114 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（B）》考古題與詳解

Question 1

1. Consider the linear system $Ax = b$ in the unknown $x \in \mathbb{R}^n$, where $A = [a1, \dots, an] = [r1^T, \dots, rm^T]^T \in \mathbb{R}^{m 	imes n}$ and nonzero $b = [b1, \dots, bm]^T \in \mathbb{R}^m$ are given and fixed, with $ri^T$ and $aj$ representing the $i$-th row and the $j$-th column of matrix $A$, respectively. Which of the following statements is/are true? (A) The number of pivots of $A$ equals the minimum of $m$ and $n$. (B) With $aj$'s and $b$ given above, if the linear system $\sum{j=1}^n yj aj = b$ in the unknowns $yj$'s is consistent, then $b \in 	ext{col}(A)$. (C) Let $s$ be a solution to the above system $Ax = b$. If $ri^T s = 0$ for some $i$, then $rk^T s = 0$ for all $k = 1, \dots, m$. (D) If the system $Ax = b$ has infinitely many solutions, then there exists a…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的欄空間、列空間、樞紐數、齊次方程組的解，以及非齊次線性系統的解集合結構。 重要定義與定理如下： 1. 矩陣 $A$ 的欄空間為 $$\operatorname{col}(A)=\{Ax:x\in\mathbb{R}^n\}.$$ 2. 由矩陣的欄向量 $a1,\dots,an$ 組成 $$Ax=x1a1+\cdots+xnan.$$ 因此，$Ax=b$ 有解等價於 $b\in\operatorname{col}(A)$。 3. 矩陣的樞紐數等於其秩： $$	ext{樞紐數}=\operatorname{rank}(A)\leq \min\{m,n\}.$$ 4. 若 $Ax=b$ 有兩個不同解 $x1,x2$，則 $$A(x1-x2)=Ax1-Ax2=b-b=0.$$ 因為 $x1-x2
eq 0$，所以齊次系統 $Ax=0$ 存在非零解。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合上述定義與定理，並以反例判斷錯誤敘述。 --- 選項分析 (A) 錯誤 $A\in\mathbb{R}^{m	imes n}$ 的樞紐數是 $\operatorname{rank}(A)$，只能保證 $$\operatorname{rank}(A)\leq \min\{m,n\}.$$ 題目沒有給出 $A$ 滿秩，因此不能斷定樞紐數必定等於 $\min\{m,n\}$。 例如取 $$ A= \begin{bmatrix} 0&0\ 0&0 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2	imes 2}, $$ 則 $\min\{m,n\}=2$，但 $A$ 沒有任何樞紐，樞紐數為 $0$。 因此，(A) 錯誤。 --- (B) 正確 由欄向量表示法， $$ \sum{j=1}^n yjaj = \begin{bmatrix} a1&\cdots&an \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y1\ \vdots\ yn \end{bmatrix} =Ay. $$ 若此系統一致，表示存在某個 $y\in\mathbb{R}^n$，使得 $$Ay=b.$$ 根據欄空間的定義，所有形如 $Ay$ 的向量都屬於 $\operatorname{col}(A)$，因此 $$b\in\operatorname{col}(A).$$ 所以 (B) 正確。 --- (C) 錯誤

Question 2

2. Consider the three linear transformations $Hi: \mathbb{R}^2 	o \mathbb{R}^2$ given by $Hi(s) = Hi s = ri^T$ for $i = 1, 2, 3$, where $$H1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}, H2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ -1 & 1 \end{bmatrix}, 	ext{ and } H3 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix}.$$ Let $s \in \mathbb{R}^2$. Which of the following statements is/are true? (A) For every $s$, the corresponding $ri = Hi s$ is in $	ext{col}(Hi)$ for all $i = 1, 2, 3$. (B) For every $s$, the corresponding $ri = Hi s$ is in $	ext{null}(Hi)$ for all $i = 1, 2, 3$. (C) There exists $s$ such that the corresponding $ri = Hi s$ is in $	ext{row}(Hi)$ for all $i = 1, 2, 3$. (D) There exists a non-zero vector in the intersection of $	ext{col}(H1)$, $	ext{col}(H2)$ and $	ext{col}(H3)$. (E) N…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的四大基本子空間： - 欄空間 $\operatorname{col}(H)$：由矩陣各欄向量所張成。 - 列空間 $\operatorname{row}(H)$：由矩陣各列向量所張成。 - 零空間 $\operatorname{null}(H)$： $$\operatorname{null}(H)=\{x:H x=0\}.$$ 對任意矩陣 $H$ 與向量 $s$，矩陣乘積 $Hs$ 必定是 $H$ 的欄向量線性組合，因此 $$Hs\in \operatorname{col}(H).$$ 另外，本題三個矩陣皆為對稱矩陣： $$Hi^T=Hi.$$ 對稱矩陣具有 $$\operatorname{row}(Hi)=\operatorname{col}(Hi).$$ --- 解題方法 先求三個矩陣的欄空間、列空間與零空間。 1. 矩陣 $H1$ $$ H1= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&1 \end{bmatrix}. $$ 因為 $H1$ 是單位矩陣， $$ \operatorname{col}(H1)=\operatorname{row}(H1)=\mathbb R^2, $$ 且 $$ \operatorname{null}(H1)=\{\boldsymbol 0\}. $$ --- 2. 矩陣 $H2$ $$ H2= \begin{bmatrix} 1&-1\ -1&1 \end{bmatrix}. $$ 兩個欄向量分別為 $$ \begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}-1\1\end{bmatrix}, $$ 彼此為倍數，因此 $$ \operatorname{col}(H2) = \operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix} ight\}. $$ 由於 $H2$ 為對稱矩陣， $$ \operatorname{row}(H2) = \operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix} ight\}. $$ 求零空間： $$ H2 \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x-y\-x+y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\0\end{bmatrix}. $$ 故 $x=y$，因此 $$ \operatorname{null}(H2) = \operatorname{span} \left\{ \begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix} ight\}. $$ ---…

Question 3

3. Continue from Question 2. Which of the following statements is/are true? (A) There exists $s$ such that the corresponding $r1 = r2 
eq 0$. (B) There exists $s$ such that the corresponding $r1 
eq r2 = 0$. (C) There exists $s$ such that the corresponding $r2 
eq r3 = 0$. (D) There exists $s$ such that the corresponding $r1 
eq r2 = r3 = 0$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題明確寫出「Continue from Question 2」，因此各選項中的 $r1,r2,r3$ 必須依據第 2 題所給的特徵方程式，以及參數 $s$ 的條件判定。 通常做法是先由第 2 題得到特徵方程式 $$ F(r;s)=0, $$ 再分析其根 $r1,r2,r3$ 隨 $s$ 的變化，檢查是否存在某個 $s$ 使根滿足各選項指定的相等或為零條件。 解題方法 各選項應分別轉換為下列代數條件： - (A) 檢查是否存在 $s$ 使 $$ r1=r2
eq 0. $$ - (B) 檢查是否存在 $s$ 使 $$ r2=0,\qquad r1
eq 0. $$ - (C) 檢查是否存在 $s$ 使 $$ r3=0,\qquad r2
eq 0. $$ - (D) 檢查是否存在 $s$ 使 $$ r2=r3=0,\qquad r1
eq 0. $$ 其中：

Question 4

4. The following set is a basis for the vector space $\mathbb{R}^3$: $$B = \{b1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}, b2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \ -1 \ 0 \end{bmatrix}, b3 = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}\}.$$ It means that every vector in $\mathbb{R}^3$ can be expressed as a linear combination of the three basis vectors, $b1, b2$ and $b3$. For instance, $y = [1, 2, 3]^T = \sum{i=1}^3 ai bi$ for some $a1, a2$ and $a3$, and the vector $a = [a1, a2, a3]^T$ is called the coordinate vector of $y$ with respect to basis $B$. Which of the following statements is/are true? (A) The basis $B$ is NOT an orthogonal basis. (B) The basis $B$ can be obtained by a rotation of the standard basis for $\mathbb{R}^3$. (C) $4 \le ||a|| \le 5$. (D) $3 \le ||a|…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 基底是否為正交基底。 2. 正交基底與旋轉矩陣的關係。 3. 向量在正交規一基底下的座標表示。 4. 座標向量的歐幾里得範數。 給定 $$ b1=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\1\0 \end{bmatrix},\quad b2=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1\-1\0 \end{bmatrix},\quad b3= \begin{bmatrix} 0\0\1 \end{bmatrix}. $$ --- 解題方法 先檢查三個基底向量的內積與長度，再判斷基底性質。由於若基底為正交規一基底，座標向量可直接利用內積求得： $$ ai=bi^T y. $$ 其中 $$ y= \begin{bmatrix} 1\2\3 \end{bmatrix}. $$ --- 基底是否為正交規一基底 各向量長度為 $$ \|b1\|^2 =\frac{1}{2}(1^2+1^2)=1, $$ $$ \|b2\|^2 =\frac{1}{2}(1^2+(-1)^2)=1, $$ $$ \|b3\|^2=1. $$ 再計算內積： $$ b1^Tb2 =\frac{1}{2}(1\cdot1+1\cdot(-1))=0, $$ $$ b1^Tb3=0,\qquad b2^Tb3=0. $$ 因此三個向量兩兩正交，且長度皆為 $1$，所以 $B$ 是一組正交規一基底。 --- 計算座標向量 $a$ 因為 $B$ 是正交規一基底， $$ ai=bi^Ty. $$ 因此 $$ a1=b1^Ty =\frac{1}{\sqrt{2}}(1+2) =\frac{3}{\sqrt{2}}, $$ $$ a2=b2^Ty =\frac{1}{\sqrt{2}}(1-2) =-\frac{1}{\sqrt{2}}, $$ $$ a3=b3^Ty=3. $$ 所以 $$ a= \begin{bmatrix} \dfrac{3}{\sqrt{2}}\[4pt] -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\[4pt] 3 \end{bmatrix}. $$ 其範數為 $$ \|a\|^2 =\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 +\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 +3^2 =\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+9=14. $$ 因此 $$ \|a\|=\sqrt{14}\approx 3.742. $$ 故 $$ 3\leq \|a\|\leq 4. $$ --- 旋轉判斷

Question 5

5. Continue from Question 4. Let $$C = \{c1 = \begin{bmatrix} -1/2 \ -1/2 \ 0 \end{bmatrix}, c2 = \begin{bmatrix} 1/2 \ -1/2 \ 0 \end{bmatrix}, c3 = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}\}$$ be another basis for $\mathbb{R}^3$. The coordinate vector of $y$ with respect to $C$ is $a' = [a'1, a'2, a'3]^T$, and we have $a' = Wa$ for some matrix $W$. Which of the following statements is/are true? (A) $W$ is a square matrix. (B) $\det(W) 0$. (C) $a'$ is orthogonal to $a$. (D) $||a'|| < ||a||$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三維向量的「基底座標轉換」。若 $B$ 為第 4 題的基底，且 $a=[y]B$、$a'=[y]C$，則存在轉換矩陣 $W$ 使得 $$ a'=Wa. $$ 由於 $B$ 與 $C$ 都是 $\mathbb{R}^3$ 的基底，因此座標向量皆有三個分量，轉換矩陣 $W$ 必為 $3	imes 3$ 方陣。 以下依第 4 題所使用的標準基底 $B$ 計算。 --- 解題方法 將 $C$ 的基底向量排列成矩陣： $$ PC= \begin{bmatrix} -\frac12 & \frac12 & 0\ -\frac12 & -\frac12 & 0\ 0&0&1 \end{bmatrix}. $$ 若 $a'$ 是 $y$ 在基底 $C$ 下的座標，則 $$ y=PCa'. $$ 在標準基底下，$a=y$，因此 $$ a'=PC^{-1}a. $$ 所以 $$ W=PC^{-1}. $$ 先計算行列式： $$ \det(PC) = \det \begin{bmatrix} -\frac12 & \frac12\ -\frac12 & -\frac12 \end{bmatrix} = \frac14+\frac14 = \frac12. $$ 因此 $$ \det(W)=\det(PC^{-1}) =\frac{1}{\det(PC)} =20. $$ 由直接求逆可得 $$ W= \begin{bmatrix} -1&-1&0\ 1&-1&0\ 0&0&1 \end{bmatrix}. $$ 若 $$ a= \begin{bmatrix} x\y\z \end{bmatrix}, $$ 則 $$ a'=Wa = \begin{bmatrix} -x-y\ x-y\ z \end{bmatrix}. $$ --- 選項分析 (A) $W$ 是方陣 $B$ 與 $C$ 都是 $\mathbb{R}^3$ 的基底，因此座標轉換矩陣 $W$ 將三維座標映射至三維座標，大小為 $3	imes 3$。 所以此選項正確。 --- (B) $\det(W)0$ 由上式 $$ \det(W)=20. $$ 所以此選項正確。 --- (C) $a'$ 與 $a$ 正交 計算內積：

Question 6

6. Consider the linear transformation $T : \mathbb{R}^{2 	imes 2} 	o \mathbb{R}^{2 	imes 2}$ given by $T(A) = AM - MA$, where $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$. Let $T$ be the matrix representation of $T$ with respect to the following basis $B$ for $\mathbb{R}^{2 	imes 2}$: $$B = \{B1 = \begin{bmatrix} 2 & -3 \ 3 & 3 \end{bmatrix}, B2 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \ -3 & 3 \end{bmatrix}, B3 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \ 3 & 0 \end{bmatrix}, B4 = \begin{bmatrix} 2 & 3 \ 0 & -3 \end{bmatrix}\}.$$ Which of the following statements is/are true? (A) $T$ is symmetric and nonnegative definite. (B) The absolute of the product of nonzero singular values of $T$ equals 16. (C) The maximal eigenvalue of $T$ exceeds 5. (D) $\dim(	ext{row}(T)) = 3$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

解題重點 1. 算子 $T(A)=AM-MA$ 的本質 $M$ 為對稱矩陣，對任意 $A\in\mathbb R^{2	imes2}$，$T$ 是「與 $M$ 的交換子」。在 Frobenius 內積 $\langle X,Yangle=\operatorname{tr}(X^{\!T}Y)$ 下 $$ \langle T(A),Bangle =\operatorname{tr}\big((AM-MA)^{\!T}B\big) =\operatorname{tr}\!\big(A^{\!T}(BM-MB)\big) =\langle A,T(B)angle , $$ 故 $T$ 為 自伴 (symmetric)。 2. 利用 $M$ 的特徵分解 $M$ 的特徵值與特徵向量 $$ \lambda1=3,\;v1=\begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix},\qquad \lambda2=-1,\;v2=\begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix}. $$ 若以基底 $\{vi vj^{\!T}\}{i,j=1}^2$ 表示任意矩陣 $A$，則

Question 7

7. Continue from Question 6. Let $C = [c{i,j}]$ be the orthogonal projection of $B1$ onto the kernel space of $T$ with respect to the inner product $(A, B) := 	ext{tr}(A^T B) + 	ext{tr}(B^T A)$ for any $A, B \in \mathbb{R}^{2 	imes 2}$. Which of the following statement is/are true? (A) $c{1,1} 2$. (B) $c{1,2} < -3$. (C) $c{2,1} 3$. (D) $c{2,2} < 3$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣內積空間中的正交投影。給定內積 $$ (A,B)=\operatorname{tr}(A^TB)+\operatorname{tr}(B^TA). $$ 由於 $$ \operatorname{tr}(B^TA)=\operatorname{tr}\big((A^TB)^T\big) =\operatorname{tr}(A^TB), $$ 因此 $$ (A,B)=2\operatorname{tr}(A^TB). $$ 這只是 Frobenius 內積的 $2$ 倍，不會改變正交投影的位置。 若 $\ker T$ 的一組基底為 $U1,\ldots,Uk$，則 $B1$ 投影到 $\ker T$ 的結果 $C$ 可由 $$ C=\sum{i=1}^k \alphai Ui $$ 表示，並滿足 $$ (B1-C,Uj)=0,\qquad j=1,\ldots,k. $$ 也就是解下列聯立方程： $$ \sum{i=1}^k \alphai(Ui,Uj)=(B1,Uj), \qquad j=1,\ldots,k. $$ 求出 $C=[c{i,j}]$ 後，再逐一比較四個矩陣元素與選項中的數值。 題目資訊不足 本題寫明「Continue from Question 6」，但目前提供的內容沒有包含 Question 6 中定義的： - 矩陣 $B1$； - 線性轉換 $T$； - 核空間 $\ker T$，或其基底。

Question 8

8. Continue from Question 6. Let $V$ be the vector space generated by compositions of $T$ over $\mathbb{R}$, i.e., $$V = \left\{ \sum{n=0}^{\infty} \alphan T^n(A) : A \in \mathbb{R}^{2 	imes 2}, \alphan \in \mathbb{R} ight\}$$ where $T^0(A) = A$ is the identity map and by $T^n$ we mean the $n$-fold composition of $T$, and let $G: V 	o V$ be a linear operator given by $G(v) = T^2 v$ for $v \in V$. Which of the following statement is/are true? (A) $\dim(V) = 4$. (B) The kernel space of $G$ is trivial. (C) The sum of all eigenvalues of $G$ exceeds 4. (D) $G$ has four linearly independent eigenvectors. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 向量空間由線性算子的冪次作用所生成的意義。 2. 線性算子的核空間與可逆性。 3. 線性算子的特徵值、特徵向量與對角化。 4. 線性算子平方 $G=T^2$ 的性質。 但題目寫明「Continue from Question 6」，而目前未提供第 6 題對線性算子 $T$ 的定義。因此，除 $\dim(V)$ 外，選項 B、C、D 均無法唯一判定。以下先依本題已給資訊，假設 $T$ 是作用在 $\mathbb{R}^{2	imes 2}$ 上的線性算子。 --- 解題方法：判定 $V$ 由定義， $$ V=\left\{\sum{n=0}^{\infty}\alphanT^n(A):A\in\mathbb{R}^{2	imes2},\ \alphan\in\mathbb{R}ight\}. $$ 因為 $T^0(A)=A$，對任意 $A\in\mathbb{R}^{2	imes2}$，令 $$ \alpha0=1,\qquad \alphan=0\quad(n\geq 1), $$ 即可得到 $$ A=\sum{n=0}^{\infty}\alphanT^n(A)\in V. $$ 因此， $$ \mathbb{R}^{2	imes2}\subseteq V. $$ 另一方面，$T$ 的每次作用仍將矩陣映射至 $\mathbb{R}^{2	imes2}$，所以 $$ V\subseteq\mathbb{R}^{2	imes2}. $$ 故 $$ V=\mathbb{R}^{2	imes2}. $$ 而 $2	imes2$ 實矩陣共有四個獨立元素： $$ A= \begin{bmatrix} a&b\ c&d \end{bmatrix}, $$ 所以 $$ \dim(V)=\dim(\mathbb{R}^{2	imes2})=4. $$ --- 選項分析 (A) $\dim(V)=4$ 正確。由於 $T^0$ 是恆等映射，且 $A$ 可任意取自 $\mathbb{R}^{2	imes2}$，因此 $V$ 至少包含所有 $\mathbb{R}^{2	imes2}$ 中的矩陣；

Question 9

9. Let $P$ be the vector space of real polynomials $p(x)$ having a common zero at $x = 1$. The space $P$ is equipped with an inner product $(p(x), q(x)) := \sum{i,j=0}^{\infty} pi qj \frac{1}{i! j!}$ for any $p(x) = \sum{i=0}^{\infty} pi x^i$ and $q(x) = \sum{j=0}^{\infty} qj x^j$ in $P$. Let $q(x) = q3 x^3 + q2 x^2 + q1 x + q0$ be the orthogonal projection of $x^3 - x^2 + 2x - 2$ onto the orthogonal complement of the subspace of linear polynomials in $P$. Which of the following statement is/are true? (A) $q2 q1$. (B) $q2 q0$. (C) $q1 q0$. (D) $q0 0$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 正交補空間的定義； 2. 正交投影的判定； 3. 多項式是否屬於 $P$ 的檢查。 若 $S$ 是內積空間中的子空間，則其正交補為 $$ S^\perp=\{p\in P:(p,s)=0,\ \forall s\in S\}. $$ 題目中的線性多項式皆須在 $x=1$ 有零點，因此線性多項式子空間為 $$ S=\operatorname{span}\{x-1\}. $$ --- 解題方法 令 $$ p(x)=\sum{i=0}^{\infty}pi x^i. $$ 由題目所給的形式， $$ (p,x-1) =\sum{i=0}^{\infty}pi\left(\frac{-1}{i!0!}+\frac{1}{i!1!}\right). $$ 因為 $0!=1!=1$，所以 $$ (p,x-1) =\sum{i=0}^{\infty}pi\left(-\frac1{i!}+\frac1{i!}\right)=0. $$ 因此 $P$ 中的每一個多項式都與 $x-1$ 正交，故 $$ S^\perp=P. $$ 接著檢查題目給定的多項式 $$ f(x)=x^3-x^2+2x-2. $$ 代入 $x=1$：

Question 10

10. Consider the QR-decomposition of the following matrix $$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 3 \ -2 & -2 & 0 \ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} = QR,$$ where the columns of orthonormal matrix $Q = [q{i,j}]$ are obtained using the usual Gram-Schmidt procedure but are chosen such that the diagonal values of upper triangular matrix $R = [r{i,j}]$ are all negative. Which of the following statement is/are true? (A) $q{1,2} 0$. (B) $q{2,2} 0$. (C) $r{2,3} 0$. (D) $r{1,2} r{1,3}$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 QR 分解中的 Gram–Schmidt 正交化，以及「指定 $R$ 的對角元素皆為負」時，如何決定各個正交單位向量的方向。 設矩陣 $A$ 的欄向量為 $$ a1=\begin{bmatrix}2\-2\1\end{bmatrix},\quad a2=\begin{bmatrix}0\-2\2\end{bmatrix},\quad a3=\begin{bmatrix}3\0\0\end{bmatrix}. $$ Gram–Schmidt 法中， $$ r{ij}=qi^Taj,\qquad i<j, $$ 且未正規化向量為 $$ uj=aj-\sum{i=1}^{j-1}r{ij}qi. $$ 本題指定 $r{11},r{22},r{33}$ 皆為負，因此每一步取 $$ r{jj}=-\|uj\|,\qquad qj=\frac{uj}{r{jj}}=-\frac{uj}{\|uj\|}. $$ --- 解題方法與計算 第一步：求 $q1$ 首先， $$ \|a1\|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3. $$ 由於 $r{11}$ 必須為負， $$ r{11}=-3, \qquad q1=\frac{a1}{r{11}} =-\frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\-2\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac23\[2mm] \frac23\[2mm] -\frac13 \end{bmatrix}. $$ 第二步：求 $q2$ 與 $r{12}$ 由 $$ r{12}=q1^Ta2, $$ 得到 $$ r{12} = \begin{bmatrix} -\frac23&\frac23&-\frac13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\-2\2\end{bmatrix} =-\frac43-\frac23=-2. $$ 因此 $$ u2=a2-r{12}q1=a2+2q1. $$ 計算得 $$ u2= \begin{bmatrix}0\-2\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}-\frac43\\frac43\-\frac23\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac43\[1mm] -\frac23\[1mm] \frac43 \end{bmatrix}. $$ 其長度為

Question 11

11. Let $X \in \{0,1\}$ be a Bernoulli random variable with $E[X] = \frac{1}{2}$. Let $Y, 0 \le Y \in \mathbb{Z}$, be a Poisson random variable with $E[Y] = 1$. In addition, $X$ and $Y$ are statistically independent. Which of the following statements is/are true? (A) $P(Y = 1) = e^{-1}$. (B) $P(Y = 2) = e^{-2}$. (C) $P(X + Y = 0) \le 0$. (D) $P(2X + Y = 2) = \frac{1}{2}e^{-1}$. (E) $P(X Y) = e^{-1}$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. Bernoulli 隨機變數的參數與機率質量函數。 2. Poisson 隨機變數的參數與機率質量函數。 3. 獨立事件的聯合機率。 4. 複合事件的拆解與加總。 若 $X\sim\operatorname{Bernoulli}(p)$，則 $$ E[X]=p. $$ 若 $Y\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，則 $$ E[Y]=\lambda,\qquad P(Y=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}. $$ 解題方法 由 $E[X]=\frac12$，可得 $$ P(X=1)=\frac12,\qquad P(X=0)=\frac12. $$ 由 $E[Y]=1$，可得 Poisson 分布的參數為 $$ \lambda=1. $$ 因此 $$ P(Y=k)=e^{-1}\frac{1}{k!},\qquad k=0,1,2,\ldots $$ 特別地， $$ P(Y=0)=e^{-1},\qquad P(Y=1)=e^{-1},\qquad P(Y=2)=\frac12e^{-1}. $$ 因為 $X$ 與 $Y$ 統計獨立，所以 $$ P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b). $$ 選項分析 （A）$P(Y=1)=e^{-1}$ 由 Poisson 機率質量函數， $$ P(Y=1)=e^{-1}\frac{1^1}{1!}=e^{-1}. $$ 因此（A）正確。 --- （B）$P(Y=2)=e^{-2}$ 實際上， $$ P(Y=2)=e^{-1}\frac{1^2}{2!} =\frac12e^{-1}. $$ 並非 $e^{-2}$，因此（B）錯誤。 --- （C）$P(X+Y=0)\le 0$ 由於 $X,Y$ 皆為非負整數，$X+Y=0$ 必須同時滿足 $$ X=0,\qquad Y=0. $$ 利用獨立性，

Question 12

12. Let $X \in \mathbb{R}$ be a continuous random variable with the following CDF $$FX(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} e^{x}, & x \le 0 \ 1 - \frac{1}{2} e^{-x}, & x 0 \end{cases}$$ Which of the following statements is/are true? (A) $FX(-4) \le FX(4)$. (B) $P(X \le 2) = 1 - e^{-1}$. (C) $fX(x) \ge 0$ for all $x \in \mathbb{R}$. (D) $fX(-2) = fX(2)$. (E) $fX(x)FX(x) \in [0, 1]$ for all $x \in \mathbb{R}$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查累積分布函數（CDF）與機率密度函數（PDF）的關係： $$ FX(x)=P(X\le x),\qquad fX(x)=FX'(x). $$ 由題目給定的 CDF，分段微分可得 $$ fX(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{2}e^x, & x<0,\[4pt] \dfrac{1}{2}e^{-x}, & x0. \end{cases} $$ 在 $x=0$ 處，左右導數皆為 $\dfrac12$，因此可取 $$ fX(0)=\frac12. $$ 故整體可寫成 $$ fX(x)=\frac12 e^{-|x|},\qquad x\in\mathbb R. $$ --- 解題方法 先利用 CDF 直接判斷涉及 $FX(x)$ 的選項，再由 $$ fX(x)=FX'(x) $$ 求出 PDF，檢查其非負性、對稱性及乘積 $fX(x)FX(x)$ 的範圍。 --- 選項分析 （A）$FX(-4)\le FX(4)$ 因為 $-4\le 4$，CDF 必須具有單調不減性，所以本選項必然成立。 直接計算亦可得 $$ FX(-4)=\frac12e^{-4}, $$ $$ FX(4)=1-\frac12e^{-4}. $$ 顯然 $$ \frac12e^{-4}\le 1-\frac12e^{-4}. $$ 因此（A）正確。 --- （B）$P(X\le 2)=1-e^{-1}$ 由 CDF 定義， $$ P(X\le 2)=FX(2). $$ 因為 $20$， $$ FX(2)=1-\frac12e^{-2}. $$ 題目選項給的是 $$ 1-e^{-1}. $$ 兩者不相等，因此（B）錯誤。 --- （C）$fX(x)\ge 0$ 對所有 $x\in\mathbb R$ 由 PDF： $$ fX(x)= \begin{cases} \dfrac12e^x, & x<0,\[4pt] \dfrac12e^{-x}, & x0. \end{cases} $$ 由於指數函數對所有實數皆為正，因此 $$ fX(x)0 $$ 對所有 $x$ 成立；特別地，$fX(0)=\dfrac12$。 因此（C）正確。 ---

Question 13

Continue from Question 12. Which of the following statements is/are true?

(A) $\mathbb{E}[X]=0$ .
(B) $\mathbb{P}(X\in[0,1])\geq\frac{1}{3}$ .
(C) $\mathbb{E}[X^3]=1$ .
(D) $\mathbb{E}[X^2]+\mathbb{E}[X^4]=25$ .
(E) $\mathbb{E}[X^2]=2$ .

Accepted Answer

核心觀念 本題沿用第 12 題的累積分布函數。由圖可讀得 $$ FX(x)= \begin{cases} \frac12 e^x, & x\le 0,\ 1-\frac12 e^{-x}, & x0. \end{cases} $$ 連續型隨機變數的機率密度函數為累積分布函數的導數；期望值則可由密度函數積分求得。本題的密度函數關於原點對稱，因此奇次矩為 $0$。 解題方法 對累積分布函數分段微分，得到 $$ fX(x)= \begin{cases} \frac12 e^x, & x<0,\ \frac12 e^{-x}, & x0, \end{cases} =\frac12 e^{-|x|}. $$ 在 $x=0$ 的單點取值不影響積分。由於 $fX(x)$ 是偶函數，$x fX(x)$ 與 $x^3fX(x)$ 都是奇函數，所以 $$ \mathbb E[X]=0,\qquad \mathbb E[X^3]=0. $$ 計算偶次矩時利用對稱性： $$ \mathbb E[X^{2k}] =\int{-\infty}^{\infty}x^{2k}\frac12e^{-|x|}\,dx =\int0^\infty x^{2k}e^{-x}\,dx =(2k)!. $$ 因此

Question 14

Let $X$ and $Y$ be two independent real Gaussian random variables with $\mathbb{E}[X]=2$ , $\mathbb{E}[X^2]=5$ , $\mathbb{E}[Y]=0$ and $\mathbb{E}[Y^2]=1$ .

It can be shown that
$\mathbb{E}[-2\ln(f_X(X))]=\ln(2^a e^b\pi^c)$
for some $a,b,c\in\mathbb{Z}$ .

Which of the following statements is/are true?

(A) $\mathbb{P}(X\geq3)=\frac{1}{2}$ .
(B) $\mathbb{E}[(X-2)^4]=3$ .
(C) $\operatorname{Var}(X+Y)=2$ .
(D) $a=1$ and $b=-1$ .
(E) $c=1$ .

Accepted Answer

核心觀念

本題考常態隨機變數的平均數、變異數與高階中心動差，以及獨立隨機變數和的變異數。常態分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 滿足：

\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X])^2,\qquad \mathbb{E}[(X-\mu)^4]=3\sigma^4.

解題方法

依原卷第 15 題， $X$ 與 $Y$ 是相互獨立的實值高斯隨機變數，且給定 $\mathbb{E}[X]=2$ 、 $\mathbb{E}[X^2]=5$ 、 $\mathbb{E}[Y]=0$ 、 $\mathbb{E}[Y^2]=1$ 。先由前兩個條件求出 $X$ 的變異數，再逐一判斷選項；計算密度選項時，使用 $X\sim N(2,1)$ 的機率密度函數。

\operatorname{Var}(X)=5-2^2=1,\qquad \operatorname{Var}(Y)=1-0^2=1.

因此 $X\sim N(2,1)$ 。其機率密度函數為

f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-2)^2}{2}\right).

代入隨機變數 $X$ 後取對數：

-2\ln(f_X(X))=\ln(2\pi)+(X-2)^2.

取期望可得

Question 15

Which of the following statements is/are true?

(A) The joint PDF $f_{X,Y}(1,3)=\frac{1}{\lambda}e^{-\frac{3}{\lambda}}$ .
(B) The mean of $Y$ is $\lambda+q(\mu-\lambda)$ .
(C) $\mathbb{E}[Y^2]=8$ when $\mu=-2$ , $\lambda=2$ and $\sigma=2$ .
(D) $\mathbb{E}[Y^2]>10$ when $\mu=-3$ , $\lambda=2$ and $\sigma=1$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 這題考條件分配下的混合分配。已知 $X=1$ 時，$Y$ 服從平均數 $\mu$、變異數 $\sigma^2$ 的高斯分配；已知 $X=0$ 時，$Y$ 服從平均數為 $\lambda$ 的指數分配。計算 $Y$ 的期望值與二次動差時，依 $X$ 的機率加權平均： $$ \mathbb{E}[g(Y)] =q\,\mathbb{E}[g(Y)\mid X=1] +(1-q)\,\mathbb{E}[g(Y)\mid X=0]. $$ 高斯分配與指數分配的相關公式為 $$ \mathbb{E}[Y\mid X=1]=\mu,\qquad \mathbb{E}[Y^2\mid X=1]=\mu^2+\sigma^2, $$ $$ \mathbb{E}[Y\mid X=0]=\lambda,\qquad \mathbb{E}[Y^2\mid X=0]=2\lambda^2. $$ 解題方法 圖中第 16 題的題幹給定 $\mathbb{P}(X=1)=q$、$\mathbb{P}(X=0)=1-q$，並說明 $Y$ 在兩種 $X$ 條件下分別服從高斯分配與指數分配。解題時依條件期望公式計算；聯合機率密度則須同時納入 $X=1$ 的機率與 $Y\mid X=1$ 的條件密度。 $$ \mathbb{E}[Y] =q\mu+(1-q)\lambda =\lambda+q(\mu-\lambda). $$ $$ \mathbb{E}[Y^2] =q(\mu^2+\sigma^2)+(1-q)2\lambda^2. $$ 選項分析 (A) 錯誤。 當 $X=1$ 時，$Y$ 的條件密度是高斯密度。因此

Question 16

Continue from Question 16. Which of the following statements is/are true when $q=\frac{1}{2}$ ?

(A) $f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{8\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ for $y<0$ .
(B) The moment generation function of $Y$ is $M_Y(s)=e^{\mu s+\frac{\sigma^2s^2}{2}}$ .
(C) $\operatorname{Var}(Y)>6$ when $\mu=1$ , $\lambda=2$ and $\sigma=3$ .
(D) $\operatorname{Var}(Y)<2$ when $\mu=-1$ and $\lambda=\sigma=1$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 這題考的是條件分配形成的混合分配。當 $q=\frac12$ 時，$Y$ 有一半機率來自 $N(\mu,\sigma^2)$，另一半來自平均數為 $\lambda$ 的指數分配。混合分配的密度、動差與動差生成函數，都要依各條件分配加權計算。 解題方法 依原卷第 17 題，$q=\frac12$；給定 $X=1$ 時，$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$，給定 $X=0$ 時，$Y$ 為平均數 $\lambda$ 的指數隨機變數。因此，對 $y<0$，指數分配的密度為零，只有高斯分配會貢獻密度： $$ fY(y)=\frac12\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}} =\frac{1}{\sqrt{8\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}. $$ 另由全期望公式與全變異數公式： $$ \mathbb E[Y]=\frac{\mu+\lambda}{2}, \qquad \mathbb E[Y^2]=\frac{\sigma^2+\mu^2+2\lambda^2}{2}, $$ $$ \operatorname{Var}(Y)=\mathbb E[Y^2]-\bigl(\mathbb E[Y]\bigr)^2. $$ 指數分配的二階動差為 $2\lambda^2$。 選項分析 - (A) 正確。 對 $y<0$，指數分配密度為零，故混合密度只剩高斯密度乘上機率 $\frac12$，正好等於選項所列。 - (B) 錯誤。 混合分配的動差生成函數是條件動差生成函數的加權和：

Question 17

Let $Xi\in\{0,1\}$ with $i=1,\ldots,N$, be independent and identically distributed Bernoulli random variables with $\mathbb{E}[Xi]=p$, where $N$ is a Poisson random variable, independent of $Xi$, with mean $\lambda$. Let $L=X1+\cdots+XN$ and $ML(s)$ be the moment generation function of $L$. Which of the following statements is/are true? (A) $\mathbb{E}[L]=\frac{p}{\lambda}$. (B) $\operatorname{Var}(L)=\lambda p$. (C) $ML(-\ln(2))=e^{-2\lambda p}$. (D) $ML(\ln(2))=e^{\lambda p}$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 這題考的是「隨機個數個隨機變數的和」。給定 $N=n$ 時，$L$ 是 $n$ 個獨立伯努利隨機變數的和；再利用卜瓦松隨機變數的機率生成函數，可求出 $L$ 的動差生成函數。 解題方法 依原卷圖，$N$ 與各 $Xi$ 獨立，且 $N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$、$Xi\sim\operatorname{Bernoulli}(p)$；選項（A）寫的是 $\mathbb{E}[L]=p/\lambda$。先對 $N$ 條件化，求出 $L$ 的動差生成函數，再代入各選項檢查。 給定 $N=n$，由獨立性可得 $$ \mathbb{E}[e^{sL}\mid N=n] =\prod{i=1}^{n}\mathbb{E}[e^{sXi}] =(1-p+pe^s)^n. $$ 再對 $N$ 取期望。由 $N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$ 的機率生成函數， $$ ML(s) =\mathbb{E}\!\left[(1-p+pe^s)^N\right] =\exp\!\left(\lambda\bigl[(1-p+pe^s)-1\bigr]\right) =\exp\!\left(\lambda p(e^s-1)\right). $$ 因此

Question 18

Which of the following statements is/are true?

(A) If $X$ is an exponential random variable with mean equal to $1$ , then $\mathbb{P}(X\geq a)\leq\frac{1}{a}$ for all real $a>0$ .
(B) If $Y$ is a real Gaussian random variable with zero mean and unit variance, then $\mathbb{P}(Y^2+2Y+1\geq a)\leq\frac{3}{a}$ for all real $a>0$ .
(C) Let $X_1,X_2,\ldots$ be a sequence of independent and identically distributed random variables with $\mathbb{E}[X_i]=5$ for $i=1,2,\ldots$ ; then $\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}\left(\left|5-\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right|\geq0.01\right)=0$ .
(D) Let $Y_1,Y_2,\ldots$ be a sequence of independent and identically distributed Poisson random variables with $\operatorname{Var}(Y_i)=4$ for $i=1,2,\ldots$ , and let $\bar{Y}_n=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(4-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i\right)$ ; then $\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(\bar{Y}_n\leq1)>\frac{1}{2}$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考非負隨機變數的 Markov 不等式、獨立同分布樣本平均的 大數法則，以及樣本平均的 中央極限定理。 解題方法 依原圖，第 19 題的關鍵式子包括 (C) 中的 $\frac{1}{2n}\sum{i=1}^{n}Xi$，以及 (D) 中的 $\bar{Y}n=\frac{\sqrt{n}}{2}\left(4-\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}Yi\right)$。先用期望值判斷 (A)、(B) 的機率上界，再看 (C) 的樣本平均極限；(D) 則以 Poisson 分配的參數和中央極限定理判斷極限機率。 Markov 不等式指出，若 $Z\geq 0$ 且 $a0$，則 $$ \mathbb{P}(Z\geq a)\leq \frac{\mathbb{E}[Z]}{a}. $$ 選項分析 (A) 正確。 指數分配且平均值為 $1$ 時，$\mathbb{E}[X]=1$。由 Markov 不等式， $$ \mathbb{P}(X\geq a)\leq \frac{\mathbb{E}[X]}{a}=\frac{1}{a},\qquad a0. $$ (B) 正確。 因為 $Y^2+2Y+1=(Y+1)^2\geq 0$，可對 $(Y+1)^2$ 使用 Markov 不等式。標準常態變數滿足 $\mathbb{E}[Y]=0$、$\mathbb{E}[Y^2]=1$，因此 $$ \mathbb{E}[(Y+1)^2] =\mathbb{E}[Y^2]+2\mathbb{E}[Y]+1 =2. $$ 故對所有 $a0$， $$ \mathbb{P}(Y^2+2Y+1\geq a) \leq \frac{2}{a} \leq \frac{3}{a}. $$

Question 19

Let $X$ and $Y$ be random variables with the following joint PDF $$f{X,Y}(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{\pi r^2}, & 	ext{if }x^2+y^2\leq r^2,\ 0, & 	ext{if otherwise}, \end{cases}$$ for all $x,y\in\mathbb{R}$ and for some fixed real $r0$. Which of the following statements is/are true? (A) $\mathbb{E}\left[X\mid Y=\frac{r}{2}ight]=\frac{1}{2}$. (B) $\mathbb{E}\left[Y\mid X=\frac{r}{3}ight]=0$. (C) $X$ and $Y$ are statistically dependent. (D) $X$ and $Y$ are statistically correlated. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念

本題考均勻圓盤上的聯合機率密度、條件期望，以及「獨立」和「不相關」的差別。

在圓盤內的密度為常數，因此給定其中一個座標後，另一個座標會在圓盤截出的線段上均勻分布。若要判斷兩變數是否相關，則計算共變異數；若要判斷是否獨立，則檢查聯合分布是否等於邊際分布的乘積。

解題方法

依原卷圖，第 20 題給定半徑 $r>0$ 的圓盤 $x^2+y^2\le r^2$ ，圓盤內的聯合密度為 $\frac{1}{\pi r^2}$ ；選項 (A) 給定 $Y=\frac r2$ ，選項 (B) 給定 $X=\frac r3$ 。

固定 $Y=y$ 時，圓盤內的 $X$ 範圍是

-\sqrt{r^2-y^2}\le X\le \sqrt{r^2-y^2}.

由圓盤的左右對稱性， $X\mid Y=y$ 在這段線上均勻分布，故其條件期望為

\mathbb E[X\mid Y=y] =\frac{-\sqrt{r^2-y^2}+\sqrt{r^2-y^2}}{2} =0.

同理，固定 $X=x$ 時， $Y\mid X=x$ 在對稱區間上均勻分布，因此

\mathbb E[Y\mid X=x]=0.

另外，圓盤關於兩座標軸皆對稱，所以 $\mathbb E[X]=\mathbb E[Y]=0$ ，且

\operatorname{Cov}(X,Y) =\mathbb E[XY]-\mathbb E[X]\mathbb E[Y] =\mathbb E[XY] =0.

114 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（B）》

第 1 題

第 2 題

核心觀念

解題方法

1. 矩陣 H1H_1H1​

2. 矩陣 H2H_2H2​

3. 矩陣 H3H_3H3​

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

核心觀念

題目資訊不足

第 8 題

第 9 題

第 10 題

第一步：求 q1q_1q1​

第二步：求 q2q_2q2​ 與 r12r_{12}r12​

第 11 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）P(Y=1)=e−1P(Y=1)=e^{-1}P(Y=1)=e−1

（B）P(Y=2)=e−2P(Y=2)=e^{-2}P(Y=2)=e−2

（C）P(X+Y=0)≤0P(X+Y=0)\le 0P(X+Y=0)≤0

第 12 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）FX(−4)≤FX(4)F_X(-4)\le F_X(4)FX​(−4)≤FX​(4)

（B）P(X≤2)=1−e−1P(X\le 2)=1-e^{-1}P(X≤2)=1−e−1

（C）fX(x)≥0f_X(x)\ge 0fX​(x)≥0 對所有 x∈Rx\in\mathbb Rx∈R

第 13 題

第 14 題

第 15 題

核心觀念

解題方法

第 16 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 17 題

第 18 題

第 19 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 20 題

核心觀念

解題方法

其他考古題

114 年臺灣聯合大學系統的其他科目

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114 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（B）》

1. 矩陣 $H_1$

2. 矩陣 $H_2$

3. 矩陣 $H_3$

第一步：求 $q_1$

第二步：求 $q_2$ 與 $r_{12}$

（A） $P(Y=1)=e^{-1}$

（B） $P(Y=2)=e^{-2}$

（C） $P(X+Y=0)\le 0$

（A） $F_X(-4)\le F_X(4)$

（B） $P(X\le 2)=1-e^{-1}$

（C） $f_X(x)\ge 0$ 對所有 $x\in\mathbb R$