108 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電力系統》

此題考查同步發電機的電抗特性。

同步發電機的同步電抗 ($X_s$) 是指在穩態下，由定子電流所產生的磁鏈變化所引起的電壓降。然而，突態同步電抗 ($X'_s$) 和次突態同步電抗 ($X''_s$) 則是在暫態過程中，由於轉子電流的變化所引起的電壓降，反映了不同時間尺度下的電磁響應。

凸極式同步發電機 (Salient-pole synchronous generator)：
凸極式發電機的轉子有明顯的極部突出，這使得磁路不均勻。因此，其電抗會隨著轉子位置的變化而變化。

• 直軸同步電抗 ($X_d$)：當定子電流的磁勢與轉子直軸對齊時的電抗。
• 交軸同步電抗 ($X_q$)：當定子電流的磁勢與轉子交軸對齊時的電抗。
• 凸極效應 (Salient pole effect)：由於 $X_d > X_q$，凸極式發電機的同步電抗不是一個固定值，而是取決於轉子與定子磁場的相對角度。在分析暫態行為時，需要區分直軸和交軸的參數。

非凸極式同步發電機 (Non-salient pole synchronous generator)：

此題考查含有諧波的三相電流的 RMS 值計算，以及在平衡三相系統中各相電流的總和。

核心觀念：

1. RMS 值計算：對於含有多個諧波分量的週期性訊號，其 RMS 值是各諧波分量 RMS 值平方和的平方根。
2. 平衡三相系統：在平衡三相系統中，各相的基波分量相差 120 度，且大小相等。高次諧波分量也遵循一定的規律。

解題步驟：

Part 1: Find the rms value of $i_a(t)$

給定的單相電流 $i_a(t)$ 包含兩個諧波分量：

• 基波分量 (fundamental component)：$i_{a1}(t) = \sqrt{2}10\sin(377t)$
• 三次諧波分量 (third harmonic component)：$i_{a3}(t) = \sqrt{2}5\sin(3\times377t)$

對於一個含有多個諧波分量的訊號 $i(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{2}I_n \sin(n\omega t + \phi_n)$，其 RMS 值 $I_{rms}$ 為：
$I_{rms} = \sqrt{\sum_{n=1}^{\infty} I_n^2}$

其中 $I_n$ 是第 n 次諧波的幅值。

在我們的例子中：

• 基波幅值 $I_1 = 10$ A
• 三次諧波幅值 $I_3 = 5$ A
• 其他諧波幅值 $I_n = 0$ for $n \neq 1, 3$

因此，$i_a(t)$ 的 RMS 值為：
$I_{a,rms} = \sqrt{I_1^2 + I_3^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125}$ A

計算 $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$ A。
$5\sqrt{5} \approx 5 \times 2.236 = 11.18$ A。

【答案】$5\sqrt{5}$ A (或約 11.18 A)

Part 2: Find $i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)$

在一個平衡的三相系統中，總電流為零，前提是所有諧波分量也都是平衡的。
假設 $i_a(t)$ 是 A 相的電流。
由於是平衡系統，B 相電流 $i_b(t)$ 和 C 相電流 $i_c(t)$ 相對於 $i_a(t)$ 延遲 120 度和 240 度（或超前 240 度和 120 度）。

此題考查單相二極體整流器（Diode Rectifier）的直流輸出平均電壓計算。

核心觀念：
單相全波二極體整流器將交流電壓轉換為脈動的直流電壓。在理想情況下，其直流輸出平均電壓 $V_d$ 與交流輸入的峰值電壓 $V_p$ 之間存在固定的關係。

解題步驟：

題目給定：

• 交流輸入的線電壓 RMS 值 $V_{LL} = 200$ V。
• 整流器為單相二極體整流器（假設為全波整流，因為這是標準整流器架構）。
• 所有元件理想。

對於單相全波二極體整流器，其直流輸出電壓的平均值 $V_d$ 與輸入交流電壓的峰值 $V_p$ 的關係為：
$V_d = \frac{2V_p}{\pi}$

首先，我們需要從線電壓 RMS 值計算出相電壓峰值。
假設發電機輸出的是單相交流電壓。通常，線電壓 (Line-to-Line Voltage) 是指兩個端點之間的電壓。如果這裡的 $V_{LL}$ 指的是變壓器二次側的單相輸出電壓，那麼它就是我們需要考慮的交流電壓。
然而，題目提到 "wind generator output rms line voltage"，這通常是指三相系統中的線電壓。但後續整流器又描述為單相。為了使問題有意義，我們假設這個 "wind generator output rms line voltage" 指的就是單相整流器所連接的交流電源的 RMS 電壓。

如果 $V_{LL} = 200$ V 是單相交流電源的 RMS 值，那麼其峰值 $V_p$ 為：
$V_p = V_{rms} \times \sqrt{2}$
$V_p = 200 \times \sqrt{2}$ V

現在，將此峰值代入平均電壓公式：
$V_d = \frac{2V_p}{\pi} = \frac{2 \times (200\sqrt{2})}{\pi} = \frac{400\sqrt{2}}{\pi}$ V

此題考查變壓器在不同頻率下的額定電壓問題。

核心觀念：
變壓器鐵芯的磁通量與施加的電壓和頻率有關。在額定條件下，鐵芯中的最大磁通量 ($\Phi_{max}$) 是由鐵芯的尺寸、材料以及施加的電壓和頻率決定的。為防止鐵芯飽和，最大磁通量不應超過額定值。

變壓器的一次側電壓 $V_1$ 與磁通量 $\Phi$ 和頻率 $f$ 的關係近似為：
$V_1 \approx 4.44 N_1 f \Phi_{max}$
其中 $N_1$ 是初級線圈的匝數。

在額定條件下：
$V_{1,rated} = 220$ V, $f_{rated} = 60$ Hz
$220 \approx 4.44 N_1 \times 60 \times \Phi_{max,rated}$

現在，頻率變為 $f_{new} = 50$ Hz。為了維持鐵芯中的最大磁通量不超過額定值（即保持額定的磁通密度，防止飽和），我們需要調整施加的電壓 $V_{1,new}$。
$V_{1,new} \approx 4.44 N_1 f_{new} \Phi_{max,rated}$

此題考查單相變壓器之實際等效電路圖。

核心觀念：
一個實際的單相變壓器，其電磁轉換過程和能量損耗都可以用一個電路模型來表示，稱為實際等效電路。這個電路包含了變壓器的所有主要參數，如電感、電阻、磁芯損耗等。

實際等效電路的組成部分：

實際等效電路通常分為兩種：一種是「歸算到初級側」（Referred to Primary Side）的等效電路，另一種是「歸算到次級側」（Referred to Secondary Side）的等效電路。這裡我們畫出歸算到初級側的等效電路，這是最常見的表示法。

1. 初級線圈電阻 ($R_1$) 和漏電抗 ($X_{l1}$)：對應於初級線圈自身的電阻和漏磁電抗。
2. 鐵芯損耗電阻 ($R_c$)：表示鐵芯中的渦流損耗（Eddy current loss）和磁滯損耗（Hysteresis loss）。這部分通常與磁導率和磁芯材料有關。
3. 激磁電抗 ($X_m$)：表示變壓器產生主磁通所需的磁化電抗。它與鐵芯的磁導率和截面積有關。
4. 變壓器變比 (a)：表示初級與次級線圈的匝數比，$a = \frac{N_1}{N_2}$。
5. 次級線圈電阻 ($R_2'$) 和漏電抗 ($X_{l2}'$)：將次級線圈的電阻和漏電抗歸算到初級側。
   $R_2' = a^2 R_2$
   $X_{l2}' = a^2 X_{l2}$
   其中 $R_2$ 和 $X_{l2}$ 是次級側的實際電阻和漏電抗。

等效電路圖 (歸算到初級側)：

核心觀念

本題考查發電機端點單線接地故障的對稱分量法，以及次暫態電抗下的正序、負序與零序網路。

單相接地故障時，故障相電壓為零，因此：

$$V_a=V_0+V_1+V_2=0$$

故障點只有 $a$ 相電流，故：

$$I_b=I_c=0$$

由對稱分量轉換可得：

$$I_0=I_1=I_2$$

發電機正序網路含有內電勢 $E_{on}$，負序與零序網路則沒有電勢源。各序網路關係為：

$$V_1=E_{on}-jX_1''I_1$$ $$V_2=-jX_2I_2$$ $$V_0=-jX_0I_0$$

其中：

$$X_1''=X_d''=0.25,\qquad X_2=0.35,\qquad X_0=0.10$$

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解題方法

已知：

$$E_{on}=1\angle 0^\circ$$ $$V_a=0$$ $$V_b=1.013\angle -102.25^\circ$$ $$V_c=1.013\angle 102.25^\circ$$

由電壓對稱分量轉換：

$$V_0=\frac{V_a+V_b+V_c}{3}$$ $$V_1=\frac{V_a+aV_b+a^2V_c}{3}$$ $$V_2=\frac{V_a+a^2V_b+aV_c}{3}$$

其中：

$$a=1\angle120^\circ$$

將題目給定的端電壓代入，可得近似值：

$$V_0=-j0.1429$$ $$V_1=0.6429$$ $$V_2=-0.5000$$

且：

$$V_0+V_1+V_2=-j0.1429+0.6429-0.5000=0$$

符合 $V_a=0$。

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各序電流

正序電流：

$$I_1=\frac{E_{on}-V_1}{jX_1''}$$ $$I_1=\frac{1-0.6429}{j0.25} =\frac{0.3571}{j0.25} =-j1.4286$$

負序電流：

$$I_2=\frac{-V_2}{jX_2}$$ $$I_2=\frac{-(-0.5000)}{j0.35} =\frac{0.5000}{j0.35} =-j1.4286$$

零序電流：

$$I_0=\frac{-V_0}{jX_0}$$ $$I_0=\frac{j0.1429}{j0.10} =-j1.4286$$

因此：

$$I_0=I_1=I_2=-j1.4286\ \text{p.u.}$$

亦可由單相接地故障公式直接得到：

$$I_1=I_2=I_0 =\frac{E_{on}}{j(X_1''+X_2+X_0)}$$ $$I_1 =\frac{1}{j(0.25+0.35+0.10)} =\frac{1}{j0.70} =-j1.4286$$

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發電機各相次暫態電流

由對稱分量反變換：

$$I_a=I_0+I_1+I_2$$

核心觀念

本題考查單相 PWM 整流器的功率因數控制與直流母線電壓最低值。

當功率由電網送往直流側時，交流側電流應與電源電壓同相，使電網提供純有功功率：

$$i_s(t)=I_m\sin\omega t$$

交流側串聯電感的壓降為：

$$v_L(t)=L_s\frac{di_s}{dt}$$

由於電感壓降與電源電壓相差 $90^\circ$，變流器所需產生的交流端電壓，其峰值會略大於電源電壓峰值。

在全橋正弦 PWM 且工作於線性區時，最大調變指數為 $m_a=1$，因此變流器交流端基波電壓的最大峰值為：

$$V_{c,\text{peak,max}}=V_d$$

所以最低直流母線電壓必須滿足：

$$V_d\geq V_{c,\text{peak}}$$

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解題方法

1. 計算交流側電流

已知電網電壓為：

$$V_s=240\text{ V(rms)}$$

功率為：

$$P=2\text{ kW}$$

因為電流與電壓同相，功率因數為 1，因此：

$$P=V_s I_s$$

故交流側電流有效值為：

$$I_s=\frac{P}{V_s} =\frac{2000}{240} =8.333\text{ A(rms)}$$

其峰值為：

$$I_m=\sqrt{2}I_s =\sqrt{2}(8.333) =11.785\text{ A}$$

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2. 建立交流側各電壓的相量關係

電源電壓峰值為：

$$V_{s,m}=\sqrt{2}V_s =\sqrt{2}(240) =339.41\text{ V}$$

由於電流與電源電壓同相，可表示為：

$$v_s(t)=V_{s,m}\sin\omega t$$ $$i_s(t)=I_m\sin\omega t$$

其中：

$$\omega=2\pi f=2\pi(60)=376.99\text{ rad/s}$$

電感電壓為：

$$v_L(t)=L_s\frac{di_s}{dt} =L_s\omega I_m\cos\omega t$$

其峰值為：

$$V_{L,m}=\omega L_s I_m$$

核心觀念

題幹目前僅保留「from the DC to the grid. (8%)」片段，缺少完整問句、系統圖與數值資料。依電力系統常見命題脈絡，本題合理解讀為：說明如何將直流側電力送入交流電網，也就是直流—交流併網轉換器的基本原理。

直流電源不能直接接至交流電網，必須透過電力電子變流器將直流電轉換為與電網同頻率、同相位的交流電。其主要設備為電壓源型變流器（Voltage Source Converter, VSC）。

基本能量轉換關係為

$$P_{\mathrm{DC}} \approx P_{\mathrm{AC}}+P_{\mathrm{loss}}$$

其中 $P_{\mathrm{DC}}$ 為直流側輸入功率，$P_{\mathrm{AC}}$ 為送入電網的有功功率，$P_{\mathrm{loss}}$ 為變流器、濾波器與變壓器的損失。

解題方法

採用「直流側—變流器—濾波器—變壓器—交流電網」的能量與同步條件分析。

1. 直流功率輸入

直流側功率為

$$P_{\mathrm{DC}}=V_{\mathrm{DC}}I_{\mathrm{DC}}$$

變流器將直流電壓轉換成可控制幅值與相位的三相交流電壓。變流器輸出端通常接有濾波電感 $X$，再連接至電網電壓源。

2. 變流器必須與電網同步

併網交流電壓必須符合電網的：

• 額定頻率；
• 相序；
• 電壓相位；
• 電壓幅值與允許的電能品質限制。

實務上使用鎖相迴路（Phase-Locked Loop, PLL）偵測電網相位角 $\theta$，再以同步旋轉座標控制變流器輸出。

3. 有功功率控制

以變流器內電壓 $V_c$、電網電壓 $V_g$ 及連接電抗 $X$ 表示，忽略電阻時，送入電網的有功功率近似為

$$P=\frac{V_cV_g}{X}\sin\delta$$

其中 $\delta$ 為變流器電壓與電網電壓的相角差。

當 $\delta>0$ 時，變流器向電網輸送有功功率；增大 $\delta$ 可提高送入電網的有功功率。若直流側為再生能源或直流輸電系統，主要透過控制 $\delta$ 來調整功率傳輸量。

4. 無功功率控制

無功功率近似為

$$Q=\frac{V_c^2-V_cV_g\cos\delta}{X}$$

在 $\delta$ 很小時，可近似理解為：

• 改變變流器輸出電壓幅值 $V_c$，主要控制無功功率 $Q$；
• 改變相角差 $\delta$，主要控制有功功率 $P$。

因此，VSC 可以獨立控制送入電網的有功功率與無功功率，並具備電壓支援能力。

5. 電流控制觀點

在以電網電壓為 $d$ 軸的同步旋轉座標中，若 $v_q=0$，三相系統功率可寫成

$$P=\frac{3}{2}v_d i_d$$ $$Q=-\frac{3}{2}v_d i_q$$

符號正負依電流方向定義而定。此式顯示：

核心觀念

節點導納矩陣 $Y_{\text{bus}}$ 由網路支路導納組成：

• 對角元素 $Y_{ii}$：連接至節點 $i$ 的所有支路導納總和。
• 非對角元素 $Y_{ij}$：節點 $i$ 與節點 $j$ 之間支路導納的負值；兩節點沒有直接相連時，$Y_{ij}=0$。

解題方法

由圖 3 可讀出共有 3 個節點，節點 1 與 2、節點 2 與 3 之間各有一條導納為 $j0.1$ 的支路。圖中發電機與負載表示節點功率注入與消耗，沒有標示並聯接地導納，因此不加入 $Y_{\text{bus}}$。

依節點導納矩陣定義，各節點的對角元素為相鄰支路導納總和：

核心觀念

本題考牛頓－拉弗生法求解潮流：先由網路導納矩陣計算各匯流排的有功、無功注入，再以功率不平衡量建立線性修正方程，逐次更新電壓相角與電壓大小。

依圖，三個匯流排依序相連，只有 Bus 1–2 與 Bus 2–3 兩條支路，且 $y_{12}=y_{23}=j0.1$；各匯流排有負載，發電機分別標為 $S_{G1},S_{G2},S_{G3}$。題目給定 $S_{G2}=S_{G3}=0$，因此 Bus 2、3 是負載匯流排。

解題方法

原題沒有另外指定平衡匯流排電壓，以下採標準假設：Bus 1 為平衡匯流排，電壓相量 $V_1\angle\theta_1$ 已知。採用「注入網路為正」的功率符號慣例，已知負載為 $S_{Di}=P_{Di}+jQ_{Di}$，則 Bus 2、3 的指定淨注入為

$$P_{i,\mathrm{sp}}=-P_{Di},\qquad Q_{i,\mathrm{sp}}=-Q_{Di},\qquad i=2,3.$$

忽略圖中未標示的並聯支路與匯流排並聯導納，依支路導納組成

$$Y_{\mathrm{bus}}= \begin{bmatrix} j0.1 & -j0.1 & 0\\ -j0.1 & j0.2 & -j0.1\\ 0 & -j0.1 & j0.1 \end{bmatrix}.$$

令 $Y_{ik}=G_{ik}+jB_{ik}$、$V_i=|V_i|\angle\theta_i$，各匯流排計算注入功率為

$$P_i=|V_i|\sum_{k=1}^{3}|V_k| \left[G_{ik}\cos(\theta_i-\theta_k)+B_{ik}\sin(\theta_i-\theta_k)\right],$$ $$Q_i=|V_i|\sum_{k=1}^{3}|V_k| \left[G_{ik}\sin(\theta_i-\theta_k)-B_{ik}\cos(\theta_i-\theta_k)\right].$$

由於 Bus 1 為平衡匯流排，$|V_1|,\theta_1$ 已知；Bus 2、3 為 PQ 匯流排，四個未知數是

$$\boldsymbol{x}= \begin{bmatrix} \theta_2 & \theta_3 & |V_2| & |V_3| \end{bmatrix}^{\mathsf T}.$$

每次迭代依下列步驟進行：

1. 初始化：給定 $\theta_2,\theta_3,|V_2|,|V_3|$ 的初始值，常用平坦起始值 $\theta_2=\theta_3=0$、$|V_2|=|V_3|=1$ p.u.。
2. 計算功率與不平衡量：用目前電壓計算 Bus 2、3 的 $P_i,Q_i$，並建立 $$\Delta\boldsymbol{S}= \begin{bmatrix} \Delta P_2\\ \Delta P_3\\ \Delta Q_2\\ \Delta Q_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P_{2,\mathrm{sp}}-P_2\\ P_{3,\mathrm{sp}}-P_3\\ Q_{2,\mathrm{sp}}-Q_2\\ Q_{3,\mathrm{sp}}-Q_3 \end{bmatrix}.$$
3. 建立雅可比矩陣並求修正量：