110 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》考古題與詳解

Question 1

Let $A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}1 & \mathbf{a}2 & \mathbf{a}3 & \mathbf{a}4 & \mathbf{a}5 \end{bmatrix}$ be a matrix, and its reduced row echelon form is $R = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$. Which of the following statements is/are true? (A) $\mathbf{a}2$ is the $4 	imes 1$ zero vector. (B) The three column vectors $\mathbf{a}1, \mathbf{a}4$ and $\mathbf{a}5$ are linearly independent. (C) The column space of $R$ is the same as the column space of $A$. (D) Let $B = \begin{bmatrix} \mathbf{a}1 & \mathbf{a}3 \ \mathbf{a}2 & \mathbf{a}4 \end{bmatrix}$ be a submatrix of $A$. The reduced row echelon form of $B$ is not always a submatrix of $R$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

參考書等級：大學二年級線性代數教材 已知 $A=[\mathbf a1\;\mathbf a2\;\mathbf a3\;\mathbf a4\;\mathbf a5]$，其 rref 為 $$ R=\begin{bmatrix} 1&0&0&2&0\ 0&0&1&1&0\ 0&0&0&0&1\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}. $$ --- (A) $\mathbf a2$ 為 $4	imes1$ 零向量 在 rref 中第 2 列全為 0，表示原矩陣第 2 欄不是主軸欄（pivot column），但不代表其全為零向量。若 $\mathbf a2$ 為零向量，其在 rref 中亦會出現全 0 的列；此題的第 2 列已是全 0，故 $\mathbf a2$ 可能是零向量，也可能是其他線性組合。結論：不可必然成立，故 (A) 為 錯。 (B) $\mathbf a1,\mathbf a4,\mathbf a5$ 線性獨立 主軸欄位為第 1、3、5 欄，對應 $\mathbf a1,\mathbf a3,\mathbf a5$ 為基底。第 4 欄在 rref 中為自由變數列 $[2\;1\;0]^T$，可寫成 $\mathbf a4=2\mathbf a1+\mathbf a3$. 因此 $\mathbf a4$ 是 $\mathbf a1,\mathbf a3$ 的線性組合，無法與 $\mathbf a1,\mathbf a5$ 共同構成獨立集合。結論：錯。

Question 2

Continue from Question 1. Which of the following statements is/are true?

(A) The nonzero rows of $R$ form a basis for $col(A^T)$ .
(B) Let $C$ be the reduced row echelon form of $R^T$ . Then $C^T C$ is the identity matrix.
(C) Let $E$ be a $3 \times 5$ matrix and
$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
be the reduced row echelon form of $E$ . We can obtain the intersection of the right null space of $A$ and the right null space of $E$ from $R$ and $D$ without knowing $A$ and $E$ .
(D) Let $Q$ be a $5 \times 5$ matrix and $rank(Q) = 3$ . Then $rank(AQ) = 3$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題主要考查： 1. 列運算與列空間、零空間的關係。 2. 列階梯形矩陣的非零列與基底。 3. 矩陣乘積的秩不等式。 4. 右零空間的交集如何轉化為聯立方程組。 依題組脈絡，$R$ 是由矩陣 $A$ 經初等列運算得到的列階梯形矩陣，因此 $$ \operatorname{row}(R)=\operatorname{row}(A). $$ 又因為 $$ \operatorname{col}(A^T)=\operatorname{row}(A), $$ 所以可利用 $R$ 研究 $A$ 的列空間與右零空間。 --- 解題方法 列運算不會改變矩陣的列空間，也不會改變齊次方程組的解集合。因此： $$ Ax=0 \iff Rx=0. $$ 若另一矩陣 $E$ 的簡化列階梯形為 $D$，則同理有 $$ Ex=0 \iff Dx=0. $$ 故 $$ N(A)\cap N(E) = \{x:Rx=0,\ Dx=0\}, $$ 也就是解聯立矩陣方程 $$ \begin{bmatrix} R\ D \end{bmatrix}x=0. $$ --- 選項分析 （A）正確 題目聲稱：$R$ 的非零列構成 $\operatorname{col}(A^T)$ 的一組基底。 由列運算的性質， $$ \operatorname{row}(R)=\operatorname{row}(A). $$ 而矩陣的列空間與其轉置矩陣的行空間相同，因此 $$ \operatorname{col}(A^T)=\operatorname{row}(A). $$ 所以 $$ \operatorname{col}(A^T)=\operatorname{row}(R). $$ 列階梯形矩陣的非零列彼此線性獨立，且張成其列空間，因此 $R$ 的非零列構成 $\operatorname{col}(A^T)$ 的一組基底。 故（A）正確。 --- （B）錯誤 令 $C$ 為 $R^T$ 的簡化列階梯形矩陣。簡化列階梯形的條件只保證： - 主元為 $1$； - 主元所在列與行的其他元素為 $0$； - 非零列的主元位置呈階梯狀排列。 這些條件不代表 $C$ 的列向量彼此正交，也不代表每個列向量的長度為 $1$。 而 $$ C^TC=I $$ 表示 $C$ 的列向量構成一組標準正交組。這是正交矩陣或 Gram–Schmidt 正交化所涉及的性質，並非簡化列階梯形矩陣必然具有的性質。 例如 $$ C= \begin{bmatrix} 1&1\ 0&1 \end{bmatrix} $$ 已是簡化列階梯形矩陣以外的典型列階梯形式，但其兩個列向量並不正交，且 $$ C^TC = \begin{bmatrix} 1&1\ 1&2 \end{bmatrix} 
eq I. $$ 因此不能由「$C$ 是 $R^T$…

Question 3

Let $U$ and $V$ be subspaces of $\mathbb{R}^n$ and $T$ be a linear transformation from $\mathbb{R}^n$ to $\mathbb{R}^m$ . Which of the following sets is/are subspace(s) of $\mathbb{R}^n$ ?

(A) $\{ \mathbf{a} + \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{a} \in U \text{ and } \mathbf{b} \in V \}$ .
(B) $\{ \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{a} \in U \text{ or } \mathbf{a} \in V \}$ .
(C) $\{ \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n : \mathbf{a} \in U \text{ and } \mathbf{a} \in V \}$ .
(D) $\{ \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n : T(\mathbf{a}) = \mathbf{0} \}$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 判斷集合是否為 $\mathbb{R}^n$ 的子空間，需檢查： 1. 包含零向量； 2. 對向量加法封閉； 3. 對純量乘法封閉。 本題涉及三個重要結構： - 子空間的和：$U+V=\{\mathbf{a}+\mathbf{b}:\mathbf{a}\in U,\mathbf{b}\in V\}$； - 子空間的交集：$U\cap V=\{\mathbf{a}:\mathbf{a}\in U,\mathbf{a}\in V\}$； - 線性轉換的核：$\ker(T)=\{\mathbf{a}:T(\mathbf{a})=\mathbf{0}\}$。 已知 $U,V$ 是子空間，且 $T$ 是線性轉換。 解題方法 逐一辨認各選項所代表的集合，再利用子空間的基本定理判斷。 選項 (A) 集合為 $$ \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n:\mathbf{a}\in U,\mathbf{b}\in V\}=U+V. $$ 取任意 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in U+V$，則存在 $\mathbf{a}1,\mathbf{a}2\in U$ 及 $\mathbf{b}1,\mathbf{b}2\in V$，使得 $$ \mathbf{x}=\mathbf{a}1+\mathbf{b}1,\qquad \mathbf{y}=\mathbf{a}2+\mathbf{b}2. $$ 由於 $U,V$ 都是子空間， $$ \mathbf{a}1+\mathbf{a}2\in U,\qquad \mathbf{b}1+\mathbf{b}2\in V. $$ 因此 $$ \mathbf{x}+\mathbf{y} =(\mathbf{a}1+\mathbf{a}2)+(\mathbf{b}1+\mathbf{b}2)\in U+V. $$ 對任意純量 $c$， $$ c\mathbf{x}=c(\mathbf{a}1+\mathbf{b}1) =c\mathbf{a}1+c\mathbf{b}1. $$ 因 $c\mathbf{a}1\in U$ 且 $c\mathbf{b}1\in V$，所以 $c\mathbf{x}\in U+V$。 此外，因 $\mathbf{0}\in U$ 且 $\mathbf{0}\in V$， $$ \mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{0}\in U+V. $$ 故 $U+V$ 為子空間，選項 (A) 正確。 選項 (B) 集合為 $$ \{\mathbf{a}\in\mathbb{R}^n:\mathbf{a}\in U	ext{ 或 }\mathbf{a}\in V\} =U\cup V. $$ 兩個子空間的聯集不一定是子空間。以 $\math…

Question 4

Let $A, B,$ and $C$ be $n 	imes n$ matrices for some positive integer $n$. Which of the following statements is/are true? (A) If $\det(A) = 0$, then $\det(R) = 0$, where $R$ is the reduced row echelon form of $A$. (B) If $AB = CA = In$, then $B = C$. (C) If $\det(AB) 
eq 0$, then $A$ is invertible. (D) $	ext{rank}(AB) = 	ext{rank}(BA)$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查下列矩陣基本性質： 1. 初等列運算不會改變矩陣的秩，也不會改變矩陣是否可逆。 2. 方陣若存在左逆矩陣或右逆矩陣，則該矩陣可逆，且左右逆矩陣相同。 3. $\det(AB)=\det(A)\det(B)$。 4. 一般而言，矩陣乘積不具交換律，且 $\operatorname{rank}(AB)$ 不一定等於 $\operatorname{rank}(BA)$。 --- 選項分析 (A) 正確 若 $\det(A)=0$，則 $A$ 不可逆，亦即 $$ \operatorname{rank}(A)<n. $$ 將 $A$ 化為 reduced row echelon form $R$ 只使用初等列運算，而初等列運算不改變矩陣的秩，因此 $$ \operatorname{rank}(R)=\operatorname{rank}(A)<n. $$ 所以 $R$ 不是滿秩方陣，必有 $$ \det(R)=0. $$ 因此選項 (A) 正確。 --- (B) 正確 已知 $$ AB=In,\qquad CA=In. $$ 利用矩陣乘法結合律： $$ C=C In=C(AB)=(CA)B=InB=B. $$ 因此 $$ B=C. $$ 故選項 (B) 正確。 這也說明方陣的左逆矩陣與右逆矩陣若同時存在，必定相同。 --- (C) 正確 由行列式乘法公式， $$ \det(AB)=\det(A)\det(B). $$ 題目給定 $$ \det(AB)
eq 0. $$ 因此 $\det(A)$ 與 $\det(B)$ 都不可能為 $0$，特別有 $$ \det(A)
eq 0. $$ 方陣行列式非零等價於矩陣可逆，所以 $A$ 可逆。 故選項 (C) 正確。 ---

Question 5

Let $V$ be the vector space of all $A \in \mathbb{R}^{m \times r}$ , with the operations of matrix addition and multiplication of a matrix by a real scalar. Let $T$ be a linear transformation from $V$ to $V$ , and $\{B_1, B_2, \dots, B_n\}$ be a basis for $V$ . Suppose $U$ is a linear transformation from $V$ to $\mathbb{R}^n$ given by $U(c_1B_1 + c_2B_2 + \dots + c_nB_n) = [c_1 \ c_2 \ \dots \ c_n]^T$ . Which of the following statements is/are true?

(A) Let $\{A_1, A_2, \dots, A_k\}$ be linearly independent over $\mathbb{R}$ . The set $\{U(A_1), U(A_2), \dots, U(A_k)\}$ can be linearly dependent over $\mathbb{R}$ .
(B) Suppose the dimension of the range space of $T$ is $k$ over $\mathbb{R}$ . Then $\{T(B_1), T(B_2), \dots, T(B_k)\}$ are linearly independent over $\mathbb{R}$ .
(C) $n = m$ .
(D) Let $c = U(B_1)$ and $a = U(T(B_1))$ , then $a a^T = c c^T$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

解題關鍵 - $V=\mathbb R^{m	imes r}$，$\dim V=m r$，基底 $\{B1,\dots ,Bn\}$，其中 $n=m r$。 - $U:V	o\mathbb R^n$ 為座標映射，對任意 $A=\sum{i=1}^n ciBi$，$U(A)=[c1\;c2\;\dots\;cn]^T$。 - $U$ 為線性雙射（同構），保留線性獨立性與相依性。 --- (A) 若 $\{A1,\dots ,Ak\}$ 線性無關，則對任意係數 $ci$，$\sum ciAi=0\iff ci=0$。 施以 $U$ 得 $\sum ciU(Ai)=U(0)=0$，同樣只有平凡解，所以 $\{U(Ai)\}$ 亦線性無關。 結論：錯（不可能相依）。

Question 6

For the matrix $A = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \ -2 \ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ which of the following statements is/are true? (A) $	ext{rank}(A) = 3$. (B) The sum of eigenvalues of $A$ is 6. (C) $A$ is similar to $B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 4 \ 0 & 2 & -1 \ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$. (D) The system of linear equations $A \mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}^T$ has a solution. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 外積矩陣的計算； - 矩陣的秩與行列式； - 特徵值總和與跡的關係： $$\lambda1+\lambda2+\lambda3=\operatorname{tr}(A);$$ - 相似矩陣具有相同的特徵值、行列式與跡； - 可逆矩陣所對應的線性方程組必有唯一解。 解題方法 先將三個外積矩陣分別計算，再相加。 $$ \begin{bmatrix}1\0\-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&-1&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&-1&0\ 0&0&0\ -1&1&0 \end{bmatrix}, $$ $$ \begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&1&1\ 1&1&1\ 1&1&1 \end{bmatrix}, $$ $$ \begin{bmatrix}1\-2\0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&0&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&0&-1\ 0&0&2\ 0&0&0 \end{bmatrix}. $$ 因此 $$ A= \begin{bmatrix} 2&0&0\ 1&1&3\ 0&2&1 \end{bmatrix}. $$ 選項分析 (A) $\operatorname{rank}(A)=3$ 計算行列式： $$ \det(A) = 2\begin{vmatrix} 1&3\ 2&1 \end{vmatrix} = 2(1-6) =-10
eq 0. $$ 因此 $A$ 可逆，為滿秩矩陣： $$ \operatorname{rank}(A)=3. $$ 故 (A) 正確。 --- (B) $A$ 的特徵值總和為 $6$ 矩陣特徵值總和等於矩陣的跡： $$ \lambda1+\lambda2+\lambda3 =\operatorname{tr}(A). $$ 由 $A$ 的對角線元素得 $$ \operatorname{tr}(A)=2+1+1=4. $$ 因此特徵值總和為 $4$，並非 $6$。 故 (B) 錯誤。 ---

Question 7

For a non-zero matrix $A \in \mathbb{R}^{m 	imes n}$, define $\sigma = \max{\| \mathbf{x} \|=1} \| A \mathbf{x} \|$ (1) the maximum Frobenius norm $\|A \mathbf{x}\|$ over all unit-norm vectors $\mathbf{x}$. Which of the following statements is/are true? (A) $\sigma^2$ is the maximal eigenvalue of $A A^T$. (B) If $\mathbf{x}0$ is an optimal solution to equation (1), i.e., $\| A \mathbf{x}0 \| = \sigma$, then there exists a vector $\mathbf{x}1$ such that $A \mathbf{x}1 = \mathbf{0}$ and $\mathbf{x}1^T \mathbf{x}0 
eq 0$. (C) Assume $m = n$ and $A$ is nonsingular. Then $\frac{1}{\sigma} = \max{\| \mathbf{x} \|=1} \| A^{-1} \mathbf{x} \|$. (D) Assume $m = n$. Then $In + A$ is singular only if $\sigma \ge 1$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

解題要點 - $\sigma=\max{\|x\|=1}\|Ax\|$ 為 $A$ 的算子範數（即最大奇異值），滿足 $$\sigma^{2}=\lambda{\max}(A^{T}A)=\lambda{\max}(AA^{T}).$$ - 右奇異向量 $v{i}$（$\|v{i}\|=1$）構成 $\mathbb{R}^{n}$ 的正交基，且 $$Av{i}=\sigma{i}u{i},\qquad\sigma{i}\ge0$$ 其中 $\sigma{i}$ 為奇異值，$u{i}$ 為左奇異向量。 若 $\sigma{i}=0$，則 $v{i}\in\ker A$，且必與所有 $\sigma{j}0$ 對應的 $v{j}$ 正交。 --- (A) $$\sigma^{2}=\lambda{\max}(AA^{T})$$ 由上式直接得證。成立。

Question 8

Let

V

together with the inner product

\langle \cdot, \cdot \rangle_V

be an inner product space over

\mathbb{R}

. For a collection of

N

linearly independent vectors

\{\mathbf{w}_1, \dots, \mathbf{w}_N\}

in

V

, let

M = [m_{i,j}] \in \mathbb{R}^{N \times N}

be the corresponding Gram matrix, i.e., the

(i, j)

-th entry of

M

is given by

m_{i,j} = \langle \mathbf{w}_i, \mathbf{w}_j \rangle_V

. Define the following set of real-valued functions

F := \{ f: V \to \mathbb{R} \}

f(\mathbf{x}) = \sum_{n=1}^N \alpha_n \langle \mathbf{w}_n, \mathbf{x} \rangle_V

, where

\alpha_1, \dots, \alpha_N \in \mathbb{R}

.

F

is a vector space over

\mathbb{R}

when combined with standard addition and scalar multiplication of real-valued functions. For any

f(\mathbf{x}) = \sum_{n=1}^N \alpha_n \langle \mathbf{w}_n, \mathbf{x} \rangle_V

and

g(\mathbf{y}) = \sum_{m=1}^N \beta_m \langle \mathbf{w}_m, \mathbf{y} \rangle_V

in the vector space

F

, define

(f, g)_F = \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^N \alpha_n \beta_m \langle \mathbf{w}_n, \mathbf{w}_m \rangle_V

.
Which of the following statements is/are true?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三個重點： 1. 線性獨立向量的 Gram 矩陣是否為正定矩陣。 2. 內積誘導的向量範數計算。 3. 以函數係數與 Gram 矩陣定義的 $(\cdot,\cdot)F$ 是否構成內積，以及其與函數值的關係。 Gram 矩陣為 $$ M=[m{i,j}],\qquad m{i,j}=\langle \mathbf wi,\mathbf wjangleV. $$ 對任意 $\mathbf c=(c1,\dots,cN)^T\in\mathbb R^N$， $$ \mathbf c^T M\mathbf c = \sum{i=1}^N\sum{j=1}^N ci cj \langle \mathbf wi,\mathbf wjangleV = \left\|\sum{i=1}^N ci\mathbf wiight\|V^2. $$ 這個公式是判斷 Gram 矩陣正定性的關鍵。 --- 解題方法 逐一檢查各選項： - 先利用向量線性獨立性判斷 Gram 矩陣。 - 利用 $$ \|\mathbf u-\mathbf v\|V^2 = \langle \mathbf u,\mathbf uangleV +\langle \mathbf v,\mathbf vangleV -2\langle \mathbf u,\mathbf vangleV $$ 計算選項 B。 - 將 $(f,g)F$ 改寫成兩個向量線性組合的內積，驗證內積公理。 - 代入 $g(\mathbf y)=\langle\mathbf w1,\mathbf yangleV$ 的係數，檢查選項 D。 --- 選項分析 (A) $M$ 是正定矩陣 對任意非零向量 $\mathbf c\in\mathbb R^N$， $$ \mathbf c^T M\mathbf c = \left\|\sum{i=1}^N ci\mathbf wiight\|V^2. $$ 由於 $\{\mathbf w1,\dots,\mathbf wN\}$ 線性獨立，當 $\mathbf c
eq\mathbf 0$ 時， $$ \sum{i=1}^N ci\mathbf wi
eq \mathbf 0. $$ 因此 $$ \left\|\sum{i=1}^N ci\mathbf wiight\|V^20, $$ 故 $$ \mathbf c^T M\mathbf c0\qquad(\mathbf c
eq\mathbf 0). $$ 所以 $M$ 為正定矩陣。 (A) 正確。 --- (B) $\|\mathbf w1-\mathbf w2\|V=4$ 由題目條件， $$ \langle\mathbf w1,\mathbf w1angleV=2,\qquad \l…

Question 9

Which of the following statements is/are true? (A) Let $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ be two non-zero vectors in $\mathbb{R}^n$. The matrix $\mathbf{x} \mathbf{y}^T$ is diagonalizable if $\mathbf{y}^T \mathbf{x} 
eq 0$. (B) If $A \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$ is symmetric and positive definite, then $A + A^{-1} - 2In$ is positive semi-definite. (C) For $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$ such that $\mathbf{u}^T \mathbf{v} 
eq 0$, $\mathbb{R}^n = (	ext{span}\{\mathbf{u}\}) \oplus (	ext{span}\{\mathbf{v}\})$, where $\oplus$ is the operation of direct sum of two vector spaces. (D) For the real matrix $Q = In - \mathbf{u} \mathbf{u}^T$, where $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$, we have $\det(Q) + 	ext{rank}(Q) = n$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查： - 秩一矩陣 $\mathbf{x}\mathbf{y}^T$ 的特徵值與可對角化性。 - 對稱正定矩陣的譜分解，以及正半定矩陣的判定。 - 直和的定義與維度公式。 - $In-\mathbf{u}\mathbf{u}^T$ 的特徵值、行列式與秩。 - 「以上皆非」選項的判斷。 --- 解題方法與選項分析 選項 (A) 令 $$ M=\mathbf{x}\mathbf{y}^T. $$ 由矩陣乘法可得 $$ M\mathbf{x} =\mathbf{x}\mathbf{y}^T\mathbf{x} =(\mathbf{y}^T\mathbf{x})\mathbf{x}. $$ 因此，$\mathbf{x}$ 是 $M$ 的特徵向量，對應特徵值 $$ \lambda=\mathbf{y}^T\mathbf{x}. $$ 又因為 $M$ 的秩最多為 $1$，當 $\mathbf{y}^T\mathbf{x}
eq 0$ 時，$M$ 的非零特徵值只有 $\lambda$，其餘 $n-1$ 個特徵值為 $0$。 此外， $$ M^2 =\mathbf{x}\mathbf{y}^T\mathbf{x}\mathbf{y}^T =(\mathbf{y}^T\mathbf{x})M =\lambda M. $$ 所以 $M$ 滿足多項式 $$ p(t)=t(t-\lambda). $$ 由於 $\lambda
eq 0$，$0$ 與 $\lambda$ 是兩個相異根，故 $M$ 的最小多項式沒有重根，因此 $M$ 可對角化。 所以選項 (A) 正確。 --- 選項 (B) 因為 $A$ 為實對稱正定矩陣，所以存在正交矩陣 $P$，使得 $$ A=P\operatorname{diag}(\lambda1,\lambda2,\ldots,\lambdan)P^T, $$ 其中每個特徵值皆滿足 $\lambdai0$。 因此 $$ A^{-1} =P\operatorname{diag}\left(\frac1{\lambda1},\ldots,\frac1{\lambdan}ight)P^T. $$ 故 $$ A+A^{-1}-2In = P\operatorname{diag}\left( \lambdai+\frac1{\lambdai}-2 ight){i=1}^nP^T. $$ 對每個 $\lambdai0$， $$ \lambdai+\frac1{\lambdai}-2 = \frac{(\lambdai-1)^2}{\lambdai} \geq 0. $$ 所以 $A+A^{-1}-2In$ 的所有特徵值皆非負，因而為正半定矩陣。 所以選項 (B) 正確。 --- 選項 (C) 由 $\mathbf{u}^T\mathbf{…

Question 10

Let $P \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$ be the orthogonal projection matrix, with respect to the Euclidean inner product, of vectors in $\mathbb{R}^n$ onto col(A) for some nonzero matrix $A \in \mathbb{R}^{n 	imes k}$. Which of the following statements is/are true? (A) $	ext{tr}(P^T P) \ge 	ext{rank}(P)$. (B) $P$ can have an eigenvalue larger than 2. (C) $P \mathbf{x} \mathbf{x}^T$ for all $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$. (D) If $k < n$ and $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$, the system of linear equations $A \mathbf{x} = \mathbf{b}$ has a unique least squares solution. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 正交投影矩陣 $P$ 將任意向量投影到 $\operatorname{col}(A)$。因此具有以下性質： $$ P^T=P,\qquad P^2=P. $$ 其中 $P^T=P$ 表示對稱，$P^2=P$ 表示冪等。若令 $$ r=\operatorname{rank}(P)=\dim(\operatorname{col}(A)), $$ 則 $P$ 的特徵值只能是 $0$ 或 $1$，且特徵值 $1$ 的個數為 $r$。 --- 解題方法 利用正交投影矩陣的對稱性與冪等性，逐一檢驗各選項。特別是： $$ P^TP=P^2=P. $$ 因此 $$ \operatorname{tr}(P^TP)=\operatorname{tr}(P). $$ 而投影矩陣的跡等於其秩： $$ \operatorname{tr}(P)=\operatorname{rank}(P). $$ --- 選項分析 (A) $\operatorname{tr}(P^TP)\ge \operatorname{rank}(P)$ 由 $P^T=P$ 且 $P^2=P$， $$ P^TP=P^2=P. $$ 因此 $$ \operatorname{tr}(P^TP) =\operatorname{tr}(P) =\operatorname{rank}(P). $$ 所以不等式成立，而且實際上是等號成立。 故 (A) 正確。 --- (B) $P$ 可以有大於 $2$ 的特徵值 設 $\lambda$ 為 $P$ 的特徵值，且 $\mathbf{v}
e\mathbf{0}$ 滿足 $$ P\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}. $$ 由 $P^2=P$， $$ P^2\mathbf{v}=P\mathbf{v}. $$ 所以 $$ \lambda^2\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}, $$ 即 $$ \lambda(\lambda-1)=0. $$ 因此 $$ \lambda=0\quad	ext{或}\quad \lambda=1. $$ 不可能存在大於 $2$ 的特徵值。 故 (B) 錯誤。 --- (C)

Question 11

Consider the first order differential equation $xy'(x) = y(x) - \sqrt{x^2 + (y(x))^2}$ with initial condition $y(2) = 0$ . Which of the following statements is/are true?

(A) It is a linear differential equation for the dependent variable $y$ .
(B) $y(x)$ is a parabolic function of $x$ .
(C) $y'(x) = -x$ .
(D) $y''(x) = -\frac{1}{2}$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 一階微分方程的線性判斷。 - 齊次型微分方程的代換 $v=\dfrac{y}{x}$。 - 雙曲函數積分公式 $$\int \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}=\sinh^{-1}v.$$ - 由解函數判斷 $y'(x)$、$y''(x)$ 與圖形類型。 --- 解題方法 原方程為 $$ xy'(x)=y(x)-\sqrt{x^2+y(x)^2}, \qquad y(2)=0. $$ 因初始點 $x=20$，在此解的考慮範圍內取 $x0$。將方程除以 $x$： $$ y'= \frac{y}{x}-\sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}. $$ 右側只含有 $\dfrac{y}{x}$，因此使用齊次型代換 $$ v=\frac{y}{x},\qquad y=xv. $$ 微分得 $$ y'=v+x\frac{dv}{dx}. $$ 代回原方程： $$ x\left(v+x\frac{dv}{dx}\right) =xv-x\sqrt{1+v^2}. $$ 消去 $xv$ 後得到 $$ x^2\frac{dv}{dx}=-x\sqrt{1+v^2}, $$ 即 $$ \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}=-\frac{dx}{x}. $$ 兩邊積分： $$ \sinh^{-1}v=-\ln x+C. $$ 由初始條件 $y(2)=0$，可得 $$ v(2)=\frac{y(2)}{2}=0. $$ 因此 $$ 0=-\ln 2+C, \qquad C=\ln 2. $$ 所以 $$ \sinh^{-1}v=\ln\frac{2}{x}. $$ 取雙曲正弦： $$ v=\sinh\left(\ln\frac{2}{x}\right). $$ 利用 $$ \sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}, $$ 可得 $$ v =\frac{\frac{2}{x}-\frac{x}{2}}{2} =\frac{1}{x}-\frac{x}{4}. $$ 由 $y=xv$： $$ y=x\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{4}\right) =1-\frac{x^2}{4}. $$ 故解函數為 $$ \boxed{y(x)=1-\frac{x^2}{4}}. $$ 其導數為 $$ y'(x)=-\frac{x}{2}, $$

Question 12

For the following homogeneous second order linear differential equation $(x^2 - 1)y''(x) - 2xy'(x) + 2y(x) = 0$ for $x 1$, given one solution $y1(x) = x$, the other linearly independent solution $y2(x)$ can then be derived by setting $y2(x) = v(x)y1(x)$. Which of the following statements is/are true? (A) $(x^3 + x)
u''(x) + 2
u'(x) = 0$. (B) $
u(x)$ with $
u'(x) = \frac{x^2}{x^2-1}$ corresponds to one of the possible solutions. (C) $
u(x)$ with $
u'(x) = \frac{x}{x^2-1}$ corresponds to one of the possible solutions. (D) $y(x) = 1 + x + x^2$ is one of the possible solutions. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

對方程式 $$(x^{2}-1)y''-2xy'+2y=0,\qquad x1$$ 先除以 $x^{2}-1$ 得標準形 $$y''-\frac{2x}{x^{2}-1}y'+\frac{2}{x^{2}-1}y=0,$$ 故 $$P(x)=-\frac{2x}{x^{2}-1},\qquad Q(x)=\frac{2}{x^{2}-1}.$$ 已知解 $y{1}=x$。令 $y{2}=v(x)y{1}=v(x)x$。 使用降階公式 $$v''y{1}+\bigl(2y{1}'+P y{1}\bigr)v'=0 .$$ 帶入 $y{1}=x,\;y{1}'=1$： $$ xv''+\Bigl(2-\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}\Bigr)v'=0 \Longrightarrow (x^{3}-x)v''-2v'=0 . $$ 設 $w=v'$，則 $$ (x^{3}-x)w'-2w=0\;\Longrightarrow\; \frac{w'}{w}=\frac{2}{x^{3}-x} =\frac{2}{x(x^{2}-1)} . $$ 部分分式分解 $$\frac{2}{x(x^{2}-1)}=-\frac{2}{x}+\frac{2x}{x^{2}-1},$$ 積分得到

Question 13

Continue from Question 12. Solve the following non-homogeneous second order linear differential equation
$(x^2 - 1)y''(x) - 2xy'(x) + 2y(x) = x^2 - 1$
for $x > 1$ using the variation of parameters, i.e., set the particular solution as
$y_p(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x)$
where $y_1(x)$ and $y_2(x)$ are homogeneous solutions from Question 12. Which of the following statements is/are true?

(A) $u_1'(x) = -\frac{x^2+1}{x^2-1}$
(B) $u_1'(x) = -(x^2+1)$
(C) $u_2'(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1}$
(D) $u_2'(x) = x$
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二階非齊次線性微分方程的參數變易法。標準形式為 $$ y''+P(x)y'+Q(x)y=g(x), $$ 若齊次方程的兩個線性獨立解為 $y1,y2$，則設 $$ yp=u1y1+u2y2, $$ 並附加條件 $$ u1'y1+u2'y2=0. $$ 代入後可得 $$ u1'y1'+u2'y2'=g(x). $$ 若 $$ W(y1,y2)= \begin{vmatrix} y1&y2\ y1'&y2' \end{vmatrix} =y1y2'-y1'y2, $$ 則 $$ u1'=-\frac{y2g}{W},\qquad u2'=\frac{y1g}{W}. $$ --- 解題方法 原方程為 $$ (x^2-1)y''-2xy'+2y=x^2-1. $$ 除以 $x^2-1$，且因 $x1$，故分母不為零： $$ y''-\frac{2x}{x^2-1}y' +\frac{2}{x^2-1}y=1. $$ 由第 12 題，取兩個齊次解為 $$ y1=x,\qquad y2=x^2+1. $$ 其導數為 $$ y1'=1,\qquad y2'=2x. $$ 因此 Wronskian 為 $$ W= \begin{vmatrix} x&x^2+1\ 1&2x \end{vmatrix} =x(2x)-(x^2+1) =x^2-1. $$ 右端函數為 $g(x)=1$，所以參數變易法給出

Question 14

The following second order system
$\begin{cases} x''(t) = -40x(t) + 8y(t) \\ y''(t) = 12x(t) - 60y(t) \end{cases}$ (2)
can be transformed into an equivalent first order system
$\begin{cases} x_1'(t) = x_2(t) \\ x_2'(t) = -40x_1(t) + 8x_3(t) \\ x_3'(t) = x_4(t) \\ x_4'(t) = 12x_2(t) - 60x_3(t) \end{cases} = A \begin{cases} x_1(t) \\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ x_4(t) \end{cases}$
for some real matrix $A$ by introducing the four functions $x_1(t) = x(t), x_2(t) = x'(t), x_3(t) = y(t)$ and $x_4(t) = y'(t)$ . Which of the following statements is/are true?

(A) $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -40 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 12 & 0 & -60 & 0 \end{bmatrix}$
(B) $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -40 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 12 & -60 & 0 \end{bmatrix}$
(C) -36 is one of the eigenvalues of $A$ .
(D) 8 is one of the eigenvalues of $A$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個重點： 1. 將二階微分方程組改寫成一階線性系統。 2. 由特徵方程判斷矩陣的 eigenvalues。 若一階系統寫成 $$ \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t), $$ 則矩陣 $A$ 的 eigenvalue $\lambda$ 必須滿足 $$ \det(\lambda I-A)=0. $$ --- 解題方法一：建立矩陣 $A$ 題目定義 $$ x1=x,\qquad x2=x',\qquad x3=y,\qquad x4=y'. $$ 因此各分量的導數為 $$ x1'=x2, $$ $$ x2'=x''=-40x+8y=-40x1+8x3, $$ $$ x3'=x4, $$ $$ x4'=y''=12x-60y=12x1-60x3. $$ 故 $$ \begin{bmatrix} x1'\ x2'\ x3'\ x4' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1&0&0\ -40&0&8&0\ 0&0&0&1\ 12&0&-60&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x1\ x2\ x3\ x4 \end{bmatrix}. $$ 所以選項 A 的矩陣正確。 --- 解題方法二：求矩陣的 eigenvalues 對原二階方程組設 $$ x(t)=Xe^{\lambda t},\qquad y(t)=Ye^{\lambda t}. $$ 則 $$ x''=\lambda^2Xe^{\lambda t},\qquad y''=\lambda^2Ye^{\lambda t}. $$ 代入原方程組並消去 $e^{\lambda t}$，得到 $$ \lambda^2X=-40X+8Y, $$ $$ \lambda^2Y=12X-60Y. $$ 整理為 $$ (\lambda^2+40)X-8Y=0, $$ $$ -12X+(\lambda^2+60)Y=0. $$ 要有非零解 $(X,Y)$，係數行列式必須為零： $$ \begin{vmatrix} \lambda^2+40&-8\ -12&\lambda^2+60 \end{vmatrix}=0. $$ 因此 $$ (\lambda^2+40)(\lambda^2+60)-96=0, $$ $$ \lambda^4+100\lambda^2+2304=0. $$ 因為

Question 15

Continue from Question 14. Find the particular solution of the second order system in equation (2) with initial conditions $x(0) = 2, x'(0) = 12, y(0) = 1$ and $y'(0) = 6$ . Which of the following statements is/are true?

(A) $x(t) = 2e^{6t}$ .
(B) $x(t) = 2 \cos(6t) + 2 \sin(6t)$ .
(C) $y(t) = e^{6t}$ .
(D) $y(t) = \cos(6t) + \sin(6t)$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二階微分方程組的通解形式，以及初始條件的代入驗算。 對於特徵根： - 若特徵根為 $\lambda=\pm 6$，解的形式為 $$Ce^{6t}+De^{-6t}.$$ - 若特徵根為 $\lambda=\pm 6i$，解的形式為 $$C\cos 6t+D\sin 6t.$$ 本題的初始條件為 $$x(0)=2,\qquad x'(0)=12,$$ $$y(0)=1,\qquad y'(0)=6.$$ 由於題目省略了第 14 題所引用的方程式（2），僅靠初始條件無法單獨判定應採用指數型或三角型解；必須依據方程式（2）的特徵根判斷。 --- 解題方法 若第 14 題得到方程式（2）的特徵根為 $\lambda=6$，且由初始條件選出正向指數解，則 $$x(t)=2e^{6t},\qquad y(t)=e^{6t}.$$ 驗算初始條件： $$x(0)=2e^0=2,$$ $$x'(t)=12e^{6t}\implies x'(0)=12,$$ 以及 $$y(0)=e^0=1,$$ $$y'(t)=6e^{6t}\implies y'(0)=6.$$ 因此在方程式（2）確實對應正向指數模態時，選項 A、C 正確。 另一方面，若方程式（2）的特徵根為 $\lambda=\pm 6i$，則由初始條件可得 $$x(t)=2\cos(6t)+2\sin(6t),$$ 因為 $$x(0)=2,$$ $$x'(t)=-12\sin(6t)+12\cos(6t),$$ 故 $$x'(0)=12.$$ 同理， $$y(t)=\cos(6t)+\sin(6t),$$ 且 $$y'(t)=-6\sin(6t)+6\cos(6t),$$ 所以 $$y(0)=1,\qquad y'(0)=6.$$ 因此 B、D 也都符合初始條件，但是否為方程式（2）的解，仍須檢查其是否符合第 14 題的微分方程組。 ---

Question 16

Consider the following second order differential equation
$3t^2y''(t) + \sin(t)y'(t) – \cos(t)y(t) = 0$ .
Let $y_1(t) = t^{r_1} \sum_{n=0}^\infty a_n t^n$ and $y_2(t) = t^{r_2} \sum_{n=0}^\infty b_n t^n$ be two linearly independent Frobenius series solutions for $y(t)$ in the above differential equation when $t > 0$ . Assuming $r_1 \ge r_2$ and $a_0 = 1$ , which of the following statements is/are true regarding the solution $y_1(t)$ ?

(A) $r_1 = 1$ .
(B) $a_1 = \frac{1}{2}$ .
(C) $a_2 = -\frac{1}{60}$ .
(D) $a_3 = \frac{1}{1920}$ .
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - Frobenius 級數法 - 正則奇異點的指標方程 - 將級數代回微分方程後比較各次方係數 - 由遞迴關係求出 $a1,a2,a3$ 令 $$ y1(t)=t^r\sum{n=0}^{\infty}ant^n, \qquad a0=1. $$ 因為 $$ \sin t=t-\frac{t^3}{6}+\cdots, \qquad \cos t=1-\frac{t^2}{2}+\cdots, $$ 可先利用最低次方求出指標方程。 --- 求指標根 取級數最低次項 $y\sim t^r$，則 $$ y'\sim rt^{r-1},\qquad y''\sim r(r-1)t^{r-2}. $$ 代入 $$ 3t^2y''+\sin(t)y'-\cos(t)y=0, $$ 取最低次 $t^r$ 項： $$ 3r(r-1)t^r+rt^r-t^r=0. $$ 因此指標方程為 $$ 3r(r-1)+r-1=0, $$ 即 $$ 3r^2-2r-1=0. $$ 因式分解得 $$ (3r+1)(r-1)=0. $$ 所以兩個指標根為 $$ r1=1,\qquad r2=-\frac13. $$ 由題意 $r1\ge r2$，故 $$ r1=1. $$ 因此選項 (A) 正確。 --- 解題方法：取 $r1=1$ 展開級數 此時 $$ y1(t)=\sum{n=0}^{\infty}ant^{n+1} =a0t+a1t^2+a2t^3+a3t^4+\cdots. $$ 因此 $$ y1'(t)=a0+2a1t+3a2t^2+4a3t^3+\cdots, $$ $$ y1''(t)=2a1+6a2t+12a3t^2+\cdots. $$ 又 $$ \sin t=t-\frac{t^3}{6}+\cdots, \qquad \cos t=1-\frac{t^2}{2}+\cdots. $$ 將各項代入原方程： $$ 3t^2y1''+\sin(t)y1'-\cos(t)y1=0. $$ 求 $a1$ 比較 $t^2$ 項： - $3t^2y1''$ 提供 $6a1t^2$ - $\sin(t)y1'$ 提供 $2a1t^2$ - $-\cos(t)y1$ 提供 $-a1t^2$ 所以 $$ 6a1+2a1-a1=0, $$ $$ 7a1=0. $$ 因此 $$ a1=0. $$ 選項 (B) 所稱 $a1=\frac12$ 錯誤。 --- 求 $a2$ 比較 $t^3$ 項： 由各部分可得

Question 17

Continue from Question 16. Assuming $b0 = 2$, which of the following statements is/are true regarding the solution $y2(t)$? (A) $r2 = -\frac{1}{3}$. (B) $b1 = 0$. (C) $b2 = -\frac{5}{18}$. (D) $b3 = \frac{61}{12960}$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題承接第 16 題微分方程 $$ 3t^2y''(t)+\sin(t)y'(t)-\cos(t)y(t)=0, $$ 要求利用 Frobenius 級數法，求第二組解 $$ y2(t)=\sum{n=0}^{\infty}bnt^{n+r2}. $$ 主要觀念包括： - Frobenius 解的形式； - 指標方程（indicial equation）； - 由同次方冪係數比較得到遞迴關係； - 逐項求出 $r2,b1,b2,b3$。 --- 解題方法 設 $$ y2(t)=\sum{n=0}^{\infty}bnt^{n+r}, \qquad b0
eq 0. $$ 則 $$ y2'(t)=\sum{n=0}^{\infty}(n+r)bnt^{n+r-1}, $$ $$ y2''(t)=\sum{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)bnt^{n+r-2}. $$ 又有 $$ \sin t=t-\frac{t^3}{3!}+\frac{t^5}{5!}-\cdots, $$ $$ \cos t=1-\frac{t^2}{2!}+\frac{t^4}{4!}-\cdots. $$ 代入微分方程後，最低次 $t^r$ 的係數為 $$ \left[3r(r-1)+r-1ight]b0=0. $$ 因為 $b0
eq 0$，得到指標方程 $$ 3r(r-1)+r-1=0, $$ 即 $$ 3r^2-2r-1=0 =(3r+1)(r-1). $$ 因此兩個指標根為 $$ r1=1,\qquad r2=-\frac13. $$ 所以選項（A）正確。 --- 求係數遞迴關係 對於 $t^{n+r}$ 的係數，來自主要項的係數為 $$ \left[3(n+r)(n+r-1)+(n+r)-1ight]bn. $$ 由 $\sin t$ 與 $\cos t$ 的高次項，可得一般遞迴式 $$ \begin{aligned} &\left[3(n+r)(n+r-1)+(n+r)-1ight]bn\ &\quad+\sum{k=1}^{\lfloor n/2floor} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \left(n-2k+r-(2k+1)ight)b{n-2k}=0. \end{aligned} $$ 實際計算前幾項即可判斷所有選項。 --- 計算 $b1$ 令 $r=r2=-\frac13$，取 $n=1$。因為沒有較低階的前項，故 $$ \left[3\left(1-\frac13ight)\left(1-\frac13-1ight) +\left(1-\frac13ight)-1ight]b1=0. $$ 計算括號： $$ 3\left(\frac23ight)\left(-\frac13…

Question 18

Which of the following statements is/are true regarding the Laplace transform $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}$ of solution $y(t)$ in the above equation?

(A) $Y\left(s=\frac{1}{2}\right)=-6$
(B) $Y(s=1)=1$
(C) $Y(s=2)=\frac{3}{2}$
(D) $Y(s=3)=\frac{4}{3}$
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查拉氏轉換（Laplace Transform）求解變係數微分積分方程式，主要運用以下定義與定理： 1. 頻域微分性質（乘 $t$ 性質）： $$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -\frac{d}{ds}F(s)$$ 2. 一階微分性質： $$\mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) - y(0)$$ 3. 摺積定理（Convolution Theorem）： $$\mathcal{L}\{f(t) \star g(t)\} = F(s) G(s)$$ 4. 雙曲餘弦函數的拉氏轉換： $$\mathcal{L}\{\cosh(t)u(t)\} = \frac{s}{s^2 - 1} \quad (\operatorname{Re}(s) 1)$$ 5. 初值定理（Initial Value Theorem）： $$\lim{s 	o \infty} s Y(s) = y(0^+)$$ 6. 一階常微分方程式分離變數法與拉氏轉換之收斂域（ROC）概念。 --- 解題方法 原卷第 14 頁第 18 題給定因果信號微分方程式： $$y'(t) = \frac{2}{t} \left[ y(t) \star (\cosh(t)u(t)) ight], \quad t \ge 0$$ 初始條件為 $y(0) = 1$，$y(t) = 0$ 對於 $t < 0$。 步驟一：去分母並取拉氏轉換 將兩邊同乘以 $t$： $$t y'(t) = 2 \left[ y(t) \star (\cosh(t)u(t)) ight]$$ 對等號兩端取拉氏轉換： - 左端利用乘 $t$ 性質與微分性質（已知 $y(0) = 1$）： $$\mathcal{L}\{t y'(t)\} = -\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{y'(t)\} = -\frac{d}{ds}\left[ s Y(s) - y(0) ight] = -\frac{d}{ds}\left[ s Y(s) ight] = -[Y(s) + s Y'(s)]$$ - 右端利用摺積定理： $$\mathcal{L}\left\{ 2 [y(t) \star (\cosh(t)u(t))] ight\} = 2 Y(s) \cdot \frac{s}{s^2 - 1} = \frac{2s}{s^2 - 1} Y(s)$$ 步驟二：建立並求解 $Y(s)$ 的微分方程式 兩端相等得： $$-[Y(s) + s Y'(s)] = \frac{2s}{s^2 - 1} Y(s)$$ 整理項次： $$-s Y'(s) = \left( 1 + \frac{2s}{s^2 - 1} ight) Y(s)$$ 兩端同除以 $-s Y(s)$…

Question 19

Continue from Question 十八. Which of the following statements is/are true regarding the solution $y(t)$ ?

(A) $y'(1)=1$
(B) $y'(\pi)=1$
(C) $y''(1)=-1$
(D) $y''(\pi)=0$
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考拉普拉斯轉換中的卷積定理，以及 $t f(t)$ 的轉換公式： $$ \mathcal{L}\{fg\}=F(s)G(s),\qquad \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\frac{d}{ds}F(s). $$ 由圖可讀到共用方程為 $y'(t)=\frac{2}{t}[y(t)\star(\cosh(t)u(t))]$，並給定 $y(t)=0$（$t<0$）及 $y(0)=1$；第 19 題詢問 $y'(1)$、$y'(\pi)$、$y''(1)$、$y''(\pi)$ 的值。 解題方法 令 $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}$。先將方程乘以 $t$： $$ t y'(t)=2\bigl[y(t)\star(\cosh(t)u(t))\bigr]. $$ 因為 $\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1$，所以 $$ \mathcal{L}\{t y'(t)\} =-\frac{d}{ds}\bigl[sY(s)-1\bigr] =-Y(s)-sY'(s). $$ 又 $\mathcal{L}\{\cosh(t)u(t)\}=\frac{s}{s^2-1}$。利用卷積定理，得到 $$ -Y-sY'=2Y\frac{s}{s^2-1}, $$ 整理為 $$ \frac{Y'}{Y}=-\frac{1}{s}-\frac{2}{s^2-1}. $$

Question 20

Consider the following partial differential equation for the bivariate function $v(x,t)$ :
$\frac{\partial}{\partial t}v(x,t)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}v(x,t),\qquad 0\leq x\leq 10,\quad t\geq 0,$
subject to conditions
$\left.\frac{\partial}{\partial x}v(x,t)\right|_{x=0}=\left.\frac{\partial}{\partial x}v(x,t)\right|_{x=5}=0,\qquad \text{for all }t\geq 0,$
$v(x,0)=x^2-10x,\qquad \text{for all }x\text{ with }0<x<10.$

Express the solution $v(x,t)$ in the following form:
$v(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[a_n\cos(p_n\pi x)+b_n\sin(q_n\pi x)\right]\exp(-r_n\pi^2t),$
for some constants $a_n,b_n,p_n,q_n,r_n\in\mathbb{R}$ satisfying $0\leq r_0<r_1<r_2<\cdots$ and $a_n^2+b_n^2>0$ for $n=1,2,\ldots$ . Which of the following statements is/are true?

(A) $a_0=-\frac{50}{3}$
(B) $b_1=\frac{17}{29}$
(C) $p_3=\frac{9}{10}$
(D) $r_4=\frac{32}{50}$
(E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 這題考熱方程的分離變數與傅立葉餘弦級數。對 $0\le x\le 10$ 的初始函數作餘弦展開，再利用初始函數關於 $x=5$ 對稱的性質，找出哪些模態會留下。 解題方法 依原卷，空間範圍是 $0\le x\le 10$，邊界條件為 $vx(0,t)=vx(5,t)=0$，初始條件為 $v(x,0)=x^2-10x$。初始函數滿足 $$ (10-x)^2-10(10-x)=x^2-10x, $$ 所以其餘弦展開只含全區間標準模態中的偶數項，也就是 $\cos(n\pi x/5)$。 令 $$ v(x,t)=a0+\sum{n=1}^{\infty}an\cos\left(\frac{n\pi x}{5}\right) \exp\left(-\frac{n^2\pi^2}{25}t\right). $$ 這些模態在 $x=0$ 與 $x=5$ 的空間導數皆為零，符合圖中的邊界條件。 常數項是初始函數在 $[0,10]$ 上的平均值： $$ a0=\frac{1}{10}\int0^{10}(x^2-10x)\,dx=-\frac{50}{3}. $$

110 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》

第 1 題

(A) a2\mathbf a_2a2​ 為 4×14\times14×1 零向量

(B) a1,a4,a5\mathbf a_1,\mathbf a_4,\mathbf a_5a1​,a4​,a5​ 線性獨立

第 2 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）正確

（B）錯誤

（C）正確

第 3 題

核心觀念

解題方法

選項 (A)

選項 (B)

第 4 題

第 5 題

(A)

第 6 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) rank⁡(A)=3\operatorname{rank}(A)=3rank(A)=3

(B) AAA 的特徵值總和為 666

第 7 題

(A)

第 8 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) MMM 是正定矩陣

(B) ∥w1−w2∥V=4\|\mathbf w_1-\mathbf w_2\|_V=4∥w1​−w2​∥V​=4

(C) (f,g)F(f,g)_F(f,g)F​ 是 FFF 上的內積

第 9 題

選項 (A)

選項 (B)

選項 (C)

第 10 題

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

核心觀念

求指標根

解題方法：取 r1=1r_1=1r1​=1 展開級數

求 a1a_1a1​

求 a2a_2a2​

第 17 題

第 18 題

核心觀念

解題方法

步驟一：去分母並取拉氏轉換

步驟二：建立並求解 Y(s)Y(s)Y(s) 的微分方程式

第 19 題

第 20 題

其他考古題

110 年臺灣聯合大學系統的其他科目

臺灣聯合大學系統《工程數學》其他年度

其他學校的電機系考古題

110 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》

(A) $\mathbf a_2$ 為 $4\times1$ 零向量

(B) $\mathbf a_1,\mathbf a_4,\mathbf a_5$ 線性獨立

(A) $\operatorname{rank}(A)=3$

(B) $A$ 的特徵值總和為 $6$

(A) $M$ 是正定矩陣

(B) $\|\mathbf w_1-\mathbf w_2\|_V=4$

(C) $(f,g)_F$ 是 $F$ 上的內積

解題方法：取 $r_1=1$ 展開級數

求 $a_1$

求 $a_2$

步驟二：建立並求解 $Y(s)$ 的微分方程式