109 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《固態電子元件》

此題考查電子在 E-k 圖中的行為特性，以及有效質量（effective mass）與能帶曲率的關係。

核心觀念：
在固態物理中，電子的有效質量 $m^*$ 與能帶的曲率（curvature）成反比。其定義為 $m^* = \hbar^2 / (d^2E/dk^2)$。曲率越大，有效質量越小。

解題過程：
圖一顯示了材料的 E-k 圖，其中 E 代表能量，k 代表波向量。能帶的曲率決定了電子的有效質量。

• 在導帶（conduction band, CB）中，能量 E 隨 k 的變化曲線越彎曲（曲率越大），電子的有效質量就越小。
• 反之，能帶曲線越平坦（曲率越小），電子的有效質量就越大。

題目中提到有兩種不同的有效質量：重質量（heavy mass）和輕質量（light mass）。這意味著導帶中 E-k 圖的曲率有兩種不同的值。
從圖一的 E-k 圖可以看出，導帶底部的能量曲線並非單一的拋物線，而是可能有多個區域具有不同的曲率，或者說，在某些範圍內，曲線的彎曲程度不同。然而，題目直接給出「two different effective masses (heavy / light) for electrons」，並且要求我們判斷哪種有效質量會被「most electrons」顯示。

在一個給定的能帶結構中，當電子處於導帶底部附近時，其能量與 k 的關係通常可以近似為一個拋物線。若存在兩種不同的有效質量，則意味著導帶底部附近至少有兩個區域具有顯著不同的曲率。

一般而言，在導帶中，電子傾向於佔據能量較低的狀態。在材料的平衡狀態下，溫度會使電子有一定的能量分佈（例如遵循 Fermi-Dirac 統計）。然而，當我們討論「most electrons」在導帶中顯示的有效質量時，通常指的是電子最容易被激發到的、能量最低的區域。

若導帶底部附近存在兩種曲率，那麼：

1. 輕質量 (light effective mass)：對應於導帶中 較大曲率 的區域。電子在這些區域的運動對外加電場的響應更為靈敏，因為它們更容易加速。
2. 重質量 (heavy effective mass)：對應於導帶中 較小曲率 的區域。電子在這些區域的運動較為遲緩。

核心觀念

本題考查矽中電子遷移率 $\mu_n$ 隨溫度的變化，以及兩種主要散射機制：

1. 晶格聲子散射（lattice scattering）
2. 離化雜質散射（ionized-impurity scattering）

電子遷移率定義為

$$\mu_n=\frac{q\tau_n}{m_n^*}$$

其中 $q$ 為電子電量、$\tau_n$ 為平均碰撞時間、$m_n^*$ 為電子有效質量。散射越強，$\tau_n$ 越短，因此遷移率越低。

總遷移率可用 Matthiessen 定律表示：

$$\frac{1}{\mu_n} = \frac{1}{\mu_{\mathrm{L}}} + \frac{1}{\mu_{\mathrm{I}}}$$

其中 $\mu_{\mathrm{L}}$ 為晶格散射所決定的遷移率，$\mu_{\mathrm{I}}$ 為離化雜質散射所決定的遷移率。

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解題方法

低溫區：離化雜質散射主導

低溫時，晶格振動較弱，聲子數量少，因此晶格散射不明顯。此時主要受到離化施體或受體的庫倫散射。

在基本近似下：

$$\mu_{\mathrm{I}}\propto \frac{T^{3/2}}{N_{\mathrm{I}}}$$

其中 $N_{\mathrm{I}}$ 為離化雜質濃度。

因此：

• 溫度升高時，電子平均速度增加、屏蔽效果改善，$\mu_{\mathrm{I}}$ 上升。
• 摻雜濃度越高，離化雜質越多，遷移率越低。

由於

$$N_{D1}<N_{D2}$$

樣品 A 的低溫電子遷移率高於樣品 B：

$$\mu_A>\mu_B$$

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高溫區：晶格聲子散射主導

高溫時，晶格振動增強，電子與聲子的碰撞變頻繁。晶格散射所造成的遷移率通常近似為

$$\mu_{\mathrm{L}}\propto T^{-m}$$

其中 $m$ 約為 $2$ 至 $2.5$，實際數值取決於散射模型與溫度範圍。

所以在高溫區：

• 溫度升高，聲子散射增強。
• 電子遷移率隨溫度上升而下降。
• 晶格散射與摻雜濃度關係較小，因此 A、B 的曲線逐漸接近。

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(a) 樣品 A 與 B 的遷移率曲線

兩個樣品的曲線都具有相同的基本形狀：

1. 低溫區由離化雜質散射主導，遷移率隨溫度上升。
2. 中間溫度附近出現最大值。
3. 高溫區由晶格聲子散射主導，遷移率隨溫度上升而下降。

在雙對數座標中，可示意如下：

log μn
  ↑
  │                  A
  │                ／  ＼
  │              ／      ＼
  │            ／          ＼
  │      B   ／              ＼
  │        ／                  ＼
  │      ／                     ＼
  │    ／                        ＼
  │  ／                           ＼
  └──────────────────────────────────→ log T
     低溫          中溫              高溫

更精確地標示兩條曲線的相對位置：

• 樣品 A：$N_{D1}$ 較低，因此低溫遷移率較高。
• 樣品 B：$N_{D2}$ 較高，因此低溫遷移率較低。
• 高溫時兩者皆由晶格散射主導，曲線趨於接近。
• 樣品 A 的峰值通常較高，且較早進入晶格散射主導區。
• 樣品 B 的低溫雜質散射較強，因此峰值較低，峰值位置通常向較高溫側移動。

可用下列關係概括：

$$\mu_A(T)>\mu_B(T) \qquad \text{低溫區}$$ $$\mu_A(T)\approx\mu_B(T) \qquad \text{高溫區}$$

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(b) 樣品 C 的曲線與補償摻雜

此題考查金屬-半導體 (M-S) 接面的能帶圖繪製，重點在於理解功函數、電子親和勢、費米能階的位置以及形成歐姆接觸或蕭特基接觸的條件。

核心觀念：

1. 功函數 ($\phi$): 導體（金屬）中電子從費米能階逃逸到真空所需的最小能量。
2. 電子親和勢 ($\chi$): 半導體中電子從導帶底逸出到真空所需的能量。
3. 能帶圖繪製：在形成接面時，為了使兩者費米能階對齊，半導體會產生內建電位 (built-in potential, $V_{bi}$)，進而形成能帶彎曲。
4. 歐姆接觸 vs. 蕭特基接觸：
   • 歐姆接觸：載流子可以自由通過接面，電阻很小。對於 n-type 半導體，若 $\phi_m > \phi_s$ (或 $E_{fm} > E_{fs}$)，則通常形成歐姆接觸。對於 p-type 半導體，若 $\phi_m < \phi_s$ (或 $E_{fm} < E_{fs}$)，則通常形成歐姆接觸。
   • 蕭特基接觸：形成一個能障 (Schottky barrier)，載流子通過接面時會受到阻礙。對於 n-type 半導體，若 $\phi_m < \phi_s$，則形成蕭特基接觸。對於 p-type 半導體，若 $\phi_m > \phi_s$，則形成蕭特基接觸。
   • 注意：這裡的 $\phi_s$ 是半導體的功函數，通常定義為 $\phi_s = \chi + (E_c - E_F)$。

已知參數：

• 金屬功函數 $\phi_m = 4.6$ eV
• 矽的電子親和勢 $\chi_{Si} = 4.0$ eV
• 摻雜濃度 $N_D$ 或 $N_A = 10^{17}$ cm$^{-3}$
• 室溫下 (約 300K)，$kT \approx 0.026$ eV。

解題過程：
首先，我們需要計算矽的功函數 $\phi_s$。
$\phi_s = \chi_{Si} + (E_c - E_F)$

對於 n-type 矽，摻雜濃度 $N_D = 10^{17}$ cm$^{-3}$。
導帶底與費米能階的能量差 $E_c - E_F$ 可以通過以下公式近似計算（對於簡併態，需要更精確的計算，但對於 $10^{17}$ cm$^{-3}$，通常非簡併態近似是足夠的）：
$N_D = N_c \exp(-(E_c - E_F)/kT)$
其中，$N_c$ 是矽的有效態密度，$N_c \approx 2.8 \times 10^{19}$ cm$^{-3}$ (對於矽在 300K)。

計算 $E_c - E_F$ for n-type:
$10^{17} = 2.8 \times 10^{19} \exp(-(E_c - E_F)/0.026)$
$10^{17} / (2.8 \times 10^{19}) = \exp(-(E_c - E_F)/0.026)$
$0.00357 \approx \exp(-(E_c - E_F)/0.026)$
$\ln(0.00357) \approx -(E_c - E_F)/0.026$
$-5.63 \approx -(E_c - E_F)/0.026$
$E_c - E_F \approx 5.63 \times 0.026 \approx 0.146$ eV。

所以，n-type 矽的功函數 $\phi_{s,n} = \chi_{Si} + (E_c - E_F) = 4.0 \text{ eV} + 0.146 \text{ eV} = 4.146$ eV。

現在比較金屬和 n-type 矽的功函數：
$\phi_m = 4.6$ eV
$\phi_{s,n} = 4.146$ eV
由於 $\phi_m > \phi_{s,n}$，金屬的功函數大於半導體的功函數。

(a) n-type 矽

• 當金屬與 n-type 半導體接觸時，若 $\phi_m > \phi_s$，則通常形成 歐姆接觸 (Ohmic contact)。
• 能帶圖繪製：
  • 繪製水平的能帶圖（未接觸前）。上方是金屬，下方是 n-type 矽。
  • 金屬的費米能階 $E_{fm}$ 處於其能帶中間（假設是簡單金屬）。
  • 矽的費米能階 $E_{fn}$ 靠近導帶底 $E_c$（因為是 n-type）。
  • 金屬的功函數 $\phi_m = E_{vac} - E_{fm} = 4.6$ eV。
  • 矽的功函數 $\phi_{s,n} = E_{vac} - E_{fn} = 4.146$ eV。
  • 形成接面後：費米能階對齊 $E_{fm} = E_{fn}$。
  • 由於 $\phi_m > \phi_{s,n}$，為了使費米能階對齊，矽的能帶會向上彎曲，導帶底 $E_c$ 和價帶頂 $E_v$ 都會上升。
  • 接觸區的電子從能量較低的矽（相對於金屬的費米能階）流向能量較高的金屬，直到費米能階對齊。
  • 在矽側，由於電子流出，會形成一個區域（靠近接面）的淨正電荷（來自電離的施主離子 $N_D^+$）。
  • 在金屬側，由於電子流入，會形成負電荷。
  • 由於是歐姆接觸，能帶彎曲的程度（內建電位 $V_{bi}$）會很小，或者說，蕭特基勢壘高度 $q \phi_B \approx E_c - E_F$ (在半導體側)。
  • 蕭特基勢壘高度 $q \phi_B = \phi_m - \chi_{Si} = 4.6 - 4.0 = 0.6$ eV。
  • 內建電位 $V_{bi} = \phi_m - \phi_s = 4.6 - 4.146 = 0.454$ V。
  • 能帶圖：金屬的能帶是平坦的。矽的導帶底和價帶頂在靠近接面的區域向上彎曲。費米能階在矽中靠近導帶底，在金屬中位於中間。

(b) p-type 矽
現在計算 p-type 矽的功函數。摻雜濃度 $N_A = 10^{17}$ cm$^{-3}$。
價帶頂與費米能階的能量差 $E_F - E_v$。
$N_A = N_v \exp(-(E_F - E_v)/kT)$
其中，$N_v$ 是矽的有效態密度，$N_v \approx 1.04 \times 10^{19}$ cm$^{-3}$ (對於矽在 300K)。

計算 $E_F - E_v$ for p-type:
$10^{17} = 1.04 \times 10^{19} \exp(-(E_F - E_v)/0.026)$
$10^{17} / (1.04 \times 10^{19}) = \exp(-(E_F - E_v)/0.026)$
$0.009615 \approx \exp(-(E_F - E_v)/0.026)$

核心觀念

本題考查 NPN BJT 的射極注入效率（emitter injection efficiency）：

$$\gamma_E=\frac{J_{nB}}{J_{nB}+J_{pE}}$$

其中：

• $J_{nB}$：射極注入基極的電子電流，為主要電流成分。
• $J_{pE}$：基極注入射極的電洞電流，為寄生電流成分。

射極注入效率越接近 $1$，表示射極注入的電子占比越高，BJT 的電流放大能力越好。

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解題方法

對均勻摻雜、忽略 bandgap narrowing 的 BJT，少數載子平衡濃度為：

$$n_{B0}=\frac{n_i^2}{N_B}$$ $$p_{E0}=\frac{n_i^2}{N_E}$$

因此，兩個注入電流密度可寫成比例形式：

$$J_{nB}\propto \frac{D_{nB}}{L_B}\frac{n_i^2}{N_B} \coth\left(\frac{X_B}{L_B}\right)$$ $$J_{pE}\propto \frac{D_{pE}}{L_E}\frac{n_i^2}{N_E} \coth\left(\frac{X_E}{L_E}\right)$$

兩式中的正向偏壓因子與 $n_i^2$ 會相互抵消，所以：

$$\frac{J_{pE}}{J_{nB}} = \frac{D_{pE}}{D_{nB}} \frac{N_B}{N_E} \frac{L_B}{L_E} \frac{\coth(X_E/L_E)}{\coth(X_B/L_B)}$$

題目給定：

核心觀念

MOS 電容的工作狀態由閘極電荷與半導體表面載子分布判斷。題目為 n 型矽基板：

• n 型基板的多數載子是電子。
• 閘極施加正電壓，吸引電子至 Si–SiO₂ 界面，形成累積。
• 閘極施加負電壓，排斥電子，使施體離子化，形成空乏區。
• 負閘極電壓再增加時，界面吸引少數載子電洞，形成反轉層；當電洞濃度足夠高，即為強反轉。

逐一判斷圖形

1. 圖（1）

   閘極帶負電 $-Q$，基板側為帶正電的離子化施體。電子被負閘極排斥，留下固定的正離子，因此形成空乏區。

   這是空乏狀態。

2. 圖（2）

   閘極帶正電 $+Q$，基板側聚集負電電子。電子為 n 型矽的多數載子，因此界面電子濃度增加，形成累積層。

   這是累積狀態。

3. 圖（3）

   閘極與基板皆未顯示額外電荷，代表表面能帶未彎曲，屬於平帶狀態。

此題考查 NMOSFET 的電流特性，特別是通道中的載流子速度、電流飽和現象，以及與理想 MOSFET 模型之間的差異。

核心觀念：

1. MOSFET 電流公式：
   • 在線性區（或稱三極區）：$I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} (2(V_{GS} - V_T) V_{DS} - V_{DS}^2)$
   • 在飽和區：$I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} (V_{GS} - V_T)^2$
   • 更精確的考慮通道長度調變（Channel Length Modulation, CLM）和速度飽和 (Velocity Saturation)。
2. 速度飽和：當通道中的電場足夠強時，載流子速度達到一個飽和值 $v_{sat}$。此時，電流不再簡單地由電場驅動，而是由載流子速度和載流子濃度決定。
3. 電流飽和：在理想 MOSFET 模型中，當 $V_{DS} \ge V_{GS} - V_T$ 時，電流進入飽和區。但在實際器件中，由於通道長度調變、速度飽和等效應，飽和可能提前發生或表現出不同的行為。
4. 載流子速度：在通道中，源極端的電場較弱，速度較低；隨著靠近汲極，電場增強，速度增加，直到達到 $v_{sat}$。
5. 電流計算：$I_D = W Q_n v_n$，其中 $Q_n$ 是通道中的面電荷密度，$v_n$ 是電子速度。

已知參數：

• $t_{ox} = 277$ Å $= 27.7 \times 10^{-7}$ cm
• $L = 1 \mu$m $= 1 \times 10^{-4}$ cm
• $W = 10 \mu$m $= 10 \times 10^{-4}$ cm
• $V_T = 1$ V
• $v_{sat} = 8 \times 10^6$ cm/s
• $V_{GS} = 5$ V
• $C_{ox} = 1.25$ F/m$^2 = 1.25 \times 10^4$ F/cm$^2$ (注意單位轉換)

計算 $\mu_n C_{ox} \frac{W}{L}$：
$\mu_n C_{ox} \frac{W}{L} = \mu_n (1.25 \times 10^4 \text{ F/cm}^2) \frac{10 \times 10^{-4} \text{ cm}}{1 \times 10^{-4} \text{ cm}} = \mu_n (1.25 \times 10^4) \times 10 = 1.25 \times 10^5 \mu_n$ (單位為 S/V)

從飽和電流公式 $I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} (V_{GS} - V_T)^2$ 可以估計 $\mu_n$。
若以數據點 C ($V_{DS}=5.0$ V, $I_D=2.75$ mA) 作為飽和電流參考：
$2.75 \times 10^{-3} \text{ A} = \frac{1}{2} (1.25 \times 10^5 \mu_n) (5 - 1)^2 = \frac{1}{2} (1.25 \times 10^5 \mu_n) (16) = 10^6 \mu_n$
$\mu_n = \frac{2.75 \times 10^{-3}}{10^6} = 2.75 \times 10^{-9}$ cm$^2$/Vs。
這個 $\mu_n$ 值非常小，這說明在 $V_{GS}=5$ V 時，器件很可能工作在速度飽和區，而不是簡單的平方律飽和。

更適合的參數計算：
$C_{ox} = \frac{\epsilon_{ox}}{t_{ox}} = \frac{3.9 \times 8.854 \times 10^{-14} \text{ F/cm}}{27.7 \times 10^{-7} \text{ cm}} \approx 1.25 \times 10^{-7}$ F/cm$^2$。
題目給的 $C_{ox} = 1.25$ F/m$^2 = 1.25 \times 10^{-4}$ F/cm$^2$。這個值似乎偏大。
若使用題目給的 $C_{ox} = 1.25 \times 10^{-4}$ F/cm$^2$：
$\frac{W}{L} C_{ox} = \frac{10 \times 10^{-4} \text{ cm}}{1 \times 10^{-4} \text{ cm}} \times 1.25 \times 10^{-4} \text{ F/cm}^2 = 10 \times 1.25 \times 10^{-4} = 1.25 \times 10^{-3}$ cm/V。

從理想模型飽和電流（假設數據點 C 接近飽和）：
$I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} (V_{GS} - V_T)^2$
$2.75 \times 10^{-3} \text{ A} = \frac{1}{2} \mu_n (1.25 \times 10^{-3} \text{ cm/V}) (5-1)^2 = \frac{1}{2} \mu_n (1.25 \times 10^{-3}) (16) = \mu_n (10 \times 1.25 \times 10^{-3}) = \mu_n (0.0125)$
$\mu_n = \frac{2.75 \times 10^{-3}}{0.0125} = 0.22$ cm$^2$/Vs。這個 $\mu_n$ 值比較合理。

計算通道中的面電荷密度 $Q_n$：
$I_D = W Q_n v$
$Q_n = I_D / (Wv)$

計算源極端速度 $v_s$ 和汲極端速度 $v_d$：
在通道中，電場 $E = -dV/dx$。
源極端：$x=0$ (相對位置)。汲極端：$x=L$ (相對位置)。
電場在源極端較弱，汲極端較強。
速度 $v$ 隨電場 $E$ 變化。一般模型為：$v = \mu E$ (低電場)，$v = v_{sat}$ (高電場)。
更精確的模型：$v = \mu E \frac{1}{1 + E/E_{sat}}$ 或 $v = \mu E \tanh(E/E_{sat})$。
這裡 $E_{sat}$ 是引起速度飽和的電場強度，約為 $v_{sat}/\mu$。

通道電壓 $V(x)$：
$V_{GS} - V(x) - V_T = V_{DS} \frac{x}{L}$ (近似線性電場，僅適用於線性區)
更準確的關係：$V_{GS} - V(x) = V_{T} + \frac{Q_n(x)}{C_{ox}}$，其中 $Q_n(x)$ 是通道中的面電荷密度。
$V(x)$ 是通道在位置 $x$ 的電位。源極端 $V(0)=0$。

速度飽和下的電流：
當通道某處的電場 $E$ 達到 $E_{sat}$ 時，速度開始飽和。
$E_{sat} = v_{sat}/\mu_n$
$E_{sat} \approx (8 \times 10^6 \text{ cm/s}) / (0.22 \text{ cm}^2/\text{Vs}) \approx 3.6 \times 10^7$ V/cm。
通道的電場強度範圍：
在線性區，源極端電場 $E_s = V_{DS}/L$ (近似)，汲極端電場 $E_d = V_{DS}/L$ (近似)。
對於 $V_{DS}=0.5$ V, $L=1 \mu$m, $E \approx 0.5 \text{ V} / 10^{-4} \text{ cm} = 5000$ V/cm。
對於 $V_{DS}=2.5$ V, $E \approx 2.5 \times 10^4$ V/cm。
對於 $V_{DS}=5.0$ V, $E \approx 5.0 \times 10^4$ V/cm。
這些電場強度都遠遠小於 $E_{sat}$，這說明在這些點，速度飽和可能還沒有發生，或者說，速度飽和效應是影響飽和提前的主要原因。

通道電場和速度的計算：
在 MOSFET 中，通道電位 $V(x)$ 與源極端的電位差是 $V_{DS} \frac{x}{L}$ (線性近似)。
則通道電場 $E(x) \approx V_{DS}/L$ (近似為常數，這是不準確的)。
更準確地，通道電位 $V(x)$ 滿足 $V_{GS} - V(x) = V_T + \frac{Q_n(x)}{C_{ox}}$。
$Q_n(x) = C_{ox} (V_{GS} - V(x) - V_T)$。
速度 $v(x) = \mu_n E(x) = \mu_n \frac{dV}{dx}$。
$I_D = W Q_n(x) v(x) = W C_{ox} (V_{GS} - V(x) - V_T) \mu_n \frac{dV}{dx}$。
$I_D dx = W C_{ox} \mu_n (V_{GS} - V_T - V(x)) dV$。
積分從 $x=0$ 到 $L$， $V$ 從 $0$ 到 $V_{DS}$：
$\int_0^L I_D dx = W C_{ox} \mu_n \int_0^{V_{DS}} (V_{GS} - V_T - V) dV$
$I_D L = W C_{ox} \mu_n [(V_{GS} - V_T)V - \frac{1}{2}V^2]_0^{V_{DS}}$
$I_D L = W C_{ox} \mu_n [(V_{GS} - V_T)V_{DS} - \frac{1}{2}V_{DS}^2]$
$I_D = \frac{W}{L} C_{ox} \mu_n [(V_{GS} - V_T)V_{DS} - \frac{1}{2}V_{DS}^2]$
這就是線性區的公式。

考慮速度飽和：
當電場 $E$ 很大時，速度 $v \approx v_{sat}$。
通道中的面電荷密度 $Q_n(x) = C_{ox} (V_{GS} - V(x) - V_T)$。
電流 $I_D = W Q_n(x) v(x)$。
在通道的某個點 $x_c$，電場 $E(x_c)$ 達到 $E_{sat}$，速度開始飽和。
$E_{sat} = v_{sat}/\mu_n$。
$v(x) = \mu_n E(x)$ for $E < E_{sat}$
$v(x) = v_{sat}$ for $E \ge E_{sat}$

計算 $Q_n$ 和 $v$：
$I_D = W Q_n v$。
$Q_n = I_D / (Wv)$.
$Q_n = C_{ox} (V_{GS} - V(x) - V_T)$。
$v(x) = \mu_n E(x)$ or $v_{sat}$.

一個簡化的速度飽和模型：
$I_D = W Q_n v_{sat}$
$Q_n = C_{ox} (V_{GS} - V(x) - V_T)$
$I_D = W C_{ox} (V_{GS} - V(x) - V_T) v_{sat}$
$V(x)$ 是通道電位。
在源極端 $x=0$, $V(0)=0$.
$I_D = W C_{ox} (V_{GS} - V_T) v_{sat}$ (假設 $V(x)$ 處處為 0，這不對)。

正確的計算方法：

1. 計算通道中的面電荷密度 $Q_n$。
   $Q_n = \frac{I_D}{W v}$。
   在源極端，速度 $v_s$ 較低，所以 $Q_{ns}$ 較高。
   在汲極端，速度 $v_d$ 可能達到 $v_{sat}$，所以 $Q_{nd}$ 可能較低。
2. 使用 $Q_n = C_{ox} (V_{GS} - V(x) - V_T)$ 來估計通道電位 $V(x)$。
   $V(x) = V_{GS} - V_T - Q_n(x)/C_{ox}$。

數據點 A: $V_{DS} = 0.5$ V, $I_D = 1.0$ mA
數據點 B: $V_{DS} = 2.5$ V, $I_D = 2.5$ mA
數據點 C: $V_{DS} = 5.0$ V, $I_D = 2.75$ mA

估計 $\mu_n = 0.22$ cm$^2$/Vs, $v_{sat} = 8 \times 10^6$ cm/s, $C_{ox} = 1.25 \times 10^{-4}$ F/cm$^2$, $W/L = 10$
$V_{GS} = 5$ V, $V_T = 1$ V

(a) 數據點 A: $V_{DS} = 0.5$ V, $I_D = 1.0$ mA

• 汲極端速度 $v_d$：
  在汲極端，電場最強。如果速度飽和，則 $v_d \approx v_{sat} = 8 \times 10^6$ cm/s。
  我們可以用 $I_D = W Q_n v$ 來檢查。