114 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》考古題與詳解

Question 1

What physical situation (in one dimension) does the following time-dependent Schrödinger equation describe?
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi(x, t)}{\partial x^2} - \frac{ke^2}{|x|}\Psi(x, t) = ih\frac{\partial\Psi(x, t)}{\partial t}$
where $k$ and $e$ are real, non-zero constants.
(A) A particle traveling up a ramp along the x-axis.
(B) A particle in a finite square well potential.
(C) A particle in an infinite square well potential.
(D) An electron moving along the x-axis in the electric field of a proton at x=0.
(E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 一維含時薛丁格方程為 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2} +V(x)\Psi(x,t) =i\hbar\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}. $$ 其中： - 第一項是動能算符； - $V(x)$ 是位能函數； - $\Psi(x,t)$ 是粒子的波函數。 將題目方程與標準形式比較，可直接讀出位能： $$ V(x)=-\frac{ke^2}{|x|}. $$ 此位能具有下列特徵： 1. 位能只與粒子到原點的距離 $|x|$ 有關。 2. 在 $x=0$ 有奇異點，代表原點存在點電荷。 3. 當 $k0$ 時，$V(x)<0$，表示粒子受到吸引力。 4. 位能呈現一維庫侖位能形式： $$ V(r)=-\frac{ke^2}{r}. $$ 若原點放置一個質子，電子帶電量為 $-e$，則電子與質子間的庫侖位能正是 $$ V(x)=-\frac{ke^2}{|x|}. $$ 因此，這描述的是電子沿著 $x$ 軸運動，受到位於 $x=0$ 的質子之電場作用。 題目右側寫成 $ih\,\partial\Psi/\partial t$，標準形式通常應為 $i\hbar\,\partial\Psi/\partial t$；此處視為排版記號差異，不影響位能判讀。 解題方法 直接辨認位能函數即可。標準一維薛丁格方程為 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} +V(x)\Psi =i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}. $$ 題目中的位能項為 $$ -\frac{ke^2}{|x|}\Psi(x,t), $$ 所以 $$ V(x)=-\frac{ke^2}{|x|}. $$ 三維庫侖位能中，電荷為 $+e$ 與 $-e$ 的兩粒子相距 $r$ 時， $$ V(r)=\frac{k(+e)(-e)}{r} =-\frac{ke^2}{r}. $$ 在本題的一維運動中，粒子位於 $x$ 軸上，而質子固定在 $x=0$，兩者距離為 $$ r=|x|. $$ 因此 $$ V(x)=-\frac{ke^2}{|x|}, $$ 正好與題目方程一致。故物理情境為電子沿 $x$ 軸運動，受到原點質子的吸引。 選項分析

Question 2

Find the correct statement:
(A) The Fermi-Dirac distribution can be used to in the analysis of the properties of photons.
(B) The peak wavelength of blackbody radiation is inversely proportional to temperature (1/T).
(C) The spin of a photon is 1/2.
(D) In a quantized system, each quantum state can only contain one photon.
(E) At room temperature, the average kinetic energy of gas molecules is proportional to T^2.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查黑體輻射、光子的量子統計與光子自旋，以及氣體分子的平均動能：

光子屬於玻色子，遵守 Bose–Einstein 分布。
黑體輻射峰值波長遵守 Wien 位移定律。
光子的自旋量子數為 $1$ 。
同一量子態可容納多個光子。
理想氣體分子的平均平移動能與絕對溫度 $T$ 成正比。

解題方法

逐一檢查各選項是否符合上述基本定律，即可判定唯一正確的敘述。

(A) Fermi–Dirac 分布可用於分析光子的性質

錯誤。

Fermi–Dirac 分布適用於費米子，例如電子、質子與中子。費米子具有半整數自旋，並遵守 Pauli 不相容原理。

光子的自旋為 $1$ ，屬於玻色子，因此光子的平均佔據數遵守 Bose–Einstein 分布：

\bar{n}(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/k_BT}-1}

對光子而言，化學勢 $\mu=0$ ，所以分布可寫為：

\bar{n}(\epsilon)=\frac{1}{e^{\epsilon/k_BT}-1}

因此光子不遵守 Fermi–Dirac 分布。

(B) 黑體輻射的峰值波長與溫度成反比

正確。

Wien 位移定律為：

\lambda_{\max}T=b

其中 $b$ 為 Wien 位移常數。因此：

\lambda_{\max}=\frac{b}{T}

可知峰值波長與絕對溫度 $T$ 成反比，即：

\lambda_{\max}\propto \frac{1}{T}

溫度越高，黑體輻射的峰值波長越短，輻射峰值會向高頻率、短波長方向移動。

Question 3

Consider electron states of a particle in a finite quantum well, with the potential energy V(x) defined by V(0 < x <W) = 0 in the well and V(x) = V0 > 0 outside the well. Which of the statements is CORRECT?
(A) An eigenstate in this case always describes a bound state in space.
(B) The first excited state has an energy E₁ with E1 < V0 always.
(C) The wave function of ground state can sometimes oscillate with nodal points where the wave function vanishes.
(D) For any bound eigenstate in the system, the probability density is nonvanishing in the well and vanishing outside the well.
(E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一維有限深方形量子井的： - 束縛態與散射態的定義 - 有限位能障壁外的波函數行為 - 基態無節點定理 - 有限量子井能階數量並非固定 位能為 $$ V(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<W,\ V0, & x<0\ 	ext{或}\ xW, \end{cases} \qquad V00. $$ 對束縛態而言，能量必須滿足 $$ 0<E<V0. $$ 此時井內為振盪解，井外為指數衰減解。 --- 解題方法 先分別判斷能量區間，再利用有限量子井的波函數性質分析各選項。 當 $0<E<V0$ 時，井內薛丁格方程為 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi, $$ 因此 $$ \frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi=0, \qquad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. $$ 井內波函數為振盪形式： $$ \psi{	ext{in}}(x)=A\sin kx+B\cos kx. $$ 井外則有 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V0\psi=E\psi, $$ 整理得 $$ \frac{d^2\psi}{dx^2}-\kappa^2\psi=0, \qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V0-E)}}{\hbar}. $$ 為使波函數可歸一化，井外只能保留衰減解： $$ \psi(x)\propto e^{-\kappa |x|}. $$ 因此，有限量子井中的束縛態波函數會穿透井外區域，並非在 $x<0$ 與 $xW$ 立刻變成零。 若 $EV0$，則井外也是振盪解，形成延伸至無限遠的散射態，不是束縛態。 --- 選項分析 (A) An eigenstate in this case always describes a bound state in space. 錯誤。 有限量子井除了束縛態 $0<E<V0$ 外，也存在 $EV0$ 的連續能譜散射態。當 $EV0$ 時，粒子在井外仍可自由傳播，波函數不會在空間無限遠處衰減，因此不屬於束縛態。 所以「任何本徵態都必然是束縛態」不成立。 --- (B) The first excited state has an energy $E1$ with $E1<V0$ always. 錯誤。

Question 4

Which quantum number (n, l, ml, ms) is not a possible set of a 2p electron? (A) (2, 1, +1, +1/2) (B) (2, 1, +1, -1/2) (C) (2, 1, 0, +1/2) (D) (2, 0, -1, +1/2) (E) (2, 1, -1, -1/2)

Accepted Answer

核心觀念 電子的四個量子數為： - $n$：主量子數，決定電子所在的能階。 - $l$：角動量量子數，決定軌域種類。 - $ml$：磁量子數，表示軌域方向。 - $ms$：自旋磁量子數，表示電子自旋方向。 量子數必須滿足： $$ n=1,2,3,\ldots $$ $$ l=0,1,2,\ldots,n-1 $$ $$ ml=-l,-l+1,\ldots,0,\ldots,l-1,l $$ $$ ms=+\frac12 \quad 	ext{或} \quad -\frac12 $$ 其中： - $l=0$ 對應 $s$ 軌域； - $l=1$ 對應 $p$ 軌域； - $l=2$ 對應 $d$ 軌域。 因此，「$2p$ 電子」必須具有： $$ n=2,\qquad l=1 $$ 當 $l=1$ 時： $$ ml=-1,0,+1 $$ 而自旋量子數可為： $$ ms=+\frac12 \quad 	ext{或} \quad -\frac12 $$ 所以 $2p$ 電子的合法量子數組合為： $$ (2,1,-1,\pm	frac12),\quad (2,1,0,\pm	frac12),\quad (2,1,+1,\pm	frac12) $$ 解題方法 先確認每個選項是否符合「$2p$」的基本條件： $$ n=2,\qquad l=1 $$ 再檢查 $ml$ 是否落在 $-1,0,+1$，以及 $ms$ 是否為 $\pm \frac12$。 其中只要有一個量子數不符合規則，該組合就不是可能的 $2p$ 電子狀態。 選項分析 (A) $(2,1,+1,+\frac12)$ 此選項中： $$ n=2,\quad l=1,\quad ml=+1,\quad ms=+\frac12 $$ 對 $2p$ 電子而言，$l=1$ 正確；當 $l=1$ 時，$ml$ 可為 $-1,0,+1$，因此 $ml=+1$ 合法；$ms=+\frac12$ 也符合自旋量子數規定。 因此，(A) 是可能的 $2p$ 電子狀態。 (B) $(2,1,+1,-\frac12)$ 此選項中：

Question 5

According to band theory, beryllium, an alkaline earth metal, is predicted to behave as an insulator. However, it acts as a conductor due to:
(A) The presence of a half-filled 2s band.
(B) The overlap between the filled 2s band and the empty 2p band.
(C) The presence of an empty 2p band.
(D) The overlap between the filled 2p band and the empty 3s band.
(E) The presence of a half-filled 3s band.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「能帶理論」中金屬與絕緣體的判定。 孤立的鈹原子電子組態為 $$ \mathrm{Be}:1s^2\,2s^2 $$ 在固體中，大量原子的相同軌域彼此交互作用，會由原本離散的能階展寬成能帶： - $2s$ 軌域形成主要由電子填滿的 $2s$ 能帶。 - $2p$ 軌域形成原本空的 $2p$ 能帶。 若最高已填滿能帶與最低未填滿能帶之間存在能隙，且能隙足夠大，材料表現為絕緣體。若兩能帶彼此重疊，即使每一條能帶個別看似填滿或為空，重疊區仍會產生部分填滿的能態，電子便能在外加電場下改變動量而移動，因而表現為導體。 解題方法 鈹的 $2s$ 能帶在簡單能帶填充觀點下是填滿的，$2p$ 能帶則是空的。若兩者之間存在明顯能隙，鈹應類似絕緣體。 實際上，固體鈹中 $2s$ 能帶與 $2p$ 能帶發生重疊： $$ 	ext{filled }2s	ext{ band}\ \cap\ 	ext{empty }2p	ext{ band}
eq\varnothing $$ 因此，部分原本填在 $2s$ 能帶中的電子可以進入重疊區域，使整體能帶出現部分填滿的狀態。部分填滿的能帶具有可用的鄰近能態，電子可在電場作用下移動，所以鈹呈現導電性。 選項分析 (A) The presence of a half-filled 2s band. 錯誤。鈹原子的 $2s$ 軌域含有兩個電子，對應的 $2s$ 能帶在基本填充觀點下是填滿的，不是半填滿。鈹的導電性主要來自 $2s$ 與 $2p$ 能帶的重疊。

Question 6

Consider the transmission of an incident electron with energy E through the one dimensional step
potential barrier V(x) with V(x < 0) = 0 outside the barrier, and V(x > 0) = Vo in the barrier (Vo > 0).
Which of the following statements is CORRECT about the transmission coefficient T?
(A) If the incident electron comes from x = +infinity, with E > Vo, then the corresponding T = 1.
(B) If the incident electron comes from x = - infinity, with E > Vo, then the corresponding T = 1.
(C) If the incident electron comes from x = infinity, with E < Vo, then it has a nonvanishing
probability in the barrier as well as T > 0 due to quantum tunneling.
(D) Replace V(x) by a potential barrier of finite width, with V(0 < x < W) = Vo in the barrier and
V(x) = 0 outside the barrier. An incident electron with E < Vo has T > 0 due to quantum
tunneling.
(E) None of the above.

Accepted Answer

參考書 - Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics（第 2 版），第 2 章「一維勢壘」 - Shankar, Principles of Quantum Mechanics，第 3 章「散射與隧穿」 解題要點 1. 單一 step 潛勢 - 区域 $x<0$: $V=0$，波數 $k=\sqrt{2mE}/\hbar$。 - 区域 $x0$: $V=V0$，若 $EV0$，波數 $k'=\sqrt{2m(E-V0)}/\hbar$，傳輸係數 $$T=\frac{4kk'}{(k+k')^2}
eq1.$$ 若 $E<V0$，在 $x0$ 只存在指數衰減解 $\psi\propto e^{-\kappa x}$ ($\kappa=\sqrt{2m(V0-E)}/\hbar$)，在 $x	o+\infty$ 無平面波流入，故不能定義「從 $x=+\infty$ 入射」的散射問題，$T$ 無意義。

Question 7

An electron is bound in a potential well. The wave function of the electron is:
$\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ , where $\psi(x)$ is shown as below and E is a real number. Which one of the following potential wells would fit best to this wave function?
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Potential wells A, B, C, D, E are shown graphically.

Accepted Answer

此題考驗對波函數與勢能的關係的理解，特別是束縛態的波函數形狀與勢阱的對應關係。

圖中給出的波函數 $\psi(x)$ 在 $t=0$ 時的圖像顯示，它在勢阱內部有兩個節點（波函數為零的點），並且在勢阱外部（左右兩側）呈現指數衰減的趨勢。這表明這是一個束縛態。

我們需要分析不同勢阱的特點：

勢阱 A：一個矩形勢阱，左邊是無限高，右邊是有限高的勢壘。
勢阱 B：一個矩形勢阱，左右兩邊都是有限高的勢壘。
勢阱 C：一個類似於勢阱 A 的結構，但左右兩側的勢壘高度不同。
勢阱 D：一個類似於勢阱 B 的結構，但左右兩側的勢壘高度不同。
勢阱 E：一個斜坡狀的勢能，這與常見的勢阱不同。

關鍵點在於波函數的節點數和在勢壘外的衰減行為。
給定的波函數 $\psi(x)$ 在勢阱內部有兩個節點。對於一維勢阱，節點數與量子數 $n$ 的關係是：基態 ( $n=1$ ) 無節點，第一激發態 ( $n=2$ ) 有一個節點，第二激發態 ( $n=3$ ) 有兩個節點。因此，這個波函數代表的是第二激發態。

同時，波函數在勢阱外部呈現指數衰減，這意味著勢阱的深度必須大於粒子的能量，否則粒子會變成散射態。

我們來分析各個勢阱：

勢阱 A：左側是無限高，意味著波函數在左側邊界必須為零。右側是有限高。如果粒子的能量低於右側的勢壘高度，則波函數在右側邊界外會指數衰減。

Question 8

A one-dimensional infinite potential well locating between -0.5 nm to 0.5 nm and contains 10 electrons. It has 10 electrons inside. What is the least energy, in eV, the incident light must have in order to excite a ground-state electron (i.e., at the lowest n quantum value) in this system to the lowest higher state it can occupy when T=0?
(A)~8.7 eV,
(B) ~13.6 eV,
(C) ~5.61 eV,
(D) ~13.2 eV,
(E) ~44.9 eV.

Accepted Answer

核心觀念 這題考查一維無限深方形位能井的能階、電子自旋造成的簡併，以及泡利不相容原理。 無限深井寬度為 $$ L=0.5-(-0.5)=1.0\ 	ext{nm} $$ 其能階為 $$ En=\frac{n^2h^2}{8meL^2},\qquad n=1,2,3,\ldots $$ 每個空間量子態可容納兩個自旋相反的電子。 解題方法 系統共有 $10$ 個電子，且溫度 $T=0$，因此電子會由低能量能階開始填入： - $n=1$：2 個電子 - $n=2$：2 個電子 - $n=3$：2 個電子 - $n=4$：2 個電子 - $n=5$：2 個電子 因此基態電子位於 $n=1$，但 $n=2$ 至 $n=5$ 的能階皆已填滿。依泡利不相容原理，$n=1$ 的電子不能激發至已被填滿的能階，最低可佔據的較高能階是 $n=6$。 所需光子能量為 $$ \Delta E=E6-E1 =\frac{(6^2-1^2)h^2}{8meL^2} =35\frac{h^2}{8meL^2} $$ 先計算基態能量： $$ E1=\frac{h^2}{8me(1.0	imes10^{-9}	ext{ m})^2} \approx 0.376\ 	ext{eV} $$ 因此 $$ \Delta E=35(0.376\ 	ext{eV}) \approx 13.2\ 	ext{eV} $$ 所以入射光最低需要約 $13.2\ 	ext{eV}$ 的能量。 選項分析 - (A) 約 $8.7\ 	ext{eV}$：錯誤。 此能量不是由正確的 $n=1	o6$ 能階差得到，且不足以將電子激發至最低可佔據的 $n=6$ 能階。

Question 9

In Bohr's hydrogen model, if the Coulomb interaction between the electron and the nucleus changes to a power-law potential: $V(r) = kr^N$ , where $k$ and $N$ are positive constants. Applying Bohr's hypothesis to calculate the energy of hydrogen atom, the energy will be proportional to the quantum number n as
(A) $n^{N+1}$
(B) $n^{N+2}$
(C) $n^{\frac{2N}{N+2}}$
(D) $n^{\frac{2N}{N+2}}$
(E) $n^{-2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查玻爾模型的兩項基本條件： 1. 電子作圓周運動時，向心力由位能產生的力提供。 2. 電子角動量量子化： $$mvr=n\hbar$$ 給定位能 $$V(r)=kr^N$$ 其中 $k,N0$。由力與位能的關係， $$F(r)=-\frac{dV}{dr}=-kNr^{N-1}$$ 其大小為 $$|F|=kNr^{N-1}$$ --- 解題方法與推導 電子作半徑為 $r$ 的圓周運動，因此 $$\frac{mv^2}{r}=kNr^{N-1}$$ 整理得 $$mv^2=kNr^N$$ 電子動能為 $$K=\frac12mv^2=\frac12 kNr^N$$ 所以總能量 $$E=K+V$$ 為 $$ E=\frac12 kNr^N+kr^N =\frac{N+2}{2}kr^N $$ 因此，能量與 $r^N$ 成正比： $$E\propto r^N$$ 接著利用玻爾角動量量子化條件： $$mvr=n\hbar$$ 由 $$mv^2=kNr^N$$ 可得 $$v=\sqrt{\frac{kN}{m}}\,r^{N/2}$$ 代入角動量條件： $$m\left(\sqrt{\frac{kN}{m}}\,r^{N/2}\right)r=n\hbar$$ $$\sqrt{mkN}\,r^{(N+2)/2}=n\hbar$$ 因此 $$r^{(N+2)/2}\propto n$$ 得到 $$r\propto n^{\frac{2}{N+2}}$$ 最後代回 $E\propto r^N$： $$E\propto \left(n^{\frac{2}{N+2}}\right)^N$$ 所以 $$\boxed{E\propto n^{\frac{2N}{N+2}}}$$ --- 選項分析

Question 10

Which one of the following statements about free bosons, fermions, and classical particles is correct?
(A) Bosons possess integer spin and follow the Maxwell-Boltzmann distribution in the low-temperature
regime.
(B) Fermions are indistinguishable particles that obey the Pauli exclusion principle and follow the Fermi-
Dirac distribution in all temperature range.
(C) Classical particles can either be distinguishable or indistinguishable depending on the type of atoms or
particles.
(D) In the low-temperature limit, bosons and fermions cannot occupy the same quantum state, in contrast to
classical particles.
(E) In Bose-Einstein condensation, particles follow the Bose-Einstein distribution, with most particles
occupying either the same excited state or the ground state. This phenomenon can be observed
macroscopically.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三種粒子的統計性質： 1. 玻色子（bosons） - 自旋為整數：$0,1,2,\dots$ - 遵守 Bose–Einstein 統計。 - 多個玻色子可以同時佔據同一個量子態。 2. 費米子（fermions） - 自旋為半整數：$\frac12,\frac32,\dots$ - 遵守 Fermi–Dirac 統計。 - 受 Pauli 不相容原理限制，同一量子態最多容納一個相同費米子。 3. 古典粒子 - 在低密度、高溫、量子效應不明顯的條件下，以 Maxwell–Boltzmann 統計描述。 - 粒子的可區分性是統計描述中的近似，不是由原子種類直接決定。 三種統計分布的平均佔據數分別為： 玻色–愛因斯坦分布： $$ \bar n(\varepsilon)= \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kBT}-1} $$ 費米–狄拉克分布： $$ \bar n(\varepsilon)= \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kBT}+1} $$ 麥克斯威–波茲曼分布： $$ \bar n(\varepsilon)\approx e^{-(\varepsilon-\mu)/kBT} $$ 當 $$ e^{(\varepsilon-\mu)/kBT}\gg 1 $$ 時，Bose–Einstein 與 Fermi–Dirac 分布都會近似成 Maxwell–Boltzmann 分布。 解題方法 逐項比對各敘述與下列基本定義： - 自旋種類是否正確； - 粒子遵守的統計分布是否正確； - Pauli 不相容原理適用於何種粒子； - 玻色子能否佔據相同量子態； - Bose–Einstein 凝聚的主要特徵是否描述正確。 其中最重要的快速判斷是： 「玻色子可大量佔據同一量子態；費米子不可；古典粒子不受量子統計限制。」 選項分析 （A）錯誤 玻色子確實具有整數自旋，這部分正確。 但在低溫時，量子統計效應會變得顯著，玻色子應遵守 Bose–Einstein 分布，而不是 Maxwell–Boltzmann 分布。Maxwell–Boltzmann 分布適用於高溫、低密度、粒子佔據數很低的古典極限。 因此本選項前半正確、後半錯誤，整體錯誤。 （B）正確 費米子是不可區分的相同粒子，遵守 Pauli 不相容原理。對於能量為 $\varepsilon$ 的量子態，其平均佔據數為

Question 11

Which of the following statements are correct?
(A) A light source with a shorter wavelength could have improved the sensitivity in the Michelson-
Morley experiment.
(B) In an inertial frame S, if event A occurs prior to event B, then in any inertial frame, event A must
occur prior to event B.
(C) The twin paradox showed that the twin who returned to Earth was younger than the twin who
stayed at home.
(D) The Galileo transformations are consistent with Einstein's postulates of relativity.
(E) It is possible for the electron beam in a television picture tube to move across the screen at a
speed faster than the speed of light.

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查狹義相對論與 Michelson–Morley 實驗： - 干涉儀靈敏度與波長的關係。 - 事件先後順序與時空間隔。 - 雙生子佯謬與固有時間。 - Galileo 變換與 Einstein 相對論原理的相容性。 - 超光速光點與資訊傳遞速度的區別。 --- 解題方法 逐一檢查每個敘述是否符合狹義相對論的基本定律與實驗結果。對於事件先後，必須判斷兩事件是否具有因果關係；對於速度問題，則要區分「物質或資訊」與「幾何上的光點」是否為同一概念。 --- 選項分析 (A) 正確 Michelson–Morley 實驗利用干涉條紋的位移測量光程差。若光程差改變為 $\Delta L$，相位差約為 $$ \Delta \phi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta L. $$ 在相同的光程差變化下，波長 $\lambda$ 越短，相位差變化越大，因此干涉條紋位移越明顯，實驗靈敏度越高。 因此，使用較短波長的光源，原則上可以提高 Michelson–Morley 實驗對微小光程差的敏感度。 --- (B) 錯誤 在某一慣性座標系 $S$ 中，若事件 $A$ 的時間座標小於事件 $B$，即 $$ tA<tB, $$ 並不代表所有慣性座標系都會得到相同的先後順序。 Lorentz 時間變換為 $$ t'=\gamma\left(t-\frac{vx}{c^2}\right), $$ 因此兩事件的時間差為 $$ \Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{v\Delta x}{c^2}\right). $$ 若兩事件為空間樣分隔， $$ c^2\Delta t^2<\Delta x^2, $$ 則可選擇適當的慣性座標系，使得 $\Delta t'$ 為零，甚至使事件順序反轉。 只有當兩事件為時間樣分隔或光樣分隔，亦即存在因果關係時，所有慣性座標系才會保有相同的先後順序。 題目沒有給出事件 $A$、$B$ 具有因果關係，因此敘述錯誤。 --- (C) 正確 雙生子佯謬中，一位雙生子留在地球，另一位搭乘高速太空船旅行後返回地球。返回者在旅途中改變慣性座標系，包含加速、減速或轉向；地球上的雙生子近似維持同一慣性系。 兩人經歷的固有時間為

Question 12

Consider the ground state of an Al atom with Z=13. Find the correct descriptions:
(A) The electron configuration is: 1s² 2s² 2p⁶ 2d³.
(B) The magnitude of the angular momentum L is √2ħ.
(C) The magnitude of the spin angular momentum s is 3/4ħ.
(D) The magnitude of the total angular momentum can be 1/83/4ħ.
(E) The magnitude of the total angular momentum J can be √3/2ħ.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查多電子原子的： - 電子組態與 Aufbau 原理 - 軌道角動量量子數 $l$ 與總軌道角動量 - 電子自旋角動量 - 軌道角動量與自旋角動量耦合形成的總角動量 角動量大小公式為 $$ |\mathbf L|=\sqrt{L(L+1)}\hbar $$ $$ |\mathbf S|=\sqrt{S(S+1)}\hbar $$ $$ |\mathbf J|=\sqrt{J(J+1)}\hbar $$ 其中 $L,S,J$ 為相應的角動量量子數。 --- 解題方法 鋁原子 $Z=13$，共有 13 個電子。依照電子填入順序，其基態電子組態為 $$ 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^1 $$ 封閉殼層 $$ 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2 $$ 的軌道角動量與自旋角動量彼此抵消，因此只需考慮最外層的單一 $3p$ 電子。 對 $3p$ 電子而言， $$ l=1,\qquad s=\frac12 $$ 因此總軌道角動量量子數為 $$ L=l=1 $$ 總自旋量子數為 $$ S=s=\frac12 $$ 軌道角動量與自旋角動量耦合後，總角動量量子數可取 $$ J=|L-S|,|L-S|+1,\ldots,L+S $$ 所以 $$ J=\left|1-\frac12\right|,\;1+\frac12 =\frac12,\frac32 $$ 相應的總角動量大小為 $$ |\mathbf J| = \sqrt{J(J+1)}\hbar $$ 故 $$ J=\frac12 \quad\Longrightarrow\quad |\mathbf J|=\sqrt{\frac12\left(\frac12+1\right)}\hbar =\frac{\sqrt3}{2}\hbar $$ 以及 $$ J=\frac32 \quad\Longrightarrow\quad |\mathbf J|=\sqrt{\frac32\left(\frac32+1\right)}\hbar =\frac{\sqrt{15}}{2}\hbar $$ --- 選項分析 (A) 錯誤 選項所給電子組態為 $$ 1s^2\,2s^2\,2p^6\,2d^3 $$ 但 $n=2$ 殼層只能有 $l=0,1$，也就是 $2s$ 與 $2p$；$d$ 軌域需要 $l=2$，因此最小主量子數必須滿足 $n\geq 3$，不存在 $2d$ 軌域。 鋁原子的正確基態電子組態為 $$ 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^1 $$ 所以 (A) 錯誤。

Question 13

Here is the Davisson and Germer experiment, illustrating electron diffraction from a Ni crystal.
Which of the following modifications can increase the diffraction angle?
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
The image shows the Davisson-Germer experiment setup and a diffraction pattern.
(A) Increase the electron velocity.
(B) Decrease the electron velocity.
(C) Keep the same velocity but replace the electron with an alpha particle (He+).
(D) It is not possible to change the diffraction angle.
(E) Use a crystal with a smaller lattice spacing (more dense periodic structure).

Accepted Answer

核心觀念

本題考的是電子的德布羅意波長，以及晶體表面週期結構造成的電子繞射。電子具有波長

\lambda=\frac{h}{p}\approx\frac{h}{mv},

其中 $h$ 為普朗克常數、 $p$ 為動量、 $m$ 為粒子質量、 $v$ 為速率。

解題方法

原圖顯示電子垂直入射到鎳晶體表面，繞射電子往右上方出射；圖中的 $\theta$ 是出射方向與表面法線的夾角。右側強度圖的繞射峰約在 $50^\circ$ 。相鄰表面原子散射波的程差為 $a\sin\theta$ ，其中 $a$ 是表面原子間距；建設性干涉條件為

a\sin\theta=n\lambda,

因此，在繞射階數 $n$ 固定時，

\theta=\sin^{-1}\!\left(\frac{n\lambda}{a}\right).

要增大 $\theta$ ，就要增大波長 $\lambda$ ，或減小晶格間距 $a$ 。

選項分析

Question 14

Which of the following statements are correct regarding Bohr's theory, the Franck-Hertz
experiment, and Rutherford's atomic model?
(A) In the Franck-Hertz experiment, the accelerating voltage exhibits sudden drops at multiples of
4.9 volts. The energy levels of 4.9 volts and 9.8 volts correspond to transitions to the ground
state and the first excited state of mercury atoms, respectively.
(B) In Bohr's theory, energy is assumed to be quantized, meaning that the quantum state of a
hydrogen atom can only occupy specific, discrete energy levels.
(C) Rutherford's atomic model is inconsistent with Maxwell's equations, as accelerating charged
particles, such as orbiting electrons, would radiate electromagnetic waves. Consequently,
electrons would lose energy and spiral into the atomic nucleus.
(D) In Bohr's theory, the relativistic effects on the electron can be negligible.
(E) According to Bohr's model, the ratio of the electron's speed in the second excited state to its
speed in the fifth excited state is exactly 2.

Accepted Answer

參考書等級：大學部《現代物理概論》或《原子物理》教材 解說 (A) 弗蘭克–赫茲實驗中，汞原子第一激發能為 $E1=4.9\:	ext{eV}$，對應加速電壓的「跌落」間隔亦為 $4.9\:	ext{V}$。但 9.8 V 代表的是第二次激發（$2E1$），仍是從基態躍遷至第一激發態後再被電場加速至相同能量，不是 跃遷至第二激發態。故敘述錯誤。 (B) 波耳模型假設氫原子的電子只能佔據離散的能級 $En=-\dfrac{13.6\ 	ext{eV}}{n^2}$（$n=1,2,\dots$），即能量量子化。敘述正確。 (C) 拉塞福模型把電子視為在原子核周圍做圓形軌道運動。根據麥克斯韋方程式，任何加速電荷都會發射電磁輻射，導致能量損失而最終坍縮。

Question 15

Which of the following statements are correct regarding Bohr's theory, the Franck-Hertz
experiment, and Rutherford's atomic model?
(A) In the Franck-Hertz experiment, the accelerating voltage exhibits sudden drops at multiples of
4.9 volts. The energy levels of 4.9 volts and 9.8 volts correspond to transitions to the ground
state and the first excited state of mercury atoms, respectively.
(B) In Bohr's theory, energy is assumed to be quantized, meaning that the quantum state of a
hydrogen atom can only occupy specific, discrete energy levels.
(C) Rutherford's atomic model is inconsistent with Maxwell's equations, as accelerating charged
particles, such as orbiting electrons, would radiate electromagnetic waves. Consequently,
electrons would lose energy and spiral into the atomic nucleus.
(D) In Bohr's theory, the relativistic effects on the electron can be negligible.
(E) According to Bohr's model, the ratio of the electron's speed in the second excited state to its
speed in the fifth excited state is exactly 2.

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查： - 光電效應與光子能量：$E\gamma=hc/\lambda$ - 氫原子游離能與光電子最大動能 - 庫侖斥力下的最近接近距離 - 波耳模型中的電子速度 - 類氫離子的譜線公式 - 波耳對應原理 常用公式如下： $$ hc \approx 1240\ 	ext{eV}\cdot	ext{nm} $$ 氫原子能階： $$ En=-\frac{13.6}{n^2}\ 	ext{eV} $$ 氫原子第 $n$ 層電子速度： $$ vn=\frac{\alpha c}{n} $$ 類氫離子的譜線公式： $$ \frac{1}{\lambda} =RZ^2\left(\frac{1}{nf^2}-\frac{1}{ni^2}ight) $$ --- 解題方法 各選項分別套用對應的物理模型： - (A) 比較入射光子能量與氫原子的游離能。 - (B) 將質子與銅原子核視為同號電荷，利用電位能等於初始動能。 - (C) 直接使用波耳模型的速度公式。 - (D) 將單離子化氦 $\mathrm{He^+}$ 視為原子核電荷數 $Z=2$ 的類氫離子。 - (E) 判斷波耳對應原理的敘述是否正確。 --- 選項分析 (A) 錯誤 波長為 $59.0\ 	ext{nm}$ 的紫外光，其光子能量為 $$ E\gamma=\frac{hc}{\lambda} =\frac{1240}{59.0}\ 	ext{eV} \approx 21.0\ 	ext{eV} $$ 氫原子基態的游離能為 $13.6\ 	ext{eV}$，因此光電子的最大動能為 $$ K{\max}=E\gamma-13.6 $$ $$ K{\max}=21.0-13.6 =7.4\ 	ext{eV} $$ 題目宣稱電子動能為 $21.0\ 	ext{eV}$，忽略的是質子的反沖能，而不是氫原子的游離能。因此 (A) 錯誤。 --- (B) 錯誤 質子與銅原子核的電荷分別為 $+e$ 與 $+29e$。若質子正面射向銅原子核，在最近接近點，其初始動能全部轉化為庫侖電位能： $$ K=\frac{1}{4\pi\varepsilon0} \frac{(e)(29e)}{r} $$ 使用核物理常用換算式： $$ \frac{e^2}{4\pi\varepsilon0} \approx 1.44\ 	ext{MeV}\cdot	ext{fm} $$ 當 $r=5.0\ 	ext{fm}$ 時， $$ K=\frac{29(1.44\ 	ext{MeV}\cdot	ext{fm})}{5.0\ 	ext{fm}} $$ $$ K\approx 8.35\ 	ext{MeV} $$

Question 16

It is rational to assume that each copper atom contributes one free electron to the electron gas. While
the density of copper is 8.94 × 10³ kg/m³ and its atomic mass is 63.5 u. Please find the correct
description below:
(A) Formation of the Fermi energy in metals is associated with the fact that electrons are Bosons.
(B) The Fermi energy is ~ 7.0 eV.
(C) The average electron energy at T = 0 is ~4.2 eV.
(D) The average electron energy at T = 0 is 0 eV.
(E) Free electrons in cooper don't significantly contribute to the specific heat.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查金屬自由電子模型與三維簡併電子氣，重點包括： 1. 銅原子提供自由電子後的電子數密度。 2. 費米能量 $EF$ 的計算。 3. $T=0$ 時電子平均能量。 4. 電子為費米子，必須遵守 Pauli 不相容原理。 5. 自由電子對金屬比熱的貢獻通常不顯著。 題目假設每個銅原子貢獻一個自由電子，因此自由電子數密度等於銅原子數密度。 --- 解題方法 銅的質量密度為 $$ ho=8.94	imes10^3\ \mathrm{kg/m^3} $$ 銅的原子質量為 $63.5u$，換算成莫耳質量： $$ M=63.5	imes10^{-3}\ \mathrm{kg/mol} $$ 因此，單位體積中的銅原子數為 $$ n{\mathrm{atom}} =\frac{ho}{M}NA $$ 其中 $NA=6.022	imes10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$。由於每個銅原子提供一個自由電子， $$ ne=n{\mathrm{atom}} =\frac{8.94	imes10^3}{63.5	imes10^{-3}} (6.022	imes10^{23}) $$ 得到 $$ ne\approx 8.48	imes10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}. $$ 三維自由電子氣的費米能量為 $$ EF=\frac{\hbar^2}{2me}(3\pi^2ne)^{2/3}. $$ 代入 $$ \hbar=1.055	imes10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}, \qquad me=9.11	imes10^{-31}\ \mathrm{kg}, $$ 以及 $ne=8.48	imes10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}$，可得 $$ EF\approx 1.12	imes10^{-18}\ \mathrm{J}. $$ 利用 $$ 1\ \mathrm{eV}=1.602	imes10^{-19}\ \mathrm{J}, $$ 因此 $$ EF\approx \frac{1.12	imes10^{-18}}{1.602	imes10^{-19}} \approx 7.0\ \mathrm{eV}. $$ 對於 $T=0$ 的三維自由電子氣，所有能階由低至高填滿至費米能量，平均電子能量為 $$ \langle Eangle{T=0}=\frac{3}{5}EF. $$ 因此 $$ \langle Eangle{T=0} =\frac{3}{5}(7.0\ \mathrm{eV}) \approx 4.2\ \mathrm{eV}. $$ --- 選項分析 (A) Formation of the Fermi energy in metals is ass…

Question 17

Which of the statements are CORRECT about a particle confined in the 1D infinite potential well
V(x) with V(x) = 0 in the well (with well width = W).
(A) The ground state energy aligns with the bottom of the well.
(B) For the first excited state, the uncertainty in the position is of the order of W.
(C) Let l = wavelength of the ground state standing wave. Then l is of the order of W.
(D) Let p = momentum of the ground state. The p is of the order of 'h/W', with the uncertainty in p
being of the same order as p (h = Planck constant).
(E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 這題考查一維無限深方形位能井的： - 能階量子化 - 波函數與駐波波長 - 位置與動量的不確定性 - 「同階量級」的判斷 設粒子被限制在 $0<x<W$，井外位能為無限大、井內 $V(x)=0$。其定態波函數與能量為 $$ \psin(x)=\sqrt{\frac{2}{W}}\sin\left(\frac{n\pi x}{W}\right), \qquad n=1,2,3,\ldots $$ $$ En=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mW^2}. $$ 其中 $n=1$ 是基態，$n=2$ 是第一激發態。 --- 解題方法 逐一檢查各敘述，分別利用能量公式、位置不確定度公式，以及基態駐波的波長與動量尺度判斷。 --- 選項分析 （A）The ground state energy aligns with the bottom of the well. 基態能量為 $$ E1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mW^2}0. $$ 雖然井內位能底部定為 $V=0$，但粒子的基態動能不可能為零。若動能為零，波函數將無法同時滿足兩端的邊界條件 $\psi(0)=\psi(W)=0$。 因此，基態能量高於位能井底部，並不與井底對齊。 （A）錯誤。 --- （B）For the first excited state, the uncertainty in the position is of the order of $W$. 第一激發態對應 $n=2$。無限深方形井中，位置期望值與位置平方期望值為 $$ \langle x\rangle=\frac{W}{2}, $$ $$ \langle x^2\rangle =W^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2\pi^2}\right). $$ 因此位置不確定度為 $$ \Delta x =\sqrt{\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2} =W\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{2n^2\pi^2}}. $$ 代入 $n=2$： $$ \Delta x =W\sqrt{\frac{1}{12}-\frac{1}{8\pi^2}}. $$ 括號內是與 $W$ 無關的數值常數，所以 $$ \Delta x\sim W. $$ （B）正確。 --- （C）Let $\lambda$ be the wavelength of the ground state standing wave. Then $\lambda$ is of the order of $W$. 基態波函數為

Question 18

Which of the following descriptions are true regarding blackbody radiation, the photoelectric effect, and theoretical models for the specific heat of solids? (A) The energy density spectra of blackbody radiation are independent of the material composition and the shape of the object forming the blackbody. Moreover, a blackbody is not necessarily black in color. (B) In the Rayleigh-Jeans formula, the average energy of electromagnetic (EM) standing waves inside a blackbody was calculated using the equipartition principle, which is incorrect. Additionally, the number of standing waves per frequency is also inaccurate. (C) In the high-temperature limit, the specific heat of solids, as predicted by Einstein's and Debye's models, approaches the classical limit of 3R, where R is the universal gas…

Accepted Answer

核心觀念 本題整合三個近代物理主題： 1. 黑體輻射：黑體光譜只由溫度決定，與材料及外形無關。 2. 光電效應與光子假說：光子的能量為 $$E\gamma=hf$$ 光電方程為 $$K{\max}=hf-\phi$$ 3. 固體比熱模型：愛因斯坦模型與德拜模型在高溫皆回到經典極限 $3R$，但低溫行為不同。 本題是複選題，逐項判斷敘述是否符合上述理論。 選項分析 （A）正確 黑體是能夠完全吸收所有波長電磁輻射的理想物體，其輻射光譜只與溫度有關。單位體積、單位頻率的能量密度由普朗克公式給出： $$ u(f,T)=\frac{8\pi hf^3}{c^3}\frac{1}{e^{hf/kBT}-1} $$ 公式中沒有出現材料組成或物體形狀，因此黑體輻射的光譜與這兩者無關。 「黑體」描述的是吸收與放射輻射的理想性質，不是指物體肉眼一定呈現黑色。物體在高溫下可因熱輻射呈現紅色、白色等不同顏色，因此黑體不必然是黑色。 故（A）正確。 --- （B）錯誤 Rayleigh–Jeans 理論以經典統計力學的能量均分定理計算電磁駐波的平均能量，得到 $$ \langle Eangle=kBT $$ 這是錯誤的，因為電磁場振盪器的能量不能在所有能量值間連續分配；量子理論指出其能量以 $$ En=nhf,\qquad n=0,1,2,\ldots $$ 為離散值。 不過，Rayleigh–Jeans 理論對黑體腔內每單位體積、每單位頻率的駐波數目計算是正確的： $$ g(f)\,df=\frac{8\pi f^2}{c^3}\,df $$ 因此其錯誤主要在於使用經典能量均分定理，並非「駐波數目也不正確」。錯誤的平均能量與正確的模態數相乘，才導致紫外災變： $$ u{\mathrm{RJ}}(f,T)=\frac{8\pi f^2}{c^3}kBT $$ 故（B）整體敘述錯誤。 --- （C）正確 經典理論預測固體莫耳比熱為 $$ CV=3R $$ 愛因斯坦模型以頻率相同的量子簡諧振子描述固體，其莫耳比熱為 $$ CE = 3R \left(\frac{	hetaE}{T}ight)^2 \frac{e^{	hetaE/T}} {\left(e^{	hetaE/T}-1ight)^2} $$ 其中 $	hetaE$ 為愛因斯坦溫度。 當 $T\gg 	hetaE$ 時， $$ CE\longrightarrow 3R $$ 德拜模型考慮固體中不同頻率的聲子，在高溫極限同樣滿足 $$ CD\longrightarrow 3R $$ 低溫時，愛因斯坦模型的熱容量呈指數形式： $$ CE\propto \left(\frac{	hetaE}{T}ight)^2 e^{-	hetaE/T} $$ 德拜模型則預測低溫比熱為

Question 19

Which of the following statements for a p-n diode are correct?
(A) Under the unbiased condition, the Fermi levels in p and n regions are aligned.
(B) When no voltage is applied, the thermal electron current and the recombination electron current
have the same magnitude but flow in opposite directions, resulting in no net current.
(C) Under reverse bias, the recombination current is less than the thermal electron current.
(D) When a positive voltage is applied to the p-side, the conventional current flows in the same
direction as the electron current.
(E) The photon energy emitted by a light-emitting diode corresponds to the energy gap during the
transition of carrier under forward bias.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 p-n 二極體在平衡、偏壓及發光二極體操作下的基本物理： 1. 熱平衡時的費米能階 2. 漂移電流、擴散電流與復合電流的平衡 3. 逆向偏壓下的反向電流 4. 電子流與傳統電流的方向 5. LED 的能量轉換關係 --- 解題方法 逐一檢查各敘述是否符合 p-n 接面的能帶、載子運動方向及電流平衡條件。 在未加偏壓且達到熱平衡時，p 區與 n 區必須具有相同的費米能階；否則會有持續的淨載子流動，無法維持平衡。 在接面處，載子同時受到濃度梯度造成的擴散作用，以及內建電場造成的漂移作用。熱平衡時，電子與電洞的淨電流皆為零，因此相反方向的電流分量大小相等。 --- 選項分析 (A) Under the unbiased condition, the Fermi levels in p and n regions are aligned. 未加偏壓時，p-n 二極體處於熱平衡狀態，整個元件的費米能階必須保持一致： $$ E{F,p}=E{F,n} $$ 若兩側費米能階不一致，載子便會持續由高化學勢區域流向低化學勢區域，系統不可能達到熱平衡。 因此本選項正確。 --- (B) When no voltage is applied, the thermal electron current and the recombination electron current have the same magnitude but flow in opposite directions, resulting in no net current. 未加偏壓時，載子會因熱能產生運動，同時在 p-n 接面附近發生復合。熱產生或擴散所形成的電子電流，會由方向相反的復合相關電流抵消。 更一般地說，電子電流可表示為漂移電流與擴散電流之和： $$ Jn=q\mun nE+qDn\frac{dn}{dx} $$ 在熱平衡時： $$ Jn=0 $$ 因此相反方向的電流分量具有相同大小，元件不會產生淨電流。 本選項正確。 --- (C) Under reverse bias, the recombination current is less than the thermal electron current. 施加逆向偏壓時，p 側接負電壓、n 側接正電壓，耗盡區變寬，接面障壁升高。少數載子較難跨越接面，因此復合電流受到抑制。 逆向偏壓下的電流主要來自熱產生的少數載子，其大小接近反向飽和電流：

Question 20

Which of the following statements are CORRECT about energy quanta?
(A) Energy quanta of EM waves also carry momentum.
(B) Energy of crystal vibrations is continuous or discontinuous depending on the crystal temperature
T.
(C) Crystal vibrations with high frequencies f>> kBT/ h carry many energy quanta (called phonons).
(D) Crystal vibrations with low frequencies f<<kBT/ h carry many energy quanta.
(E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩類能量量子化現象： 1. 電磁波的能量量子：光子（photon） 2. 晶格振動的能量量子：聲子（phonon） 對頻率為 $f$ 的電磁波或晶格振動，其單一能量量子的能量皆為 $$ E=hf $$ 其中 $h$ 為普朗克常數。 晶格振動可視為量子簡諧振子，其能階為 $$ En=\left(n+\frac12\right)hf,\qquad n=0,1,2,\ldots $$ 因此能量本質上是離散的；溫度只會影響各能階的佔據數，不會改變能量是否量子化。 --- 解題方法 判斷各選項時，使用兩個關鍵關係： 1. 量子能量與動量 電磁波的能量量子為光子，滿足 $$ E=hf $$ 且光子動量為 $$ p=\frac{E}{c}=\frac{hf}{c} $$ 所以電磁波的能量量子確實攜帶動量。 2. 聲子的平均佔據數 頻率為 $f$ 的晶格振動，其聲子平均佔據數為 $$ \bar n=\frac{1}{e^{hf/(kBT)}-1} $$ 令 $$ x=\frac{hf}{kBT} $$ - 若 $f\gg kBT/h$，則 $x\gg 1$，有 $$ \bar n\approx e^{-x}\ll 1 $$ 表示高頻振動中的聲子很少。 - 若 $f\ll kBT/h$，則 $x\ll 1$，利用 $e^x-1\approx x$： $$ \bar n\approx \frac{1}{x} =\frac{kBT}{hf}\gg 1 $$ 表示低頻振動中有許多聲子。 --- 選項分析 (A) Energy quanta of EM waves also carry momentum. 正確。 電磁波的能量量子是光子，光子的能量與動量分別為 $$ E=hf,\qquad p=\frac{E}{c}=\frac{hf}{c} $$ 因此光子不僅攜帶能量，也攜帶動量。這也是光壓與康普頓散射等現象的基礎。 ---

114 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》

第 1 題

第 2 題

核心觀念

解題方法

(A) Fermi–Dirac 分布可用於分析光子的性質

(B) 黑體輻射的峰值波長與溫度成反比

第 3 題

第 4 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) (2,1,+1,+12)(2,1,+1,+\frac12)(2,1,+1,+21​)

(B) (2,1,+1,−12)(2,1,+1,-\frac12)(2,1,+1,−21​)

第 5 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）錯誤

（B）正確

第 11 題

第 12 題

第 13 題

核心觀念

解題方法

選項分析

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）The ground state energy aligns with the bottom of the well.

（B）For the first excited state, the uncertainty in the position is of the order of WWW.

（C）Let λ\lambdaλ be the wavelength of the ground state standing wave. Then λ\lambdaλ is of the order of WWW.

第 18 題

核心觀念

選項分析

（A）正確

（B）錯誤

（C）正確

第 19 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) Under the unbiased condition, the Fermi levels in p and n regions are aligned.

(B) When no voltage is applied, the thermal electron current and the recombination electron current have the same magnitude but flow in opposite directions, resulting in no net current.

(C) Under reverse bias, the recombination current is less than the thermal electron current.

第 20 題

核心觀念

解題方法

1. 量子能量與動量

2. 聲子的平均佔據數

選項分析

(A) Energy quanta of EM waves also carry momentum.

其他考古題

114 年臺灣聯合大學系統的其他科目

臺灣聯合大學系統《近代物理》其他年度

其他學校的電機系考古題

114 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《近代物理》

(A) $(2,1,+1,+\frac12)$

(B) $(2,1,+1,-\frac12)$

（B）For the first excited state, the uncertainty in the position is of the order of $W$ .

（C）Let $\lambda$ be the wavelength of the ground state standing wave. Then $\lambda$ is of the order of $W$ .