114 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（A）》

核心觀念

題目要求的是集合 $S$ 所張成子空間的維度，也就是這些向量中「最大線性獨立組」的個數。

若向量可由其他向量線性表示，便不會增加張成空間的維度。因此可先找出一組線性獨立向量，再判斷其餘向量是否能由它們表示。

設

$$v_1=(1,0,1,0),\quad v_2=(1,2,0,3),\quad v_3=(0,-1,-4,1).$$

解題方法

先檢查 $v_1,v_2,v_3$ 是否線性獨立。假設

$$a v_1+b v_2+c v_3=(0,0,0,0),$$

比較各分量可得

$$\begin{cases} a+b=0,\\ 2b-c=0,\\ a-4c=0,\\ 3b+c=0. \end{cases}$$

由第二式 $c=2b$，代入第四式：

$$3b+2b=5b=0,$$

所以 $b=0$，進而 $c=0$。再由第一式得 $a=0$。

因此 $v_1,v_2,v_3$ 線性獨立。

接著檢查其餘兩個向量：

$$v_4=(2,1,-3,4).$$

計算

$$v_1+v_2+v_3 =(1,0,1,0)+(1,2,0,3)+(0,-1,-4,1) =(2,1,-3,4)=v_4.$$

所以

$$v_4=v_1+v_2+v_3.$$

再看

$$v_5=(2,3,5,2).$$

計算

核心觀念

本題考查秩－零度定理（Rank–Nullity Theorem）：

$$\dim(V)=\operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T)$$

其中：

• $\operatorname{rank}(T)$ 是映射 $T$ 的像空間維度；
• $\operatorname{nullity}(T)$ 是映射 $T$ 的核空間維度，即
  $\ker(T)=\{p\in P_5(\mathbb R):T(p)=0\}$ 的維度。

題目給定 $T:P_5(\mathbb R)\to\mathbb R^8$，且 $\operatorname{rank}(T)=2$。

解題方法

$P_5(\mathbb R)$ 表示所有次數不超過 $5$ 的實係數多項式，任意元素可寫成

$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5.$$

因此，$P_5(\mathbb R)$ 的一組基底為

$$\{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5\},$$

所以

$$\dim\bigl(P_5(\mathbb R)\bigr)=6.$$

套用秩－零度定理：

$$\dim\bigl(P_5(\mathbb R)\bigr) = \operatorname{rank}(T)+\operatorname{nullity}(T),$$

核心觀念

本題考查矩陣乘積的秩、行列式與可逆矩陣之間的關係，主要使用下列定理：

1. 對任意同階方陣 $A,B$，
   $\operatorname{rank}(AB)\leq \operatorname{rank}(A),$
   $\operatorname{rank}(AB)\leq \operatorname{rank}(B).$

2. 行列式具有乘法性：
   $\det(AB)=\det(A)\det(B).$

3. 方陣 $A$ 可逆當且僅當
   $\det(A)\neq 0.$

4. 若兩個數的乘積為 $0$，只能推出至少有一個數為 $0$，不能推出兩者皆為 $0$。

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解題方法

逐一檢查各選項是否符合上述矩陣定理。秩的選項使用矩陣乘法對像空間與核空間的影響判斷；行列式的選項則直接利用行列式乘法公式與可逆判定定理。

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選項分析

(A) $\operatorname{rank}(AB)\leq \operatorname{rank}(A)$

正確。

矩陣 $AB$ 的每一個欄向量，都是矩陣 $A$ 的欄向量之線性組合。因此，$AB$ 的欄空間包含於 $A$ 的欄空間：

$$\operatorname{Col}(AB)\subseteq \operatorname{Col}(A).$$

欄空間包含關係會導出維度不等式，因此

$$\operatorname{rank}(AB) =\dim\operatorname{Col}(AB) \leq \dim\operatorname{Col}(A) =\operatorname{rank}(A).$$

所以選項 (A) 正確。

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(B) $\operatorname{rank}(AB)\leq \operatorname{rank}(B)$

正確。

若將 $A$ 視為一個線性轉換，則 $AB$ 先作用 $B$，再作用 $A$。$B$ 的像空間經過 $A$ 映射後，維度不可能增加，因此

$$\operatorname{Im}(AB)=A(\operatorname{Im}B).$$

故有

$$\dim\operatorname{Im}(AB) \leq \dim\operatorname{Im}(B),$$

也就是

$$\operatorname{rank}(AB)\leq \operatorname{rank}(B).$$

所以選項 (B) 正確。

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(C) $\det(AB)=\det(A)\det(B)$

核心觀念

本題考察矩陣 $A$ 與轉置矩陣 $A^T$ 的基本性質：

1. 行列式滿足
   $\det(A^T)=\det(A)。$

2. 特徵多項式定義為
   $p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)。$

3. 矩陣 $A$ 與 $A^T$ 具有相同的特徵多項式，因此具有相同的特徵值及代數重數。

4. $A$ 與 $A^T$ 的最小多項式相同，因此兩者具有相同的可對角化性。

5. 特徵向量通常不會相同，因為
   $Av=\lambda v$
   並不代表
   $A^Tv=\lambda v。$

解題方法

逐一檢查各選項。前三項可直接利用轉置與行列式的性質判斷；第五項利用最小多項式判斷；第四項則以反例檢驗。

選項分析

(A) $A$ 和 $A^T$ 有相同的行列式

由行列式轉置不變性，

$$\det(A^T)=\det(A)。$$

因此此敘述正確。

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(B) $A$ 和 $A^T$ 有相同的特徵多項式

$A$ 的特徵多項式為

$$p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)。$$

$A^T$ 的特徵多項式為

$$p_{A^T}(\lambda)=\det(\lambda I-A^T)。$$

注意

$$\lambda I-A^T=(\lambda I-A)^T。$$

因此

$$\begin{aligned} p_{A^T}(\lambda) &=\det\big((\lambda I-A)^T\big)\\ &=\det(\lambda I-A)\\ &=p_A(\lambda)。 \end{aligned}$$

所以兩者具有相同的特徵多項式，此敘述正確。

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(C) $A$ 和 $A^T$ 有相同的特徵值

由選項 (B)，$A$ 與 $A^T$ 的特徵多項式完全相同，因此其根完全相同。

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特徵值，則

$$\det(\lambda I-A)=0。$$

由

$$\det(\lambda I-A^T)=\det(\lambda I-A)，$$

可得

$$\det(\lambda I-A^T)=0，$$

故 $\lambda$ 也是 $A^T$ 的特徵值。

因此此敘述正確。

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(D) $A$ 和 $A^T$ 有相同的特徵向量

此敘述錯誤。矩陣與其轉置雖然有相同的特徵值，但特徵向量一般不同。

取

$$A= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix}, \qquad A^T= \begin{bmatrix} 1&0\\ 1&1 \end{bmatrix}.$$

對 $A$ 而言，唯一特徵值為 $\lambda=1$。其特徵向量滿足

$$(A-I)v=0，$$

即

核心觀念

對子空間 $W$ 的正交投影，是向量 $u$ 在 $W$ 上的分量。若 $W$ 由非零向量 $v$ 所張成，即

$$W=\operatorname{span}\{v\},$$

則 $u$ 在 $W$ 上的正交投影為

$$\operatorname{proj}_W u = \frac{u\cdot v}{v\cdot v}v.$$

本題中

$$W=\{(x,y):y=4x\} =\operatorname{span}\{(1,4)\}.$$

因此取方向向量

$$v=(1,4).$$

解題方法

已知

$$u=(2,6),\qquad v=(1,4).$$

先計算內積：

$$u\cdot v=2(1)+6(4)=2+24=26,$$

以及

$$v\cdot v=1^2+4^2=17.$$

代入正交投影公式：

$$\operatorname{proj}_W u = \frac{26}{17}(1,4) = \left(\frac{26}{17},\frac{104}{17}\right).$$

此向量確實屬於 $W$，因為

$$\frac{104}{17} = 4\left(\frac{26}{17}\right).$$

此外，投影誤差向量為

$$u-\operatorname{proj}_W u = \left(2,6\right) - \left(\frac{26}{17},\frac{104}{17}\right) = \left(\frac{8}{17},-\frac{2}{17}\right).$$

它與 $v=(1,4)$ 的內積為

$$\left(\frac{8}{17},-\frac{2}{17}\right)\cdot(1,4) = \frac{8}{17}-\frac{8}{17}=0,$$

因此誤差向量垂直於 $W$，符合正交投影的定義。

選項分析

投影原理：在內積

$\langle g,h\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}g(t)h(t)\,dt$

下，$v$ 為 $f(t)=t$ 在子空間 $\operatorname{span}\{1,\cos t,\sin t\}$ 的最近向量，等價於求 $v=a\cdot1+b\sin t+c\cos t$ 使

$\langle f-v,\;1\rangle=\langle f-v,\;\cos t\rangle=\langle f-v,\;\sin t\rangle=0 .$

1. 與 $1$ 正交

$\int_{-\pi}^{\pi}\bigl(t-a-b\sin t-c\cos t\bigr)dt=0$

其中 $\int t\,dt=0,\;\int\sin t\,dt=0,\;\int\cos t\,dt=0$，故

$-a\cdot2\pi=0\;\Longrightarrow\;a=0 .$

2. 與 $\cos t$ 正交

$$A(t)=\begin{pmatrix} 7&-1&-2&0&0\\ -1&2&1&0&0\\ 4&3&2&3&4\\ 2&2&2&\sin t&2\\ 2&1&0&1&2 \end{pmatrix}$$

僅有 $a_{44}=\sin t$ 含 $t$。
以第 4 列第 4 欄的餘子式展開：

$\det A(t)=\sin t\;C + D ,$

其中

• $C=(-1)^{4+4}\det\!\begin{pmatrix} 7&-1&-2&0\\ -1&2&1&0\\ 4&3&2&4\\ 2&1&0&2 \end{pmatrix}=6$,

• $D$ 為把 $a_{44}=0$ 時的行列式。對第 4 欄展開得

$D=-\bigl(3\det M_{34}+ \det M_{54}\bigr),$

$\det M_{34}=42,\qquad \det M_{54}=-42,$

故

核心觀念

二次曲線的一般形式為

$$Ax^2+Bxy+Cy^2=K.$$

可利用二次型矩陣

$$Q= \begin{bmatrix} 1&4\\ 4&7 \end{bmatrix}$$

的特徵值與特徵向量，判斷曲線種類及主軸方向。

若二次型經正交變換後為

$$\lambda_1 u^2+\lambda_2 v^2=K,$$

則：

• $\lambda_1,\lambda_2$ 同號：橢圓型；
• $\lambda_1,\lambda_2$ 異號：雙曲線型；
• 其中 $u,v$ 為主軸方向的座標。

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解題方法

原式為

$$x^2+8xy+7y^2=225.$$

將其寫成矩陣形式：

$$\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&4\\ 4&7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} =225.$$

求特徵值：

$$\det(Q-\lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda&4\\ 4&7-\lambda \end{vmatrix} =0.$$

因此

$$(1-\lambda)(7-\lambda)-16=0,$$ $$\lambda^2-8\lambda-9=0,$$ $$(\lambda-9)(\lambda+1)=0.$$

所以特徵值為

$$\lambda_1=9,\qquad \lambda_2=-1.$$

兩個特徵值異號，因此此曲線為雙曲線，而非橢圓。

主軸座標

對於 $\lambda=9$：

$$(Q-9I) \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8&4\\ 4&-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} =0,$$

得特徵向量方向為

$$(x,y)\parallel(1,2).$$

對應的線性座標為

$$x+2y.$$

對於 $\lambda=-1$：

$$(Q+I) \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4\\ 4&8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} =0,$$

得特徵向量方向為

$$(x,y)\parallel(2,-1).$$

對應的線性座標為

$$2x-y.$$

令

$$u=\frac{x+2y}{\sqrt5},\qquad v=\frac{2x-y}{\sqrt5},$$

則原方程化為

核心觀念

在 $C^2$ 的標準內積下，線性算子 $T$ 的矩陣為

$$A= \begin{pmatrix} 3 & 2+i\\ 2-i & 7 \end{pmatrix}.$$

相關定義如下：

• Normal operator（正规算子）：
  $T^*T=TT^*.$

• Self-adjoint operator（自伴算子）：
  $T^*=T.$
  矩陣表示即為 Hermitian 矩陣：
  $A^*=A.$

• Unitary operator（酉算子）：
  $T^*T=I.$
  等價於保長度、保內積。

• Orthogonal operator（正交算子）：
  通常用於實內積空間，要求
  $T^TT=I.$
  在複數內積空間中，其對應概念是 unitary operator。

此外，自伴算子必為正规算子，因為若 $T^*=T$，則

$$T^*T=TT=TT^*=TT^*.$$

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解題方法

直接比較矩陣 $A$ 與其共軛轉置 $A^*$。

先求 $A^*$。矩陣 $A$ 的共軛轉置為

$$A^* = \begin{pmatrix} \overline{3} & \overline{2-i}\\ \overline{2+i} & \overline{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2+i\\ 2-i & 7 \end{pmatrix} =A.$$

因此

$$A^*=A,$$

所以 $T$ 是 self-adjoint。

由自伴算子必為正规算子，得到 $T$ 也是 normal。

接著判斷是否為 unitary。若 $T$ 為 unitary，必須滿足

$$A^*A=I.$$

由於 $A^*=A$，可取標準基底向量

$$e_1=(1,0).$$

則

$$T(e_1)=A e_1=(3,2-i).$$

其長度平方為

$$\|T(e_1)\|^2 =|3|^2+|2-i|^2 =9+(2^2+(-1)^2) =14.$$

但

核心觀念

本題考查：

• 線性方程組的一致性與解的存在性。
• 非齊次解與對應齊次系統解的關係。
• 齊次系統的解空間與生成向量。
• 最小範數解（minimal solution）的判定。

若 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有一組特解 $\mathbf{x}_p$，且齊次系統 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解空間為 $\mathcal{N}(A)$，則非齊次系統的所有解為

$$\mathbf{x}=\mathbf{x}_p+\mathbf{x}_h, \qquad \mathbf{x}_h\in\mathcal{N}(A).$$

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解題方法

原方程組為

$$\begin{cases} x+2y+z=4,\\ x-y+2z=-11,\\ x+5y=19. \end{cases}$$

觀察第三式與前兩式的關係：

$$2(x+2y+z)-(x-y+2z)=x+5y.$$

右側也滿足

$$2(4)-(-11)=19.$$

因此第三式是前兩式的線性組合，方程組相容，且只有兩個獨立方程。

由前兩式相減：

$$(x+2y+z)-(x-y+2z)=4-(-11),$$

得到

$$3y-z=15, \qquad z=3y-15.$$

代回第二式：

$$x-y+2(3y-15)=-11,$$

所以

$$x+5y=19, \qquad x=19-5y.$$

令

$$y=5+t,$$

則

$$x=19-5(5+t)=-6-5t,$$

且

$$z=3(5+t)-15=3t.$$

因此方程組的通解為

$$(x,y,z)=(-6,5,0)+t(-5,1,3), \qquad t\in\mathbb{R}.$$

其中

$$(-6,5,0)$$

是一組特解，而齊次系統的解方向為

$$(-5,1,3).$$

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選項分析

(A) The system is consistent.

方程組至少有一組解，例如

$$(-6,5,0).$$

直接代入：

$$-6+2(5)+0=4,$$ $$-6-5+2(0)=-11,$$ $$-6+5(5)=19.$$

三式皆成立，因此方程組一致。選項 (A) 正確。

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(B) $(-6,5,0)$ is one of the solutions.

由上面的直接代入可知：

$$(-6,5,0)$$

確實滿足三個方程式，因此選項 (B) 正確。

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(C) The corresponding homogeneous system has more than one solution.

對應的齊次系統為

核心觀念

函數在開圓盤 $|z|<1$ 內解析，表示它必須在圓盤內每一點都有定義，且在每一點皆可複微分。

常用判斷原則如下：

• 有極點、奇點或未定義點落在 $|z|<1$ 內：不解析。
• 多值函數若無法在整個區域內選定單值解析分支：不解析。
• 多項式、指數函數等整函數在整個複平面皆解析。

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解題方法

逐一檢查各選項在開圓盤 $|z|<1$ 內是否存在奇點，並確認函數是否為單值解析函數。

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選項分析

(A) $\displaystyle \frac{1}{z}$

當 $z=0$ 時，函數未定義，且 $z=0$ 位於 $|z|<1$ 內。

因此 $\frac{1}{z}$ 在圓盤內有極點，不可能在整個開圓盤解析。

故 (A) 錯誤。

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(B) $z^{1/2}$

$z^{1/2}$ 在複數範圍通常是多值函數。若要成為解析函數，必須在指定區域內選擇單值分支。

然而開圓盤 $|z|<1$ 包含原點 $z=0$，而不存在定義於整個包含原點鄰域、並滿足

$$f(z)^2=z$$

的解析函數 $f$。

理由是：若 $f$ 在 $z=0$ 附近解析，且 $f(z)^2=z$，則 $f(0)=0$。設 $f$ 在 $0$ 附近的零點階數為 $m\geq 1$，則 $f(z)^2$ 在 $0$ 的零點階數為 $2m$，必為偶數；但 $z$ 在 $0$ 的零點階數為 $1$，矛盾。

因此 $z^{1/2}$ 無法在整個 $|z|<1$ 內定義為單值解析函數。

故 (B) 錯誤。

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(C) $\cot z$

由

核心觀念

本題考查複變函數在開且單連通區域中的基本性質：

1. 解析函數在單連通區域內具有原函數。
2. 線積分與路徑無關，只由起點與終點決定。
3. 解析函數的導函數仍為解析函數。
4. 複變函數的基本積分定理：
   $\int_C F'(z)\,dz=F(b)-F(a).$
5. 對數函數微分公式：
   $\frac{d}{dz}\log f(z)=\frac{f'(z)}{f(z)},$
   但必須要求 $f(z)\neq 0$，且在相關區域內能選取解析的對數分支。

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解題方法

因為 $D$ 是開且單連通區域，解析函數 $f$ 在 $D$ 中存在原函數 $F$，滿足

$F'(z)=f(z).$

因此對任意由 $a$ 到 $b$ 的路徑 $C$，

$\int_C f(z)\,dz=F(b)-F(a).$

這直接可判斷選項 (A)、(B)。

另外，解析函數的各階導數皆解析，所以 $f'(z)+f''(z)$ 也是解析函數，可判斷 (C)。

對 (D) 則必須特別注意：$\dfrac{f'}{f}$ 只有在 $f$ 不為零時，才能寫成某個解析對數函數的導數。題目並未保證 $f$ 在 $D$ 中無零點，因此該敘述並非必然成立。

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選項分析

(A) 正確

若 $a=b$，則 $C$ 是一條閉合路徑。由於 $f$ 在單連通區域 $D$ 內解析，$f$ 在 $D$ 中具有原函數 $F$，故

$\int_C f(z)\,dz=F(b)-F(a).$

當 $a=b$ 時，

$\int_C f(z)\,dz=F(a)-F(a)=0.$

因此 (A) 正確。

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(B) 正確

同樣利用複變函數的基本積分定理：

$\int_C f(z)\,dz=F(b)-F(a).$

右側只與起點 $a$ 和終點 $b$ 有關，與路徑 $C$ 的具體形狀無關。因此線積分只依賴 $a,b$。

故 (B) 正確。

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(C) 正確

$f$ 在 $D$ 中解析，依解析函數的性質，$f'(z)$ 與 $f''(z)$ 也都在 $D$ 中解析。

解析函數的和仍為解析函數，因此

$g(z)=f'(z)+f''(z)$

在 $D$ 中解析。

故 (C) 正確。

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(D) 錯誤

題目敘述為

核心觀念

冪級數

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$$

在其收斂圓

$$|z-z_0|<R$$

內必定代表解析函數。對本題而言，只要判斷各冪級數的收斂半徑 $R$ 是否至少為 $1$ 即可。

常用公式：

• 幾何級數 $$\sum_{n=0}^{\infty}w^n=\frac{1}{1-w},\qquad |w|<1$$
• 冪級數逐項微分後，收斂半徑不變。
• 冪級數逐項積分後，收斂半徑不變。
• 若係數為 $a_n$，可用柯西–阿達馬公式： $$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}.$$

題目要求判斷在整個開圓盤 $|z|<1$ 內是否為解析函數，因此收斂半徑必須滿足 $R\geq 1$。

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解題方法

逐一求出各冪級數的收斂半徑。若某選項的收斂半徑小於 $1$，則它無法在整個 $|z|<1$ 內定義解析函數，該選項即為答案。

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選項分析

（A）幾何級數

$$1+z+z^2+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}z^n.$$

這是標準幾何級數，當

$$|z|<1$$

時收斂，且

$$\sum_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}.$$

函數 $\frac{1}{1-z}$ 的唯一奇點為 $z=1$，位於圓盤 $|z|=1$ 的邊界，不在開圓盤 $|z|<1$ 內。因此此級數在 $|z|<1$ 內為解析函數。

所以（A）正確，不是答案。

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（B）由幾何級數逐項微分所得的級數

由

$$\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\cdots$$

逐項微分：

$$\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1-z}\right) = \frac{d}{dz}\sum_{n=0}^{\infty}z^n.$$

因此

$$\frac{1}{(1-z)^2} = 1+2z+3z^2+4z^3+\cdots.$$

逐項微分不會改變原冪級數的收斂半徑，所以收斂半徑仍為

$$R=1.$$

此級數在 $|z|<1$ 內收斂，並代表解析函數

$$\frac{1}{(1-z)^2}.$$

所以（B）正確，不是答案。

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（C）由幾何級數逐項積分所得的級數

逐項積分：

$$\int_0^z(1+w+w^2+w^3+\cdots)\,dw = \int_0^z\frac{1}{1-w}\,dw.$$

得到

核心觀念

本題考查複變函數 $\sin(iz)$ 的指數表示、雙曲函數關係，以及解析函數與週期性的判斷。

常用公式為

$$\sin w=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}, \qquad \sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}.$$

令 $w=iz$，即可得到

$$\sin(iz) =\frac{e^{i(iz)}-e^{-i(iz)}}{2i} =\frac{e^{-z}-e^z}{2i}.$$

另外，由 $\sinh z$ 的定義，

$$i\sinh z =i\frac{e^z-e^{-z}}{2} =\frac{e^{-z}-e^z}{2i}.$$

因此

$$\boxed{\sin(iz)=i\sinh z =\frac{e^{-z}-e^z}{2i}}.$$

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解題方法

將 $z=x+iy$ 代入：

$$iz=i(x+iy)=-y+ix.$$

利用複數正弦公式

$$\sin(a+ib)=\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b,$$

取 $a=-y$、$b=x$，可得

$$\sin(iz) =\sin(-y)\cosh x+i\cos(-y)\sinh x.$$

因為 $\sin(-y)=-\sin y$ 且 $\cos(-y)=\cos y$，所以

$$\boxed{\sin(iz)=-\sin y\cosh x+i\cos y\sinh x}.$$

由此可直接判斷其對 $x$ 的變化包含 $\cosh x$ 與 $\sinh x$，並非週期函數。

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選項分析

(A) $\sin(iz)=i\sinh(z)$

由雙曲正弦定義，

$$\sinh z=\frac{e^z-e^{-z}}{2}.$$

因此

$$i\sinh z =\frac{i(e^z-e^{-z})}{2} =\frac{e^{-z}-e^z}{2i} =\sin(iz).$$

故此選項正確。

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(B) $\sin(iz)$ is periodic in $x$

由

$$\sin(iz)=-\sin y\cosh x+i\cos y\sinh x,$$

可見當 $x$ 改變時，函數含有 $\cosh x$ 與 $\sinh x$。