110 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電力系統》

Y-Y 接線的變壓器在諧波問題上，主要有兩大類：零序諧波（Third Harmonic）的傳輸問題，以及高次諧波（Higher Harmonics）的放大問題。

1. 零次諧波（Third Harmonic）傳輸問題：
   • 零序電流的產生：在三相系統中，當負載不平衡或非線性負載時，會產生三次諧波（以及其倍數，如九次、十五次等，統稱為零序諧波）。
   • Y-Y 接線的特性：在 Y-Y 接線中，如果中性點沒有接地（或接地阻抗很高），或是高壓側和低壓側的中性點都沒有連接到可靠的接地點，則三次諧波電壓和電流在變壓器內部無法形成閉迴路，也無法有效傳輸到系統其他部分。
   • 問題：
     • 零序電壓的累積：在 Y-Y 接線的繞組中，三次諧波電壓會疊加在基頻電壓上，可能導致繞組內的總電壓失真，甚至在繞組間產生過高的零序電壓。
     • 諧波電流的迴路：若無適當的路徑，零序諧波電流可能在系統中形成不尋常的迴路，例如通過其他設備的絕緣，造成損壞。
     • Y-Y 接線的解決方案：為了克服這個問題，通常會採取以下措施：
       • 接地中性點：將高壓側或低壓側（或兩側）的中性點接地，為零序諧波提供一個低阻抗的迴路。
       • 加設 Delta 接地的第三繞組（Tertiary Winding）：這是最常見且有效的方法。Delta 接地的第三繞組可以為零序諧波電流提供一個閉迴路，使其在變壓器內部循環，而不會傳輸到主系統。同時，它也能限制零序電壓的累積。

「Y-Y with tertiary Δ transformer」指的是一種三相變壓器接線方式，其主要繞組採用 Y-Y 接線，並額外增加一個第三繞組（tertiary winding），這個第三繞組的接線方式為 Δ（Delta）。

這種接線方式的設計目的是為了克服傳統 Y-Y 接線在電力系統中經常遇到的諧波問題，特別是三次諧波（Third Harmonic）。

以下是其組成與功能的詳細說明：

1. Y-Y 接線（主繞組）：

   • 一次側（Primary）：高壓側繞組接成 Y 形。
   • 二次側（Secondary）：低壓側繞組也接成 Y 形。
   • 優點：Y-Y 接線在傳輸高電壓時，由於其絕緣要求相對較低（相電壓等於線電壓除以 $\sqrt{3}$），因此在設計上比較經濟。同時，它能提供兩個中性點，理論上可以連接系統中性點，方便接地。

2. Δ 接地的第三繞組（Tertiary Delta Winding）：

   • 額外繞組：在變壓器內部，除了高壓和低壓的主繞組外，還額外繞製一個獨立的三相繞組。
   • Δ 接線：這個第三繞組的各個繞組端點連接成一個閉合的三角形（Delta）迴路。
   • 功能：

核心觀念

本題利用變壓器的開路試驗（OCT）與短路試驗（SCT）求滿載效率。

• 開路試驗輸入功率主要為鐵損：

  $P_{\mathrm{core}} \approx P_{\mathrm{OC}}$

• 短路試驗因施加電壓很低，鐵損可忽略，因此輸入功率主要為滿載銅損：

  $P_{\mathrm{cu,FL}} \approx P_{\mathrm{SC}}$

變壓器效率定義為

$$\eta=\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{out}}+P_{\mathrm{loss}}}$$

其中

$$P_{\mathrm{loss}}=P_{\mathrm{core}}+P_{\mathrm{cu}}$$

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解題方法

1. 由開路試驗求鐵損

開路試驗資料為

$$V_{\mathrm{OC}}=200\text{ V},\qquad I_{\mathrm{OC}}=20\text{ A},\qquad P_{\mathrm{OC}}=200\text{ W}$$

因此鐵損為

$$P_{\mathrm{core}}=200\text{ W}$$

2. 由短路試驗求滿載銅損

短路試驗資料為

$$V_{\mathrm{SC}}=100\text{ V},\qquad I_{\mathrm{SC}}=100\text{ A},\qquad P_{\mathrm{SC}}=800\text{ W}$$

短路試驗電流 $100\text{ A}$ 等於額定電流，故此功率即為滿載銅損：

$$P_{\mathrm{cu,FL}}=800\text{ W}$$

因此滿載時總損失為

$$P_{\mathrm{loss}}=P_{\mathrm{core}}+P_{\mathrm{cu,FL}} =200+800=1000\text{ W}$$

核心觀念

變壓器效率為

$$\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{\text{loss}}}$$

變壓器的損失包含：

1. 鐵損（核心損）：近似固定，取自開路試驗（OCT）。
2. 銅損：與負載電流平方成正比，取自短路試驗（SCT）。

當變壓器的銅損等於鐵損時，效率達到最大值：

$$P_{\text{cu}}=P_{\text{core}}$$

題目未給負載功率因數；「absolute maximum efficiency」表示連同功率因數一併取最大，因此採用功率因數為 $1$。

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由試驗資料求損失

1. 開路試驗：鐵損

開路試驗輸入功率幾乎全為鐵損，因此

$$P_{\text{core}}=P_{\text{oc}}=200\text{ W}$$

2. 短路試驗：額定銅損

短路試驗資料為

$$V_{\text{sc}}=100\text{ V},\qquad I_{\text{sc}}=100\text{ A},\qquad P_{\text{sc}}=800\text{ W}$$

試驗電流 $100\text{ A}$ 等於高壓側額定電流：

$$I_{\text{H,rated}}=\frac{200\,000}{2000}=100\text{ A}$$

因此短路試驗的功率即為額定負載時的銅損：

$$P_{\text{cu,rated}}=800\text{ W}$$

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最大效率時的負載率

設負載率為 $x$，則負載輸出容量為

$$S_{\text{out}}=x(200\text{ kVA})$$

負載率為 $x$ 時，銅損為

此題考驗將傳統變壓器改裝成自耦變壓器（Auto-transformer）的接線方式。

核心觀念：
自耦變壓器利用變壓器繞組的一部分作為一次側和二次側的共用部分，從而減少所需的導體材料，提高功率容量，並改善效率。
對於升壓自耦變壓器，需要將較低電壓的繞組（例如 200V 側）與較高電壓的繞組（例如 2000V 側）串聯起來，使得它們的電壓可以疊加。

解題步驟：

1. 確定變壓器的繞組：

   • 我們有一個額定 2000V / 200V 的傳統變壓器。
   • 這意味著它有高壓側繞組（標稱 2000V）和低壓側繞組（標稱 200V）。
   • 由於變壓器是單相的，我們可以將其視為一個帶有抽頭（tap）的單一繞組，或者更準確地說，是兩個繞組。
   • 高壓側繞組（2000V）和低壓側繞組（200V）之間存在漏抗和互感。

2. 目標電壓：

   • 目標是連接成一個 2000V / 2200V 的自耦變壓器。
   • 這是一個升壓應用，我們需要將 2000V 的輸入電壓提升到 2200V 的輸出電壓。

3. 自耦變壓器接線原理：

   • 對於升壓自耦變壓器，我們將較低電壓的繞組（200V 側）串聯到較高電壓的繞組（2000V 側）上。
   • 將傳統變壓器的低壓側（200V）作為「公共端」（common terminal）。
   • 將傳統變壓器的高壓側（2000V）作為「串聯端」（series terminal）。
   • 將低壓側繞組的兩端（稱為 A 和 B）和高壓側繞組的兩端（稱為 C 和 D）進行連接。

4. 具體連接方式：

   • 確定變壓器繞組的極性：傳統變壓器的標示通常是高壓側（2000V）和低壓側（200V）。我們假設高壓側繞組有兩端，低壓側繞組也有兩端。
   • 連接方案：
     • 將傳統變壓器的低壓側繞組（200V 側）的「一端」連接到高壓側繞組（2000V 側）的「一端」。
     • 將傳統變壓器的低壓側繞組（200V 側）的「另一端」作為自耦變壓器的「輸入端」（例如 2000V）。
     • 將傳統變壓器的高壓側繞組（2000V 側）的「另一端」作為自耦變壓器的「輸出端」（例如 2200V）。
   • 圖示說明：

核心觀念

本題考查：

1. 由短路試驗資料判斷變壓器額定電流與額定容量。
2. 兩繞組變壓器改接成自耦變壓器後，利用串聯繞組與共用繞組的電流關係，求自耦變壓器的容量。
3. 自耦變壓器採升壓串聯時，輸出電壓為兩繞組電壓相加。

原變壓器為 $2000/200\text{ V}$，匝數比為

$$a=\frac{V_H}{V_L}=\frac{2000}{200}=10$$

短路試驗在高壓側施加 $100\text{ V}$、流過 $100\text{ A}$。由於短路試驗電流已達高壓側額定電流，因此

$$I_H=100\text{ A}$$

原變壓器額定容量為

$$S_{2w}=V_HI_H =2000\times 100 =200,000\text{ VA} =200\text{ kVA}$$

低壓側額定電流為

$$I_L=\frac{S_{2w}}{V_L} =\frac{200,000}{200} =1000\text{ A}$$

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解題方法

將 $2000\text{ V}$ 與 $200\text{ V}$ 兩繞組採串聯相加方式接成自耦變壓器，則自耦變壓器的總輸出電壓為

$$V_{\text{auto}}=2000+200=2200\text{ V}$$

在此接法中：

• $200\text{ V}$ 低壓繞組為串聯繞組，承受自耦變壓器的負載電流。
• 低壓繞組額定電流為 $1000\text{ A}$。
• 因此自耦變壓器的額定輸出容量為

$$S_{\text{auto}} =V_{\text{auto}}I_L =2200\times 1000 =2,200,000\text{ VA}$$

所以

$$S_{\text{auto}}=2200\text{ kVA}$$

也可用自耦變壓器容量公式表示。原兩繞組變壓器容量為 $200\text{ kVA}$，串聯繞組電壓為 $200\text{ V}$，因此

$$S_{\text{auto}} =S_{2w}\frac{V_H+V_L}{V_L}$$

代入數值：

核心觀念

本題利用變壓器的開路試驗（OCT）與短路試驗（SCT）求滿載效率。

• 開路試驗輸入功率主要為鐵損：

  $P_{\mathrm{core}} \approx P_{\mathrm{OC}}$

• 短路試驗因施加電壓很低，鐵損可忽略，因此輸入功率主要為滿載銅損：

  $P_{\mathrm{cu,FL}} \approx P_{\mathrm{SC}}$

變壓器效率定義為

$$\eta=\frac{P_{\mathrm{out}}}{P_{\mathrm{out}}+P_{\mathrm{loss}}}$$

其中

$$P_{\mathrm{loss}}=P_{\mathrm{core}}+P_{\mathrm{cu}}$$

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解題方法

1. 由開路試驗求鐵損

開路試驗資料為

$$V_{\mathrm{OC}}=200\text{ V},\qquad I_{\mathrm{OC}}=20\text{ A},\qquad P_{\mathrm{OC}}=200\text{ W}$$

因此鐵損為

$$P_{\mathrm{core}}=200\text{ W}$$

2. 由短路試驗求滿載銅損

短路試驗資料為

$$V_{\mathrm{SC}}=100\text{ V},\qquad I_{\mathrm{SC}}=100\text{ A},\qquad P_{\mathrm{SC}}=800\text{ W}$$

短路試驗電流 $100\text{ A}$ 等於額定電流，故此功率即為滿載銅損：

$$P_{\mathrm{cu,FL}}=800\text{ W}$$

因此滿載時總損失為

$$P_{\mathrm{loss}}=P_{\mathrm{core}}+P_{\mathrm{cu,FL}} =200+800=1000\text{ W}$$

此題考驗三相變壓器組的接線與額定值的計算。題目中提到「Three these single-phase transformers」，表示有三個獨立的單相變壓器被連接成一個三相變壓器組。

核心觀念：

1. Delta-Delta (Δ-Δ) 接線：三相變壓器的一種接線方式，其中一次側和二次側的繞組都接成三角形。
2. 單相變壓器組成三相組：通常，三個相同的單相變壓器可以組成一個三相變壓器組。
3. 額定電壓與額定容量：對於 Δ-Δ 接線，一次側和二次側的線電壓（Line-to-Line Voltage）是其額定值。三相總容量是單相變壓器容量的三倍。

解題步驟：
題目中並未給出單相變壓器的詳細規格（如額定電壓、額定容量），但從上一題的背景（14200kVA, 2000V/200V 的單相變壓器）來看，很可能是在延續這個單相變壓器的規格。

假設：我們假設這三個單相變壓器與上一題的規格相同，即每個單相變壓器的額定容量為 14200kVA，額定電壓為 2000V/200V。

1. 確定單相變壓器的額定值：

   • 每個單相變壓器的額定容量 $S_{1\phi} = 14200 kVA$。
   • 每個單相變壓器的額定電壓：高壓側 $V_{1\phi, H} = 2000V$，低壓側 $V_{1\phi, L} = 200V$。

2. 連接成 Δ-Δ 三相變壓器組：

   • 一次側 (Primary) Δ 接線：將三個單相變壓器的高壓側繞組（或低壓側繞組，取決於總體設計的電壓等級）連接成一個三角形。
   • 二次側 (Secondary) Δ 接線：同樣將三個單相變壓器的另一個繞組（與一次側相對應）連接成一個三角形。

3. 計算三相變壓器組的額定線電壓 (Line-to-Line Voltages)：

   • 一次側線電壓 ($V_{L1}$)：
     • 在 Δ 接線中，線電壓等於繞組電壓。
     • 如果我們將三個單相變壓器的高壓側繞組（額定 2000V）連接成一次側 Δ 接線，則一次側的線電壓就是 $V_{L1} = 2000V$。

核心觀念

本題考查單相全橋逆變器的線性調變能力，以及交流側濾波電感所造成的電壓需求。

逆變器交流側電壓必須同時克服：

1. 電網電壓；
2. 濾波電感上的電壓降。

在理想無損、以單位功率因數將最大功率送入電網時：

$$v_{\mathrm{inv}}(t)=v_g(t)+L\frac{di(t)}{dt}$$

單相全橋採用線性 PWM 時，輸出基波電壓的最大峰值為直流匯流排電壓 $V_{dc}$。因此必須滿足：

$$V_{dc}\geq V_{\mathrm{inv,peak}}$$

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解題方法

1. 電網電壓峰值

電網電壓為 $220\ \mathrm{V_{rms}}$，因此：

$$V_{g,\mathrm{peak}}=\sqrt{2}\times 220 =311.13\ \mathrm{V}$$

令電網電壓為：

$$v_g(t)=V_{g,\mathrm{peak}}\sin(\omega t)$$

其中角頻率為：

$$\omega=2\pi f=2\pi(60)=376.99\ \mathrm{rad/s}$$

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2. 最大輸出電流

題目給定 PV 最大功率為 $5\ \mathrm{kW}$。在逆變器無損且以單位功率因數輸出時，交流側電流有效值為：

$$I_{\mathrm{rms}}=\frac{P}{V_{g,\mathrm{rms}}} =\frac{5000}{220} =22.73\ \mathrm{A}$$

其峰值為：

$$I_{\mathrm{peak}}=\sqrt{2}I_{\mathrm{rms}} =\sqrt{2}(22.73) =32.14\ \mathrm{A}$$

由於電流與電網電壓同相，可寫成：

$$i(t)=I_{\mathrm{peak}}\sin(\omega t)$$

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3. 濾波電感電壓

電感電壓為：

$$v_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}$$

因此：

$$\frac{di(t)}{dt} =\omega I_{\mathrm{peak}}\cos(\omega t)$$

電感電壓的峰值為：

$$V_{L,\mathrm{peak}} =\omega L I_{\mathrm{peak}}$$

代入 $L=2\ \mathrm{mH}$：

核心觀念

本題是單相接地故障的對稱分量分析。圖中 $a'$ 點經阻抗 $Z$ 接地，因此故障阻抗為

$$Z_f=Z$$

三相左側與右側電源皆為正序電壓組，且每一相由兩個串聯阻抗 $Z$ 連接。故障前，$a'$ 點的開路電壓為左右兩側電源電壓的平均值。

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一、故障點的正序戴維寧電壓

由圖可得

$$E_{La}=1\angle 60^\circ,\qquad E_{Ra}=1\angle 0^\circ$$

故障前 $a'$ 點開路電壓為

$$V_{th,a'}=\frac{E_{La}+E_{Ra}}{2}$$ $$=\frac{1\angle60^\circ+1\angle0^\circ}{2} =\frac{\sqrt{3}}{2}\angle30^\circ$$

由於兩組電源皆為正序組，因此此戴維寧電壓只有正序分量：

$$V_{1,th}=\frac{\sqrt{3}}{2}\angle30^\circ$$

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二、序網路等效阻抗

將兩側理想電壓源歸零後，從 $a'$ 點看入：

• 左側有一個 $Z$
• 右側有一個 $Z$

兩者並聯，因此各序網路的戴維寧阻抗為

$$Z_1=Z_2=Z_0=Z\parallel Z=\frac{Z}{2}$$

單相接地故障時，三個序網路串聯，且故障阻抗在序網路中等效為 $3Z_f$。因此

$$I_f = \frac{3V_{1,th}} {Z_1+Z_2+Z_0+3Z_f}$$

代入 $Z_f=Z$ 與 $Z_1=Z_2=Z_0=Z/2$：

核心觀念

本題考查三相交流電力系統的匯流排導納矩陣（bus admittance matrix，簡稱 $Y_{\text{bus}}$）表示法。

對三個匯流排系統而言，導納矩陣定義為

$$\begin{bmatrix} I_1\\ I_2\\ I_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_{11}&Y_{12}&Y_{13}\\ Y_{21}&Y_{22}&Y_{23}\\ Y_{31}&Y_{32}&Y_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2\\ V_3 \end{bmatrix}$$

其中：

• $Y_{ii}$：第 $i$ 號匯流排的自導納。
• $Y_{ij}$：第 $i$ 號與第 $j$ 號匯流排間的互導納。
• 若輸電線路為互易元件，則有 $Y_{ij}=Y_{ji}$，因此矩陣具有對稱性。

題目已直接給定：

$$Y_{ii}=-9.90\ \text{p.u.}$$

以及當 $i\neq j$ 時，

$$Y_{ij}=5\ \text{p.u.}$$

因此只需依照矩陣位置填入相應數值。

解題方法

三個匯流排的導納矩陣共有九個元素：

核心觀念

潮流解已由圖中給定母線電壓，因此直接用節點方程計算各母線的複功率注入：

$$S_i=P_i+jQ_i=V_i I_i^*,\qquad \mathbf I=Y_{\text{bus}}\mathbf V$$

解題方法

圖二是母線 1、2、3 以三條輸電線相連的網路。母線 1 為參考母線，電壓為 $V_1=1\angle0^\circ$；母線 2 為發電機 $SG_2$，電壓為 $V_2=1.05\angle-3^\circ$；母線 3 接負載，電壓為 $V_3=0.95\angle-10^\circ$。依題目給定的純虛數導納，$Y_{ii}=-j9.90$、$Y_{ij}=j5$，所以

$$Y_{\text{bus}} =j\begin{bmatrix} -9.90&5&5\\ 5&-9.90&5\\ 5&5&-9.90 \end{bmatrix}\text{ p.u.}$$

令 $V_i=|V_i|\angle\delta_i$，由 $S_i=V_iI_i^*$ 可得

$$P_i=5\sum_{j\ne i}|V_i||V_j|\sin(\delta_i-\delta_j)$$ $$Q_i=9.90|V_i|^2 -5\sum_{j\ne i}|V_i||V_j|\cos(\delta_i-\delta_j)$$

各母線間的相角差為：母線 1 對母線 2、3 分別為 $3^\circ$、$10^\circ$；母線 2 對母線 1、3 分別為 $-3^\circ$、$7^\circ$；母線 3 對母線 1、2 分別為 $-10^\circ$、$-7^\circ$。代入計算：

母線 1

此題考驗功率潮流計算的結果，需要從圖 2 中提取 Bus 1 到 Bus 2 線路的潮流資訊。

核心觀念：
功率潮流計算的結果包含各條線路的潮流（通常表示為複功率 $S = P + jQ$）以及各節點的電壓（幅值和相角）。
題目要求確定「the line from Bus 1 to Bus 2」，這意味著需要找出從 Bus 1 流向 Bus 2 的潮流。

解題步驟：

1. 查看圖 2 中的圖例和標示：
   • 圖 2 顯示了 Bus 1, Bus 2, Bus 3。
   • 在連接 Bus 1 和 Bus 2 的線路上，有標示：
     • 一對箭頭，表示功率流動的方向。
     • 兩個複數值，通常表示從起始節點（Bus 1）到目標節點（Bus 2）的複功率 $S_{12} = P_{12} + jQ_{12}$，以及從目標節點（Bus 2）到起始節點（Bus 1）的複功率 $S_{21} = P_{21} + jQ_{21}$。
     • 注意：$S_{12} + S_{21} = 0$ (忽略損耗)。

此題考驗功率潮流計算結果的應用，需要從圖 2 中提取 SG2（發電機 2）提供的複功率。

核心觀念：
在功率潮流計算中，發電機節點（PV 節點）的出力（有功功率 $P$ 和無功功率 $Q$）是計算的輸入參數之一，同時也可能是計算的輸出結果（如果發電機的無功功率出力不是預設值）。
題目要求的是 SG2 提供的複功率，這通常指的是 SG2 作為發電機，向系統注入的複功率。

解題步驟：

1. 識別 SG2 節點：
   • 圖 2 顯示了 Bus 1, Bus 2, Bus 3，以及 SG1 和 SG2。
   • SG1 和 SG2 是發電機節點（PV 節點）。

核心觀念

本題考查同步發電機的暫態穩定度與等面積準則。故障前、故障中、故障後分別建立功角特性：

$$P_e=P_{\max}\sin\delta$$

臨界清除角由加速面積等於減速面積求得。慣性常數 $H=5$ 只會影響故障持續時間，不影響臨界清除角。

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一、故障前的功角特性

由圖可知，發電機暫態內電勢 $E'$ 至無限匯流排的總電抗為

$$X_{\text{pre}} =x_d'+X_t+(X_{L1}\parallel X_{L2})$$

其中

$$X_{L1}\parallel X_{L2} =0.3\parallel 0.3=0.15$$

因此

$$X_{\text{pre}}=0.3+0.2+0.15=0.65\ \text{p.u.}$$

無限匯流排電壓為 $V=1\angle 0^\circ$，發電機輸出功率為

$$S=P+jQ=0.8+j0.074$$

故線路電流為

$$I=\frac{S^*}{V^*} =0.8-j0.074$$

暫態內電勢為

$$E'=V+jX_{\text{pre}}I$$ $$E' =1+j(0.65)(0.8-j0.074)$$ $$E'=1.0481+j0.52$$

所以

$$|E'|=\sqrt{1.0481^2+0.52^2} \approx 1.170$$

故障前功角為

$$\delta_0 =\tan^{-1}\left(\frac{0.52}{1.0481}\right) \approx 26.4^\circ$$

故障前最大輸出功率：

$$P_{\max,\text{pre}} =\frac{|E'|V}{X_{\text{pre}}} =\frac{1.170}{0.65} \approx 1.80$$

因此故障前機械輸入功率為

$$P_m=P_e=0.8\ \text{p.u.}$$

且

$$0.8=1.80\sin\delta_0$$

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二、故障中的功角特性

三相短路發生於下方輸電線的送端 $F$。故障點相當於送端匯流排短路接地，送端電壓降為零。

雖然上方輸電線仍存在，但發電機端至無限匯流排之間的有效有功功率傳輸被故障點截斷，因此故障期間：

$$P_{e,\text{fault}}=0$$

故障期間全部機械輸入功率轉為加速功率。

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三、故障清除後的功角特性

題目說明故障清除後兩條線均保持完整，因此系統恢復為故障前網路：

$$P_{e,\text{post}} =P_{\max}\sin\delta =1.80\sin\delta$$

故障清除後的不穩定平衡點為

核心觀念

本題考查同步發電機的暫態穩定度與等面積法則。故障前、故障中、故障後的功角特性分別為

$$P_e=P_{\max}\sin\delta$$

臨界清除角 $\delta_{c2}$ 的判定條件為：

$$\text{故障期間加速面積} = \text{故障切除後減速面積}$$

其中發電機內部暫態電勢 $E'$ 的大小與初始功角 $\delta_0$ 必須先求出。

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一、求發電機內部暫態電勢與初始功角

故障前兩條線並聯，因此由發電機內部電勢至無限匯流排的總電抗為

$$X_{\text{pre}} =x_d'+x_T+(X_{L1}\parallel X_{L2})$$ $$=0.3+0.2+(0.3\parallel0.3) =0.3+0.2+0.15 =0.65\ \text{p.u.}$$

無限匯流排電壓取為

$$V=1\angle0^\circ$$

發電機輸出複功率為

$$S=P+jQ=0.8+j0.074$$

因此電流為

$$I=\frac{S^*}{V^*}=0.8-j0.074$$

發電機內部暫態電勢：

$$E'=V+jX_{\text{pre}}I$$ $$E'=1+j(0.65)(0.8-j0.074)$$ $$E'=1.0481+j0.52$$

所以

$$|E'|=\sqrt{1.0481^2+0.52^2}\approx1.17$$

初始功角為

$$\delta_0 =\tan^{-1}\left(\frac{0.52}{1.0481}\right) \approx26.4^\circ =0.460\ \text{rad}$$

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二、故障期間的功角特性

故障發生在線路中點，故障線的兩半段電抗均為

$$\frac{0.3}{2}=0.15\ \text{p.u.}$$

故障期間的網路如下：

• 發電機內部電勢至故障前端：$x_d'+x_T=0.5$
• 故障線上半段：$0.15$
• 故障線下半段：$0.15$
• 另一條健康線：$0.3$

令發電機端匯流排電壓為 $V_1$，無限匯流排電壓為 $V=1\angle0^\circ$。由匯流排 $V_1$ 寫節點方程：

$$\frac{V_1-E'}{j0.5} +\frac{V_1}{j0.15} +\frac{V_1-V}{j0.3}=0$$

整理得

$$V_1 =\frac{2E'+\frac{10}{3}V} {2+\frac{20}{3}+\frac{10}{3}} =\frac{1}{6}E'+\frac{5}{18}V$$

由此可得故障期間由發電機輸出的電功率為

$$P_{e,f} =P_{\max,f}\sin\delta$$

其中

$$P_{\max,f} =\frac{5}{9}|E'| =\frac{5}{9}(1.17) =0.65$$

因此

$$P_{e,f}=0.65\sin\delta$$

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三、故障切除後的功角特性

故障線被隔離，只剩另一條線路運轉，因此故障後總電抗為

核心觀念

本題考查同步發電機的功角與相量關係。發電機內部暫態電勢 $E'$ 經過直軸暫態電抗 $x_d'=0.3$ p.u. 後，接至無限匯流排。純電抗線路不消耗實功，因此可利用：

$$\underline{S}=\underline{V}\underline{I}^{\,*}$$

以及發電機相量方程式：

$$\underline{E}'=\underline{V}+j x_d'\underline{I}$$

圖中 $\delta_1$ 為發電機內部電勢 $\underline{E}'$ 相對無限匯流排電壓的相角，$\delta_2$ 為發電機端電壓 $\underline{V}$ 相對無限匯流排電壓的相角。

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解題方法

令發電機端電壓為參考相量：

$$\underline{V}=1\angle 0^\circ$$

已知發電機輸出：

$$P=0.8,\qquad Q=0.074$$

因此：

$$\underline{S}=0.8+j0.074$$

由 $\underline{S}=\underline{V}\underline{I}^{\,*}$ 得：

$$\underline{I}^{\,*}=\frac{\underline{S}}{\underline{V}} =0.8+j0.074$$

所以：

$$\underline{I}=0.8-j0.074$$

通過發電機暫態電抗的電壓降為：

$$j x_d'\underline{I} =j(0.3)(0.8-j0.074)$$ $$=0.0222+j0.24$$

故內部暫態電勢為：

$$\underline{E}' =\underline{V}+j x_d'\underline{I} =1.0222+j0.24$$

其相對發電機端電壓的相角為：

$$\alpha =\tan^{-1}\left(\frac{0.24}{1.0222}\right) \approx 13.21^\circ$$

因此，$\underline{E}'$ 必定超前端電壓 $\underline{V}$：

$$\angle E'=\angle V+13.21^\circ$$