113 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》

核心觀念

矩陣可分塊寫成

$$A=\left[B\mid C\right],$$

其中

$$B= \begin{bmatrix} 3&1&2\\ 2&1&3\\ 4&7&8 \end{bmatrix}, \qquad C= \begin{bmatrix} 4&5\\ 4&6\\ -1&-2 \end{bmatrix}.$$

由於 $B$ 可逆，將 $A$ 列簡化成最簡列梯形形式時，結果為

$$\operatorname{rref}(A) = \left[I_3\mid B^{-1}C\right].$$

因此，第 4、5 欄的係數可分別由聯立方程式

$$B \begin{bmatrix} x\\z\\\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\4\\-1 \end{bmatrix}, \qquad B \begin{bmatrix} y\\w\\\beta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\6\\-2 \end{bmatrix}$$

求得。

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解題方法

求 $x,z,\alpha$

設

$$B \begin{bmatrix} x\\z\\\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\4\\-1 \end{bmatrix},$$

得到

$$\begin{cases} 3x+z+2\alpha=4,\\ 2x+z+3\alpha=4,\\ 4x+7z+8\alpha=-1. \end{cases}$$

第二式減第一式：

$$-x+\alpha=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=x.$$

代入第一式：

$$3x+z+2x=4 \quad\Longrightarrow\quad z=4-5x.$$

代入第三式：

$$4x+7(4-5x)+8x=-1.$$

整理得

$$-23x+28=-1,$$

所以

$$x=\frac{29}{23}.$$

因此

$$\alpha=\frac{29}{23},$$

且

$$z=4-5\left(\frac{29}{23}\right) =\frac{92-145}{23} =-\frac{53}{23}.$$

求 $y,w,\beta$

設

核心觀念

本題的重點在於 2×2 矩陣的 Cayley‑Hamilton 定理 與 矩陣的冪次公式。
當矩陣 $A$ 的跡 $\operatorname{tr}A=0$ 時，$A^2$ 只剩下與單位矩陣 $I$ 成比例的項，進而可以快速得到任意次方的閉式表達式。利用 $A^{-1}$ 與 $A$ 之間的純量關係，最後只要把 $A^{10}$ 乘上相應的係數即可得到 $(A^{-1})^{10}$，從而判斷各選項的真假。

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(a) 解題過程

1. 先寫出矩陣 $A$（題目排版稍有錯誤，實際應為 2×2）

$$A=\begin{bmatrix} 1 & \sqrt3\\[2pt] 8 & -1 \end{bmatrix}$$

2. 計算基本特徵量

• 跡：$\displaystyle \operatorname{tr}A = 1+(-1)=0$
• 行列式：
  $\det A = 1\cdot(-1)-8\sqrt3 = -1-8\sqrt3$

3. 使用 Cayley‑Hamilton 定理

對任意 $2\times2$ 矩陣 $M$，都有

$M^2-(\operatorname{tr}M)M+(\det M)I=0 .$

代入 $A$ 的數值因為 $\operatorname{tr}A=0$，得到

$$A^{2}+(\det A)I=0 \quad\Longrightarrow\quad A^{2}= -\det A\; I = (1+8\sqrt3)\,I . \tag{1}$$

式 (1) 表明 $A^{2}$ 已是純量 $\bigl(1+8\sqrt3\bigr)$ 倍的單位矩陣。

4. 推導任意次方的形式

由 (1) 可遞迴得到

$$\begin{aligned} A^{2n} &= (1+8\sqrt3)^{\,n}\, I,\\ A^{2n+1} &= (1+8\sqrt3)^{\,n}\, A, \end{aligned} \qquad n\in\mathbb N . \tag{2}$$

特別地，

$$A^{10}=A^{2\cdot5}=(1+8\sqrt3)^{5}\,I . \tag{3}$$

5. 求 $A^{-1}$ 的純量關係

矩陣 $A^{-1}$ 為

$$A^{-1}= \frac{1}{\det A}\begin{bmatrix} -1 & -\sqrt3\\[-2pt] -8 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-1-8\sqrt3}\begin{bmatrix} -1 & -\sqrt3\\[-2pt] -8 & 1 \end{bmatrix}.$$

把分母負號提出，得到

$$A^{-1}= \frac{1}{1+8\sqrt3} \begin{bmatrix} 1 & \sqrt3\\[-2pt] 8 & -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{1+8\sqrt3}\,A . \tag{4}$$

核心觀念

本題考查矩陣的秩、行空間、列空間與零空間維度之間的關係。

對於 $m\times n$ 矩陣 $A$，有：

• $\dim(\operatorname{col}(A))=\operatorname{rank}(A)$
• $\dim(\operatorname{row}(A))=\operatorname{rank}(A)$
• 秩－零度定理：
  $\dim(\operatorname{null}(A))+\operatorname{rank}(A)=n$
• 轉置矩陣秩不變：
  $\operatorname{rank}(A^T)=\operatorname{rank}(A)$
• 對 $A^T$ 使用秩－零度定理時，$A^T$ 的欄數為 $m$：
  $\dim(\operatorname{null}(A^T))+\operatorname{rank}(A^T)=m$

本題矩陣 $A$ 為 $3\times4$ 矩陣，因此 $A$ 的欄數為 $4$，而 $A^T$ 的欄數為 $3$。

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解題方法：求矩陣的秩

將矩陣列運算化為階梯形矩陣：

$$A= \begin{bmatrix} 1&2&-3&2\\ 1&0&-1&1\\ 3&4&-1&-2 \end{bmatrix}$$

先進行

$$R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-3R_1$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1&2&-3&2\\ 0&-2&2&-1\\ 0&-2&8&-8 \end{bmatrix}.$$

再進行

$$R_3\leftarrow R_3-R_2,$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1&2&-3&2\\ 0&-2&2&-1\\ 0&0&6&-7 \end{bmatrix}.$$

此階梯形矩陣具有 $3$ 個非零列，因此

$$\operatorname{rank}(A)=3.$$

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選項分析

(A) $\dim(\operatorname{col}(A))=3$

列空間的維度等於矩陣的秩，因此

$$\dim(\operatorname{col}(A)) =\operatorname{rank}(A) =3.$$

所以選項 (A) 正確。

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核心觀念

本題考查線性轉換的表示法。若已知標準基底向量的像：

$$T\left(\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix},\quad T\left(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}r\\s\end{bmatrix},\quad T\left(\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix},$$

則由線性性質，

$$T\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\right) =x_1T(e_1)+x_2T(e_2)+x_3T(e_3).$$

因此只要先求出 $T(e_1),T(e_2),T(e_3)$，即可得到 $a,b$ 的一般表示式。

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解題方法

令

$$T(e_1)=\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix},\quad T(e_2)=\begin{bmatrix}r\\s\end{bmatrix},\quad T(e_3)=\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}.$$

由題目給定條件：

$$T\left(\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\right) =T(e_1)+T(e_2)+T(e_3) =\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix},$$ $$T\left(\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\right) =T(e_1)+2T(e_2)+3T(e_3) =\begin{bmatrix}1\\6\end{bmatrix},$$ $$T\left(\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}\right) =T(e_1)+T(e_2) =\begin{bmatrix}5\\10\end{bmatrix}.$$

先以第二式減去第三式：

$$T(e_2)+3T(e_3) =\begin{bmatrix}1\\6\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5\\10\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-4\\-4\end{bmatrix}.$$

再以第一式減去第三式：

$$T(e_3) =\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}5\\10\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1\\-2\end{bmatrix}.$$

因此

已知 $\ker T$ 的基底為

$$v_{1}= \begin{bmatrix}-1\\ 1\\ 0\end{bmatrix}, \qquad v_{2}= \begin{bmatrix}-2\\ 0\\ a\end{bmatrix}.$$

核心觀念

本題考查線性系統 $Ax=b$ 的相容性、矩陣的零空間（null space）、秩（rank）、零度（nullity）與特徵值之間的關係。

重要定理如下：

1. 線性系統 $Ax=b$ 有解，當且僅當 $b$ 屬於 $A$ 的欄空間。
2. 對 $n\times n$ 矩陣而言，若 $A$ 可逆，則對所有 $b\in\mathbb{R}^n$，$Ax=b$ 必有唯一解。
3. 若 $Ax=b$ 有無限多組解，則齊次系統 $Ax=0$ 必有非零解，因此
   $\operatorname{nullity}(A)>0.$
4. 對方陣而言，

$$\operatorname{nullity}(A)>0 \iff A \text{ 不可逆} \iff \det(A)=0 \iff 0 \text{ 是 } A \text{ 的特徵值}.$$

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解題方法

由條件

$b^T A=0^T$

可知 $b$ 位於 $A$ 的左零空間。若系統 $Ax=b$ 有解，設其解為 $x$，則左乘 $b^T$：

$b^T(Ax)=b^Tb.$

利用 $b^TA=0^T$，左側變成

$b^TAx=(b^TA)x=0^Tx=0.$

因此必須滿足

$b^Tb=0.$

但是題目給定 $b\neq 0$，所以

$b^Tb=\|b\|^2>0.$

產生矛盾。因此在 $b^TA=0^T$ 且 $b\neq 0$ 時，系統 $Ax=b$ 必定不相容、沒有解。

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選項分析

(A) The system is consistent if $b^T A=0^T$.

錯誤。

由上述推導，若 $Ax=b$ 有解，則必須有

$b^Tb=0.$

但 $b\neq 0$ 時，$b^Tb>0$，所以系統不可能相容。正確結論應為：

$$b^TA=0^T,\ b\neq 0 \implies Ax=b\text{ 不相容}.$$

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(B) The system can be consistent if $b^T A=0^T$.

錯誤。

「can be consistent」表示在此條件下存在相容的可能性。然而只要 $b\neq 0$ 且 $b^TA=0^T$，就一定導致

$0=b^TAx=b^Tb>0,$

矛盾。因此系統必定不相容，不存在相容的情況。

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(C) The system is inconsistent only if $A$ has nullity larger than zero.

正確。

「不相容 only if $A$ 的 nullity 大於零」表示

核心觀念

本題考查：

• 矩陣加法與秩。
• 三階矩陣的行列式。
• 公式
  $\det(AA^T)=\det(A)\det(A^T)=\det(A)^2.$
• 可逆矩陣與線性方程組一致性的關係。
• 矩陣 $A^TA$ 的零特徵值與 $A$ 的零空間之關係。

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解題方法

先將兩個矩陣相加：

$$A= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1\\ 3 & 2 & -1 \end{bmatrix}.$$

計算行列式：

$$\det(A) = 3 \begin{vmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 3(2-1)=3.$$

因此

$$\det(A)=3\neq 0,$$

所以 $A$ 為可逆矩陣，且

$$\operatorname{rank}(A)=3.$$

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選項分析

（A）$\operatorname{rank}(A)=3$

由於

$$\det(A)=3\neq 0,$$

矩陣 $A$ 可逆，因此滿秩：

$$\operatorname{rank}(A)=3.$$

故（A）正確。

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（B）$\det(AA^T)=-2$

利用行列式乘法公式：

$$\det(AA^T) = \det(A)\det(A^T).$$

又因為

$$\det(A^T)=\det(A)=3,$$

所以

$$\det(AA^T)=3\cdot 3=9.$$

因此

$$\det(AA^T)=9\neq -2.$$

故（B）錯誤。

此外，對任何實矩陣 $A$，皆有

$$\det(AA^T)=\det(A)^2\geq 0,$$

因此行列式不可能等於負數。

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解說

已知 $A$ 為 $3\times3$ 實對稱正定矩陣，特徵值為 $1,1,3$。對稱矩陣可正交對角化，故其譜分解為 $A=Q\operatorname{diag}(1,1,3)Q^{T}$，$Q$ 為正交矩陣。

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(A)
對稱矩陣的二次型最大值在 $\|x\|=1$ 時等於最大特徵值。
$\max_{\|x\|=1}x^{T}Ax=\lambda_{\max}=3\neq6$
故 錯誤。

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(B)
正定矩陣滿足 $x^{T}Ax>0$ 對所有 $x\neq0$，特別取 $x=e_{i}$ 得 $a_{ii}=e_{i}^{T}Ae_{i}>0$。因此 $a_{11},a_{22},a_{33}>0$，其乘積必為正，不能為負。
故 錯誤。

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核心觀念

本題考查最小平方法與正交投影：

• $b$ 投影到 $\operatorname{col}(A)$ 的公式：

$$\operatorname{proj}_{\operatorname{col}(A)} b =\frac{u^Tb}{u^Tu}u,$$

其中 $u$ 是 $\operatorname{col}(A)$ 的基底向量。

• 最小平方法解是使 $\|Ax-b\|^2$ 最小的 $x$。
• 若 $A$ 欄空間由 $u$ 張成，則只需令 $Ax$ 在 $u$ 方向上的係數等於投影係數。
• 最小範數最小平方法解，可由限制條件下的最小化求得。

解題方法

矩陣 $A$ 的兩個欄向量分別為

$$\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}2\\2\\2\end{bmatrix}.$$

因此

$$\operatorname{col}(A) =\operatorname{span}\left\{ u=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \right\}.$$

對 $b$ 作正交投影：

$$u^Tb = \begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0\\3\\0\end{bmatrix} =3,$$

且

$$u^Tu=1^2+1^2+1^2=3.$$

所以

$$\operatorname{proj}_{\operatorname{col}(A)}b =\frac{3}{3}u = \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}.$$

由於

$$Ax= \begin{bmatrix} x_1+2x_2\\ x_1+2x_2\\ x_1+2x_2 \end{bmatrix},$$

令

$$t=x_1+2x_2.$$

則

$$\|Ax-b\|^2 = \left\| \begin{bmatrix}t\\t\\t\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}0\\3\\0\end{bmatrix} \right\|^2 = t^2+(t-3)^2+t^2.$$

整理得

$$\|Ax-b\|^2=3t^2-6t+9.$$

其最小值發生於

$$\frac{d}{dt}(3t^2-6t+9)=6t-6=0,$$

故

$$t=1.$$

因此所有最小平方法解皆滿足

$$x_1+2x_2=1.$$

也就是

$$L= \left\{ \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} :x_1+2x_2=1 \right\}.$$

最小殘差平方為

核心觀念

本題考查線性代數中**線性變換（Linear Transformation）**的核心性質，涵蓋以下重點定理與定義：

1. 線性變換的矩陣表示與顯式表達：給定定義域空間的基底向量，求出線性變換在各基底下的影像，以確定變換的具體矩陣形式。
2. 單射（One-to-One / Injective）與核空間（Kernel / Null Space）：
   線性變換 $T: V \to W$ 為一對一的充要條件為 $\ker(T) = \{\mathbf{0}\}$（即 $\operatorname{nullity}(T) = 0$）。
3. 維度定理（Rank-Nullity Theorem）與映成（Onto / Surjective）判定： $$\dim(V) = \operatorname{rank}(T) + \operatorname{nullity}(T)$$ 變換 $T$ 為映成的充要條件為 $\operatorname{Range}(T) = W$（即 $\operatorname{rank}(T) = \dim(W)$）。若 $\dim(V) < \dim(W)$，則 $T$ 絕對不可能為映成。
4. 值域（Range / Image）的空間維度與判定元素是否存在：
   $\operatorname{Range}(T) = \operatorname{span}\{T(\mathbf{e}_1), T(\mathbf{e}_2)\}$，目標矩陣是否在值域內，可透過對應線性方程組是否有解直接判定。

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解題方法

步驟一：求出線性變換 $T(\mathbf{x})$ 的具體矩陣形式

題目定義線性變換 $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^{2 \times 2}$，其中輸入向量 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$。在矩陣相乘中，$\mathbf{x}$ 由標準基底 $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 與 $\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 所展開（即以對角分量矩陣 $\operatorname{diag}(x_1, x_2)$ 作用）：

令係數矩陣為：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

計算基底向量的映射：

$$T(\mathbf{e}_1) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$T(\mathbf{e}_2) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

因此，對任意 $\mathbf{x} = x_1 \mathbf{e}_1 + x_2 \mathbf{e}_2 \in \mathbb{R}^2$，其轉換結果為：

核心觀念

將方程式寫成微分形式

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,$$

其中

$$M(x,y)=2y^2-9xy,\qquad N(x,y)=3xy-6x^2.$$

本題考查：

1. 一階微分方程的線性與非線性判斷。
2. 恰當微分方程的判定： $$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.$$
3. 僅依賴 $x$ 或僅依賴 $y$ 的積分因子判斷公式。

若存在只依賴 $x$ 的積分因子 $\mu(x)$，則必須有

$$\frac{M_y-N_x}{N}$$

只依賴 $x$。

若存在只依賴 $y$ 的積分因子 $\mu(y)$，則必須有

$$\frac{N_x-M_y}{M}$$

只依賴 $y$。

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解題方法

1. 判斷是否為非線性微分方程

若將方程式視為 $y=y(x)$，則

$$(2y^2-9xy)+(3xy-6x^2)\frac{dy}{dx}=0.$$

其中含有 $y^2$、$xy$ 等變數乘積，無法整理成線性形式

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x).$$

因此此方程式為非線性微分方程。

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2. 判斷是否為恰當方程式

計算偏導數：

$$M_y=\frac{\partial}{\partial y}(2y^2-9xy)=4y-9x,$$ $$N_x=\frac{\partial}{\partial x}(3xy-6x^2)=3y-12x.$$

兩者之差為

$$M_y-N_x=(4y-9x)-(3y-12x)=y+3x.$$

由於

$$4y-9x\neq 3y-12x$$

一般不成立，所以原方程式不是恰當微分方程式。

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3. 判斷是否存在只依賴 $x$ 的積分因子

計算

$$\frac{M_y-N_x}{N} = \frac{y+3x}{3xy-6x^2}.$$

將分母因式分解：

$$3xy-6x^2=3x(y-2x),$$

因此

$$\frac{M_y-N_x}{N} = \frac{y+3x}{3x(y-2x)}.$$

此式同時含有 $x$ 與 $y$，不是只依賴 $x$ 的函數。

所以不存在可由此判定出的只依賴 $x$ 的積分因子，選項 (C) 錯誤。

核心觀念

本題寫明「Continue from Problem 11」，因此第 12 題必須使用第 11 題所給的微分方程或其通解。僅由目前資訊

$$y(1)=3$$

無法唯一決定函數 $y(x)$。單一條件只能限制函數在 $x=1$ 的函數值，不能決定其他點的函數值或導數。

為何資料不足

若只知道 $y(1)=3$，下列函數都符合條件：

例一：$y(x)=3$

此時

$$y(1)=3,\qquad y(2)=3,\qquad y(3)=3,\qquad y'(x)=0.$$

因此：

• (A) $y(2)=0$：錯誤。
• (B) $y'(4)=3$：錯誤。
• (C) $y(3)=9$：錯誤。
• (D) $y'(6)=0$：正確。

例二：$y(x)=3(2-x)$

此時

$$y(1)=3(2-1)=3,$$

且

$$y(2)=0,\qquad y'(x)=-3.$$

因此：

• (A) $y(2)=0$：正確。
• (B) $y'(4)=3$：錯誤。
• (C) $y(3)=9$：錯誤。
• (D) $y'(6)=0$：錯誤。

例三：$y(x)=3x$

此時

$$y(1)=3,$$

且

$$y(3)=9,\qquad y'(x)=3.$$

因此：

核心觀念

1. 二階線性非齊次常微分方程式（Nonhomogeneous Linear Differential Equation）：
   方程式標準形式為 $P(x)y''(x) + Q(x)y'(x) + R(x)y(x) = g(x)$。若等號右端非齊次項 $g(x) \not\equiv 0$，則稱為非齊次微分方程式。
2. 線性疊加原理（Superposition Principle）：
   設微分算子為 $L[y] = P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y$。
   • 若方程式為齊次（$L[y]=0$），則解的線性組合仍為解。
   • 若方程式為非齊次（$L[y]=g(x)$ 且 $g(x) \neq 0$），兩特解之和滿足 $L[y_1 + y_2] = L[y_1] + L[y_2] = 2g(x) \neq g(x)$，故相加後不再是原非齊次方程式的解。
3. 非齊次方程式解空間的維度與線性獨立性（Linear Independence）：
   • $n$ 階線性齊次方程式 $L[y]=0$ 的解空間為 $n$ 維向量空間，最多存在 $n$ 個線性獨立解。
   • $n$ 階線性非齊次方程式 $L[y]=g(x)$ 的解集為 $n$ 維仿射空間（Affine Space），形式為 $y(x) = y_p(x) + c_1 y_1(x) + \dots + c_n y_n(x)$。在其解集中，最多可找到 $n+1$ 個在 $\mathbb{R}$ 上線性獨立的特解。

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解題方法

將給定的微分方程式記為線性算子形式：

$$L[y] = (x - 4 + 4x^{-1})y''(x) + (2 - x)y'(x) + y(x) = 1$$

1. 求非齊次方程式的特解 $y_p(x)$

觀察等號右側為常數 $1$，令 $y_p(x) = C$（常數）：

$$y_p'(x) = 0, \quad y_p''(x) = 0$$

代入方程式左端：

$$L[y_p] = (x - 4 + 4x^{-1})(0) + (2 - x)(0) + C = C = 1 \implies y_p(x) = 1$$

故常數函數 $y_p(x) = 1$ 為原方程式的一個特解。

2. 求對應齊次方程式 $L[y] = 0$ 的通解

將原式同乘以 $x$ 整理：

$$(x-2)^2 y'' - x(x-2)y' + x y = 0$$

• 第一齊次解 $y_1(x)$：觀察多項式解，測試 $y_1(x) = x - 2 \implies y_1' = 1, y_1'' = 0$：

$$L[x-2] = (2 - x)(1) + (x - 2) = 0$$

滿足齊次方程式，故 $y_1(x) = x - 2$ 為一齊次解。

• 第二齊次解 $y_2(x)$：利用降階法（Reduction of Order），令 $y_2(x) = (x-2)v(x)$，代入齊次方程式可推得 $v'(x) = e^x \implies v(x) = e^x$，得：

$$y_2(x) = (x - 2)e^x$$

3. 原方程式的完整通解

$$y(x) = c_1(x - 2) + c_2(x - 2)e^x + 1 \quad (c_1, c_2 \in \mathbb{R})$$

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選項分析