108 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》考古題與詳解

Question 1

A passenger car is running at 50 km/h. A sports car is overtaking this passenger car now.
If this sports car is 50 km/h as seen from the person riding in the passenger car, the speed
of this sports car as seen from the person standing on the sidewalk is 100 km/h. Here is a
problem; a passenger car is running at two-thirds speed of light speed (200,000 km/s). A
sports car is overtaking this passenger car now. If the sports car is 200,000 km/s as seen
from the person riding in the passenger car, what is the speed of this sports car as seen
from the person standing on the sidewalk? The speed of light is about 300,000 km/s.
(A) About 200,000 km/s
(B) About 400,000 km/s
(C) About 280,000 km/s
(D) About 300,000 km/s
(E) About 250,000 km/s

Accepted Answer

核心觀念 本題考查狹義相對論中的「相對速度合成」，不能直接使用古典力學的速度相加公式。 設： - 路邊觀察者為參考系 $S$ - 乘客所在車輛相對於路邊的速度為 $v$ - 跑車相對於乘客車輛的速度為 $u'$ - 跑車相對於路邊的速度為 $u$ 相對論速度合成公式為 $$ u=\frac{u'+v}{1+\dfrac{u'v}{c^2}} $$ 其中 $c$ 為光速。 解題方法 乘客車以光速的 $\dfrac{2}{3}$ 行駛，因此 $$ v=200{,}000\ 	ext{km/s}=\frac{2}{3}c $$ 跑車相對於乘客車的速度也是 $$ u'=200{,}000\ 	ext{km/s}=\frac{2}{3}c $$ 代入速度合成公式： $$ u= \frac{\frac{2}{3}c+\frac{2}{3}c} {1+\left(\frac{2}{3}ight)\left(\frac{2}{3}ight)} $$ 整理分子與分母： $$ u= \frac{\frac{4}{3}c}{1+\frac{4}{9}} = \frac{\frac{4}{3}c}{\frac{13}{9}} $$ 因此 $$ u=\frac{4}{3}c\cdot\frac{9}{13} =\frac{12}{13}c $$ 取 $c\approx300{,}000\ 	ext{km/s}$： $$ u\approx\frac{12}{13}(300{,}000) \approx276{,}923\ 	ext{km/s} $$ 所以跑車相對於路邊觀察者的速度約為

Question 2

Choose the correct combination of the answers in the parentheses below.
In radiation from a blackbody, the (a) at which the spectral radiation becomes maximum
is related inversely to the absolute temperature of the blackbody. This rule is called (b).
For example, suppose that an object is heated and emits light. When you compare the
cases that the object looks red and blue, the temperature is higher when it looks (c). In
the case of an incandescent lamp with a color temperature of 2900 K, the wavelength at
which the spectral radiation is maximum is approximately (d) nm.
(A) (a) frequency, (b) Stefan-Boltzmann law, (c) red, (d) 500
(B) (a) frequency, (b) Wien's displacement law, (c) red, (d) 500
(C) (a) wavelength, (b) Stefan-Boltzmann law, (c) blue, (d) 1000
(D) (a) wavelength, (b) Wien's displacement law, (c) blue, (d) 1000
(E) (a) wavelength, (b) Stefan-Boltzmann law, (c) blue, (d) 500

Accepted Answer

核心觀念 黑體輻射光譜的峰值波長與絕對溫度符合維恩位移定律： $$ \lambda{\max}T=b $$ 其中 - $\lambda{\max}$：光譜輻射強度最大的波長 - $T$：黑體的絕對溫度，單位為 K - $b$：維恩位移常數，約為 $$ b=2.898	imes10^{-3}\ 	ext{m}\cdot	ext{K} $$ 因此： $$ \lambda{\max}\propto \frac{1}{T} $$ 溫度越高，峰值波長越短，輻射顏色會由紅色逐漸偏向藍色。 另外，史特藩－波茲曼定律描述的是黑體單位面積的總輻射功率： $$ P=\sigma T^4 $$ 它表示總輻射功率與絕對溫度的四次方成正比，並非峰值波長與溫度的反比關係。 解題方法 題幹逐項填空： 1. 光譜輻射達到最大值的位置是波長，因此 $$	ext{(a) wavelength}$$ 2. 峰值波長與絕對溫度成反比，符合維恩位移定律，因此 $$	ext{(b) Wien's displacement law}$$ 3. 物體呈現藍色時，代表主要輻射波長較短，依維恩位移定律可知溫度較高，因此 $$	ext{(c) blue}$$ 4. 對於色溫 $T=2900\ 	ext{K}$ 的白熾燈： $$ \lambda{\max} =\frac{b}{T} =\frac{2.898	imes10^{-3}}{2900}\ 	ext{m} $$ 計算得： $$ \lambda{\max}\approx 9.99	imes10^{-7}\ 	ext{m} $$ 由於 $$ 1\ 	ext{m}=10^9\ 	ext{nm} $$ 所以： $$ \lambda{\max}\approx 999\ 	ext{nm}\approx1000\ 	ext{nm} $$ 因此完整組合為： $$ 	ext{(a) wavelength,\quad (b) Wien's displacement law,\quad (c) blue,\quad (d) 1000} $$ 選項分析 （A）

Question 3

If an electron is accelerated through V volts then the de Broglie wavelength in angstroms is given by λ =? (A) (15/V) 0.5 (B) (1500/V)0.5 (C) (150/V)0.5 (D) (1.5/V)0.5 (E) (15000/V)0.5

Accepted Answer

由電電子加速於 $V$ 伏，動能 $$K=eV\qquad(e=1.602	imes10^{-19}\,	ext{C})$$ 非相對論情況下 $$p=\sqrt{2meK}= \sqrt{2me eV}$$ 德布羅意波長 $$\lambda=\frac{h}{p}= \frac{h}{\sqrt{2me eV}}$$ 將 $\lambda$ 轉為 Å（$1\;	ext{Å}=10^{-10}\,	ext m$）： $$\lambda(	ext{Å})=\frac{h\;10^{10}}{\sqrt{2me e}}\;\frac{1}{\sqrt{V}}$$ 代入常數 $h=6.626	imes10^{-34}\,	ext{J·s}$、$me=9.109	imes10^{-31}\,	ext{kg}$、

Question 4

Ultraviolet light of wavelength 350 nm and intensity 0.1 W/m² is directed at a potassium
surface. If only 0.5% of the incident photons produce photoelectrons, how many are
emitted per second if the potassium surface has an area of 1 cm²? The work function of
potassium is about 2.2 eV.
(A) 8.8×1010
(B) 8.8×1011
(C) 3.5×1010
(D) 3.5×1011
(E) 1.3×1011

Accepted Answer

核心觀念 本題考查光電效應與光子能量： - 單一光子的能量： $$E{\gamma}=hf=\frac{hc}{\lambda}$$ - 單位時間照射到金屬表面的光能量為入射功率： $$P=IA$$ - 若每秒入射光子數為 $N{\gamma}$，其中有 $0.5\%$ 產生光電子，則光電子放出率為： $$Ne=0.005N{\gamma}$$ 鉀的功函數為 $2.2\ 	ext{eV}$，而本題光子能量大於功函數，因此確實能產生光電效應。 解題方法 1. 計算入射光功率 表面積為 $$A=1\ 	ext{cm}^2=1.0	imes10^{-4}\ 	ext{m}^2$$ 入射光強度為 $I=0.1\ 	ext{W/m}^2$，因此入射功率為 $$P=IA=(0.1)(1.0	imes10^{-4})$$ $$P=1.0	imes10^{-5}\ 	ext{W}$$ 2. 計算單一光子能量 波長為 $$\lambda=350\ 	ext{nm}=350	imes10^{-9}\ 	ext{m}$$ 使用 $h=6.626	imes10^{-34}\ 	ext{J}\cdot	ext{s}$、$c=3.00	imes10^8\ 	ext{m/s}$： $$E{\gamma}=\frac{hc}{\lambda}$$ $$ E{\gamma} =\frac{(6.626	imes10^{-34})(3.00	imes10^8)} {350	imes10^{-9}} $$ $$E{\gamma}\approx5.68	imes10^{-19}\ 	ext{J}$$ 換成電子伏特： $$ E{\gamma}\approx\frac{1240}{350}\ 	ext{eV} \approx3.54\ 	ext{eV} $$ 因為 $$3.54\ 	ext{eV}2.2\ 	ext{eV}$$ 所以光子能量足以克服鉀的功函數。 3. 計算每秒入射光子數 $$N{\gamma}=\frac{P}{E{\gamma}}$$ $$ N{\gamma} =\frac{1.0	imes10^{-5}} {5.68	imes10^{-19}} $$

Question 5

Assume that $me$ is the electron mass, $n$ is the principal quantum number, $c$ is the speed of light, and $a$ is the fine structure constant. The energy $En$ of positronium is given by (A) $-a^2mec^2/4n^2$ (B) $-a^2mec^2/2n^2$ (C) $-a^2mec^2/n^2$ (D) $-2a^2mec^2/n^2$ (E) $-4a^2mec^2/n^2$

Accepted Answer

參考書等級：大學部／研究所（如 Griffiths《Introduction to Quantum Mechanics》Chapter 5、Bethe & Salpeter《Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms》） 解題步驟 1. 正電子與電子組成的 positronium 為兩質量相同的粒子系統，其有效質量（reduced mass） $$\mu=\frac{me\cdot me}{me+me}=\frac{me}{2}.$$

Question 6

Select the correct solution of wave function, eigen energy, and/or eigen value for angular
momentum, associated with various conditions of quantum well and/or potential barriers
(A) A particle in a quantum well with width of L and barrier height of Uo at the boundaries,
x = 0, L
Ψη(x) =
2π
L
sin
(x), n
), n = 1,2,3,…, En
η² (πή)2
2mL2
, n = 1, 2, 3, ...
(B) For harmonic oscillator with potential energy of U and quantized energies of En
U(x) = kx², En = nħω, n = 0, 1, 2, 3, ………
2
-y2
wave function: (y) = (2^n!)-1/2Hn(y)ez, y = (mw)1/2x, w =
Hn(y): Hermite Polynomials
ħ
km
(C) For Hydrogen atom with mass of MH, potential energy of U(r) and quantized
energies of En
e2
U(r) =
Απεργ
En =
mee4
8εξής (π²
(글),
, n = 1, 2, 3, ...
angular momentum: L = mvr = nħ, h = 1, h: Planck constant
h
2π'
(D) For an electron with energy of E, tunneling through a barrier with barrier height of Uo and
thickness of d
00
wave function: (x) = e-ks, tunneling probability: T = ∫ ψ*ψdx = e-2k8, k
2m(U-E)
(E) None of the above

Accepted Answer

核心觀念 本題比較四種量子力學系統的標準結果： 1. 有限深方形量子井的波函數與能量。 2. 一維簡諧振子的能階與波函數。 3. 氫原子的庫侖位能、能階與角動量。 4. 穿隧效應中的波函數衰減與穿透率。 判斷選項時，除了比較公式，也要檢查： - 邊界條件是否吻合。 - 能量是否具有正確的量子化形式。 - 物理量的量綱是否正確。 - 角動量量子數是否使用正確。 --- 解題方法 逐一將各選項與標準公式比較。只要某選項中有一項關鍵公式錯誤，該選項即不能選。 --- 選項分析 （A）有限深方形量子井 選項給出的形式相當於無限深方形井： $$ \psin(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}ight), \qquad n=1,2,3,\ldots $$ 其能量為 $$ En=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}. $$ 這組結果成立的前提是： $$ V(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<L,\ \infty, & x\leq 0 	ext{ 或 } x\geq L. \end{cases} $$ 但題目描述的是邊界具有有限障壁高度 $U0$，即有限深方形井。有限障壁下，粒子波函數可以穿入井外，因此： - 井內波函數不會單純是上述正弦函數。 - 井外波函數呈指數衰減。 - 能量不再是 $\dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$ 的精確結果。 - 邊界處波函數與其一階導數必須連續。 因此，選項使用了「無限深量子井」的結果，與題目所述的有限障壁不符。 （A）錯誤。 --- （B）一維簡諧振子 簡諧振子的位能為 $$ U(x)=\frac{1}{2}kx^2, $$ 並定義 $$ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}. $$ 其正確能階為 $$ En=\left(n+\frac{1}{2}ight)\hbar\omega, \qquad n=0,1,2,\ldots $$ 選項寫成 $$ En=n\hbar\omega. $$ 這少了零點能 $$ E0=\frac{1}{2}\hbar\omega. $$ 簡諧振子的基態能量不可能為零，這是由不確定性原理所導致的零點振動能。 正確的波函數為 $$ \psin(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}ight)^{1/4} Hn(y)e^{-y^2/2}, $$ 其中 $$ y=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\,x, $$ 而 $Hn(y)$ 為 Hermite 多項式。 選項中的波函數形式大致接近正確形式，但能階公式已經明確錯誤，因此整個選項不能成立。 （B）錯誤。 ---…

Question 7

Consider an atomic electron in the l = 3 state. (I is the orbital quantum number.) Which
of the following are allowable values of z component of orbital angular momentum L in
unit of Planck's constantħ.
(A) 0
(B) 1
(C) -2
(D) 3
(E) 3/2

Accepted Answer

核心觀念 軌道角動量量子數為 $l$ 的原子電子，其軌道角動量大小不是 $l\hbar$，而是由量子力學公式決定： $$ |\mathbf{L}|=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar $$ 題目給定 $l=3$，要求以 $\hbar$ 為單位表示軌道角動量大小。 解題方法 代入 $l=3$： $$ |\mathbf{L}|=\sqrt{3(3+1)}\,\hbar =\sqrt{12}\,\hbar =2\sqrt{3}\,\hbar $$ 因此，以 $\hbar$ 為單位時，答案為 $2\sqrt{3}$。 需注意，$l\hbar$ 並非軌道角動量的大小，而是與磁量子數 $ml$ 有關的 $z$ 軸分量在最大值時的大小： $$ Lz=ml\hbar,\qquad ml=-l,-l+1,\ldots,l $$ 當 $l=3$ 時，最大可能的 $Lz$ 為 $3\hbar$，但這不等於軌道角動量向量的大小。 選項分析

Question 8

According to Drude's free electron theory of metals, the physical properties of a metal
may be explained by modeling the metal as a classical gas of conduction electrons moving
through a fixed lattice of positive ion cores. Which of the following is NOT true for the
original Drude's theory?
(A) The model predicts correct functional form of Ohm's law
(B) The drift velocity of the electron is proportional to the applied electrical field
(C) The original model uses classical mean free path
(D) The original model predicts correctly the experimental values of electrical
conductivities with classical mean free path
(E) The mobile electrons are visualized as "fluid"

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Drude 金屬自由電子理論的基本假設與其成功、失敗之處。 Drude 將金屬視為： - 固定不動的正離子晶格； - 在晶格間運動的自由電子； - 自由電子近似為服從古典力學的氣體粒子； - 電子與離子或其他散射中心碰撞，平均碰撞時間為 $	au$； - 電子具有古典的平均自由程 $\ell$。 在外加電場 $\mathbf{E}$ 下，電子受到力 $$ \mathbf{F}=-e\mathbf{E} $$ 其中 $e$ 為基本電荷量。Drude 模型的平均運動方程為 $$ m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = -e\mathbf{E}-\frac{m\mathbf{v}}{	au}. $$ 穩態時 $d\mathbf{v}/dt=0$，因此電子的漂移速度為 $$ \mathbf{v}d=-\frac{e	au}{m}\mathbf{E}. $$ 電流密度為 $$ \mathbf{J}=-ne\mathbf{v}d = \frac{ne^2	au}{m}\mathbf{E}, $$ 所以得到 Ohm 定律 $$ \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}, \qquad \sigma=\frac{ne^2	au}{m}. $$ 若以平均自由程 $\ell$ 表示平均碰撞時間，則 $$ 	au=\frac{\ell}{\bar v}, $$ 其中 $\bar v$ 是電子的平均速率。原始 Drude 理論採用古典熱運動觀點，通常令 $$ \frac{1}{2}m\bar v^2\sim \frac{3}{2}kBT. $$ 這種古典速度尺度與實際金屬電子的量子力學行為並不相符。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合原始 Drude 理論。 判斷關鍵在於： 1. Drude 理論能否導出正確的電流—電場關係； 2. 漂移速度是否與電場成正比； 3. 理論是否使用古典平均自由程； 4. 採用古典平均自由程後，電導率數值是否也與實驗相符； 5. 自由電子是否被視為類似流體的可移動電荷。 Drude 理論在「定性形式」上相當成功，但在許多「數值預測」上失敗。題目詢問的是 NOT true，因此應找出其錯誤的成功敘述。 --- 選項分析 (A) The model predicts correct functional form of Ohm's law 此敘述正確。 由 Drude 模型可得 $$ \mathbf{J} = \frac{ne^2	au}{m}\mathbf{E}. $$ 若 $n$、$	au$ 與 $m$ 在一定條件下視為常數，便得到 $$ \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}, $$ 這正是 Ohm 定律的正確函數形式。因此 Drude 理論成功解釋了電流密度與電場呈…

Question 9

For Hydrogen atom, select the correct wave function at given quantum numbers to
accurately calculate the expectation values.
(A) For wave function at ground state Ψ100 (r, θ, φ) to calculate the (r) away from the
nucleus
Ψ100(r, θ, φ) = R100 (r)Φ100 (θ)Φ100 ($) = (a₀)⁻³/² e⁻ʳ/ᵃ⁰, do
r
= ao,
1
(r)

4περή2
me2
(Bohr radius)
(B) For wave function at ground state Ψ100 (r, θ, φ) to calculate the (2)
Ψ100 (γ, θ, φ) = R100 (r)Φ100 (θ)Φ100(Φ) = (1/πa₀³)¹/² e⁻ʳ/ᵃ⁰, do

1
1
r
1
παο
(C) For wave function at ground state Ψ100 (r, θ, φ) to calculate the (r) and ()
Ψ100(r, θ, φ) = R100(r)0100(θ)Φ100(Φ) = (1/πa₀³)¹/² e⁻ʳ/ᵃ⁰, do
(r) = ao,
1

1
(r)
1
ao

4περή2
me2
(Bohr radius)
(D) For wave function at excited state Ψ200 (r, θ, φ) to calculate the (2)
1
Ψ200(r, θ, φ) = R200(r)@200(θ)Φ200(Φ) = 4√2πα₀³/² (2-r/a₀)e⁻ʳ/²ᵃ⁰, αο

1
4a0
(E) For wave function at excited state Ψ200 (r, θ, φ) to calculate the (r) and (2)
Ψ200 (r, θ, φ) = R200(r)@200(θ) Φ200 (Φ) =
1
2√2πα, 3/2 (2-2)-r/2ao, do

4περή2
me2
(r) = 2a, ()

1
200

Accepted Answer

核心觀念 本題考查氫原子波函數的正確形式，以及期望值的計算： $$ \langle f(r)angle = \int \Psi^ f(r)\Psi\,d^3r = \int0^\infty R{nl}^2(r)f(r)r^2\,dr $$ 其中氫原子波函數為 $$ \Psi{nlm}(r,	heta,\phi) = R{nl}(r)Yl^m(	heta,\phi). $$ 基態與 $2s$ 態分別為 $$ \Psi{100} = \frac{1}{\sqrt{\pi a0^3}}e^{-r/a0}, $$ $$ \Psi{200} = \frac{1}{4\sqrt{2\pi a0^3}} \left(2-\frac{r}{a0}ight)e^{-r/(2a0)}. $$ 其中 $$ a0=\frac{4\pi\varepsilon0\hbar^2}{me^2} $$ 為波耳半徑。 --- 解題方法 對只與 $r$ 有關的物理量，例如 $\langle rangle$、$\langle r^2angle$、$\langle 1/rangle$、$\langle 1/r^2angle$，使用徑向波函數計算即可。 令 $$ x=\frac{r}{a0},\qquad r=a0x,\qquad dr=a0dx. $$ 基態的徑向機率分布為 $$ 4\pi r^2|\Psi{100}|^2 = \frac{4r^2}{a0^3}e^{-2r/a0}. $$ 因此 $$ \langle rangle{100} = \frac{4}{a0^3}\int0^\infty r^3e^{-2r/a0}\,dr = \frac{3}{2}a0, $$ 而 $$ \left\langle\frac1rightangle{100} = \frac{4}{a0^3}\int0^\infty re^{-2r/a0}\,dr = \frac1{a0}. $$ 對 $2s$ 態， $$ R{20}(r) = \frac{1}{2\sqrt2\,a0^{3/2}} \left(2-\frac r{a0}ight)e^{-r/(2a0)}. $$ 計算 $\langle 1/r^2angle$： $$ \left\langle\frac1{r^2}ightangle{200} = \int0^\infty R{20}^2(r)\,dr. $$ 代入 $R{20}$： $$ \left\langle\frac1{r^2}ightangle{200} = \frac1{8a0^3} \int0^\infty \left(2-\frac r{a0}ight)^2e^{-r/a0}\,dr. $$ 令 $x=r/a0$，則 $$ \l…

Question 10

X-rays of wavelength 10 pm are scattered from a target. Find the maximum wavelength
present in the scattered X-rays. Compton wavelength of the scattering particle is about
2.426 pm.
(A) About 12 pm
(B) About 15 pm
(C) About 20 pm
(D) About 30 pm
(E) About 40 pm

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 康普頓散射（Compton scattering）。入射光子與近似自由、靜止的電子碰撞後，光子波長會變長，波長改變量為 $$ \Delta \lambda=\lambda'-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos	heta) $$ 其中： - $\lambda$：入射 X 光波長 - $\lambda'$：散射後 X 光波長 - $m$：散射粒子質量 - $	heta$：光子散射角 - $\dfrac{h}{mc}$：散射粒子的康普頓波長 題目給定散射粒子的康普頓波長為 $$ \lambdaC=\frac{h}{mc}=2.426\ 	ext{pm} $$ 解題方法 散射後光子的波長為 $$ \lambda'=\lambda+\lambdaC(1-\cos	heta) $$ 要使散射光的波長最大，必須使 $$ 1-\cos	heta $$ 最大。由於 $\cos	heta$ 的最小值為 $-1$，因此最大波長發生在 $$ 	heta=180^\circ $$ 此時 $$ 1-\cos180^\circ=1-(-1)=2 $$ 所以最大康普頓位移為 $$ \Delta\lambda{\max}=2\lambdaC =2(2.426\ 	ext{pm}) =4.852\ 	ext{pm} $$ 入射 X 光波長為 $10\ 	ext{pm}$，故散射後最大波長為

Question 11

Choose the correct statements below.
(A) No phenomenon exists which appears to be a speed (super light speed) exceeding the
speed of light in vacuum.
(B) The principle of relativity is that physical laws are represented by the same formula
even for different observers.
(C) In Minkowski's spacetime, the quantity (ct)² + x² + y² + z² is invariant under the
Lorentz transformation. Here the coordinates x, y, z refer to space, t is time, and c is
the speed of light.
(D) Massless objects can only move at the speed of light.
(E) Special relativity theory can only deal with uniform linear motion.

Accepted Answer

解析 (A) 錯。相位速度、群速度或光斑在幾何上移動可呈現 $vc$，但資訊傳遞仍受 $c$ 限制。 (B) 對。相對性原理要求所有慣性觀測者寫出的物理律形式相同（同樣的方程式）。 (C) 錯。Minkowski 不變量為 $$s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2},$$

Question 12

Choose the correct statements below. c is the speed of light.
(A) A spaceship is measured to be 100 m long while it is at rest with respect to an
observer. If this spaceship flies by the observer with a speed of 0.99c, the observer
will find the length of the spaceship to be about 14.1 m.
(B) There is a twin, A and B on the earth. Suppose when they are 20 years old, A makes a
round trip to the Centaurus a star that is 4.4 light-years far away from the earth by
spacecraft at the speed of v = 0.99c. When A returns the earth and see B, A and B
will be about 21.25 and 28.9 years old, respectively.
(C) An electron, which has a mass of 9.11×10-31 kg, moves with a speed of 0.750c. Its
relativistic momentum is 2.05×10-22 kg.m/s.
(D) X-rays of wavelength λ = 0.2 nm are aimed at a block of carbon. The scattered X-
rays are observed at an angle of 45° to the incident beam. The wavelength of the
scattered X-ray at this angle is 0.1993 nm.
(E) An electron of charge q and mass m is accelerated from rest through a small potential
difference V = 50 V. Assuming that the particle is nonrelativistic, de Broglie
wavelength λ is 1.7 Å.

Accepted Answer

參考書等級：大學部二、三年級電磁/近代物理教材（如 Griffiths《Introduction to Electrodynamics》、Rindler《Introduction to Special Relativity》、Shankar《Principles of Quantum Mechanics》） --- A) 長度收縮 $$L=L0/\gamma,\qquad \gamma=\frac1{\sqrt{1-\beta^2}},\;\beta=v/c=0.99$$ $$\gamma\approx7.09,\;L=100	ext{ m}/7.09\approx14.1	ext{ m}$$ 正確。 B) 往返距離（地球坐標） $2d=2	imes4.4	ext{ ly}=8.8	ext{ ly}$ 地球觀測時間 $t{	ext{E}}=2d/v=8.8/0.99\approx8.89	ext{ yr}$ 旅行者固有時間 $t{	ext{A}}=t{	ext{E}}/\gamma\;( \gamma\approx7.09)$ $$t{	ext{A}}\approx8.89/7.09\approx1.25	ext{ yr}$$ 年齡：$A=20+1.25\approx21.25	ext{ yr}$、$B=20+8.89\approx28.9	ext{ yr}$ 正確。 C) 動量 $p=\gamma m v$，$\beta=0.75,\;\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\approx1.512$

Question 13

Which of the following statements are correct?
(A) All motion is relative; the speed of light in free space is the same for all observers.
(B) A spacecraft is moving relative to the earth. An observer on the earth finds that,
between 1 P.M. and 2 P.M. according to her clock, 3601 s elapse on the spacecraft's
clock. The spacecraft's speed relative to the earth is around 7×106 m/s.
(C) To accelerate a particle of mass m and velocity v with a constant force F, where F is
parallel to v, the acceleration of the particle is a = (y =
F
ym
1
√1-02/c2
(D) A particle has the rest mass mo and velocity v. The speed of light is c. Therefore, the
relativistic momentum is p =
mov
√1-22
and relativistic total energy is E =
moc²
√1-22
(E) The energies of electrons liberated by light depend on the frequency of the light.
Electron mass me=9.1095× 10-31 kg; Hydrogen atomic mass M₁=1.6736× 10-27 kg
Electron charge e=1.602× 10-19 Coul; Planck's constant h=6.626× 10-34 J.s
Light velocity c=3.00× 108 m/s; Permittivity of free space =8.854× 10-12 Coul/V.m

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查： - 黑體輻射與 Stefan–Boltzmann 定律 - 電磁輻射壓力 - Planck 黑體輻射量子化假設 - 不確定性原理與氫原子基態能量 - 光電效應的能量與動量守恆 --- 解題方法 逐一檢驗各敘述是否符合近代物理的基本定律與公式。 黑體輻射 理想黑體單位時間放出的輻射功率為 $$ P=\sigma A T^4 $$ 其中 $\sigma$ 為 Stefan–Boltzmann 常數，$A$ 為輻射表面積。 輻射壓力 對各方向均勻分布的電磁輻射，輻射壓力為 $$ p{	ext{rad}}=\frac{u}{3} $$ 其中 $u$ 是輻射能量密度。 Planck 量子化假設 Planck 假設振盪子的能量只能取離散值 $$ En=n\varepsilon=n h
u,\qquad n=0,1,2,\ldots $$ 平均能量為 $$ \langle Eangle = \frac{\varepsilon}{e^{\varepsilon/kT}-1} = \frac{h
u}{e^{h
u/kT}-1}. $$ 不確定性原理 位置與動量滿足 $$ \Delta x\,\Delta p\gtrsim \hbar. $$ 對氫原子基態，可用電子被限制在原子尺度 $r$ 內估計 $$ p\sim \frac{\hbar}{r}. $$ 再與庫倫位能合併，即可得到與 Bohr 理論相同的能量尺度。 光電效應 自由電子若吸收單一光子，必須同時滿足能量與動量守恆；在真空中，單一自由電子無法同時滿足這兩項條件。因此光電效應需要束縛電子，並由原子、金屬晶格等系統吸收反沖動量。 --- 選項分析 (A) 正確 導線長度 $L=1\ 	ext{m}$，半徑 $r=1\ 	ext{mm}=10^{-3}\ 	ext{m}$。忽略兩端，只計算圓柱側面積： $$ A=2\pi rL =2\pi(10^{-3})(1) =6.28	imes10^{-3}\ 	ext{m}^2. $$ 由黑體輻射公式： $$ P=\sigma AT^4. $$ 因此 $$ T=\left(\frac{P}{\sigma A}ight)^{1/4}. $$ 代入 $P=1000\ 	ext{W}$、$\sigma=5.67	imes10^{-8}\ 	ext{Wm}^{-2}	ext{K}^{-4}$： $$ T= \left[ \frac{1000} {(5.67	imes10^{-8})(6.28	imes10^{-3})} ight]^{1/4} \approx 1294\ 	ext{K}. $$ 所以此敘述正確。 --- (B) 正確 若輻射在空間中各向同性分布，能量密度為 $u$，則各方向平均分攤動量通量。對電磁輻射而言…

Question 14

The state of a free particle is described by the wave function: Ψ(x) = 0 for x < -3a,
Ψ(x) = c for -3a < x < a, and Ψ(x) = 0 for x > a. Which of the following statements are
correct?
(A) If we are using the normalization condition, c = 1/2a1/2.
(B) The probability of finding the particle in the interval [0, a] is 1/2.
(C) The expectation value of x is -a and the standard deviation of x is 2a/31/2.
(D) The expectation value of x is 7a2/3 and the variance of x is 2a/31/2.
(E) If the momentum probability density is |φ(p)|², φ(p)|²=22sin(pa)
2παρ2

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 波函數的歸一化條件 - 位置機率分布與機率 - 位置期望值、變異數與標準差 - 位置波函數與動量波函數的 Fourier 變換 已知 $$ \Psi(x)= \begin{cases} c, & -3a<x<a,\ 0, & 	ext{其他區域}. \end{cases} $$ 因此粒子在區間 $[-3a,a]$ 內具有均勻的位置機率分布。 --- 解題方法 1. 求歸一化常數 波函數必須滿足 $$ \int{-\infty}^{\infty}|\Psi(x)|^2\,dx=1. $$ 因此 $$ \int{-3a}^{a}|c|^2\,dx=1. $$ 區間長度為 $4a$，所以 $$ 4a|c|^2=1, $$ 得到 $$ |c|=\frac{1}{2\sqrt a}. $$ 取 $c$ 為正實數時， $$ c=\frac{1}{2\sqrt a}. $$ --- 2. 計算區間 $[0,a]$ 的機率 位置機率為 $$ P(0\le x\le a)=\int0^a|\Psi(x)|^2\,dx. $$ 由於 $|\Psi(x)|^2=|c|^2=1/(4a)$， $$ P(0\le x\le a) =\int0^a\frac{1}{4a}\,dx =\frac{a}{4a} =\frac14. $$ --- 3. 計算 $\langle xangle$ 與標準差 位置期望值為 $$ \langle xangle =\int{-\infty}^{\infty}x|\Psi(x)|^2\,dx =\frac{1}{4a}\int{-3a}^{a}x\,dx. $$ 計算得 $$ \langle xangle =\frac{1}{4a}\left[\frac{x^2}{2}ight]{-3a}^{a} =\frac{1}{4a}\left(\frac{a^2}{2}-\frac{9a^2}{2}ight) =-a. $$ 再求 $\langle x^2angle$： $$ \langle x^2angle =\frac{1}{4a}\int{-3a}^{a}x^2\,dx =\frac{1}{4a}\left[\frac{x^3}{3}ight]{-3a}^{a}. $$ 因此 $$ \langle x^2angle =\frac{1}{4a}\left(\frac{a^3}{3}+\frac{27a^3}{3}ight) =\frac{7a^2}{3}. $$ 位置變異數為 $$ (\Delta x)^2 =\langle x^2angle-\langle xangle^2 =\frac{7a^2}{3}-a^2 =\frac{4a^2}{3}. $$ 所以標準差為 $$ \De…

Question 15

Consider an atomic electron in the l = 3 state. (I is the orbital quantum number.) Which
of the following are allowable values of z component of orbital angular momentum L in
unit of Planck's constantħ.
(A) 0
(B) 1
(C) -2
(D) 3
(E) 3/2

Accepted Answer

核心觀念 軌道角動量量子數為 $l$ 時，其 $z$ 分量的量子化關係為 $$ Lz=ml\hbar $$ 其中磁量子數 $ml$ 的允許值為 $$ ml=-l,-l+1,\ldots,l-1,l $$ 因此，當題目給定 $l=3$ 時， $$ ml=-3,-2,-1,0,1,2,3 $$ 所以 $Lz$ 以 $\hbar$ 為單位表示時，允許的數值就是上述七個整數。 解題方法 由 $$ Lz=ml\hbar $$ 可知 $$ \frac{Lz}{\hbar}=ml $$ 而 $l=3$ 對應的磁量子數為 $$ ml\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\} $$ 逐一比對各選項即可判斷。 注意：題目中的「I」應為軌道量子數 $l$ 的字體誤植。 選項分析 (A) $0$：正確 當 $$ ml=0 $$ 則 $$ Lz=0\cdot\hbar=0 $$ 因此 $0$ 是允許的 $Lz/\hbar$ 值。 (B) $1$：正確 當

Question 16

For free electron gas in metals, which of the following is true?
(A) The Fermi temperature Tf is defined by Ef = kBTf, where Ef is Fermi energy and kB
is the Boltzmann constant.
(B) For typical metal like aluminum in ambient condition, Fermi energy is on the order of
0.03 eV
(C) For typical metal like aluminum in ambient condition, Fermi temperature is ~300K.
(D) Pauli exclusion principle can be applied to such a system.
(E) For typical metal like sodium, Fermi temperature is much larger than 1000K.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查金屬自由電子氣的費米能量、費米溫度，以及電子是否遵守泡利不相容原理。

費米能量定義為絕對零度時，電子所能佔據的最高能量，記為 $E_F$ 。費米溫度定義為

T_F=\frac{E_F}{k_B},

因此

E_F=k_BT_F,

其中 $k_B$ 為波茲曼常數。

金屬中的傳導電子屬於費米子，必須遵守泡利不相容原理：同一量子態最多容納一個電子；若計入自旋簡併，每個空間量子態可容納兩個自旋相反的電子。

解題方法

判斷本題各選項時，使用三個基本事實：

費米溫度由 $T_F=E_F/k_B$ 定義。
一般金屬的費米能量約為數個至十幾個 eV，而非毫電子伏特等級。
對應的費米溫度通常約為 $10^4$ 至 $10^5\ \mathrm{K}$ ，遠高於室溫。

常用換算為

k_B=8.617\times 10^{-5}\ \mathrm{eV/K},

因此

T_F(\mathrm{K}) =\frac{E_F(\mathrm{eV})}{8.617\times10^{-5}} \approx 1.16\times10^4 E_F(\mathrm{eV}).

例如鋁的費米能量約為

E_F\approx 11.7\ \mathrm{eV},

所以

T_F\approx \frac{11.7}{8.617\times10^{-5}} \approx 1.36\times10^5\ \mathrm{K}.

鈉的費米能量約為 $3.2\ \mathrm{eV}$ ，因此

T_F\approx \frac{3.2}{8.617\times10^{-5}} \approx 3.7\times10^4\ \mathrm{K},

同樣遠高於 $1000\ \mathrm{K}$ 。

選項分析

(A) 正確

題目敘述

E_F=k_BT_F

正是費米溫度的定義。整理得

T_F=\frac{E_F}{k_B}.

因此 (A) 正確。

(B) 錯誤

典型金屬鋁的費米能量約為

E_F\approx 11.7\ \mathrm{eV},

屬於數 eV 至十幾 eV 的量級，不是 $0.03\ \mathrm{eV}$ 。

Question 17

For an electron trapped in a quantum well with infinitely high barrier U(x) → ∞ at the
boundaries, x = 0 and L. Derive the wave function and calculate the expectation values of
specified terms. Herein p is the linear momentum operator given by p =
hd
i dx
(A) Ψ(x) = √2/L cos(nπx/L), (x) = L²/3, (x²) = L²/3, (px²) - (x²p) = 0
(B) Ψ(x) = √2/L sin(nπx/L), (x) = L/2, (x²) = L²/3, (px²) - (x²p) = 0
(C) Ψ(x) = √2/L sin(nπx/L), (px) - (xp) = 0
(D) Ψ(x) = √2/L sin(nπx/L), (px) - (xp) = 0
(E) Ψ(x) = √2/L sin(nπx/L), (x²) = L²/3, (px²) - (xp) = 12(1 - 3/2(nπ)²)

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一維無限深方井的定態波函數、期望值，以及動量算符與位置算符的對易關係。 無限深方井範圍為 $$ 0<x<L $$ 井外位能無限大，因此波函數必須滿足邊界條件 $$ \psi(0)=\psi(L)=0 $$ 動量算符為 $$ \hat p=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}=-i\hbar\frac{d}{dx} $$ 並使用期望值定義 $$ \langle f(x)angle=\int0^L\psi^(x)f(x)\psi(x)\,dx $$ --- 解題方法：求無限深方井波函數 井內位能取 $U(x)=0$，定態薛丁格方程為 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi $$ 令 $$ k^2=\frac{2mE}{\hbar^2} $$ 則方程通解為 $$ \psi(x)=A\sin kx+B\cos kx $$ 由 $\psi(0)=0$ 得 $$ B=0 $$ 再由 $\psi(L)=0$ 得 $$ \sin(kL)=0 $$ 因此 $$ kL=n\pi,\qquad n=1,2,3,\ldots $$ 所以本徵波函數為 $$ \psin(x)=A\sin\left(\frac{n\pi x}{L}ight) $$ 利用歸一化條件 $$ \int0^L|\psin(x)|^2dx=1 $$ 以及 $$ \int0^L\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}ight)dx=\frac{L}{2} $$ 得到 $$ \boxed{\psin(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\left(\frac{n\pi x}{L}ight)} $$ 這也立即排除使用餘弦函數的選項，因為 $\cos(0)=1$，無法滿足左邊界的波函數為零。 --- 位置期望值 $\langle xangle$ 由定義 $$ \langle xangle = \frac{2}{L}\int0^L x\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}ight)dx $$ 利用井中機率密度關於 $x=L/2$ 對稱，直接得到 $$ \boxed{\langle xangle=\frac{L}{2}} $$ --- 位置平方期望值 $\langle x^2angle$ $$ \langle x^2angle = \frac{2}{L}\int0^L x^2\sin^2\left(\frac{n\pi x}{L}ight)dx $$ 利用 $$ \sin^2	heta=\frac{1-\cos 2	heta}{2} $$ 可得 $$ \langle x^2angle = \frac{1}{L}\int0^Lx^2 \…

Question 18

An electron magnetic dipole was placed in a magnetic field B. Calculate the minimum B,
denoted as Bo needed for the Zeeman effect to be observed in a spectral line of various
wavelengths, such as λ = 490 nm, 500 nm, and 600 nm corresponding to spectrometer
with resolution of Aλ = 0.084 nm, 0.056 nm, and 0.045 nm, respectively.
(A) For λ = 490 nm, Δλ = 0.084 nm, B₁ = 6.0 T (T = kg/C•s)
(B) For λ = 490 nm, Δλ = 0.084 nm, Bo = 7.5 T (T = kg/C•s)
(C) For λ = 500 nm, Δλ = 0.056 nm, Bo = 5.0 T (T = kg/C•s)
(D) For A = 600 nm, Δλ = 0.045 nm, Bo = 2.68 T (T = kg/C•s)
(E) For λ = 600 nm, Δλ = 0.045 nm, Bo = 4.5 T (T = kg/C•s)

Accepted Answer

Zeeman 分裂的能量差 $$ \Delta E = \muB B ,\qquad \muB=\frac{e\hbar}{2me}=9.274	imes10^{-24}\ {m J\,T^{-1}} $$ 光子能量 $E=hc/\lambda$，因此波長變化與能量變化的關係為 $$ \Delta\lambda =\frac{\lambda^{2}}{hc}\,\Delta E =\frac{\lambda^{2}}{hc}\,\muB B $$ 要使 Zeeman 效應可被分光儀分辨，必須滿足 $\Delta\lambda\ge\Delta\lambda{	ext{instrument}}$。 最小磁場 $$B{\min}= \frac{\Delta\lambda{	ext{inst}}\,hc}{\lambda^{2}\,\muB}$$ 常數 $h c = 1.986	imes10^{-25}\ {m J\,m}$，$\muB =9.274	imes10^{-24}\ {m J\,T^{-1}}$。 | $\lambda$ (nm) | $\Delta\lambda{	ext{inst}}$ (nm) | 計算式 | $B{\min}$ (T) |

Question 19

Which of the following statements are correct?
(A) All motion is relative; the speed of light in free space is the same for all observers.
(B) A spacecraft is moving relative to the earth. An observer on the earth finds that,
between 1 P.M. and 2 P.M. according to her clock, 3601 s elapse on the spacecraft's
clock. The spacecraft's speed relative to the earth is around 7×106 m/s.
(C) To accelerate a particle of mass m and velocity v with a constant force F, where F is
parallel to v, the acceleration of the particle is a = (y =
F
ym
1
√1-02/c2
(D) A particle has the rest mass mo and velocity v. The speed of light is c. Therefore, the
relativistic momentum is p =
mov
√1-22
and relativistic total energy is E =
moc²
√1-22
(E) The energies of electrons liberated by light depend on the frequency of the light.
Electron mass me=9.1095× 10-31 kg; Hydrogen atomic mass M₁=1.6736× 10-27 kg
Electron charge e=1.602× 10-19 Coul; Planck's constant h=6.626× 10-34 J.s
Light velocity c=3.00× 108 m/s; Permittivity of free space =8.854× 10-12 Coul/V.m

Accepted Answer

核心觀念 本題考查狹義相對論的基本內容： - 狹義相對論兩大假設：相對性原理與光速不變原理。 - 時間膨脹： $$\Delta t=\gamma\Delta 	au,\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ - 相對論性動量與總能量： $$p=\gamma m0v,\qquad E=\gamma m0c^2$$ - 相對論力學中，力與加速度的關係會依力與速度的方向而改變。 - 光電效應中，光電子的最大動能取決於入射光頻率。 --- 選項分析 （A）正確 狹義相對論的相對性原理指出，所有慣性觀察者所測得的物理定律相同，沒有絕對靜止的參考系，因此運動具有相對性。 光速不變原理指出，在真空中，光速對所有慣性觀察者皆為 $$c=3.00	imes10^8\ \mathrm{m/s}$$ 即使觀察者彼此具有相對速度，測得的真空光速仍相同。因此（A）正確。 --- （B）錯誤 地球上的觀察者測得地球時鐘經過 $$\Delta t=1\ \mathrm{h}=3600\ \mathrm{s}$$ 太空船上的時鐘隨太空船運動，該時鐘所測得的是固有時間 $\Delta	au$。時間膨脹公式為 $$\Delta t=\gamma\Delta	au$$ 因為 $\gamma1$，所以 $$ \Delta	au=\frac{\Delta t}{\gamma}<\Delta t $$ 也就是說，太空船上的時鐘應比地球上的時鐘走得慢。地球時鐘經過 $3600\ \mathrm{s}$ 時，太空船時鐘不可能經過 $3601\ \mathrm{s}$。 雖然 $3600$ 與 $3601$ 秒的差距可用來估算速度大小： $$ \frac{\Delta t}{\Delta	au} =\frac{3600}{3601} $$ 若忽略題幹中時間方向的不合理性，速度量值約為 $$ v=c\sqrt{1-\left(\frac{3600}{3601}ight)^2} \approx 7.1	imes10^6\ \mathrm{m/s} $$ 這解釋了選項中的速度數值來源；然而題幹明確表示太空船時鐘經過 $3601\ \mathrm{s}$，違反時間膨脹的方向，因此整個敘述仍為錯誤。 --- （C）正確 題目中的公式是力與速度平行時的縱向加速度公式。相對論性動量為 $$p=\gamma mv$$ 其中

Question 20

Which of the following statements are correct?
(A) A wire of length 1m and radius 1mm is heated via an electric current to produce 1 kW
of radiant power. Treating the wire as a perfect blackbody and ignoring any end
effects, the temperature of the wire is 1294 K.
(B) If u is the energy density of radiation, the radiation pressure is given by u/3.
(C) In the quantum theory of blackbody radiation Planck assumed that the oscillators are
allowed to have energy, 0, ε, 2ε, The mean energy of the oscillator is given by
६/(e€/kT – 1), where ɛ = hv.
(D) The kinetic energy (in eV) of an electron in a hydrogen atom calculated by using the
uncertainty principle is in agreement with the result obtained from Bohr's theory of
hydrogen atom.
(E) The photoelectric effect cannot take place with a free electron.

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查五個近代物理觀念： - 電子–正電子對產生的能量與動量守恆 - X 光管的制動輻射與最短波長 - 光電效應中的最大光電子動能 - 黑體輻射的光譜分布 - 康普頓散射的波長改變 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合相關定律與公式，即可判斷正誤。 --- 選項分析 (A) Pair production can occur in free space. 錯誤。 電子–正電子對產生的反應可寫成 $$ \gamma ightarrow e^-+e^+ $$ 光子的能量至少必須滿足 $$ E\gamma \geq 2mec^2 $$ 然而，在真空中僅有一個光子直接轉換成電子與正電子時，除了能量守恆，也必須滿足動量守恆。單一光子無法同時滿足兩者，因此不能在完全自由空間中單獨發生。 實際上，電子–正電子對產生通常發生在原子核附近： $$ \gamma+Nightarrow e^-+e^++N $$ 原子核 $N$ 可吸收部分反作用動量，使能量與動量同時守恆。 因此，自由空間中不能由單一光子直接產生電子–正電子對。 --- (B) In an X-ray tube, the higher the accelerating voltage V, the faster the electrons and the shorter the wavelengths of the X-rays can be obtained. 正確。 電子經過加速電壓 $V$ 後，獲得的動能為 $$ K=eV $$ 因此，加速電壓越高，電子動能越大、速度越快。 電子撞擊靶材時，部分動能轉換為 X 光光子能量。當電子的全部動能一次轉換為單一光子能量時，光子能量最大： $$ E{\gamma,\max}=eV $$ 又因為 $$ E\gamma=h
u=\frac{hc}{\lambda} $$ 所以最短波長為 $$ \lambda{\min}=\frac{hc}{eV} $$ 可見 $V$ 越大，$\lambda{\min}$ 越小，因此能產生波長更短的 X 光。 --- (C) The maximum photoelectron energy KEmax is proportional to the frequency v of the incident light. 錯誤。 光電效應方程式為 $$ K{\max}=h
u-\phi $$ 其中： - $K{\max}$ 為光電子最大動能 - $
u$ 為入射光頻率 - $\phi$ 為金屬逸出功 雖然 $K{\max}$ 隨 $
u$ 線性增加，但關係式中存在截距 $-\phi$，因此嚴格來說不是「正比」關係。 若入射頻率低於臨界頻率 $$ 
u0=\frac{\phi}{h} $$ 即使增加光強度也不會產…

Question 21

三、非選題(共20分)
21. (10%) Metal free electron model. At T = OK, a metal has N electrons in volume V.
(A) (5%) Derive the density of state function g(E) =
(B) (5%) Determine the Fermi energy EF.
h3
8√2πVm3/2
VE

Accepted Answer

(A) Density of states 自由電子在三維空間中，動量空間每一格體積為 $h^{3}$。球殼半徑 $k$ 的態數 $$\mathrm dNk = 2\;\frac{4\pi k^{2}\,\mathrm dk}{h^{3}}V$$ 因自旋 2 倍。能量與波數關係 $E=\dfrac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}$，即 $k=\sqrt{2mE}/\hbar$， $\mathrm dk=\dfrac{m}{\hbar^{2}}\dfrac{\mathrm dE}{k}$。代入得 $$g(E)\,\mathrm dE = \frac{8\sqrt{2}\,\pi V\,m^{3/2}}{h^{3}}\sqrt{E}\,\mathrm dE$$ 故 $$\boxed{g(E)=\frac{8\sqrt{2}\,\pi V\,m^{3/2}}{h^{3}}\sqrt{E}}$$ --- (B) Fermi 能 \boldsymbol{EF}（$T=0$）

Question 22

三、非選題(共20分)
22. (10%) The solid state crystal
(A) (5%) Explain the following figure of Carbon and Silicon energy band versus
internuclear distance.
(B) (5%) When T = 0K, T = 300K, what is the difference of electrons distribution of
conduction band and valence band for Carbon and Silicon, respectively.
Energy
4N levels
Conduction
band
8N levels
6N levels
2p (carbon)
3p (silicon)
1
2s (carbon)
Valence band
3s (silicon)
2N levels
1
4N levels
Carbon Silicon
Internuclear distance

Accepted Answer

此題為非選擇題，共 10 分，分為兩小題。 (A) 解釋碳和矽 的能帶結構與原子核間距的關係圖 此圖顯示了碳 (Carbon) 和矽 (Silicon) 的能帶結構如何隨原子核間距 (Internuclear distance) 的變化而變化。 1. 獨立原子極限 (Internuclear distance → ∞)：當原子間距非常大時，每個原子都處於獨立的狀態。能量能階是離散的，類似於單獨的原子能級。圖中顯示了 2s, 2p (碳) 和 3s, 3p (矽) 的能級。這些能級是簡併的（例如，2p 有三個簡併的能級）。 2. 逐漸靠近的原子：當原子核間距減小時，相鄰原子的電子雲開始重疊，導致原子軌域之間的相互作用增強。這種相互作用使得原本簡併的能級發生分裂，形成能帶 (energy bands)。能級的分裂程度取決於原子間的距離和軌域的重疊程度。 3. 形成晶體 (Internuclear distance → 結晶距離)：在結晶距離下，能帶結構形成。 價帶 (Valence Band)：由原子外層價電子形成的能帶。在碳和矽中，價帶是由 2s 和 2p 軌域（碳）或 3s 和 3p 軌域（矽）的電子組成的。在結晶距離下，這些能級擴展成連續的能帶。 導帶 (Conduction Band)：由更高能量的原子軌域（例如，碳的 3s, 3p 或矽的 4s, 4p）形成的能帶。 能隙 (Band Gap)：價帶頂部和導帶底部之間的能量間隔。這個間隙對於材料的導電性至關重要。 4. 碳 vs. 矽： 碳 (Carbon)：處於第二週期，其價電子是 2s 和 2p。在結晶狀態下（例如，金剛石），碳形成一個具有較大能隙的絕緣體或半導體。圖中顯示了 2s 軌域形成價帶，2p 軌域也參與形成價帶，並且有一個明顯的能隙。 矽 (Silicon)：處於第三週期，其價電子是 3s 和 3p。矽的能隙比碳小。

108 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》

第 1 題

第 2 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）

第 3 題

第 4 題

核心觀念

解題方法

1. 計算入射光功率

2. 計算單一光子能量

3. 計算每秒入射光子數

第 5 題

第 6 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）有限深方形量子井

（B）一維簡諧振子

（C）氫原子

第 7 題

第 8 題

第 9 題

4περή2 me2 (Bohr radius) (B) For wave function at ground state Ψ100 (r, θ, φ) to calculate the (2) Ψ100 (γ, θ, φ) = R100 (r)Φ100 (θ)Φ100(Φ) = (1/πa₀³)¹/² e⁻ʳ/ᵃ⁰, do

1 1 r 1 παο (C) For wave function at ground state Ψ100 (r, θ, φ) to calculate the (r) and () Ψ100(r, θ, φ) = R100(r)0100(θ)Φ100(Φ) = (1/πa₀³)¹/² e⁻ʳ/ᵃ⁰, do (r) = ao, 1

1 (r) 1 ao

4περή2 me2 (Bohr radius) (D) For wave function at excited state Ψ200 (r, θ, φ) to calculate the (2) 1 Ψ200(r, θ, φ) = R200(r)@200(θ)Φ200(Φ) = 4√2πα₀³/² (2-r/a₀)e⁻ʳ/²ᵃ⁰, αο

1 4a0 (E) For wave function at excited state Ψ200 (r, θ, φ) to calculate the (r) and (2) Ψ200 (r, θ, φ) = R200(r)@200(θ) Φ200 (Φ) = 1 2√2πα, 3/2 (2-2)-r/2ao, do

4περή2 me2 (r) = 2a, ()

第 10 題

核心觀念

解題方法

第 11 題

第 12 題

第 13 題

核心觀念

解題方法

黑體輻射

輻射壓力

Planck 量子化假設

不確定性原理

光電效應

選項分析

(A) 正確

(B) 正確

(C) 正確

第 14 題

1. 求歸一化常數

2. 計算區間 [0,a][0,a][0,a] 的機率

3. 計算 ⟨x⟩\langle x\rangle⟨x⟩ 與標準差

4. 求動量機率密度

第 15 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 16 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 正確

(B) 錯誤

第 17 題

第 18 題

第 19 題

核心觀念

選項分析

（A）正確

（B）錯誤

（C）正確

第 20 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) Pair production can occur in free space.

(B) In an X-ray tube, the higher the accelerating voltage V, the faster the electrons and the shorter the wavelengths of the X-rays can be obtained.

(C) The maximum photoelectron energy KEmax is proportional to the frequency v of the incident light.

第 21 題20 分

第 22 題20 分

108 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》

4περή2
me2
(Bohr radius)
(B) For wave function at ground state Ψ100 (r, θ, φ) to calculate the (2)
Ψ100 (γ, θ, φ) = R100 (r)Φ100 (θ)Φ100(Φ) = (1/πa₀³)¹/² e⁻ʳ/ᵃ⁰, do

1
1
r
1
παο
(C) For wave function at ground state Ψ100 (r, θ, φ) to calculate the (r) and ()
Ψ100(r, θ, φ) = R100(r)0100(θ)Φ100(Φ) = (1/πa₀³)¹/² e⁻ʳ/ᵃ⁰, do
(r) = ao,
1

1
(r)
1
ao

4περή2
me2
(Bohr radius)
(D) For wave function at excited state Ψ200 (r, θ, φ) to calculate the (2)
1
Ψ200(r, θ, φ) = R200(r)@200(θ)Φ200(Φ) = 4√2πα₀³/² (2-r/a₀)e⁻ʳ/²ᵃ⁰, αο

1
4a0
(E) For wave function at excited state Ψ200 (r, θ, φ) to calculate the (r) and (2)
Ψ200 (r, θ, φ) = R200(r)@200(θ) Φ200 (Φ) =
1
2√2πα, 3/2 (2-2)-r/2ao, do

4περή2
me2
(r) = 2a, ()

2. 計算區間 $[0,a]$ 的機率

3. 計算 $\langle x\rangle$ 與標準差