍有少量感性無效功率：

$$Q=P\tan(\cos^{-1}0.95)$$

三相 wye 接法中，每相電容器的無效功率為：

$$Q_C=3\omega C V_{\phi}^2$$

又因為

$$V_{\phi}=\frac{V_L}{\sqrt{3}}$$

所以：

$$Q_C=3\omega C\left(\frac{V_L}{\sqrt{3}}\right)^2 =\omega C V_L^2$$

因此可直接使用線電壓 $V_L=440\text{ V}$ 計算每相電容值。

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解題方法

1. 求原負載的感性無效功率

題目給定：

$$P=51\text{ kW},\qquad S=60\text{ kVA}$$

因此原本的無效功率為：

$$Q_1=\sqrt{S^2-P^2}$$ $$Q_1=\sqrt{60^2-51^2} =\sqrt{999} =31.607\text{ kVAR}$$

此負載為感性負載，因此 $Q_1$ 為落後無效功率。

2. 求改善後的無效功率

目標功率因數為：

$$\text{pf}_2=0.95$$

因此：

$$\tan\phi_2 =\tan(\cos^{-1}0.95) =\frac{\sqrt{1-0.95^2}}{0.95} =0.328684$$

改善後的無效功率為：

$$Q_2=P\tan\phi_2$$ $$Q_2=51(0.328684) =16.763\text{ kVAR}$$

3. 求電容器應提供的無效功率

電容器提供超前無效功率，需抵消的無效功率為：

$$Q_C=Q_1-Q_2$$ $$Q_C=31.607-16.763 =14.844\text{ kVAR}$$

4. 求每相電容值

角頻率為：

$$\omega=2\pi f=2\pi(60) =376.991\text{ rad/s}$$

本題考驗三相功率的計算與能量守恆。我們需要根據發電機提供的視在功率、功率因數、負載消耗的實功率以及線損，來計算發電機本身的損失。

首先，我們計算發電機提供的總實功率 $P_{gen\_out}$。
發電機提供的視在功率 $S_{gen} = 3.6 \text{ kVA} = 3600 \text{ VA}$。
提供的功率因數 $PF_{gen} = 0.85$ lagging。
發電機提供的實功率 $P_{gen\_out} = S_{gen} \times PF_{gen} = 3600 \text{ VA} \times 0.85 = 3060 \text{ W}$。

這 $3060 \text{ W}$ 是發電機輸出的總實功率。這部分功率一部分被傳輸到負載，一部分在線路上損失，一部分在發電機內部損失。

已知傳輸到負載的實功率 $P_{load} = 2500 \text{ W}$。
線路上每相的損失是 $P_{line\_per\_phase} = 80 \text{ W}$。

本題考驗 Y 接與 Delta 接下，相同電阻值負載在相同線電壓下的功率吸收差異。

題目給定：
三相電源線電壓 $V_L = 110 \text{ V}$。
線路阻抗為零。
負載由三個 100-Ω 的電阻組成。
兩種連接方式：Y 接和 Delta 接。
需要比較哪種連接方式吸收的平均功率 (實功率) 較大。

情況一：Y 接 (Star Connection)
在 Y 接中，每個電阻連接在相線上，與中性點相連。
線電壓 $V_L = 110 \text{ V}$。
相電壓 $V_{phase} = V_L / \sqrt{3} = 110 / \sqrt{3} \text{ V}$。
每個電阻的阻抗 $R = 100 \Omega$。
流過每個電阻的電流 (相電流) $I_{phase} = V_{phase} / R = (110/\sqrt{3}) / 100 \text{ A}$。
在 Y 接中，線電流等於相電流，$I_L = I_{phase}$。
每個電阻消耗的功率 $P_R = I_{phase}^2 R = \left(\frac{110/\sqrt{3}}{100}\right)^2 \times 100 = \frac{110^2}{3 \times 100^2} \times 100 = \frac{12100}{300} = \frac{121}{3} \text{ W}$。
總平均功率 $P_{avg, Y} = 3 \times P_R = 3 \times \frac{121}{3} \text{ W} = 121 \text{ W}$。

另一種計算 Y 接總功率的方法：
$P_{avg, Y} = \frac{V_L^2}{R_{eq}}$，其中 $R_{eq}$ 是 Y 接的等效阻抗。

本題考驗兩埠網路的傳輸參數 (Transmission Parameters 或 T matrix) 以及理想變壓器的特性。題目要求找出左邊電路中的阻抗 $Z_i$ 與右邊電路中的阻抗 $Z_2$ 的關係，使得兩個電路的輸入輸出特性 (兩埠參數) 相同。

首先，我們定義傳輸參數矩陣。對於一個兩埠網路，其輸入電壓 $V_1$ 和輸入電流 $I_1$ 與輸出電壓 $V_2$ 和輸出電流 $I_2$ 的關係可以表示為：

$$\begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_2 \\ I_2 \end{bmatrix}$$

其中 $\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$ 就是傳輸參數矩陣。

對於圖 1 中的兩個電路，它們被要求具有相同的兩埠參數，也就是相同的傳輸參數矩陣。

我們來分析左邊的電路 (Circuit 1)。
它是一個理想變壓器 (匝數比 $a = N_1/N_2$) 與一個阻抗 $Z_i$ 串聯。
對於一個理想變壓器，其輸入輸出關係為：
$V_1 = a V_2$
$I_1 = I_2 / a$
其傳輸參數矩陣為：
$T_{transformer} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1/a \end{bmatrix}$。

現在，我們將這個變壓器與阻抗 $Z_i$ 串聯。
當一個兩埠網路的輸出端連接一個阻抗 $Z_L$ 時，其傳輸參數矩陣的計算方法是：

$$\begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix} = T_{network} \begin{bmatrix} V_2 \\ I_2 \end{bmatrix}$$

如果我們在網路輸出端接一個阻抗 $Z_L$，則 $V_2 = -I_2 Z_L$ (注意負號，因為 $I_2$ 通常定義為流入埠)。
所以，

$$\begin{bmatrix} V_1 \\ I_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -I_2 Z_L \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A(-I_2 Z_L) + B I_2 \\ C(-I_2 Z_L) + D I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -A Z_L + B \\ -C Z_L + D \end{bmatrix} I_2$$

這個表示法是將 $V_1$ 和 $I_1$ 表示為 $I_2$ 的函數。
然而，傳輸參數矩陣是將輸入表示為輸出的函數。

對於左邊的電路，它是由一個理想變壓器和串聯的 $Z_i$ 組成。
我們可以將理想變壓器視為一個兩埠網路，其傳輸矩陣為 $T_{transformer} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1/a \end{bmatrix}$。
然後，在變壓器的「輸入端」串聯一個阻抗 $Z_i$。
這相當於在變壓器的前面加一個阻抗。
對於串聯阻抗 $Z_s$ 的兩埠網路，其傳輸矩陣為 $\begin{bmatrix} 1 & Z_s \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。
所以，左邊電路的總傳輸矩陣 $T_L$ 是變壓器矩陣與串聯阻抗矩陣的乘積。
$T_L = T_{series}(Z_i) \times T_{transformer} = \begin{bmatrix} 1 & Z_i \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1/a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & Z_i/a \\ 0 & 1/a \end{bmatrix}$。
這裡我們假設 $Z_i$ 是連接在變壓器「一次側」與電源之間。

本題考驗理想整流電路輸出電壓的平均值計算，需要用到傅立葉級數的概念。雖然題目提到使用傅立葉級數，但對於理想半波或全波整流，可以直接計算其平均值，而無需展開完整的傅立葉級數。這裡我們將針對理想半波整流電路來計算平均值。

假設圖 2 中的整流電路是一個理想的半波整流電路，其中輸入電壓為 $v_s(t) = V_m \sin(\omega t)$。
在理想半波整流電路中，當輸入電壓 $v_s(t)$ 為正時，二極體導通，輸出電壓 $v_o(t)$ 等於輸入電壓 $v_s(t)$。
當輸入電壓 $v_s(t)$ 為負時，二極體截止，輸出電壓 $v_o(t)$ 為零。
因此，輸出電壓 $v_o(t)$ 的波形是：
$v_o(t) = V_m \sin(\omega t)$，當 $V_m \sin(\omega t) > 0$
$v_o(t) = 0$，當 $V_m \sin(\omega t) \le 0$

一個週期的輸出電壓 $v_o(t)$ 可以在 $0 \le t \le T$ 或 $0 \le \omega t \le 2\pi$ 的範圍內計算。
週期 $T = 2\pi/\omega$。
輸出電壓的平均值 $V_{dc}$ 定義為：

$$V_{dc} = \frac{1}{T} \int_0^T v_o(t) dt$$

在這個週期內，輸入電壓 $v_s(t) = V_m \sin(\omega t)$。
當 $0 \le \omega t \le \pi$ 時， $\sin(\omega t) \ge 0$，所以 $v_o(t) = V_m \sin(\omega t)$。
當 $\pi \le \omega t \le 2\pi$ 時， $\sin(\omega t) \le 0$，所以 $v_o(t) = 0$。

因此，積分範圍只在 $0$ 到 $\pi$ 之間。

$$V_{dc} = \frac{1}{T} \int_0^T v_o(t) dt = \frac{\omega}{2\pi} \int_0^{2\pi/\omega} v_o(t) dt$$

替換變數 $\tau = \omega t$，則 $dt = d\tau / \omega$。積分範圍從 $0$ 到 $2\pi$。

核心觀念

本題考查 Thevenin 等效電路與最大功率傳輸定理。

對負載 $R_L$ 而言，原電路可等效為：

• Thevenin 電壓 $V_{\mathrm{th}}$：負載開路時的端電壓。
• Thevenin 電阻 $R_{\mathrm{th}}$：關閉獨立源後，由負載端看入的等效電阻；含受控源時，必須保留受控源並使用測試源。

最大功率傳輸條件為：

$$R_L=R_{\mathrm{th}}$$

最大功率為：

$$P_{L,\max}=\frac{V_{\mathrm{th}}^2}{4R_{\mathrm{th}}}$$

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一、求 Thevenin 電壓 $V_{\mathrm{th}}$

先將 $R_L$ 開路。由於右端開路，受控電壓源支路沒有電流，因此 $3\text{ A}$ 電流源所提供的電流全部流經左側的 $2\Omega$ 與 $4\Omega$ 電阻。

設 $4\Omega$ 與 $2\Omega$ 中間節點電壓為 $V_x$，受控電壓源左端節點電壓為 $V_n$。

左側 $8\text{ V}$ 電壓源上端電壓為 $8\text{ V}$。

由 $3\text{ A}$ 電流由右向左流過兩個電阻：

$$V_x-8=(3)(4)=12$$

因此：

$$V_x=20\text{ V}$$

又有：

$$V_n-V_x=(3)(2)=6$$

所以：

$$V_n=26\text{ V}$$

圖中 $V_A$ 的極性為左負右正，因此：

$$V_A=V_x-8=20-8=12\text{ V}$$

受控電壓源的極性為右正左負，且電壓值為 $2V_A$，故：

$$V_{\mathrm{th}}=V_n+2V_A$$ $$V_{\mathrm{th}}=26+2(12)=50\text{ V}$$

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二、求 Thevenin 電阻 $R_{\mathrm{th}}$

關閉獨立源：

• $8\text{ V}$ 電壓源短路。
• $3\text{ A}$ 電流源開路。
• 受控電壓源必須保留。

核心觀念

本題為正弦穩態交流電路，採用相量法分析。令角頻率

$$\omega=10\ \text{rad/s}$$

各元件阻抗為

$$Z_R=R,\qquad Z_L=j\omega L,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}$$

輸入電壓相量為

$$\mathbf V=20\angle45^\circ\ \text{V}$$

輸出電壓 $v_o(t)$ 為左側節點對地電壓，也就是 $0.02\text{ F}$ 電容兩端電壓。

解題方法

先由右向左化簡 Fig. 4 的梯形網路。

右側 $2\Omega$ 電阻與 $0.05\text{ F}$ 電容串聯，其阻抗為

$$Z_{RC}=2+\frac{1}{j(10)(0.05)} =2-j2$$

中間的 $0.2\text{ H}$ 電感阻抗為

$$Z_L=j(10)(0.2)=j2$$

因此節點右側對地等效阻抗為

$$Z_B=j2\parallel(2-j2)$$ $$Z_B=\frac{(j2)(2-j2)}{j2+(2-j2)} =\frac{4+j4}{2} =2+j2$$

再加上節點 A 右方的 $1\Omega$ 電阻：

$$Z_{\text{右支路}}=1+Z_B=3+j2$$

節點 A 對地還連接 $0.02\text{ F}$ 電容，其阻抗為

$$Z_C=\frac{1}{j(10)(0.02)}=-j5$$

所以節點 A 對地的等效阻抗為

$$Z_A=(-j5)\parallel(3+j2)$$ $$Z_A=\frac{(-j5)(3+j2)}{-j5+3+j2} =\frac{10-j15}{3-j3} =\frac{25-j5}{6}\ \Omega$$

核心觀念

本題考查電感在穩態週期操作下的伏秒平衡（volt-second balance）。穩態時，電感電流每一週期回到原值，因此電感電壓的平均值為零：

$$\int_0^T v_L(t)\,dt=0$$

若開關週期為 $T$、導通時間為 $DT$、關斷時間為 $(1-D)T$，則

$$D\,v_{L,\mathrm{on}}+(1-D)\,v_{L,\mathrm{off}}=0$$

題目所附頁面未包含 Fig. 5，因此無法直接確認開關與電感的實際連接方式。以下依題目要求的目標轉換比，採用 Fig. 5 在兩個切換狀態下使電感電壓為

$$v_{L,\mathrm{on}}=V_i,\qquad v_{L,\mathrm{off}}=-2V_o$$

的合理電路假設作答。

解題方法

設電感電流在一個週期內連續，且電路進入穩態連續導通模式（CCM）。

開關導通時，持續時間為 $DT$，電感兩端電壓為

$$v_L=V_i$$

因此電感電流增加量為

$$\Delta i_{L,\mathrm{on}} =\frac{V_i}{L}DT$$

開關關斷時，持續時間為 $(1-D)T$，電感兩端電壓為

$$v_L=-2V_o$$

因此電感電流變化量為

$$\Delta i_{L,\mathrm{off}} =\frac{-2V_o}{L}(1-D)T$$

在穩態下，電感電流一週期的總變化量必須為零：

$$\Delta i_{L,\mathrm{on}}+\Delta i_{L,\mathrm{off}}=0$$

代入上式：

$$\frac{V_i}{L}DT -\frac{2V_o}{L}(1-D)T=0$$

消去 $L$ 與 $T$：

$$DV_i-2(1-D)V_o=0$$

整理得輸入至輸出電壓轉換比：

核心觀念

本題考連續導通模式下的電感伏秒平衡：穩態時，每個電感在一個開關週期內的平均電壓為零。假設元件理想，並令開關週期為 $T_s$、導通時間為 $DT_s$。

解題方法

圖 6 中，輸入端經開關 $S$ 接至節點 1；$L_1$ 連接節點 1 與 3，$L_2$ 連接節點 4 與 2，兩個二極體 $D_1、D_2$ 交叉連接，負載端電壓為 $V_o$。依圖示電感電流方向，分別對兩電感套用伏秒平衡；將兩式相加後，開關導通期間兩電感的電壓和為 $V_{in}-V_o$，關斷期間則為 $-2V_o$。因此：

$$D(V_{in}-V_o)+(1-D)(-2V_o)=0$$

核心觀念

開關 $S$ 截止時承受的電壓，等於其兩端節點電位差。求節點電位時，須依二極體的導通狀態判斷箝位電位；圖中的節點 $2$ 與輸出下端節點 $4$ 由電感 $L_2$ 隔開，不能視為同一節點。

解題方法

圖中 $S$ 串接於輸入正端與節點 $1$ 之間；二極體 $D_1$、$D_2$ 的導通狀態會箝位節點 $1$、$3$、$4$。依圖中輸出極性，$V_o=V_3-V_4$。在連續導通模式下，由電感伏秒平衡可得此轉換器的輸入輸出關係：

$$\frac{V_o}{V_{in}}=\frac{D}{2-D}$$

令輸入電源負端所在的節點 $2$ 為零電位。$S$ 截止時，兩顆二極體導通，因此

$$V_3=V_2=0,\qquad V_1=V_4$$

又因為 $V_o=V_3-V_4$，所以

$$V_4=-V_o,\qquad V_1=-V_o$$