108 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《固態電子元件》

本題主要在探討溫度變化對半導體材料中載子濃度、遷移率以及費米能階位置的影響。

核心觀念：

1. 載子濃度與溫度： 在本徵半導體中，載子濃度主要由熱產生決定，隨溫度升高而顯著增加。在摻雜半導體中，若摻雜濃度低於熱產生載子濃度，溫度升高也會增加載子濃度。
2. 載子遷移率與溫度： 遷移率受散射機制影響。在半導體中，低溫時以離子散射為主，高溫時以晶格（聲子）散射為主。晶格散射隨溫度升高而增強，導致遷移率下降。
3. 費米能階與溫度： 費米能階的位置由摻雜濃度決定。對於 n 型半導體，費米能階靠近導帶；對於 p 型半導體，費米能階靠近價帶。溫度變化會影響載子濃度，進而間接影響費米能階的位置。

解題過程：

題目給定矽樣本摻雜了 $1 \times 10^{16} \text{ cm}^{-3}$ 的磷 (Phosphorus)，磷是五價元素，屬於 n 型摻雜。

(a) Electron concentration $n$.
在 25 °C (室溫) 時，矽的本徵載子濃度 $n_i \approx 1.5 \times 10^{10} \text{ cm}^{-3}$。由於摻雜濃度 $N_D = 1 \times 10^{16} \text{ cm}^{-3}$ 遠大於 $n_i$，此時半導體主要為 n 型，且電子濃度近似等於摻雜濃度 $n \approx N_D = 1 \times 10^{16} \text{ cm}^{-3}$ (外延區，Extrinsic region)。
當溫度從 25 °C 升高到 100 °C 時，本徵載子濃度 $n_i$ 會顯著增加（大約呈指數級增長）。在足夠高的溫度下，熱產生載子的數量會超過摻雜濃度，半導體會進入本徵區 (Intrinsic region)，此時 $n \approx n_i$。
因此，隨著溫度升高，電子濃度 $n$ 會增加。
【答案】增加 (Increase)。理由：溫度升高導致本徵載子濃度 $n_i$ 大幅增加，最終超過摻雜濃度，使半導體行為趨向本徵半導體。

(b) Hole concentration $p$.
根據質量作用定律 (Law of Mass Action)，在熱平衡狀態下，$n \cdot p = n_i^2$。
由於溫度升高導致 $n_i$ 顯著增加，而 $n$ 在溫度升高初期仍近似等於 $N_D$，但隨著溫度繼續升高，當半導體進入本徵區時，$n \approx n_i$。
若考慮從外延區到本徵區的轉變：
在溫度較低時（外延區），$n \approx N_D$。由於 $n_i$ 增加，根據 $p = n_i^2 / n$，孔洞濃度 $p$ 會增加。
在溫度很高時（本徵區），$n \approx n_i$ 且 $p \approx n_i$。由於 $n_i$ 隨溫度顯著增加，因此 $p$ 也會增加。
嚴格來說，即使在 n 型半導體中，孔洞濃度 $p$ 也是由熱產生決定的。溫度升高，熱產生增加，因此 $p$ 增加。
【答案】增加 (Increase)。理由：溫度升高導致本徵載子濃度 $n_i$ 顯著增加，根據 $n \cdot p = n_i^2$，孔洞濃度 $p$ 隨之增加。

本題要求利用能帶圖 (Energy band diagram) 來表示四個不同的物理現象。能帶圖是描述固體材料中電子能量狀態的圖形，通常以波數 (k) 或位置 (x) 為橫軸，能量 (E) 為縱軸。

核心觀念：

• 能帶圖的組成： 價帶 (Valence band, Ev)、導帶 (Conduction band, Ec)、禁帶 (Band gap, Eg)。
• 電子與電洞： 導帶中的電子是自由載子，價帶中的電子是束縛載子。價帶中的空位稱為電洞。
• 能量與動量： 在能帶圖中，電子的能量由縱軸表示，其晶格動量（或波數）由橫軸表示。
• 電場： 電場會影響能帶的傾斜程度。
• 電子行為： 電子在能帶中的運動，其能量和動量的變化反映了其行為。

解題過程：

(a) The existence of a constant electric field.
在能帶圖中，電場的存在會導致能帶發生傾斜。如果電場是常數且方向一致，那麼能帶的傾斜率也是常數。
假設電場 $E$ 沿著 $x$ 方向，則電場對電子能量的影響是 $U = -qEx = eEx$ (對於電子，電荷 $q=-e$)。這表示在空間移動 $x$ 的過程中，電子的能量會線性變化。
在能帶圖中，這會表現為導帶底 ($E_c$) 和價帶頂 ($E_v$) 都會呈現線性傾斜。如果電場沿著 $x$ 軸正向，且我們繪製的是能量對位置的圖，那麼能帶會向 $x$ 軸的右側（或左側，取決於定義）傾斜。
繪製時，畫出 $E_c$ 和 $E_v$ 兩條平行且帶有固定斜率的直線。斜率的大小與電場強度成正比。
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
在能帶圖中，橫軸代表位置，縱軸代表能量。常數電場會使能帶發生線性傾斜，即 $E_c(x) = E_{c0} - eEx$ 或 $E_c(x) = E_{c0} + eEx$ (取決於電場方向與座標定義)。畫出兩條平行且具有固定斜率的直線代表 $E_c$ 和 $E_v$。

(b) An electron with kinetic energy = $E_g$/2.
電子在半導體中的總能量是其動能加上勢能。在能帶圖中，我們通常關注的是導帶中的自由電子。
假設電子位於導帶的最低點（即導帶底 $E_c$）。如果該電子具有動能 $K = E_g/2$，則其總能量為 $E_{total} = E_c + K = E_c + E_g/2$。
在能帶圖中，這表示該電子位於導帶內，其能量值比導帶底高出 $E_g/2$。
繪製時，畫出 $E_c$ 和 $E_v$。在 $E_c$ 上方，標示一個能量點，其高度為 $E_c + E_g/2$。這個點代表了具有該能量的電子。
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本題探討一個矽 P-N 接面在小順向偏壓下的行為，特別關注能帶圖、載子濃度分佈、電流密度以及不同摻雜區域寬度對電流的影響。

核心觀念：

1. P-N 接面的平衡狀態： 在無偏壓時，擴散電流與漂移電流平衡，形成內建電位。
2. 順向偏壓： 外加電壓降低了內建電位，使得擴散電流顯著增加，產生順向電流。
3. 準費米能階 (Quasi-Fermi Levels)： 在非平衡狀態下，電子和電洞的統計行為需要用兩個不同的費米能階來描述，分別是電子準費米能階 ($E_{Fn}$) 和電洞準費米能階 ($E_{Fp}$)。在平衡狀態下，$E_{Fn} = E_{Fp} = E_F$。
4. 載子濃度分佈： 順向偏壓會在接面附近注入少數載子，導致其濃度超過平衡值。
5. 電流密度： 總電流密度是電子和電洞電流密度的總和。在順向偏壓下，擴散電流是主導。
6. 擴散長度 (Diffusion Length)： 少數載子注入接面後，在複合前平均能擴散的距離。
7. 中性區寬度 (Neutral Region Width)： 接面以外的區域，總電荷接近零。

解題過程：

題目給定一個矽 P-N 接面，其中 $W_p$ 和 $W_n$（中性區寬度）遠大於其少數載子的擴散長度 ($L_p$ 和 $L_n$)。這是典型的擴散主導的 P-N 接面模型。

(a) Band diagram at small forward bias (0.3V).
在小順向偏壓 $V_{app} = 0.3V$ 下，接面的內建電位 $V_{bi}$ 被降低了 $V_{app}$。對於矽，室溫下的 $V_{bi} \approx 0.7V$。
順向偏壓使得導帶底的能量差 $\Delta E_c = qV_{app}$，價帶頂的能量差 $\Delta E_v = qV_{app}$。
準費米能階 $E_{Fn}$ 和 $E_{Fp}$ 會平行移動，它們之間的能量差等於外加偏壓 $V_{app}$。
在 P 區，電子濃度是少數載子，其準費米能階 $E_{Fn, P}$ 較低。在 N 區，電洞濃度是少數載子，其準費米能階 $E_{Fp, N}$ 較高。
由於 $W_p \gg L_p$ 和 $W_n \gg L_n$，表示 P 區和 N 區的遠處，載子濃度接近其平衡濃度（即 $n_p \approx n_0$, $p_n \approx p_0$）。因此，在 P 區遠處，$E_{Fn} \approx E_{Fp} \approx E_{F, P}$ (平衡時的費米能階)，在 N 區遠處，$E_{Fn} \approx E_{Fp} \approx E_{F, N}$。
順向偏壓下，接面兩側的準費米能階之差為 $E_{Fn} - E_{Fp} = qV_{app}$。
能帶圖應顯示：

• P 區和 N 區的 $E_c, E_i, E_v$。
• 接面區域的彎曲（由於內建電位）。
• 順向偏壓下的準費米能階 $E_{Fn}$ 和 $E_{Fp}$。它們在 P 區遠處位於同一水平，在 N 區遠處位於同一水平，且在 N 區遠處的 $E_{Fn}$ 比 P 區遠處的 $E_{Fn}$ 高 $qV_{app}$。同樣地，$E_{Fp}$ 在 N 區遠處比 P 區遠處高 $qV_{app}$。
• $E_{Fn}$ 總是高於 $E_{Fp}$。
• $E_{Fn}$ 在 N 區比 P 區高， $E_{Fp}$ 在 P 區比 N 區高。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
繪製 P-N 接面的能帶圖，包含 $E_c$, $E_i$, $E_v$。在 P 區和 N 區的遠處，畫出水平的 $E_{Fn}$ 和 $E_{Fp}$。在 P 區遠處，$E_{Fn} \approx E_{Fp}$。在 N 區遠處，$E_{Fn} \approx E_{Fp}$，且 N 區的準費米能階比 P 區高 $qV_{app}$。接面區域的能帶是彎曲的。

(b) Carrier concentration and current density distributions.

• Carrier Concentration Distribution:

  • Electrons (n): 在 P 區，電子是少數載子。順向偏壓注入的電子濃度在接面處達到最大值（稱為注入濃度），然後隨著遠離接面呈指數衰減，直到達到 N 區的平衡電子濃度 $n_{n0}$。在 N 區，電子是多數載子，濃度近似等於摻雜濃度 $N_D$。
  • Holes (p): 在 N 區，電洞是少數載子。順向偏壓注入的電洞濃度在接面處達到最大值（稱為注入濃度），然後隨著遠離接面呈指數衰減，直到達到 P 區的平衡電洞濃度 $p_{p0}$。在 P 區，電洞是多數載子，濃度近似等於摻雜濃度 $N_A$。
  • 由於 $W_p, W_n \gg L_p, L_n$，注入的少數載子在到達中性區邊界前會顯著複合，因此在 P 區的電子濃度和 N 區的電洞濃度在遠離接面處會迅速衰減到其平衡值。

• Current Density Distribution:

  • Electron Current Density ($J_n$): 總電子電流密度包括擴散電流和漂移電流。在順向偏壓下，擴散電流是主導。電子電流密度在 P 區是由接面處注入的電子擴散產生的，在 N 區則是由 N 區的電子擴散到接面。
  • Hole Current Density ($J_p$): 類似地，總電洞電流密度包括擴散電流和漂移電流。電洞電流密度在 N 區是由接面處注入的電洞擴散產生的，在 P 區則是由 P 區的電洞擴散到接面。
  • 由於 $W_p, W_n \gg L_p, L_n$，注入的少數載子在擴散過程中會複合，因此擴散電流密度也會隨距離呈指數衰減。
  • 在 P 區，電子電流密度主要由接面注入的電子擴散產生，在遠離接面處因複合而衰減。
  • 在 N 區，電洞電流密度主要由接面注入的電洞擴散產生，在遠離接面處因複合而衰減。
  • 總電流密度 $J = J_n + J_p$。在順向偏壓下，總電流密度在接面處最大，然後在遠離接面的中性區內，由於少數載子的複合，其值會減小，直到達到由多數載子擴散貢獻的較小值。但是，題目又說 $W_p, W_n$ 遠大於擴散長度，這意味著在中性區的遠處，少數載子濃度已經衰減到接近平衡值，其擴散貢獻也很小。因此，總電流密度在接面後會衰減，但如果只考慮擴散電流，那麼在中性區遠處，由於注入的少數載子已經複合掉，其擴散電流貢獻會變得非常小。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
繪製兩個圖：

1. 載子濃度分佈圖： 橫軸為位置 $x$，縱軸為載子濃度。畫出 P 區的 $p_p$ (多數載子) 和 $n_p$ (少數載子)，以及 N 區的 $n_n$ (多數載子) 和 $p_n$ (少數載子)。在接面處，$n_p$ 和 $p_n$ 顯著高於其平衡值，並隨距離指數衰減。
2. 電流密度分佈圖： 橫軸為位置 $x$，縱軸為電流密度。畫出 $J_n(x)$ 和 $J_p(x)$。在順向偏壓下，接面注入的少數載子擴散是主導。$J_n$ 在 P 區由接面向 N 區流動，並衰減；$J_p$ 在 N 區由接面向 P 區流動，並衰減。總電流 $J = J_n + J_p$ 在接面處最大，然後在中性區內，由於少數載子的複合，其值會減小。

本題探討 NPN 型雙極性接面電晶體 (BJT) 在主動偏壓模式下的能帶圖、電流增益 $\beta$ 的來源以及 $\beta$ 隨集極電流變化的趨勢。

核心觀念：

1. BJT 的結構與工作模式： BJT 由三個半導體區組成：射極 (Emitter, E)、基極 (Base, B) 和集極 (Collector, C)。主動偏壓模式是指射極-基極 (EB) 接面順向偏壓，集極-基極 (BC) 接面逆向偏壓。
2. 能帶圖與準費米能階： 在主動模式下，電子和電洞的注入與擴散是電流的主要來源。準費米能階用於描述非平衡狀態下的載子分佈。
3. 電流增益 $\beta$： $\beta = I_C / I_B$。在 BJT 中，射極注入的大量載子，大部分能擴散通過窄基極到達集極形成集極電流 $I_C$，只有少部分在基極複合形成基極電流 $I_B$。
4. 載子複合： 在基極區域，電子（從射極注入）與基極中的電洞（或基極中的電子與射極注入的電洞）複合，形成基極電流。
5. 掺雜濃度與擴散長度： 射極摻雜濃度遠高於基極，基極寬度遠小於少數載子擴散長度，是 BJT 獲得高 $\beta$ 的關鍵。

解題過程：

題目給定一個 NPN BJT，其射極 (E)、基極 (B)、集極 (C) 的摻雜濃度為 $N_E, N_B, N_C$，區域寬度為 $W_E, W_B, W_C$。

(a) Band diagram of BJT at active bias mode.
主動偏壓模式：EB 接面順向偏壓 ($V_{EB} > 0$)，BC 接面逆向偏壓 ($V_{CB} > 0$)。

• EB 接面： 順向偏壓使得 EB 接面的內建電位降低，電子從 N 型射極注入到 P 型基極，電洞從 P 型基極注入到 N 型射極。
• BC 接面： 逆向偏壓使得 BC 接面的內建電位增強，電子從 P 型基極擴散到 N 型集極，電洞從 N 型集極擴散到 P 型基極（但此處電洞是少數載子，其擴散貢獻較小）。
• 準費米能階：
  • 在射極區：電子是多數載子，電洞是少數載子。
  • 在基極區：電子是少數載子（從射極注入），電洞是多數載子。
  • 在集極區：電子是少數載子（從基極擴散），電洞是多數載子。
  • 由於 EB 接面順向偏壓，射極的準費米能階 ($E_{Fn,E}, E_{Fp,E}$) 與基極的準費米能階 ($E_{Fn,B}, E_{Fp,B}$) 之間有能量差 $qV_{EB}$。
  • 由於 BC 接面逆向偏壓，基極的準費米能階 ($E_{Fn,B}, E_{Fp,B}$) 與集極的準費米能階 ($E_{Fn,C}, E_{Fp,C}$) 之間有能量差 $qV_{CB}$。
  • 在能帶圖中，準費米能階會呈現平行移動。
  • $E_{Fn}$ 在射極區最高，然後在基極區下降，在集極區進一步下降。
  • $E_{Fp}$ 在集極區最高，然後在基極區下降，在射極區進一步下降。
  • 在每個區域內，$E_{Fn}$ 始終高於 $E_{Fp}$。
  • EB 接面順向偏壓導致 $E_{Fn,E}$ 比 $E_{Fn,B}$ 高， $E_{Fp,E}$ 比 $E_{Fp,B}$ 高。
  • BC 接面逆向偏壓導致 $E_{Fn,B}$ 比 $E_{Fn,C}$ 高， $E_{Fp,B}$ 比 $E_{Fp,C}$ 高。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
繪製 NPN BJT 的能帶圖，包含 $E_c, E_i, E_v$。

• EB 接面區域有順向偏壓引起的能帶彎曲。
• BC 接面區域有逆向偏壓引起的能帶彎曲。
• 畫出射極、基極、集極的準費米能階。
• $E_{Fn}$ 在 E 區最高，B 區次之，C 區最低。
• $E_{Fp}$ 在 C 區最高，B 區次之，E 區最低。
• 在 E 區 $E_{Fn} > E_{Fp}$；在 B 區 $E_{Fn} > E_{Fp}$；在 C 區 $E_{Fn} > E_{Fp}$。
• $E_{Fn,E} - E_{Fn,B} \approx qV_{EB}$， $E_{Fn,B} - E_{Fn,C} \approx qV_{CB}$。

(b) Why high current gain $\beta$ in BJT?
BJT 的高 $\beta$ 值源於其特殊的結構設計和工作原理，這與兩個串聯的 PN 接面（例如，兩個背對背連接的 PN 二極體）有顯著不同。
關鍵因素包括：

1. 優化的掺雜濃度： 射極的摻雜濃度 ($N_E$) 遠高於基極的摻雜濃度 ($N_B$)。這使得在 EB 接面順向偏壓下，射極注入到基極的電子數量遠遠大於基極注入到射極的電洞數量。因此，射極注入的載子（電子）是主導電流，而基極注入的載子（電洞）只佔一小部分。
   • 電子注入電流 $I_{n,inj} \propto n_p \propto N_D$ (在 P 區，電子是少數載子，其濃度與 N 區的 $N_D$ 有關)。
   • 電洞注入電流 $I_{p,inj} \propto p_n \propto N_A$ (在 N 區，電洞是少數載子，其濃度與 P 區的 $N_A$ 有關)。
   • 在 EB 接面，電子從 N 區（射極）注入 P 區（基極）的電流密度 $J_{n,inj} \approx J_{E} \frac{\sigma_n}{\sigma_n + \sigma_p}$，其中 $\sigma_n$ 和 $\sigma_p$ 是載子導電率。由於 $N_E \gg N_B$，$\sigma_n$ (射極) $\gg \sigma_p$ (基極)，所以電子注入佔主導。

核心觀念

本題考查 n-channel MOSFET 的臨界電壓，以及基板偏壓造成的 body effect（基體效應）。

臨界電壓公式為

$$V_T=V_{FB}+2\phi_F+\gamma \left[ \sqrt{2\phi_F+V_{SB}}-\sqrt{2\phi_F} \right]$$

其中：

• $V_{FB}$：平帶電壓
• $\phi_F$：基板費米位能
• $V_{SB}=V_S-V_B$：源極—基板電壓
• $\gamma$：基體效應參數

當 $V_{SB}=0$ 時，公式簡化為

$$V_{T0}=V_{FB}+2\phi_F$$

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參數計算

以下採用室溫 $T=300\ \text{K}$、$n_i=10^{10}\ \text{cm}^{-3}$，並取

$$\varepsilon_0=8.854\times10^{-14}\ \text{F/cm}$$ $$\varepsilon_{ox}=3.9\varepsilon_0,\qquad \varepsilon_{si}=11.7\varepsilon_0$$

1. 氧化層電容密度

氧化層厚度為

$$t_{ox}=10\ \text{nm}=10^{-6}\ \text{cm}$$

因此

$$C_{ox}=\frac{\varepsilon_{ox}}{t_{ox}} =\frac{3.9(8.854\times10^{-14})}{10^{-6}}$$ $$C_{ox}=3.453\times10^{-7}\ \text{F/cm}^2$$

2. 固定氧化層電荷造成的電壓

固定氧化層電荷為

$$Q_{ox}=5\times10^{10}e =5\times10^{10}(1.6\times10^{-19})$$ $$Q_{ox}=8.0\times10^{-9}\ \text{C/cm}^2$$

平帶電壓為

$$V_{FB}=\phi_{ms}-\frac{Q_{ox}}{C_{ox}}$$

題目給定 $\phi_{ms}=-1.4\ \text{eV}$，在電壓計算中相當於 $-1.4\ \text{V}$，所以

$$V_{FB} =-1.4-\frac{8.0\times10^{-9}}{3.453\times10^{-7}}$$ $$V_{FB}=-1.423\ \text{V}$$

3. 基板費米位能

對 p 型基板，

$$\phi_F=\frac{kT}{q}\ln\left(\frac{N_A}{n_i}\right)$$

代入 $N_A=10^{18}\ \text{cm}^{-3}$：

$$\phi_F =0.0259\ln\left(\frac{10^{18}}{10^{10}}\right)$$ $$\phi_F=0.476\ \text{V}$$

因此

$$2\phi_F=0.952\ \text{V}$$

4. 基體效應參數

本題要求推導理想 MOSFET 在線性區 (Linear Region) 和飽和區 (Saturation Region) 的跨導 (Transconductance, $g_m$) 表達式，並說明 $g_m$ 如何隨 $V_{DS}$ 和 $V_{GS}$ 變化。

核心觀念：

1. 理想 MOSFET 模型： 通常指忽略次臨界擺盪效應 (Subthreshold Swing)、短通道效應 (Short Channel Effects)、體效應 (Body Effect) 等的長通道 MOSFET 模型。
2. 線性區 (Linear Region)： 當 $V_{DS} < V_{GS} - V_T$ 時， MOSFET 處於線性區，此時導電通道的電阻行為類似於一個電阻。
3. 飽和區 (Saturation Region)： 當 $V_{DS} \ge V_{GS} - V_T$ 時， MOSFET 處於飽和區，此時通道在汲極端被夾斷 (Pinch-off)，通道電流不再隨 $V_{DS}$ 顯著增加。
4. 跨導 ($g_m$)： 定義為輸出電流對輸入電壓的變化率，即 $g_m = \frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}$。對於 MOSFET，輸入電壓是閘極-源極電壓 $V_{GS}$，輸出電流是汲極電流 $I_D$。

推導過程：

首先，我們需要 MOSFET 在線性區和飽和區的汲極電流 $I_D$ 表達式。對於 n-channel MOSFET，忽略體效應和短通道效應：

1. 線性區 (Linear Region)：$V_{DS} < V_{GS} - V_T$
在此區域，通道中的電位差 $V(x) = V_{GS} - V_{T} - V(x)$，其中 $V(x)$ 是通道在距離源極 $x$ 處的電位。
通道中的電流密度可以視為由通道電位差 $V_{GS} - V_T - V(x)$ 驅動，並受到通道電容 $C_{ox}$ 的影響。
將通道視為一連串的電阻，總電流 $I_D$ 可以通過對通道電位差積分得到。
一個更直接的方法是考慮通道的電阻。在線性區，通道的電導率與 $V_{GS} - V_T$ 成正比，且與 $V_{DS}$ 無關。
汲極電流 $I_D$ 的表達式為：
$I_D = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} [2(V_{GS} - V_T)V_{DS} - V_{DS}^2]$
其中，$\mu_n$ 是電子的遷移率，$C_{ox}$ 是閘極氧化層電容，$W/L$ 是 MOSFET 的寬長比。

跨導 ($g_m$) 在線性區：
$g_m = \frac{\partial I_D}{\partial V_{GS}} \bigg|_{V_{DS} \text{ constant}}$
對上述 $I_D$ 表達式對 $V_{GS}$ 微分：
$g_m^{\text{linear}} = \frac{\partial}{\partial V_{GS}} \left( \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} [2(V_{GS} - V_T)V_{DS} - V_{DS}^2] \right)$
$g_m^{\text{linear}} = \frac{1}{2} \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} [2V_{DS} - 0]$
$g_m^{\text{linear}} = \mu_n C_{ox} \frac{W}{L} V_{DS}$
$g_m^{\text{linear}} = \frac{W}{L} \mu_n \frac{\epsilon_{ox}}{t_{ox}} V_{DS}$