109 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電力系統》

核心觀念

同步發電機接無限匯流排時，端電壓固定為

$$\bar V_f=120\angle0^\circ\text{ V}$$

忽略電阻，發電機相量方程式為

$$\bar E_f=\bar V_f+jX_s\bar I_a$$

因此

$$\bar I_a=\frac{\bar E_f-\bar V_f}{jX_s}$$

三相輸出複功率為

$$\bar S=P+jQ=3\bar V_f\bar I_a^*$$

亦可使用功角公式：

$$P=\frac{3V_fE_f}{X_s}\sin\delta$$ $$Q=\frac{3V_f}{X_s}(E_f\cos\delta-V_f)$$

其中 $P,Q$ 為發電機輸出的三相總有功與無功功率。

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解題方法

已知

$$X_s=8\ \Omega,\qquad \bar E_f=207\angle25^\circ\text{ V}$$

（一）求 $\bar I_a$、功率因數、$P$ 與 $Q$

先將 $\bar E_f$ 化為直角座標：

$$\bar E_f =207(\cos25^\circ+j\sin25^\circ)$$ $$\bar E_f=187.62+j87.57\text{ V}$$

因此

$$\bar E_f-\bar V_f =(187.62+j87.57)-120 =67.62+j87.57$$

而

$$\bar I_a =\frac{67.62+j87.57}{j8}$$

利用 $\frac{1}{j}=-j$：

$$\bar I_a =10.95-j8.45\text{ A}$$

轉為極座標：

$$|\bar I_a| =\sqrt{10.95^2+(-8.45)^2} \approx13.83\text{ A}$$ $$\angle\bar I_a =\tan^{-1}\left(\frac{-8.45}{10.95}\right) \approx-37.67^\circ$$

所以

$$\boxed{\bar I_a=13.83\angle-37.67^\circ\text{ A}}$$

電流相位落後端電壓 $37.67^\circ$，故功率因數為

$$\text{pf}=\cos37.67^\circ\approx0.792$$

即

$$\boxed{\text{功率因數}=0.792\text{ lagging}}$$

三相複功率：

$$\bar S =3\bar V_f\bar I_a^*$$

由

$$\bar I_a^*=10.95+j8.45$$

可得

$$\bar S =3(120)(10.95+j8.45)$$

此題考驗學生對變壓器與感應電動機等效電路的理解，以及它們在結構、原理上的異同。

核心觀念：
電磁轉換器（變壓器）與感應電動機的穩態等效電路模型，以及兩者在電力系統中的角色與特性。

(一) Drawing the equivalent circuits

1. Transformer Equivalent Circuit (單相變壓器之穩態等效電路)

變壓器的穩態等效電路可以分為兩種：精確等效電路和簡化等效電路。

• 精確等效電路 (Exact Equivalent Circuit):
  此電路包含變壓器所有主要的電氣參數：漏感、激磁電抗、鐵心損耗電阻、繞組電阻。通常以一次側側視或二次側側視表示。以下以一次側側視為例：

  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
  （圖示：一個串聯的電阻 $R_1$ 和電抗 $X_1$ 代表一次側繞組阻抗；並聯的電阻 $R_c$ 代表鐵心損耗（渦流和磁滯損耗）；並聯的電抗 $X_m$ 代表磁化電抗；然後是一個理想變壓器；最後是二次側的電阻 $R_2'$ 和電抗 $X_2'$，它們是將二次側參數折算到一次側的。)

  符號說明：

  • $R_1, X_1$: 一次側繞組電阻與漏電抗。
  • $R_c$: 鐵心損耗電阻 (Core loss resistance)。
  • $X_m$: 磁化電抗 (Magnetizing reactance)。
  • $a$: 變壓器變比 (Turns ratio)。
  • $R_2', X_2'$: 折算到一次側的二次側繞組電阻與漏電抗 ($R_2' = a^2 R_2, X_2' = a^2 X_2$)。
  • $\bar{V}_1$: 一次側輸入電壓。
  • $\bar{I}_1$: 一次側輸入電流。
  • $\bar{I}_0$: 空載電流 (Exciting current)，包含 $\bar{I}_c$ (鐵心損耗電流) 和 $\bar{I}_m$ (磁化電流)。
  • $\bar{I}_2'$: 折算到一次側的二次側負載電流。

• 簡化等效電路 (Simplified Equivalent Circuit):
  通常將激磁支路 ($R_c$ 和 $X_m$) 移到電路的一端（例如一次側），以簡化計算。

  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
  （圖示：一次側輸入電壓 $\bar{V}_1$ 後，串聯 $R_1, X_1$, 然後是並聯的 $R_c, X_m$, 最後是串聯的 $R_2', X_2'$，然後連接到二次側負載。）
  或者，將激磁支路移到二次側：
  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
  （圖示：一次側輸入電壓 $\bar{V}_1$ 後，串聯 $R_1, X_1$, 然後是折算後的二次側參數 $R_2', X_2'$, 最後是並聯的 $R_c', X_m'$, 然後連接到二次側負載。）
  更常見的簡化是將激磁支路視為固定阻抗。

2. Induction Motor Equivalent Circuit (單相感應電動機之穩態等效電路)

感應電動機的等效電路與變壓器類似，因為它們都基於電磁感應原理。通常使用定子側折算的轉子等效電路。

• 定子側折算等效電路 (Stator-referred Equivalent Circuit):
  此電路表示電動機的各個損耗和功率轉換。

  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
  （圖示：輸入電壓 $\bar{V}_s$ 後，串聯電阻 $R_s$ 和電抗 $X_s$ 代表定子繞組阻抗；然後是並聯的電阻 $R_{fe}$ 和電抗 $X_{fe}$ 代表鐵心損耗；接著是定子側折算的轉子電路，包含電阻 $R_r'/s$ 和電抗 $X_r'$。其中 $R_r'/s$ 可以進一步分解為機械功率輸出電阻 $R_{mech}' = R_r'(\frac{1-s}{s})$ 和轉子損耗電阻 $R_r'$。）

  符號說明：

  • $R_s, X_s$: 定子繞組電阻與漏電抗。
  • $R_{fe}, X_{fe}$: 鐵心損耗電阻與磁化電抗 (通常 $R_{fe}$ 表示鐵心損耗，$X_{fe}$ 表示磁化電抗)。
  • $s$: 滑差 (Slip)。
  • $R_r', X_r'$: 折算到定子側的轉子繞組電阻與漏電抗。

核心觀念

本題考查同步發電機發生單相接地故障時的次暫態分析，主要使用：

1. 對稱分量法。
2. 單相接地故障的序網路串聯關係。
3. 正序、負序、零序阻抗的應用。
4. 相電流與序電流的轉換。
5. 由相電壓求線電壓。

故障發生於發電機端點，且中性點直接接地，因此零序電流可以流通。單相接地故障的三組序電流相等：

$$\bar I_0=\bar I_1=\bar I_2$$

其中次暫態正序電抗採用題目給定的直接軸次暫態電抗：

$$X_1''=X_d''=0.25\ \text{p.u.}$$

負序與零序電抗為：

$$X_2=0.35\ \text{p.u.},\qquad X_0=0.10\ \text{p.u.}$$

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解題方法：序網路求故障電流

發電機未載運轉且端電壓為額定值，因此正序內部電勢為：

$$\bar E_{an}=1\angle 0^\circ\ \text{p.u.}$$

單相 $a$ 相接地故障時，正序、負序、零序網路串聯，故序電流為：

$$\bar I_1 = \bar I_2 = \bar I_0 = \frac{\bar E_{an}} {j(X_1''+X_2+X_0)}$$

代入數值：

$$\bar I_0=\bar I_1=\bar I_2 = \frac{1\angle0^\circ} {j(0.25+0.35+0.10)}$$ $$= \frac{1}{j0.70} = -j1.4286 = 1.4286\angle-90^\circ\ \text{p.u.}$$

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相電流計算

令

$$a=1\angle120^\circ$$

由序分量轉換至相量：

$$\begin{bmatrix} \bar I_a\\ \bar I_b\\ \bar I_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 1&a^2&a\\ 1&a&a^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar I_0\\ \bar I_1\\ \bar I_2 \end{bmatrix}$$

因此：

$$\bar I_a=\bar I_0+\bar I_1+\bar I_2 =3(-j1.4286) =-j4.2857$$ $$\bar I_a=4.2857\angle-90^\circ\ \text{p.u.}$$

而

$$\bar I_b = \bar I_0+a^2\bar I_1+a\bar I_2 = \bar I_0(1+a+a^2)=0$$ $$\bar I_c = \bar I_0+a\bar I_1+a^2\bar I_2 = \bar I_0(1+a+a^2)=0$$

故發電機流出的次暫態相電流為：

$$\boxed{ \bar I_a''=4.2857\angle-90^\circ\ \text{p.u.} }$$ $$\boxed{ \bar I_b''=0,\qquad \bar I_c''=0 }$$

這也符合單相接地故障的物理特性：只有故障相有電流，非故障相沒有電流流向故障點。

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換算成實際電流

三相電流基準值為：

$$I_{\text{base}} = \frac{S_{\text{base}}}{\sqrt{3}V_{\text{base}}} = \frac{20\times10^6} {\sqrt{3}(13.8\times10^3)}$$ $$I_{\text{base}}=836.7\ \text{A}$$

因此故障相實際次暫態電流為：

$$|I_a''| = 4.2857(836.7) = 3586\ \text{A}$$ $$\boxed{ I_a''\approx3.59\angle-90^\circ\ \text{kA} }$$

接地電流也等於：

$$I_g=I_a''\approx3.59\angle-90^\circ\ \text{kA}$$

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序電壓與相電壓驗證

故障點的序電壓分別為：

正序電壓

核心觀念

本題考查電力潮流分析中的三個基本觀念：

1. 母線類型由「指定的電氣量與控制方式」決定。
2. 輸電線路的有功損失主要由電阻造成。
3. 解耦潮流法與快速解耦潮流法，皆建立在輸電系統高電抗比與小相角差的近似上。

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（一）無負載、無發電機之母線分類

解題方法

母線分類不是單純依據母線上是否接有負載，而是依據母線上已知與未知的電氣變數分類：

• 負載母線（PQ bus）：指定有功注入 $P$ 與無功注入 $Q$，求電壓相角 $\delta$ 與電壓大小 $|V|$。
• 發電機母線（PV bus）：指定有功輸出 $P$ 與電壓大小 $|V|$，求無功輸出 $Q$ 與電壓相角 $\delta$。
• 平衡母線（Slack bus）：指定 $|V|$ 與 $\delta$，用以平衡系統中的有功、無功差額。

對於沒有負載、也沒有發電機的母線，若未特別指定為平衡母線，則其淨功率注入為

$$P_i=0,\qquad Q_i=0$$

因此可視為指定 $P_i$ 與 $Q_i$ 的負載母線，其實際上是零負載的 PQ 母線。潮流方程中仍須求出該母線的 $|V_i|$ 與 $\delta_i$。

判斷重點

「沒有發電機」只能排除一般的 PV 母線；「沒有負載」不代表它自動成為平衡母線。平衡母線必須由潮流分析者指定，通常全系統只選一個，用來吸收計算誤差與線路損失。

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（二）純電感輸電線路的有功損失

核心公式

輸電線路的有功損失為電阻損失：

$$P_{\text{loss}}=I^2R$$

若所有輸電線路均為純電感，則

$$R=0$$

所以每條線路的有功損失為

$$P_{\text{loss}}=I^2(0)=0$$

以潮流公式說明

對於兩端母線 $i$、$j$ 之間的無損線路，若線路阻抗為

$$Z_{ij}=jX_{ij}$$

則線路兩端的有功潮流可寫成近似形式

$$P_{ij}=\frac{|V_i||V_j|}{X_{ij}}\sin(\delta_i-\delta_j)$$

由於線路無電阻，從 $i$ 流向 $j$ 的有功功率與從 $j$ 流向 $i$ 的有功功率大小相等、方向相反：

$$P_{ij}+P_{ji}=0$$

因此系統中的有功功率可以經由線路傳輸，但不會在線路中轉換成熱能而損失。

答案

在「輸電線路本身均為理想純電感」的條件下，輸電線路沒有有功功率損失。系統的發電機總有功輸出等於負載總有功需求：

$$\sum P_G=\sum P_L$$

此結論不包含發電機、變壓器或其他設備本身的損失。

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（三）解耦法與快速解耦法的適用條件

1. 完整牛頓潮流方程

牛頓法的潮流修正方程為

$$\begin{bmatrix} \Delta P\\ \Delta Q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} H & N\\ M & L \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta \delta\\ \Delta |V| \end{bmatrix}$$

其中：

$$H=\frac{\partial P}{\partial \delta},\qquad N=\frac{\partial P}{\partial |V|}$$ $$M=\frac{\partial Q}{\partial \delta},\qquad L=\frac{\partial Q}{\partial |V|}$$

在一般交流輸電系統中，$P$ 主要受相角差影響，$Q$ 主要受電壓大小影響。因此可採用下列近似：

$$\frac{\partial P}{\partial |V|}\approx 0$$ $$\frac{\partial Q}{\partial \delta}\approx 0$$

也就是忽略 $N$ 與 $M$，得到解耦潮流法：

$$\Delta P=H\Delta\delta$$ $$\Delta Q=L\Delta |V|$$

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2. 傳統解耦潮流法的條件

傳統解耦法通常適用於下列條件：

（1）線路電抗遠大於電阻

$$X\gg R$$

此題考驗經濟調度 (Economic Dispatch) 的基本原理，特別是針對忽略系統損耗和發電機容量限制的簡單情況，求解多部發電機的發電量以滿足總負載需求並最小化總發電成本。

核心觀念：
經濟調度，最小總成本，邊際成本 (Marginal Cost)，拉格朗日乘數法 (Lagrange Multipliers) 或直接比較邊際成本。

題目資訊整理：

• 總負載需求 $P_D = 800$ MW。
• 忽略系統損耗。
• 忽略發電機容量限制（即 $P_i$ 可以是任意非負值）。
• 三部發電機的成本函數：
  • $C_1(P_1) = 500 + 5.3P_1 + 0.004P_1^2$
  • $C_2(P_2) = 400 + 5.5P_2 + 0.006P_2^2$
  • $C_3(P_3) = 200 + 5.8P_3 + 0.009P_3^2$

目標：
找到 $P_1, P_2, P_3$ 的值，使得 $P_1 + P_2 + P_3 = 800$ MW，且總成本 $C_{total} = C_1(P_1) + C_2(P_2) + C_3(P_3)$ 最小。

求解方法：
經濟調度的基本原理是，為了最小化總成本，各部發電機的邊際成本 (Marginal Cost, MC) 必須相等。邊際成本是成本函數對發電量的微分。

1. 計算各發電機的邊際成本函數：

   • 發電機 1 的邊際成本：
     $MC_1(P_1) = \frac{dC_1}{dP_1} = \frac{d}{dP_1}(500 + 5.3P_1 + 0.004P_1^2) = 5.3 + 0.008P_1$

   • 發電機 2 的邊際成本：
     $MC_2(P_2) = \frac{dC_2}{dP_2} = \frac{d}{dP_2}(400 + 5.5P_2 + 0.006P_2^2) = 5.5 + 0.012P_2$

   • 發電機 3 的邊際成本：
     $MC_3(P_3) = \frac{dC_3}{dP_3} = \frac{d}{dP_3}(200 + 5.8P_3 + 0.009P_3^2) = 5.8 + 0.018P_3$

2. 設定邊際成本相等：
   為了最小化總成本，我們需要讓三部發電機的邊際成本相等，即 $MC_1 = MC_2 = MC_3 = \lambda$ (其中 $\lambda$ 是邊際成本值)。

   • $MC_1 = MC_2 \implies 5.3 + 0.008P_1 = 5.5 + 0.012P_2$
   • $MC_2 = MC_3 \implies 5.5 + 0.012P_2 = 5.8 + 0.018P_3$

3. 利用總負載需求進行計算：
   我們有三個未知數 ($P_1, P_2, P_3$) 和三個方程：
   (1) $P_1 + P_2 + P_3 = 800$
   (2) $5.3 + 0.008P_1 = 5.5 + 0.012P_2 \implies 0.008P_1 - 0.012P_2 = 0.2$
   (3) $5.5 + 0.012P_2 = 5.8 + 0.018P_3 \implies 0.012P_2 - 0.018P_3 = 0.3$

   從方程 (2) 和 (3) 中，我們可以將 $P_1$ 和 $P_3$ 用 $P_2$ 來表示：
   從 (2): $0.008P_1 = 0.2 + 0.012P_2 \implies P_1 = \frac{0.2 + 0.012P_2}{0.008} = 25 + 1.5P_2$
   從 (3): $0.012P_2 = 0.3 + 0.018P_3 \implies 0.018P_3 = 0.012P_2 - 0.3 \implies P_3 = \frac{0.012P_2 - 0.3}{0.018} = \frac{12P_2 - 300}{18} = \frac{2P_2 - 50}{3}$

   將 $P_1$ 和 $P_3$ 代入方程 (1)：
   $(25 + 1.5P_2) + P_2 + \left(\frac{2P_2 - 50}{3}\right) = 800$
   $25 + 2.5P_2 + \frac{2P_2 - 50}{3} = 800$
   將常數項移到右邊：
   $2.5P_2 + \frac{2P_2 - 50}{3} = 800 - 25 = 775$
   乘以 3 以消除分數：
   $3 \times (2.5P_2) + (2P_2 - 50) = 3 \times 775$
   $7.5P_2 + 2P_2 - 50 = 2325$
   $9.5P_2 = 2325 + 50 = 2375$
   $P_2 = \frac{2375}{9.5} = \frac{23750}{95} = \frac{4750}{19} \approx 250$ MW。

   讓我們精確計算 $P_2$:
   $P_2 = \frac{2375}{9.5} = \frac{4750}{19}$ MW。

此題考驗學生對電力系統暫態穩定性 (Transient Stability) 的理解，以及影響暫態穩定性的關鍵因素和改進方法。

核心觀念：
暫態穩定性，暫態穩定性判據（第一擺動法，能量函數法），影響暫態穩定性的因素，以及各種改進暫態穩定性的措施。

暫態穩定性 (Transient Stability):
電力系統在受到較大的擾動（如接地故障）後，能夠在一定時間內恢復到新的穩態運行點，或者至少保持同步的穩定狀態。

影響暫態穩定性的主要因素：

1. 擾動的嚴重程度： 故障的類型、位置、持續時間。
2. 系統的參數： 故障前系統的運行狀態（穩態功率）、發電機的慣量、同步電抗、阻尼係數、勵磁系統的反應速度、輸電線路的電抗、接地電阻等。
3. 系統的結構： 系統的連接方式，是否有串聯補償，等等。

改進暫態穩定性的措施分析：

(i) Increase of system voltages, and use of automatic voltage regulators (AVRs)

• 分析：
  • 提高系統電壓： 提高系統電壓可以增加輸電能力，從而允許在故障期間傳輸更多的功率。在故障發生時，系統的穩定性通常取決於故障點斷開前輸出的功率與故障點斷開後輸出的功率之間的關係。較高的系統電壓意味著在相同的電流下，功率傳輸能力更強。同時，較高的電壓也意味著相同的功率下，電流較小，因此電阻損耗較小。
  • 自動電壓調節器 (AVRs)： AVRs 的作用是維持發電機的端電壓在一個相對穩定的範圍內。在故障發生後，AVR 會迅速調整發電機的勵磁，以盡量維持端電壓，從而幫助發電機恢復同步。較強的勵磁響應有助於在故障後更快地提高發電機的內在電勢，增加穩定輸出的功率。
  • 結論： 提高系統電壓和使用 AVRs 可以 提高暫態穩定性。提高電壓可以增加輸電能力，AVRs 可以幫助維持發電機的輸出功率和電勢，減緩失步的速度。

(ii) Use of quick response excitation systems

• 分析：
  • 快速響應的勵磁系統（通常指具有強勵磁能力的勵磁系統）能夠在故障發生後，迅速增加發電機的勵磁，從而提高發電機的內在電勢 $\bar{E}_f$。較高的 $\bar{E}_f$ 意味著在相同的轉子角 $\delta$ 下，輸出的功率更大。這有助於在故障期間（或故障解除後）增加系統的穩定功率傳輸能力，從而提高暫態穩定性。
  • 結論： 使用快速響應的勵磁系統 可以 提高暫態穩定性。

(iii) Compensation for transfer reactance

• 分析：
  • 傳輸電抗 (Transfer reactance)： 指發電機到故障點之間電路的總電抗，包括發電機的漏電抗、變壓器的電抗、輸電線路的電抗等。這個電抗值直接影響系統在故障期間的功率輸出能力。
  • 補償 (Compensation)： 通常通過串聯電容器 (Series capacitors) 來實現。串聯電容器可以抵消輸電線路的一部分電感電抗，從而降低總的傳輸電抗。
  • 影響： 降低傳輸電抗意味著在故障期間，發電機輸出的功率與故障點斷開後輸出的功率之間的差異變小，或者說，在故障期間能輸出的功率相對較大。