110 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《固態電子元件》

核心觀念

本題涉及：

• 漂移速度與遷移率：
  $v_p=\mu_p E$
• 熱平衡載子濃度乘積：
  $n_0p_0=n_i^2$
• 非簡併半導體的費米能階：

$$E_F-E_i=\frac{kT}{q}\ln\frac{n_0}{n_i} =-\frac{kT}{q}\ln\frac{p_0}{n_i}$$

• 矽樣品的電導率與電阻：
  $\sigma=q(n_0\mu_n+p_0\mu_p)$
  $R=\rho\frac{L}{A}=\frac{L}{\sigma A}$

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解題方法與資料判讀

由題目給出的孔洞漂移速度，可先求得孔洞遷移率：

$$\mu_p=\frac{v_p}{E} =\frac{2\times10^5}{1000} =200\ \text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}$$

然而，$\mu_p$ 只反映載子在電場中的輸運特性，不能單獨決定摻雜濃度或熱平衡電子、孔洞濃度。

若要計算 (a) 至 (c)，至少還需要下列任一類資料：

• 施體濃度 $N_D$；
• 電子濃度 $n_0$；
• 樣品電阻率或電流、電壓；
• 電子遷移率 $\mu_n$ 且另有足夠資料求出載子濃度。

因此，本題依現有題目資訊無法得到唯一的數值答案。

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(a) 熱平衡電子與孔洞濃度

對完全游離、且無補償摻雜的 N 型矽，在室溫下通常採用電中性條件：

$$n_0\approx N_D$$

並由質量作用定律得到：

$$n_0p_0=n_i^2$$

因此：

$$p_0=\frac{n_i^2}{n_0} =\frac{(10^{10})^2}{n_0}$$

由於 N 型材料的電子濃度大於孔洞濃度，因此：

• 多數載子：電子；
• 少數載子：孔洞。

但題目沒有提供 $N_D$ 或 $n_0$，所以無法算出兩者的確切數值。

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(b) 費米能階相對於本質費米能階

電子濃度與費米能階的關係為：

$$n_0=n_i\exp\left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)$$

所以：

$$E_F-E_i=kT\ln\frac{n_0}{n_i}$$

題目給出：

$$2.3\frac{kT}{q}=60\ \text{mV}$$

因此：

$$\frac{kT}{q}=\frac{60}{2.3}\ \text{mV} \approx 26.1\ \text{mV}$$

以電子伏特表示時：

$$kT\approx 0.0261\ \text{eV}$$

故：

$$\boxed{ E_F-E_i =0.0261\ln\left(\frac{n_0}{10^{10}}\right)\ \text{eV} }$$

若改用常用對數，因為 $2.3\log_{10}x=\ln x$，可寫成：

核心觀念

本題考查半導體中費米能階與載子濃度的關係，以及「施體是否完全游離」的自洽判斷。

對於非簡併、完全游離的 $n$ 型矽半導體：

$$n \simeq N_D$$

而電子濃度與費米能階的關係為

$$n=n_i\exp\left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)$$

因此

$$E_F-E_i=kT\ln\left(\frac{N_D}{n_i}\right)$$

題目未提供有效狀態密度等資料，採用室溫下常見近似：

$$E_i\simeq \frac{E_C+E_V}{2}$$

故

$$E_C-E_i\simeq \frac{E_g}{2}=0.55\ \text{eV}$$

施體能階位於 $E_C$ 下方 $0.05$ eV，因此

$$E_D-E_i=0.55-0.05=0.50\ \text{eV}$$

又因為

$$2.3\frac{kT}{q}=60\ \text{mV}$$

所以每增加一個 decade 的濃度比，費米能階約上升 $60$ meV。

---

解題方法

先依「完全游離」假設令 $n=N_D$，計算 $E_F-E_i$；再比較計算出的 $E_F$ 與施體能階 $E_D$ 的相對位置。

施體游離濃度為

$$N_D^+=\frac{N_D}{1+2\exp\left(\frac{E_F-E_D}{kT}\right)}$$

其中因施體能階的簡併因子，分母中的係數取 $2$。若 $E_F$ 遠低於 $E_D$，則 $N_D^+\simeq N_D$，完全游離假設成立；若 $E_F$ 接近或高於 $E_D$，則施體會有明顯電子佔據，不能視為完全游離。

---

(a) $N_D=1\times 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$

由完全游離假設：

$$n=N_D=10^{16}\ \text{cm}^{-3}$$

因此

$$E_F-E_i =kT\ln\left(\frac{10^{16}}{10^{10}}\right) =kT\ln(10^6)$$ $$E_F-E_i=6(60\ \text{meV}) =0.36\ \text{eV}$$

所以

$$E_F=E_i+0.36\ \text{eV}$$

與施體能階比較：

$$E_D-E_F=0.50-0.36=0.14\ \text{eV}$$

室溫下 $kT\simeq 0.026$ eV，因此

$$\frac{E_F-E_D}{kT} =\frac{-0.14}{0.026}\simeq -5.4$$

施體游離比例約為

$$\frac{N_D^+}{N_D} =\frac{1}{1+2e^{-5.4}} \simeq 0.99$$

因此幾乎所有施體皆已游離，完全游離假設成立。

---

(b) $N_D=1\times 10^{18}\ \text{cm}^{-3}$

由完全游離假設：

$$n=N_D=10^{18}\ \text{cm}^{-3}$$

因此

$$E_F-E_i =kT\ln\left(\frac{10^{18}}{10^{10}}\right) =kT\ln(10^8)$$ $$E_F-E_i=8(60\ \text{meV}) =0.48\ \text{eV}$$

所以

$$E_F=E_i+0.48\ \text{eV}$$

此時

$$E_D-E_F=0.50-0.48=0.02\ \text{eV}$$

也就是費米能階只比施體能階低 $20$ meV，約為 $0.77kT$。施體游離比例約為

核心觀念

本題考查半導體中費米能階與載子濃度的關係，以及「施體是否完全游離」的自洽判斷。

對於非簡併、完全游離的 $n$ 型矽半導體：

$$n \simeq N_D$$

而電子濃度與費米能階的關係為

$$n=n_i\exp\left(\frac{E_F-E_i}{kT}\right)$$

因此

$$E_F-E_i=kT\ln\left(\frac{N_D}{n_i}\right)$$

題目未提供有效狀態密度等資料，採用室溫下常見近似：

$$E_i\simeq \frac{E_C+E_V}{2}$$

故

$$E_C-E_i\simeq \frac{E_g}{2}=0.55\ \text{eV}$$

施體能階位於 $E_C$ 下方 $0.05$ eV，因此

$$E_D-E_i=0.55-0.05=0.50\ \text{eV}$$

又因為

$$2.3\frac{kT}{q}=60\ \text{mV}$$

所以每增加一個 decade 的濃度比，費米能階約上升 $60$ meV。

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解題方法

先依「完全游離」假設令 $n=N_D$，計算 $E_F-E_i$；再比較計算出的 $E_F$ 與施體能階 $E_D$ 的相對位置。

施體游離濃度為

$$N_D^+=\frac{N_D}{1+2\exp\left(\frac{E_F-E_D}{kT}\right)}$$

其中因施體能階的簡併因子，分母中的係數取 $2$。若 $E_F$ 遠低於 $E_D$，則 $N_D^+\simeq N_D$，完全游離假設成立；若 $E_F$ 接近或高於 $E_D$，則施體會有明顯電子佔據，不能視為完全游離。

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(a) $N_D=1\times 10^{16}\ \text{cm}^{-3}$

由完全游離假設：

$$n=N_D=10^{16}\ \text{cm}^{-3}$$

因此

$$E_F-E_i =kT\ln\left(\frac{10^{16}}{10^{10}}\right) =kT\ln(10^6)$$ $$E_F-E_i=6(60\ \text{meV}) =0.36\ \text{eV}$$

所以

$$E_F=E_i+0.36\ \text{eV}$$

與施體能階比較：

$$E_D-E_F=0.50-0.36=0.14\ \text{eV}$$

室溫下 $kT\simeq 0.026$ eV，因此

$$\frac{E_F-E_D}{kT} =\frac{-0.14}{0.026}\simeq -5.4$$

施體游離比例約為

$$\frac{N_D^+}{N_D} =\frac{1}{1+2e^{-5.4}} \simeq 0.99$$

因此幾乎所有施體皆已游離，完全游離假設成立。

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(b) $N_D=1\times 10^{18}\ \text{cm}^{-3}$

由完全游離假設：

$$n=N_D=10^{18}\ \text{cm}^{-3}$$

因此

$$E_F-E_i =kT\ln\left(\frac{10^{18}}{10^{10}}\right) =kT\ln(10^8)$$ $$E_F-E_i=8(60\ \text{meV}) =0.48\ \text{eV}$$

所以

$$E_F=E_i+0.48\ \text{eV}$$

此時

$$E_D-E_F=0.50-0.48=0.02\ \text{eV}$$

也就是費米能階只比施體能階低 $20$ meV，約為 $0.77kT$。施體游離比例約為

這題要求繪製 P-N 接面在不同偏壓下的準穩態（steady-state）耗盡區寬度以及少數載子濃度分佈圖。

核心觀念：

1. P-N 接面之耗盡區： 在 P 型和 N 型半導體接觸時，會因擴散作用形成內建電位，導致 P 區的少數載子（電子）和 N 區的少數載子（電洞）擴散到對側，並與對側的多數載子複合，形成一個空間電荷區，稱為耗盡區。耗盡區內缺少自由載子，但存在由未電離的施體和受體形成的固定電荷。
2. 偏壓對耗盡區寬度的影響：
   • 零偏壓 (Zero Bias)： 耗盡區寬度由內建電位和摻雜濃度決定。
   • 順向偏壓 (Forward Bias)： 外加電壓降低了內建電位，使得載子更容易越過能障，耗盡區寬度減小。
   • 逆向偏壓 (Reverse Bias)： 外加電壓增加了內建電位，使得能障升高，耗盡區寬度增大。
3. 偏壓對少數載子濃度的影響：
   • 零偏壓： 少數載子濃度在耗盡區邊界處等於其在平衡時的濃度（即 $p_p^0 = n_i^2/N_D$ 和 $n_n^0 = n_i^2/N_A$，假設 $N_A > N_D$）。
   • 順向偏壓： 外加電壓使得少數載子注入到對側區域（p-n 接面注入），導致少數載子濃度在接面附近（耗盡區邊界處）顯著高於平衡濃度，並隨距離接面越遠而呈指數衰減（接近平衡濃度）。
   • 逆向偏壓： 外加電壓使得少數載子難以越過能障，耗盡區邊界處的少數載子濃度接近其平衡濃度，並隨距離接面越遠而呈指數衰減。

題目要求：
繪製三種偏壓下的耗盡區寬度（定性）和少數載子濃度分佈圖（定性）。
假設 P 型摻雜濃度大於 N 型，即 $N_A > N_D$。

繪圖步驟：

1. 零偏壓 (Zero Bias)

• 耗盡區寬度 ($W_0$)：
  耗盡區寬度由接面兩側的空間電荷區寬度組成，$W_0 = W_{p0} + W_{n0}$。
  $W_{p0} = \sqrt{\frac{2 \epsilon_s V_{bi}}{q} \frac{N_D}{N_A(N_A+N_D)}}$
  $W_{n0} = \sqrt{\frac{2 \epsilon_s V_{bi}}{q} \frac{N_A}{N_D(N_A+N_D)}}$
  由於 $N_A > N_D$，故 $W_{p0} < W_{n0}$。耗盡區較寬的部分在 N 側。
• 少數載子濃度分佈：
  • P 區的少數載子是電子 ($n_p$)。在 P 區邊界處，$n_p(0) = n_p^0 = n_i^2/N_A$。在耗盡區內，電子濃度很低。
  • N 區的少數載子是電洞 ($p_n$)。在 N 區邊界處，$p_n(0) = p_n^0 = n_i^2/N_D$。
    由於 $N_A > N_D$，所以 $p_n^0 > n_p^0$。
    圖中，少數載子濃度在 P 區和 N 區邊界處（接面處）有一個較低的基準值，並向 P 區和 N 區的體區（bulk region）方向呈指數衰減至平衡濃度。

2. 順向偏壓 (Forward Bias, $V_F > 0$)

• 耗盡區寬度 ($W_F < W_0$)：
  外加順向電壓 $V_F$ 會降低內建電位 $V_{bi}$，變為 $V_{bi} - V_F$。
  耗盡區寬度減小。
• 少數載子濃度分佈：
  順向偏壓引起少數載子注入。

這題考驗對 BJT（雙極性接面電晶體）的共基極電流增益 $\alpha$ 的組成因子，以及影響這些因子的結構設計與操作偏壓的理解，並進一步探討 $V_{CE}$ 對 $\alpha$ 的影響。

核心觀念：
BJT 的共基極電流增益 $\alpha$ 定義為集極電流 $I_C$ 與射極電流 $I_E$ 的比值：$\alpha = I_C / I_E$。
$\alpha$ 可以分解為三個因子：
$\alpha = \gamma \alpha_T \delta$
其中：

• $\gamma$ (Emitter Injection Efficiency)：射極注入效率。代表從射極注入到基極的電子與從射極注入到基極的總載子（包括電洞）的比例。
• $\alpha_T$ (Base Transport Factor)：基極傳輸因子。代表進入基極的電子有多少能成功傳輸到集極，而不是在基極複合掉。
• $\delta$ (Recombination Factor)：複合因子。這個因子在某些模型中可能被併入 $\alpha_T$ 或額外考慮，代表在基極區域電子與電洞複合的損失。在 $\alpha = \gamma \alpha_T \delta$ 的模型中，$\delta$ 通常與基極的複合損失有關。為了使 $\alpha$ 接近 1，每個因子都應盡可能接近 1。

影響因子的設計與操作偏壓：

1. 射極注入效率 $\gamma$ (Emitter Injection Efficiency)
$\gamma = \frac{I_{nE}}{I_{nE} + I_{pE}} = \frac{\sigma_E \mu_E E_{eff,E}}{\sigma_E \mu_E E_{eff,E} + \sigma_B \mu_B E_{eff,B}}$ (簡化形式，考慮載子類型和遷移率)
更精確地，考慮注入電流：
$\gamma = \frac{J_{nE}}{J_{nE} + J_{pE}}$
其中 $J_{nE}$ 是射極注入到基極的電子電流，$J_{pE}$ 是從基極注入到射極的電洞電流。
為了使 $\gamma$ 接近 1，需要使 $J_{nE} \gg J_{pE}$。

• 器件設計：
  • 摻雜濃度： 射極區域的摻雜濃度應遠高於基極區域的摻雜濃度 ($N_{DE} \gg N_{AB}$)。這樣可以確保從射極注入的電子（多數載子）數量遠大於從基極注入到射極的電洞（少數載子）。
  • 遷移率與能階： 射極材料（通常是 N 型）的電子遷移率應高於基極材料（通常是 P 型）的電洞遷移率。
  • 基極寬度： 基極應設計得較薄，以減少從基極注入到射極的電洞的機會。
• 操作偏壓：
  • 射極-基極接面 (E-B Junction)： 應施加順向偏壓 ($V_{BE} > 0$)。順向偏壓會降低 E-B 接面的能障，促進電子從射極注入到基極，同時也促進電洞從基極注入到射極。但由於射極摻雜濃度遠高於基極，注入的電子數量遠多於注入的電洞，因此 $\gamma$ 仍然可以很高。

2. 基極傳輸因子 $\alpha_T$ (Base Transport Factor)

$\alpha_T$ 代表進入基極的少數載子（電子）有多少能成功傳輸到集極，而不是在基極複合掉。
$\alpha_T \approx \exp(-W_B / L_n)$，其中 $W_B$ 是基極寬度，$L_n$ 是電子在基極中的擴散長度 ($L_n = \sqrt{D_n \tau_n}$， $D_n$ 是電子擴散係數，$\tau_n$ 是電子在基極的壽命)。
為了使 $\alpha_T$ 接近 1，需要 $W_B$ 遠小於 $L_n$。

• 器件設計：
  • 基極寬度 ($W_B$)： 設計得非常薄。這樣電子在到達基極另一側之前，來不及與基極中的電洞（多數載子）複合。
  • 基極摻雜濃度： 基極的摻雜濃度不宜過高，否則會導致電子在基極中的擴散長度 $L_n$ 變短（因為雜質散射會降低遷移率，進而影響擴散係數 $D_n$），也可能引起基極的電阻效應（如基極電阻）。但同時，基極的電洞濃度不宜過高，否則會增加電子與電洞複合的機率。通常基極的摻雜濃度會比射極低，但比集極稍高。
  • 基極材料的電子壽命 ($\tau_n$) 和擴散係數 ($D_n$)： 選擇能提供較長電子壽命和較高擴散係數的材料。
• 操作偏壓：
  • 基極-集極接面 (C-B Junction)： 應施加逆向偏壓 ($V_{CB} > 0$ 或 $V_{CE} > V_{BE}$)。逆向偏壓會使 C-B 接面的耗盡區擴展，並在基極區域產生一個較強的電場。這個電場有助於將進入基極的電子快速「收集」到集極，減少它們在基極中停留的時間，進而減少複合的機會，提高 $\alpha_T$。

3. 複合因子 $\delta$ (Recombination Factor)

在 $\alpha = \gamma \alpha_T \delta$ 的模型中，$\delta$ 通常被視為一個因子，代表基極區域中少數載子（電子）與基極多數載子（電洞）複合的損失。

核心觀念

本題考查 MOS 電容的：

• 金屬、半導體功函數與平帶電壓
• 表面電位 $\psi_s$ 與能帶彎曲
• 強反轉臨界條件
• 閾值電壓 $V_{th}$
• 固定氧化層電荷 $Q_F$ 的影響
• 增強型、空乏型 MOSFET
• CMOS 邏輯的基本特性

定義

$$C_{ox}=\frac{\varepsilon_{ox}}{t_{ox}}$$

對非簡併半導體，令

$$\phi_F=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)$$

其中 $\phi_F>0$。對 p-Si 而言，表面達到強反轉的條件為

$$\psi_s=2\phi_F$$

此時表面電子濃度約等於體內電洞濃度，亦即 $n_s\simeq N_A$。

---

(a) Al/SiO₂/p-Si 在平衡與閾值時的能帶圖

1. 功函數與能帶彎曲方向

矽的功函數為

$$\Phi_{Si}=\chi_{Si}+\frac{E_c-E_F}{q}$$

對 p-Si，

$$E_c-E_F=\frac{E_g}{2}+q\phi_F$$

因此

$$\Phi_{Si} = \chi_{Si}+\frac{E_g}{2q}+\phi_F$$

題目給定 $\Phi_{Al}$ 僅稍大於 $\chi_{Si}$，因此通常有

$$\Phi_{Al}<\Phi_{Si}$$

也就是

$$\phi_{ms}=\frac{\Phi_{Al}-\Phi_{Si}}{q}<0$$

在零外加閘極電壓時，理想 MOS 的平帶電壓為 $\phi_{ms}$。由於 $V_G=0>\phi_{ms}$，等效上閘極相對 p-Si 為正偏，p-Si 表面會形成空乏區，能帶向下彎曲。

能帶向下彎曲代表半導體表面電位 $\psi_s>0$，因為電子能量變化為

$$\Delta E=-q\psi_s$$

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2. 平衡狀態

平衡時整個結構的費米能階相同，且

$$E_{F,M}=E_{F,S}=E_F$$

p-Si 表面為空乏狀態，能帶向下彎曲，但尚未達到強反轉。

示意圖如下，圖形僅表示能帶相對位置與彎曲方向，未按比例繪製：

能量 E
  ↑

  Al              SiO₂                         p-Si
  │                │                            │
  │ E_vac  ────────┴──────────────╲─────────────┐
  │                                  ╲           │
  │ E_F   ────────────────────────────╲─────────│  EF
  │                                     ╲        │
  │                                      ╲       │ E_c
  │                                       ╲      │
  │                                        ╲     │ E_i
  │                                         ╲    │
  │                                          ╲   │ E_v
  │
  └────────────────────────────────────────────────→ 位置

                    p-Si 表面能帶向下彎曲
                    0 < ψ_s < 2φ_F

其中：

• $E_{vac}$：真空能階
• $E_c$：導帶底
• $E_i$：本質能階
• $E_v$：價帶頂
• $E_F$：費米能階
• 氧化層理想且絕緣，因此沒有氧化層內的導電電流

---

3. 閾值狀態

p-Si 形成 n 型反轉層時，閘極需施加正電壓。閾值條件為

$$\boxed{\psi_s=2\phi_F}$$

此時矽表面的能帶比體內向下彎曲 $2q\phi_F$，而表面電子濃度約為 $N_A$。

能量 E
  ↑

  Al              SiO₂                         p-Si
  │                │                            │
  │ E_vac  ────────┴──────────────╲─────────────┐
  │                                  ╲           │
  │ E_F,S ────────────────────────────╲─────────│
  │                                     ╲        │
  │                                      ╲       │ E_c
  │                                       ╲      │
  │                                        ╲     │ E_i
  │                                         ╲    │
  │                                          ╲   │ E_v
  │
  └────────────────────────────────────────────────→ 位置

                    ψ_s = 2φ_F
                    n_s ≃ N_A
                    強反轉開始，形成 n 型表面通道

在外加電壓下，因氧化層完全絕緣，金屬與半導體的電化學勢可以不同。因此嚴格而言應標示為 $E_{F,M}$ 與 $E_{F,S}$，兩者的能量差由外加閘極電壓決定：

$$E_{F,M}-E_{F,S}=-qV_G$$

---

(b) Al/SiO₂/p-Si 的閾值電壓

1. p-Si 的功函數

對均勻摻雜的 p-Si，

$$\boxed{ \Phi_{Si,p} = \chi_{Si} +\frac{E_g}{2q} +\phi_F }$$

其中

$$\phi_F=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)$$

金屬與半導體的功函數差為

$$\phi_{ms} = \frac{\Phi_{Al}-\Phi_{Si,p}}{q}$$

---

2. 空乏區電荷

在閾值時，

$$\psi_s=2\phi_F$$

p-Si 空乏區中的固定受體離子為負電，因此空乏電荷為

$$Q_B = -\sqrt{2q\varepsilon_sN_A(2\phi_F)}$$

其絕對值為

$$|Q_B| = \sqrt{4q\varepsilon_sN_A\phi_F}$$

---

3. 閾值電壓

平帶電壓為

$$V_{FB} = \phi_{ms}-\frac{Q_F}{C_{ox}}$$

其中 $Q_F>0$ 表示正固定電荷。正固定電荷會使平帶所需的閘極電壓降低。

因此 p-Si 上形成 n 型反轉層的閾值電壓為

$$V_{th,n} = V_{FB}+2\phi_F+\frac{|Q_B|}{C_{ox}}$$

代入各項得

$$\boxed{ V_{th,n} = \frac{\Phi_{Al}-\Phi_{Si,p}}{q} +2\phi_F +\frac{\sqrt{4q\varepsilon_sN_A\phi_F}}{C_{ox}} -\frac{Q_F}{C_{ox}} }$$

再代入 $\Phi_{Si,p}$：

$$\boxed{ V_{th,n} = \frac{\Phi_{Al}-\chi_{Si}}{q} -\frac{E_g}{2q} +\phi_F +\frac{\sqrt{4q\varepsilon_sN_A\phi_F}}{C_{ox}} -\frac{Q_F}{C_{ox}} }$$

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