113 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《固態電子元件》

本題考驗光電偵測器（Photodetector, PD）的基本原理，以及光功率與光子數通量的關係。

核心觀念：

1. 光功率與光子數通量的關係：光偵測器接收到的光功率 $P$ 與每秒到達的光子數（光子通量）$F$ 之間，存在以下關係：$P = F \times E_{photon}$，其中 $E_{photon}$ 是單個光子的能量。
2. 光子能量：單個光子的能量由其波長 $\lambda$ 決定：$E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$，其中 $h$ 是普朗克常數，$c$ 是光速。

解題步驟：

1. 定義變數：

   • 綠光波長 $\lambda_G = 500 \text{ nm} = 500 \times 10^{-9} \text{ m}$
   • 紅外光波長 $\lambda_{IR} = 1 \text{ µm} = 1 \times 10^{-6} \text{ m}$
   • 綠光功率 $P_G = 100 \text{ µW} = 100 \times 10^{-6} \text{ W}$
   • 紅外光功率 $P_{IR} = 150 \text{ µW} = 150 \times 10^{-6} \text{ W}$
   • 綠光光子通量 $= F_0$ (題目給定)
   • 紅外光光子通量 $= F_{IR}$ (待求)
   • 總光子通量 $= F_{total}$ (待求)

2. 計算單個光子的能量：
   由於 $h$ 和 $c$ 是常數，我們可以關注能量與波長的比例。

   • 綠光光子能量 $E_G = \frac{hc}{\lambda_G}$
   • 紅外光光子能量 $E_{IR} = \frac{hc}{\lambda_{IR}}$
     注意到 $\lambda_{IR} = 1 \text{ µm} = 1000 \text{ nm}$，而 $\lambda_G = 500 \text{ nm}$。

本題考驗波耳模型（Bohr model）在類氫原子（hydrogen-like atoms）中的應用，特別是考慮原子核電荷數的影響。

核心觀念：

1. 波耳模型中的軌道半徑：對於一個原子核帶有 $+Ze$ 電荷，且有一個電子繞行的類氫原子，其軌道半徑 $r_n$ 與主量子數 $n$ 和原子序 $Z$ 的關係為：
   $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m_e Z e^2}$
   其中，$h$ 是普朗克常數，$\epsilon_0$ 是真空介電常數，$m_e$ 是電子質量，$e$ 是基本電荷。
   對於基態 ($n=1$)，半徑 $r_1 \propto \frac{1}{Z}$。
2. 波耳模型中的位能：電子與原子核之間的庫侖位能 $U$ 與距離 $r$ 的關係為：
   $U = -\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}$
   對於基態 ($n=1$)，位能 $U_1 \propto -\frac{Z}{r_1}$。
3. 波耳模型中的總能量：對於類氫原子，其基態總能量 $E_1 = \frac{1}{2} U_1 = -\frac{Z^2 e^2}{8 \pi \epsilon_0 r_1}$。常見的定義中，位能 $U$ 指的是電子與原子核之間的庫侖勢能。題目中提到 $U_H$ 是氫原子的位能，我們需要確定這是指庫侖位能還是總能量。一般來說，如果題目沒有特別說明，位能指的是庫侖位能。

解題步驟：

1. 分析氫原子 (H)：

   • 氫原子核只有一個質子，所以原子序 $Z_H = 1$。
   • 基態半徑 $R_H = r_{1,H}$。根據公式，$R_H = \frac{1^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m_e (1) e^2}$。
   • 基態位能 $U_H = U_{1,H}$。根據公式，$U_H = -\frac{(1) e^2}{4 \pi \epsilon_0 R_H}$。

2. 分析氦離子 ($He^+$)：

   • 氦離子 ($He^+$) 的原子核有兩個質子，所以原子序 $Z_{He^+} = 2$。它只剩下一個電子，因此是類氫原子。
   • 我們需要計算其基態半徑 $R_{He^+}$ 和基態位能 $U_{He^+}$。
   • 基態主量子數 $n=1$。

3. 計算 $R_{He^+}$：
   使用半徑公式，對於基態 ($n=1$)：
   $R_{He^+} = \frac{1^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m_e (2) e^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2} \right)$
   我們知道 $R_H = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2}$ (因為 $Z_H=1$)。
   所以，$R_{He^+} = \frac{1}{2} R_H$。

4. 計算 $U_{He^+}$：
   使用位能公式，對於基態 ($n=1$)：
   $U_{He^+} = -\frac{(2) e^2}{4 \pi \epsilon_0 R_{He^+}}$
   將我們剛才計算出的 $R_{He^+} = \frac{1}{2} R_H$ 代入：
   $U_{He^+} = -\frac{2 e^2}{4 \pi \epsilon_0 (\frac{1}{2} R_H)} = -\frac{2 e^2}{2 \pi \epsilon_0 R_H} = -\frac{e^2}{\pi \epsilon_0 R_H}$

本題考驗金屬的費米能量（Fermi Energy）、費米動量（Fermi Momentum）及費米波長（Fermi Wavelength）之間的關係，以及如何利用電子密度來判斷。

核心觀念：

1. 費米能量與電子密度：在自由電子模型中，金屬的費米能量 $E_F$ 與電子密度 $n$ 的關係為：$E_F = \frac{\hbar^2}{2m_e} (3\pi^2 n)^{2/3}$，其中 $\hbar = h/(2\pi)$ 是約化普朗克常數，$m_e$ 是電子質量。由此可知，$E_F \propto n^{2/3}$。
2. 費米動量與費米能量：電子在費米能量下的動量稱為費米動量 $p_F$。由於 $E_F = \frac{p_F^2}{2m_e}$，所以 $p_F = \sqrt{2m_e E_F}$。
3. 費米波長與費米動量：根據德布羅意關係，粒子的動量 $p$ 與其波長 $\lambda$ 的關係為 $p = \frac{h}{\lambda}$。因此，費米動量 $p_F$ 對應的波長是費米波長 $\lambda_F = \frac{h}{p_F}$。
4. 費米波長與電子密度：
   我們想找出 $\lambda_F$ 與 $n$ 的關係。
   從 $p_F = \sqrt{2m_e E_F}$ 和 $E_F \propto n^{2/3}$，可得 $p_F \propto \sqrt{n^{2/3}} = n^{1/3}$。

本題考驗離子化合物的熔點與其離子鍵強度之間的關係，以及如何利用元素的電子親和能（Electron Affinity, EA）和游離能（Ionization Energy, IE）來估計離子鍵的形成能量。

核心觀念：

1. 離子化合物的熔點：離子化合物的熔點高低主要取決於其晶格能（Lattice Energy），晶格能是指將固態離子晶體分解為氣態離子的能量，或是氣態離子形成固態晶體的能量。晶格能越大，表示離子之間的吸引力越強，熔點也就越高。

2. 晶格能的影響因素：根據 Born-Landé 方程式或 Kapustinskii 方程式，晶格能 $U_{lattice}$ 主要與離子之間的庫侖吸引力有關，而庫侖吸引力與離子對的電荷 $|q_1 q_2|$ 成正比，與離子間距 $r$ 成反比。對於具有相同離子結構的化合物，晶格能大致與 $\frac{q_1 q_2}{r}$ 成正比。

3. 離子鍵形成能量：形成一個離子對（例如 $Na^+ X^-$）的總能量變化（簡化的 Born-Haber 循環）可以粗略地估計為：
   $\Delta E \approx IE_{Na} - EA_X - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_{Na^+ X^-}}$
   其中，$IE_{Na}$ 是鈉的游離能，$EA_X$ 是鹵素 $X$ 的電子親和能，$r_{Na^+ X^-}$ 是 $Na^+$ 和 $X^-$ 之間的距離。
   更精確地說，形成離子鍵後，鈉失去電子（需要 $IE_{Na}$），鹵素獲得電子（釋放出 $EA_X$）。這兩個過程的淨能量釋放（或吸收）是 $IE_{Na} - EA_X$。這個值實際上是形成獨立離子對的能量。
   然而，在形成晶體時，離子會形成離子鍵，產生強烈的庫侖吸引力，釋放出大量的能量（晶格能）。
   因此，形成穩定離子鍵並產生高熔點的化合物，需要以下幾個條件：

   • 較大的離子間距：這通常不利於形成高熔點。
   • 較小的離子間距：這有利於形成高熔點。
   • 較高的離子淨吸引力：這可以用 $IE_{Na} - EA_X$ 的值來間接評估。
     • 如果 $IE_{Na} - EA_X$ 越大（即鈉游離所需的能量很高，而鹵素獲得電子釋放的能量很小），則形成離子對的總能量變化越小（越不傾向於形成離子對）。
     • 反之，如果 $IE_{Na} - EA_X$ 越小（鈉游離能相對較低，鹵素電子親和能相對較高），則形成離子對的能量變化越小，這意味著形成離子鍵的「驅動力」相對較弱。
     • 實際上，對於形成離子鍵，我們更關注的是最終形成的離子對的庫侖吸引力。 庫侖吸引力的大小與離子的電荷和距離有關。對於 $Na^+ X^-$ 離子對，電荷是固定的 ($+e$ 和 $-e$)，所以影響晶格能的主要因素是離子間距 $r_{Na^+ X^-}$。

4. 離子半徑與熔點的關係：
   $Na^+$ 的半徑是固定的。鹵素離子 $X^-$ 的半徑會隨著鹵素的種類而變化。從 F 到 I，鹵素的原子半徑增大，電子親和能和游離能通常也隨之變化。

   • F: 半徑最小，EA 最大，IE 最高。
   • Cl: 半徑次之，EA 較大，IE 較低。
   • Br: 半徑再大，EA 較小，IE 更低。
   • I: 半徑最大，EA 最小，IE 最低。

   離子半徑的趨勢：$r_{F^-} < r_{Cl^-} < r_{Br^-} < r_{I^-}$。
   離子間距 $r_{Na^+ X^-}$ 的趨勢：由於 $Na^+$ 半徑固定，所以 $r_{Na^+ F^-} < r_{Na^+ Cl^-} < r_{Na^+ Br^-} < r_{Na^+ I^-}$。
   晶格能的趨勢：根據 $U_{lattice} \propto \frac{1}{r}$，晶格能的趨勢為：$U_{lattice(NaF)} > U_{lattice(NaCl)} > U_{lattice(NaBr)} > U_{lattice(NaI)}$。

核心觀念

本題考查半導體中「遷移率（mobility）」與「散射平均自由時間（mean free time）」的關係。由 Drude 模型：

$$\mu_n=\frac{q\tau_n}{m_n^*}$$

因此電子的散射平均自由時間為

$$\tau_n=\frac{\mu_n m_n^*}{q}$$

其中：

• $\mu_n$：電子遷移率
• $q$：電子電荷量
• $m_n^*$：電子有效質量
• $\tau_n$：散射平均自由時間

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解題方法

先將遷移率換成 SI 制：

$$\mu_n=1400\ \text{cm}^2\text{V}^{-1}\text{s}^{-1}$$

由於

$$1\ \text{cm}^2=10^{-4}\ \text{m}^2$$

所以

$$\mu_n=1400\times10^{-4} =0.14\ \text{m}^2\text{V}^{-1}\text{s}^{-1}$$

電子有效質量為

$$m_n^*=0.2m_0 =0.2(9.1\times10^{-31}) =1.82\times10^{-31}\ \text{kg}$$

代入公式：

$$\tau_n =\frac{(0.14)(1.82\times10^{-31})} {1.6\times10^{-19}}$$ $$\tau_n =1.59\times10^{-13}\ \text{s}$$

因為

$$1\ \text{fs}=10^{-15}\ \text{s}$$

故

$$\tau_n=159\ \text{fs}\approx160\ \text{fs}$$

核心觀念

ZnS（閃鋅礦結構，zinc blende）中，最近鄰的 Zn–S 原子位移為：

$$\Delta x=\frac{a}{4},\qquad \Delta y=\frac{a}{4},\qquad \Delta z=\frac{a}{4}$$

因此最近鄰距離由三維勾股定理求得：

$$d_{\text{Zn-S}} =\sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2} =\frac{\sqrt{3}}{4}a$$

這是閃鋅礦結構中每個 Zn 原子與四個最近鄰 S 原子之間的鍵長。

解題方法

題目給定晶格常數：

$$a=5.4\ \text{Å}$$

代入最近鄰距離公式：

$$d_{\text{Zn-S}} =\frac{\sqrt{3}}{4}(5.4)$$

依題目提示 $\sqrt{3}/4=0.43$：

$$d_{\text{Zn-S}}\approx 0.43\times 5.4 =2.322\ \text{Å} \approx 2.3\ \text{Å}$$

因此最近鄰 Zn–S 距離為 $2.3\ \text{Å}$。

選項分析

本題考驗晶體學中的平面間距計算，特別是對於立方晶系。

核心觀念：

1. 晶面間距 (Interplanar Spacing)：對於立方晶系，具有晶面指數 (hkl) 的平面之間的距離 $d_{hkl}$ 可以通過以下公式計算：
   $d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$
   其中，$a$ 是晶格常數，$(hkl)$ 是晶面的 Miller 指數。

2. Miller 指數 (hkl)：表示晶面在晶體軸上的截距的倒數。

   • (110) 晶面表示在 x, y, z 軸上的截距分別為 $a/1, a/1, a/\infty$。
   • 也就是說，它通過 x 軸和 y 軸的單位長度，並且平行於 z 軸。
   • 在立方晶系中，(110) 晶面是垂直於立方體對角線 $(1,1,0)$ 的平面。

解題步驟：

1. 識別已知參數：

   • 晶格常數 $a = 5.4 \text{ Å}$ (來自上一題，且題目說 "for the same ZnS crystal")。
   • 晶面指數 $(hkl) = (110)$。

2. 應用晶面間距公式：
   對於立方晶系，公式為 $d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}$。
   將 $h=1, k=1, l=0$ 代入：

核心觀念

磷（phosphorus）原子摻入矽晶格後，會提供一個額外電子。這個電子受到帶正電的離子化磷原子吸引，形成類似氫原子的「施主（donor）束縛態」。

在半導體中，氫原子的束縛能需修正兩項因素：

1. 電子有效質量由 $m_0$ 變為 $m^*$。
2. 矽的介電常數會削弱庫侖吸引力，束縛能降低為原來的 $1/\varepsilon_r^2$。

因此，氫樣施主的束縛能為

$$E_D = 13.6\text{ eV} \left(\frac{m^*}{m_0}\right) \frac{1}{\varepsilon_r^2}.$$

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解題方法

直接將題目給定的有效質量與介電常數代入：

$$\frac{m^*}{m_0}=0.2, \qquad \varepsilon_r=11.7.$$

所以

$$E_D = 13.6 \times \frac{0.2}{(11.7)^2} \text{ eV}.$$

計算得

$$(11.7)^2=136.89,$$ $$E_D = 13.6\times\frac{0.2}{136.89} \text{ eV} \approx 0.0199\text{ eV}.$$

換算成 meV：

$$0.0199\text{ eV} = 19.9\text{ meV}.$$

因此，若完全依照題目所給的氫樣模型與數值，理論估算值為約 $20\text{ meV}$。

不過，實際的矽中磷施主束縛能約為 $45\sim 46.5\text{ meV}$。這是因為真實矽晶體具有能帶簡併、電子有效質量各向異性，以及磷原子附近的中央胞修正（central-cell correct

本題考驗 PN 接面的內建電位 (Built-in Potential, $V_{bi}$) 與摻雜濃度之間的關係。

核心觀念：

1. 內建電位 ($V_{bi}$)：PN 接面在熱平衡狀態下，由於擴散電流和漂移電流的平衡，會在接面區域形成一個內建電位。其公式為：
   $V_{bi} = V_T \ln\left(\frac{N_D N_A}{n_i^2}\right)$
   其中，$V_T = \frac{kT}{q}$ 是熱電壓，在室溫下約為 26 mV (0.026 V)。$N_D$ 是 n 型區域的摻雜濃度，$N_A$ 是 p 型區域的摻雜濃度，$n_i$ 是本徵載子濃度。

2. 內建電位與摻雜濃度的關係：從公式可以看出，$V_{bi}$ 與 $N_D$ 和 $N_A$ 的乘積成正比。$V_{bi}$ 越大，表示 $\ln\left(\frac{N_D N_A}{n_i^2}\right)$ 的值越大，即 $N_D N_A$ 的值越大。
   因此，要找到最小的 $V_{bi}$，就是要找到 $N_D N_A$ 乘積最小的 PN 接面。

解題步驟：

1. 計算每個選項的 $N_D N_A$ 乘積：
   • 選項 A: $N_D = 1 \times 10^{18} \text{ cm}^{-3}$, $N_A = 1 \times 10^{18} \text{ cm}^{-3}$
     $N_D N_A = (1 \times 10^{18}) \times (1 \times 10^{18}) = 1 \times 10^{36} \text{ cm}^{-6}$。
   • 選項 B: $N_D = 1 \times 10^{18} \text{ cm}^{-3}$, $N_A = 1 \times 10^{17} \text{ cm}^{-3}$

本題考驗 PN 接面的零偏壓下，空乏區寬度在 P 型和 N 型區域的比例 ($x_p/x_n$) 與摻雜濃度的關係。

核心觀念：

1. 空乏區寬度 (Depletion Width, $W$)：PN 接面中的空乏區寬度 $W = x_n + x_p$。
2. P 型和 N 型空乏區寬度比例：在零偏壓下，空乏區在 P 型和 N 型區域的寬度比例由摻雜濃度的比例決定：
   $\frac{x_p}{x_n} = \frac{N_D}{N_A}$
   這是因為在接面處，達到電中性（或說電場為零）的條件要求，P 型區域的空乏區電荷總量（$-q N_A x_p$）必須等於 N 型區域的空乏區電荷總量（$+q N_D x_n$）。
   $-q N_A x_p = q N_D x_n$
   $-N_A x_p = N_D x_n$
   $\frac{x_p}{x_n} = -\frac{N_D}{N_A}$。
   由於 $x_p, x_n, N_D, N_A$ 都是正值，我們取絕對值，所以 $\frac{x_p}{x_n} = \frac{N_D}{N_A}$。

解題步驟：

1. 計算每個選項的 $N_D/N_A$ 比例：
   • 選項 A: $N_D = 1 \times 10^{18} \text{ cm}^{-3}$, $N_A = 1 \times 10^{18} \text{ cm}^{-3}$
     $\frac{N_D}{N_A} = \frac{1 \times 10^{18}}{1 \times 10^{18}} = 1$。

本題考驗 Zener 穿隧效應 (Zener tunneling) 在 PN 接面中的發生條件，以及與摻雜濃度的關係。

核心觀念：

1. Zener 穿隧效應：Zener 穿隧效應是一種量子力學現象，發生在強電場作用下，電子能夠穿過能帶間的禁帶（band gap）。在 PN 接面中，當 P 型和 N 型區域的摻雜濃度非常高時，空乏區會變得非常窄。在足夠大的反向偏壓下，接面兩側的能帶會發生顯著的傾斜，使得 N 型區域價帶的電子可以穿隧到 P 型區域的導帶。

2. Zener 穿隧效應的發生條件：

   • 高摻雜濃度：這是最重要的條件。高摻雜濃度會導致空乏區寬度 $W$ 非常窄。
   • 強電場：在 PN 接面的空乏區內存在一個電場 $E$。電場強度與接面電壓和空乏區寬度有關。對於一個對稱的 PN 接面，最大電場 $E_{max} \approx \frac{2V_{bi}}{W}$。
   • 足夠大的反向偏壓：當反向偏壓 $V_R$ 施加時，空乏區會變寬，但如果摻雜濃度足夠高，即使在較小的反向偏壓下，接面內的電場也會非常強。
   • 窄禁帶：禁帶越窄，穿隧的機率越大。題目給定的 bandgap 是 0.6 eV，這是一個相對較窄的禁帶，有利於穿隧效應。

3. 摻雜濃度與空乏區寬度及電場的關係：

   • 空乏區寬度 $W = x_n + x_p = \sqrt{\frac{2\epsilon_s}{q} (\frac{1}{N_D} + \frac{1}{N_A}) (V_{bi} + V_R)}$。
   • 如果 $N_D$ 和 $N_A$ 都很高，則 $W$ 會很小。
   • 空乏區內的電場強度 $E \propto N_D$ (在 N 區) 或 $E \propto N_A$ (在 P 區)。

本題考驗 PN 接面中的高階注入 (High-Level Injection, HLI) 現象，以及其與摻雜濃度的關係。

核心觀念：

1. 注入 (Injection)：在 PN 接面正向偏壓下，少數載子會從一側注入到另一側，並在另一側成為多數載子，然後再複合。

   • 低階注入 (Low-Level Injection, LLI)：當注入的少數載子濃度遠小於本徵載子濃度 $n_i$ 或該區域的多數載子濃度時，稱為低階注入。此時，注入的載子對多數載子濃度的影響很小。
   • 高階注入 (High-Level Injection, HLI)：當注入的少數載子濃度與多數載子濃度相當，或者遠大於 $n_i$ 時，稱為高階注入。此時，注入的少數載子會顯著增加該區域的多數載子濃度，並且載子濃度在整個區域內變得近似均勻。

2. 高階注入的發生條件：

   • 強正向偏壓：需要足夠大的正向偏壓，使得接面電位勢壘降低，允許大量載子注入。
   • 低摻雜濃度：在高階注入的條件下，注入的少數載子濃度 $\delta n$ (或 $\delta p$) 會顯著增加。如果區域的多數載子濃度（例如 $N_D$ 或 $N_A$）相對較低，那麼當 $\delta n \approx N_D$ 或 $\delta p \approx N_A$ 時，就進入了高階注入的區域。
   • 本徵載子濃度 $n_i$：通常，當注入的少數載子濃度 $\delta n > n_i$ 時，就可以認為進入了高階注入。

3. 判斷高階注入最可能發生的情況：
   在高階注入的條件下，注入的少數載子濃度會顯著提高。如果該區域的本徵摻雜濃度（$N_D$ 或 $N_A$）比較低，那麼就更容易達到 $\delta n > n_i$ 或 $\delta n \approx N_D$ 的條件。
   因此，摻雜濃度較低的 PN 接面，在相同的正向偏壓下，更容易發生高階注入。

解題步驟：

1. 分析高階注入的條件：高階注入發生在強正向偏壓下，且當注入的少數載子濃度 $\delta n > n_i$ 或 $\delta n \approx$ 多數載子濃度時。
2. 比較各選項的摻雜濃度：
   • 選項 A: $N_D=1 \times 10^{18}, N_A=1 \times 10^{18}$ (最高濃度)

核心觀念

此題考查突變式 $pn$ 接面的空乏電容與摻雜濃度的關係。對面積為 $A$ 的突變式接面，在反向偏壓 $V_A$ 下，空乏區總寬度為

$$W=x_n+x_p =\sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right) (V_{bi}+V_A)}$$

其中 $V_{bi}$ 為內建電位，$\varepsilon_s$ 為半導體介電常數。

接面電容為

$$C=\frac{\varepsilon_s A}{W}$$

因此

$$\frac{1}{C^2} = \frac{W^2}{\varepsilon_s^2 A^2} = \frac{2}{q\varepsilon_s A^2} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right) (V_{bi}+V_A)$$

將其視為 $1/C^2$ 對 $V_A$ 的直線，其斜率為

$$\boxed{ \frac{d(1/C^2)}{dV_A} = \frac{2}{q\varepsilon_s A^2} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right) }$$

在四個二極體的材料、接面面積相同時，斜率大小只取決於

$$\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}$$

其值越小，$1/C^2$-$V_A$ 曲線的斜率越小。

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解題方法

逐一計算各選項的

$$\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}$$

即可判斷斜率大小。

• A：

$$\frac{1}{10^{18}}+\frac{1}{10^{18}} =2\times10^{-18}\ \text{cm}^3$$

• B：

$$\frac{1}{10^{17}}+\frac{1}{10^{18}} =10^{-17}+10^{-18} =1.1\times10^{-17}\ \text{cm}^3$$

• C：

$$\frac{1}{10^{18}}+\frac{1}{10^{17}} =1.1\times10^{-17}\ \text{cm}^3$$

• D：

本題考驗金屬-半導體 (M-S) 接面的蕭特基勢壘高度 (Schottky Barrier Height, $\Phi_B$) 與金屬功函數 ($\Phi_m$) 及半導體電子親和能 ($\chi_s$) 的關係，以及如何選擇以獲得最大的勢壘高度。

核心觀念：

1. 蕭特基勢壘高度 ($\Phi_B$)：在金屬-半導體接面中，電子從金屬進入半導體或從半導體進入金屬所需要克服的能量障礙。

2. 理想 M-S 接面 (Schottky Contact)：對於理想的 M-S 接面，在沒有表面態和界面態影響的情況下，其蕭特基勢壘高度與金屬功函數 $\Phi_m$ 和半導體電子親和能 $\chi_s$ 的關係為：
   $\Phi_B = \Phi_m - \chi_s$。
   其中 $\Phi_m$ 是金屬的功函數，$\chi_s$ 是半導體的電子親和能。
   這個公式適用於 n 型半導體。對於 p 型半導體，勢壘高度是 $E_g - (\Phi_m - \chi_s)$，其中 $E_g$ 是半導體的帶隙。

3. 實際 M-S 接面：在實際情況中，界面態和金屬功函數的變化會影響勢壘高度。對於 n 型半導體，勢壘高度 $\Phi_{Bn}$ 可以表示為：
   $\Phi_{Bn} = \Phi_m - \chi_s$。
   如果界面態效應顯著，勢壘高度會趨於一個與金屬功函數無關的常數值（稱為 Bardeen limit）。但題目假設 thermionic emission 佔主導，通常意味著我們考慮的是接近理想情況。

4. 最大勢壘高度的選擇：要獲得最大的勢壘高度 $\Phi_B$，根據公式 $\Phi_B = \Phi_m - \chi_s$，由於 $\chi_s$ 對於給定的半導體是固定的，我們需要選擇具

本題考驗金屬-半導體 (M-S) 接面的反向電流與蕭特基勢壘高度 ($\Phi_B$) 的關係，以及如何選擇以獲得最低的反向電流。

核心觀念：

1. 蕭特基勢壘高度 ($\Phi_B$)：如前一題所述，$\Phi_B = \Phi_m - \chi_s$ (對於 n 型半導體)。

2. 反向電流 ($I_R$)：在 M-S 接面中，反向飽和電流（或稱漏電流）主要由熱電子發射（thermionic emission）機制決定。其公式為：
   $I_S = A^* A T^2 e^{-\frac{q \Phi_B}{kT}}$
   其中，$A^*$ 是肖特基係數，$A$ 是接面面積，$T$ 是絕對溫度，$k$ 是玻爾茲曼常數，$\Phi_B$ 是蕭特基勢壘高度。
   這個公式表明，反向電流 $I_S$ 與 $e^{-\frac{q \Phi_B}{kT}}$ 成正比。

3. 反向電流與勢壘高度的關係：
   從公式 $I_S \propto e^{-\frac{q \Phi_B}{kT}}$ 可以看出，反向電流 $I_S$ 隨著蕭特基勢壘高度 $\Phi_B$ 的增加而指數級減小。
   因此，要獲得最低的反向電流，需要選擇具有最高蕭特基勢壘高度的 M-S 接面。

本題考驗金屬-半導體 (M-S) 接面的零偏壓接面電容 ($C_0$) 與蕭特基勢壘高度 ($\Phi_B$) 及摻雜濃度的關係，以及如何選擇以獲得最大的接面電容。

核心觀念：

1. M-S 接面的零偏壓接面電容 ($C_0$)：在零偏壓下，M-S 接面的接面電容由其空乏區寬度決定。其公式為：
   $C_0 = \frac{\epsilon_s A}{W_0}$
   其中，$\epsilon_s$ 是半導體的介電常數，$A$ 是接面面積，$W_0$ 是零偏壓下的空乏區寬度。

2. 零偏壓空乏區寬度 ($W_0$)：
   $W_0 = \sqrt{\frac{2\epsilon_s (V_{bi})}{q} (\frac{1}{N_D} + \frac{1}{N_A})}$。
   對於 n 型半導體，$\epsilon_s$ 是矽的介電常數，$N_D$ 是 n 型摻雜濃度，$N_A$ 設為遠大於 $N_D$ (通常情況下，p 型摻雜濃度遠大於 n 型，或者假設是本徵半導體)。
   在 M-S 接面中，通常假設半導體區域的摻雜濃度是已知的，並且通常是 n 型。
   $W_0 = \sqrt{\frac{2\epsilon_s V_{bi}}{q N_D}}$ (簡化公式，假設 $N_A \to \infty$ 或者 $N_D$ 是主要的掺雜濃度)。
   更精確地，對於 n 型半導體：
   $W_0 = \sqrt{\frac{2\epsilon_s \phi_{s0}}{q N_D}}$
   其中 $\phi_{s0}$ 是半導體表面在零偏壓下的電勢（即內建電勢的一部分，與 $V_{bi}$ 相關）。
   $V_{bi} = \Phi_m - \chi_s - \frac{kT}{q}$ (對於 n 型)。
   因此，$W_0 \propto \sqrt{V_{bi}} \propto \sqrt{\Phi_m - \chi_s}$。
   也就是說，$W_0 \propto \sqrt{\Phi_B}$。

3. 接面電容與勢壘高度的關係：
   $C_0 = \frac{\epsilon_s A}{W_0} \propto \frac{1}{W_0} \propto \frac{1}{\sqrt{W_0^2}} \propto \frac{1}{\sqrt{V_{bi}}} \propto \frac{1}{\sqrt{\Phi_B}}$。
   或者，更直接地，$C_0 \propto \sqrt{N_D}$。
   從 $W_0 = \sqrt{\frac{2\epsilon_s \phi_{s0}}{q N_D}}$，我們可以得到 $W_0 \propto 1/\sqrt{N_D}$。
   所以 $C_0 \propto \sqrt{N_D}$。

   再次仔細推導：
   $C = A \sqrt{\frac{q \epsilon_s N_D}{2 (\phi_{s0})}}$ （在 N 型半導體中，反向偏壓

核心觀念

本題考查矽 $pn$ 接面中，摻雜濃度對下列參數的影響：

• 順向電流
• 反向飽和電流
• 接面電容
• 崩潰電壓

對突變型 $pn$ 接面，空乏區寬度為

$$W=\sqrt{\frac{2\varepsilon_s}{q} \left(\frac{1}{N_A}+\frac{1}{N_D}\right) (V_{bi}+V_R)}$$

其中 $N_A$、$N_D$ 為兩側摻雜濃度。摻雜濃度提高時，空乏區會變窄，進而影響接面電容與崩潰電壓。

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解題方法

逐一判斷「摻雜濃度增加」對各項元件特性的影響即可。

在固定外加電壓下，二極體順向電流近似為

$$I=I_S\left(e^{V_D/V_T}-1\right)$$

其中反向飽和電流 $I_S$ 與摻雜濃度有關。長基區二極體可寫成

$$I_S=qA n_i^2 \left( \frac{D_n}{L_nN_A} + \frac{D_p}{L_pN_D} \right)$$

因此摻雜濃度增加時，$I_S$ 通常會降低，順向電流也不會維持不變。

接面電容為

$$C_j=\frac{\varepsilon_s A}{W}$$

由於摻雜濃度增加使 $W$ 變小，所以 $C_j$ 會增加。

對單邊突變接面，崩潰電壓可近似表示為

$$V_{BR}\approx \frac{\varepsilon_s E_{\text{crit}}^2}{2qN}$$

其中 $N$ 為主要摻雜濃度。摻雜濃度越高，崩潰電壓越低；在極高摻雜下，甚至可能由雪崩崩潰轉為齊納崩潰。

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選項分析

A. Forward current is unchanged.

錯誤。

順向電流為

$$I_F=I_S\left(e^{V_F/V_T}-1\right)$$

而 $I_S$ 會受到摻雜濃度影響。增加摻雜濃度通常會降低少數載子濃度與反向飽和電流，因此固定順向電壓下的順向電流不會維持不變。

核心觀念

本題考查 BJT 的共射極電流增益

$$\beta=\frac{I_C}{I_B}$$

在正常主動區且忽略基區復合時：

• 集極電流主要來自「射極注入基區的電子」；
• 基極電流主要來自「基區注入射極的電洞」；
• 基區復合電流為零，因此基極電流只剩射極端的電洞注入電流。

因此，$\beta$ 的大小主要由「射極注入效率」決定。射極摻雜越高、基區摻雜越低、基區寬度越窄，通常可得到越大的 $\beta$。

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解題方法與公式推導

對於矽 $npn$ BJT，在低注入、均勻摻雜且忽略基區復合的條件下，基區電子電流密度約為

$$J_{nB}\approx qD_{nB}\frac{\Delta n_B}{W_B}$$

射極電洞電流密度約為

$$J_{pE}\approx qD_{pE}\frac{\Delta p_E}{W_E}$$

在相同的 $V_{BE}$ 下，兩側少數載子濃度分別為

$$\Delta n_B\approx \frac{n_i^2}{N_B} \left(e^{V_{BE}/V_T}-1\right)$$

以及

$$\Delta p_E\approx \frac{n_i^2}{N_E} \left(e^{V_{BE}/V_T}-1\right)$$

所以

$$\beta \approx \frac{J_{nB}}{J_{pE}}$$

代入後得

$$\beta \approx \frac{D_{nB}}{D_{pE}} \frac{N_E}{N_B} \frac{W_E}{W_B}$$

四個選項皆為矽 BJT，且題目說明 $W_E$ 相同。在比較大小時，若採用標準教材中的相同材料參數近似，$\beta$ 的相對大小由下式決定：

$$\beta\propto \frac{N_E}{N_BW_B}$$

集極摻雜濃度 $N_C$ 主要影響集極—基極接面耗盡區、崩潰電壓及高電壓特性；在本題的理想正常主動區模型中，不直接決定 $\beta$。

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各選項分析

選項 A

$$N_E=10^{18},\qquad N_B=10^{12},\qquad W_B=1\ \mu\text{m}$$

比較指標為