112 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（B）》考古題與詳解

Question 1

1. If a linear transformation from a vector space $V$ to another vector space $W$ is one-to-one, which of the following statements is/are true? (A) It is onto; (B) $\dim(V) = \dim(W)$; (C) The null space of this transformation contains only the zero vector; (D) It is invertible; (E) All of the above.

Accepted Answer

若線性變換 $T:V	o W$ 為單射，則 $\ker T=\{0\}$（因若有非零向量 $v$ 使 $T(v)=0$，即失去單射性）。 依據 rank–nullity 定理：$\dim V=\operatorname{rank}T+\dim\ker T$。由 $\dim\ker T=0$ 得 $\operatorname{rank}T=\dim V$。

Question 2

2. Consider a subset $S = \{ (1, 2, 1), (2, -1, 1) \}$ of $\mathbb{R}^3$, which of the following statements is/are true? (A) The set $S$ spans a subspace in $\mathbb{R}^3$; (B) Such a subspace is the $z = 1$ plane in $\mathbb{R}^3$; (C) The set $S$ is a linearly independent set; (D) The two vectors in $S$ are orthogonal in the subspace; (E) If we add another vector $(0, 0, 1)$ into $S$, this set can span $\mathbb{R}^3$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查向量組的： - 張成空間（span） - 線性獨立 - 內積與正交 - 三維向量是否能張成 $\mathbb{R}^3$ 對向量 $v1,v2$，其張成空間為 $$ \operatorname{span}\{v1,v2\} =\{a v1+b v2\mid a,b\in\mathbb{R}\}. $$ 若兩向量互不為零且非彼此倍數，則兩者線性獨立。三個三維向量能張成 $\mathbb{R}^3$ 的條件，是其所組成的矩陣行列式不為零。 --- 解題方法 令 $$ v1=(1,2,1),\qquad v2=(2,-1,1). $$ 任意線性組合為 $$ a v1+b v2 =a(1,2,1)+b(2,-1,1), $$ 因此 $$ a v1+b v2 =(a+2b,\;2a-b,\;a+b). $$ 這組向量的張成空間是由 $v1,v2$ 所形成的二維子空間。接著分別檢查其平面方程、線性獨立性、正交性，以及加入第三個向量後的秩。 --- 選項分析 (A) 正確 任何向量集合都可以張成一個子空間，因此 $$ \operatorname{span}(S) =\{a(1,2,1)+b(2,-1,1)\mid a,b\in\mathbb{R}\} $$ 必為 $\mathbb{R}^3$ 的子空間。 由於兩向量線性獨立，此子空間的維度為 $2$。 --- (B) 錯誤 雖然 $v1$ 與 $v2$ 都位於 $z=1$ 平面，但它們的線性組合不一定滿足 $z=1$： $$ a v1+b v2=(a+2b,2a-b,a+b), $$ 其 $z$ 座標為 $a+b$，可取任意實數，並非固定為 $1$。 此外，$z=1$ 平面不包含原點 $(0,0,0)$，因此本身不是子空間。實際上，$\operatorname{span}(S)$ 是通過原點的平面。 可利用叉積求其法向量： $$ v1	imes v2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\ 1&2&1\ 2&-1&1 \end{vmatrix} =(3,1,-5). $$

Question 3

3. Which of the following processes is/are linear? (A) Fourier transform of real-valued functions on $\mathbb{R}$; (B) Laplace transform of real-valued functions on $\mathbb{R}$; (C) Determinant calculation of real $n 	imes n$ matrices; (D) Inner product of an arbitrary vector $x$ and a fixed vector $z$ in $\mathbb{R}^n$; (E) Norm calculation of vectors in $\mathbb{R}^n$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「線性運算」的定義。若映射 $T$ 滿足對任意輸入 $x,y$ 及任意實數 $a,b$： $$ T(ax+by)=aT(x)+bT(y), $$ 則稱 $T$ 為線性映射。等價地，必須同時滿足： 1. 加法性：$T(x+y)=T(x)+T(y)$； 2. 齊次性：$T(cx)=cT(x)$。 逐一判斷各運算對輸入是否滿足上述性質即可。 --- 解題方法 將每個選項視為一個「以輸入為變數」的運算，直接利用定義檢查其線性組合性質。積分型變換通常具有線性；行列式與範數則常因乘法結構或絕對值結構而不具線性。 --- 選項分析 (A) Fourier transform of real-valued functions on $\mathbb{R}$ 傅立葉變換定義為 $$ \mathcal{F}\{f\}(\omega) = \int{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt. $$ 對任意實數 $a,b$ 及函數 $f,g$， $$ \begin{aligned} \mathcal{F}\{af+bg\}(\omega) &= \int{-\infty}^{\infty} \bigl(af(t)+bg(t)\bigr)e^{-i\omega t}\,dt \ &= a\int{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt + b\int{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-i\omega t}\,dt \ &= a\mathcal{F}\{f\}(\omega) + b\mathcal{F}\{g\}(\omega). \end{aligned} $$ 因此傅立葉變換具有線性。即使輸入函數是實值函數，輸出通常為複值函數，仍不影響其對實數線性組合的性質。 所以 (A) 正確。 --- (B) Laplace transform of real-valued functions on $\mathbb{R}$ 若採用雙邊拉普拉斯變換， $$ \mathcal{L}\{f\}(s) = \int{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt, $$ 則對任意實數 $a,b$ 及函數 $f,g$， $$ \begin{aligned} \mathcal{L}\{af+bg\}(s) &= \int{-\infty}^{\infty} \bigl(af(t)+bg(t)\bigr)e^{-st}\,dt \ &= a\mathcal{L}\{f\}(s)+b\mathcal{L}\{g\}(s). \end{aligned} $$ 若採用常見的單邊拉普拉斯變換， $$ \mathcal{L}\{f\}(s) = \int{0}^{\infty}…

Question 4

4. What is the rank of the matrix: $$ \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 & 0 \ 0 & -1 & 2 & -1 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} ? $$ (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3; (E) 4.

Accepted Answer

先將矩陣做高斯消去：

Question 5

5. Find the determinant of the symmetric Pascal matrix: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 6 & 10 \ 1 & 4 & 10 & 20 \end{pmatrix} ? $$ (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3; (E) 4.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的行列式與基本列運算： - 交換兩列會使行列式變號。 - 某一列加上另一列的倍數，行列式值不變。 - 三角矩陣的行列式等於主對角線元素之積。 題目中的矩陣是對稱 Pascal 矩陣，適合利用列運算化為上三角矩陣。 解題方法 令 $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 6 & 10 \ 1 & 4 & 10 & 20 \end{pmatrix}. $$ 先以第一列消去其他各列的第一個元素： $$ R2\leftarrow R2-R1,\qquad R3\leftarrow R3-R1,\qquad R4\leftarrow R4-R1. $$ 得到 $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 2 & 5 & 9 \ 0 & 3 & 9 & 19 \end{pmatrix}. $$ 接著使用第二列消去第三、第四列的第二個元素： $$ R3\leftarrow R3-2R2,\qquad R4\leftarrow R4-3R2. $$ 得到 $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 3 & 10 \end{pmatrix}. $$ 最後以第三列消去第四列的第三個元素：

Question 6

6. Find the parabola $y = a + b x + c x^2$ that comes closest (least squares error) to the data points: $(x, y) = (-2, 0), (−1, 0), (0, 1), (1, 2), 	ext{and } (2, 0)$. (A) $a = 40/35, b = 0, c = 1/7$; (B) $a = 41/35, b = 1/5, c = -2/7$; (C) $a = 40/35, b = -1/5, c = 2/7$; (D) $a = 41/35, b = 0, c = -2/7$; (E) $a = 40/35, b = 1/5, c = 1/7$.

Accepted Answer

核心觀念 題目要求找出拋物線 $$ y=a+bx+cx^2 $$ 使其與五個資料點的「平方誤差和」最小。這是二次多項式的最小平方法。 令預測值為 $$ \hat yi=a+bxi+cxi^2, $$ 則平方誤差和為 $$ E(a,b,c)=\sum{i=1}^{5}\left(yi-a-bxi-cxi^2ight)^2. $$ 最小平方法的必要條件是對 $a,b,c$ 分別微分並令其為 $0$，所得即為正規方程組： $$ \begin{cases} na+b\sum x+c\sum x^2=\sum y,\ a\sum x+b\sum x^2+c\sum x^3=\sum xy,\ a\sum x^2+b\sum x^3+c\sum x^4=\sum x^2y. \end{cases} $$ --- 解題方法 資料點為 $$ (-2,0),\quad(-1,0),\quad(0,1),\quad(1,2),\quad(2,0). $$ 先計算所需的總和： $$ \sum x=(-2)+(-1)+0+1+2=0, $$ $$ \sum x^2=4+1+0+1+4=10, $$ $$ \sum x^3=-8-1+0+1+8=0, $$ $$ \sum x^4=16+1+0+1+16=34. $$ 再計算與 $y$ 有關的總和： $$ \sum y=0+0+1+2+0=3, $$ $$ \sum xy=(-2)(0)+(-1)(0)+0(1)+1(2)+2(0)=2, $$ $$ \sum x^2y=4(0)+1(0)+0(1)+1(2)+4(0)=2. $$ 代入正規方程組： $$ \begin{cases} 5a+0b+10c=3,\ 0a+10b+0c=2,\ 10a+0b+34c=2. \end{cases} $$ 因此 $$ 10b=2 \quad\Longrightarrow\quad b=\frac15. $$ 剩下 $a,c$ 滿足 $$ \begin{cases} 5a+10c=3,\ 10a+34c=2. \end{cases} $$ 第一式除以 $5$： $$ a+2c=\frac35. $$ 第二式除以 $2$： $$ 5a+17c=1. $$ 由 $a=\frac35-2c$ 代入第二式：

Question 7

7. Which of the following sets consists of the eigenvalues of $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \ 3 & -2 \end{pmatrix}$? (A) $\{3, -4\}$; (B) $\{3, 4\}$; (C) $\{5, -7\}$; (D) $\{4, -3\}$; (E) $\{2, -4\}$.

Accepted Answer

核心觀念

矩陣 $A$ 的特徵值 $\lambda$ 定義為使下式成立的數：

\det(A-\lambda I)=0,

其中 $I$ 為單位矩陣。

本題矩陣為

A= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 3 & -2 \end{pmatrix}.

因此可透過特徵方程式求出兩個特徵值。

解題方法

計算

A-\lambda I= \begin{pmatrix} 3-\lambda & 2\\ 3 & -2-\lambda \end{pmatrix}.

令其行列式為零：

\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &=(3-\lambda)(-2-\lambda)-2\cdot 3\\ &=(\lambda^2-\lambda-6)-6\\ &=\lambda^2-\lambda-12\\ &=(\lambda-4)(\lambda+3). \end{aligned}

所以特徵方程式為

(\lambda-4)(\lambda+3)=0,

得到特徵值

\lambda=4,\qquad \lambda=-3.

故特徵值集合為

Question 8

8. Consider two matrices $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \ 3 & 3 \end{bmatrix}$. Which of the following statements about the inner product (A, B), and their orthogonality is/are true? (A) $(A,B) = 0$, orthogonal; (B) $(A, B) = 6$, not orthogonal; (C) $(A, B) = 1$, not orthogonal; (D) $(A, B) = 3$, not orthogonal; (E) $(A,B) = 0$, not orthogonal.

Accepted Answer

先計算兩矩陣的 Frobenius 內積（即 $(A,B)=\operatorname{tr}(A^{T}B)=\sum{i,j}a{ij}b{ij}$）。

Question 9

9. Which of the following matrices is the coordinate transformation matrix from a basis of $\mathbb{R}^2$ consisting of $v1 = \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix}, v2 = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$ to another basis of $\mathbb{R}^2$ consisting of $u1 = \begin{bmatrix} 3 \ 5 \end{bmatrix}, u2 = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$? (A) $\begin{bmatrix} 3 & 4 \ -4 & -5 \end{bmatrix}$; (B) $\begin{bmatrix} 3 & 5 \ -4 & -5 \end{bmatrix}$; (C) $\begin{bmatrix} 7 & 8 \ 3 & 5 \end{bmatrix}$; (D) $\begin{bmatrix} 5 & -2 \ -4 & 1 \end{bmatrix}$; (E) $\begin{bmatrix} 3 & -2 \ -1 & 1 \end{bmatrix}$.

Accepted Answer

由基底 $v=\{v{1},v{2}\}$ 到基底 $u=\{u{1},u{2}\}$ 的座標變換矩陣 $T$ 定義為 $$ [x]{u}=T\,[x]{v},\qquad x=P\,[x]{v}=Q\,[x]{u}, $$ 其中 $$ P=\begin{bmatrix}2&3\3&4\end{bmatrix},\qquad Q=\begin{bmatrix}3&1\5&1\end{bmatrix}. $$ 由 $Q\,[x]{u}=P\,[x]{v}$ 可得 $$T=Q^{-1}P.$$ 先求 $Q^{-1}$： $$ \det Q =3\cdot1-1\cdot5=-2,\qquad Q^{-1}= \frac{1}{-2}\begin{bmatrix}1&-1\-5&3\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-\tfrac12&\tfrac12\[2pt]\tfrac52&-\tfrac32\end{bmatrix}. $$

Question 10

10. Which of the following statements is/are true? (A) Every nonzero finite-dimensional inner product space has an orthonormal basis. (B) Let $A$ be an $m 	imes n$ matrix with rank $n$ and $m \geq n$. If $A^$ is the adjoint matrix of $A$, then $A^A$ is invertible. (C) A periodic function is in an inner product space with infinite linearly independent vectors. (D) A square matrix that is diagonalizable must be full ranked. (E) Any normal operator in a finite-dimensional inner product space is diagonalizable.

Accepted Answer

核心觀念

本題為線性代數（Linear Algebra）多選觀念題，涵蓋內積空間、矩陣的秩、函數空間維度、矩陣對角化以及正規算子（Normal Operator）的譜定理（Spectral Theorem）。涉及之核心定義與定理如下：

單範正交基底（Orthonormal Basis, ONB）與葛蘭－史密特正交化（Gram-Schmidt Process）：
任何維度 $n \ge 1$ 之有限維內積空間必存在一組基底，透過葛蘭－史密特正交化與單範化程序，必定可建構出單範正交基底。
Gram 矩陣之秩與可逆性：
對任意複數（或實數）矩陣 $A_{m \times n}$ ，恆有 $\ker(A^*A) = \ker(A)$ 且 $\operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(A)$ 。當 $A$ 具行滿秩（ $\operatorname{rank}(A) = n$ ）時， $A^*A$ 為 $n \times n$ 滿秩方陣，故必可逆。
無窮維函數空間：
週期為 $T$ 的連續週期函數空間配上標準內積，包含無窮多個正交（從而線性獨立）的三角函數或複數指數函數系 $\{e^{ik\omega_0 t}\}_{k \in \mathbb{Z}}$ 。
可對角化（Diagonalizability）與秩（Rank）之獨立性：
方陣可對角化代表幾何重數總和等於矩陣維度（具有一組特徵向量基底），與特徵值是否為零（即是否滿秩／可逆）無必然關聯。
正規算子之譜定理（Spectral Theorem for Normal Operators）：
正規算子（滿足 $T^*T = TT^*$ ）保證可對角化的充要前提為純量場為複數域 $\mathbb{C}$ 。在實數內積空間（ $\mathbb{R}$ ）中，正規算子不一定可對角化（例如非平庸的二維旋轉算子）。

解題方法

逐一檢驗各選項之數學敘述，利用嚴謹的定理證明或建構具體反例進行真偽判定。

選項分析

(A) 正確

推導與說明：
設 $V$ 為一個純量場為 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 之非零有限維內積空間，且 $\dim(V) = n \ge 1$ 。
由維度定理，空間 $V$ 必存在一組有序基底 $\beta = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ 。
對基底 $\beta$ 套用葛蘭－史密特正交化程序（Gram-Schmidt Orthogonalization Process），可得到一組正交向量系 $\{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ ： $u_1 = v_1$ $u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\|u_j\|^2} u_j, \quad k = 2, 3, \dots, n$ 再將每個向量單位化 $e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}$ ，所得之集合 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ 即為 $V$ 之一組單範正交基底（Orthonormal Basis）。因此敘述正確。

(B) 正確

推導與說明：
已知 $A$ 為 $m \times n$ 矩陣，且 $\operatorname{rank}(A) = n$ （行滿秩，Full column rank）。
考慮齊次方程式 $A^*Ax = 0$ ，其中 $x \in \mathbb{C}^n$ ： $x^* (A^*Ax) = 0 \implies (Ax)^*(Ax) = 0 \implies \|Ax\|^2 = 0 \implies Ax = 0$ 此推導說明 $\ker(A^*A) \subseteq \ker(A)$ ；又顯然 $\ker(A) \subseteq \ker(A^*A)$ ，故恆有： $\ker(A^*A) = \ker(A)$ 根據維度定理（Rank-Nullity Theorem）： $\operatorname{rank}(A^*A) = n - \operatorname{nullity}(A^*A) = n - \operatorname{nullity}(A) = \operatorname{rank}(A) = n$

Question 11

11. Consider a sample space $S = \{a, b, c, d, e\}$. Which of the following statements is/are true? (A) The collection $\mathcal{F} = \{\emptyset, \{a,b\}, \{c, d, e\}, S\}$ of subsets of $S$ is a $\sigma$-algebra in $S$; (B) The collection $\mathcal{F} = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{e\}, S\}$ of subsets of $S$ is a $\sigma$-algebra in $S$; (C) The collection $\mathcal{F} = \{\emptyset, \{d\}, \{a, c\}, \{b, e\}, \{a, c, d\}, \{b, d, e\}, \{a, b, c, e\}, S\}$ of subsets of $S$ is a $\sigma$-algebra in $S$; (D) The assignment $P(\{a,b\}) = 1/2, P(\{c,d\}) = 1/4, P(\{e\}) = 1/4$ uniquely determines a probability function on the $\sigma$-algebra $\mathcal{F} = 2^S$, where $2^S$ is the power set of $S$; (E) The assignment $P(\{a\}) = 1/2, P(\{b\}) = 1/4, P(\{c\}) = 1/8, P(\{d\})…

Accepted Answer

核心觀念 $\sigma$-代數 $\mathcal F$ 必須滿足： 1. $\emptyset\in\mathcal F$； 2. 若 $A\in\mathcal F$，則補集 $A^c=S\setminus A\in\mathcal F$； 3. 對可數個集合做聯集後，結果仍屬於 $\mathcal F$。 在有限樣本空間中，還可利用以下判斷： - $\sigma$-代數由若干個互不相交的「基本事件」及其聯集組成。 - 若基本事件共有 $k$ 個，則該 $\sigma$-代數共有 $2^k$ 個集合。 - 在 $\mathcal F=2^S$ 時，五個單點事件的機率必須滿足 $$P(S)=P(\{a\})+\cdots+P(\{e\})=1.$$ 解題方法 逐一檢查各集合族是否對補集與聯集封閉；涉及機率唯一性的選項，則檢查給定事件是否能唯一決定各單點機率，並確認所有單點機率總和是否為 $1$。 --- 選項 (A) 給定 $$\mathcal F=\{\emptyset,\{a,b\},\{c,d,e\},S\}.$$ 各集合的補集為 $$\emptyset^c=S,\qquad \{a,b\}^c=\{c,d,e\},$$ $$\{c,d,e\}^c=\{a,b\},\qquad S^c=\emptyset.$$ 補集皆在 $\mathcal F$ 中。此外， $$\{a,b\}\cup\{c,d,e\}=S,$$ 而其他聯集也只會得到 $\emptyset$、$\{a,b\}$、$\{c,d,e\}$ 或 $S$。 因此 $\mathcal F$ 對補集及可數聯集封閉，是 $\sigma$-代數。 故 (A) 正確。 --- 選項 (B) 給定 $$\mathcal F=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{d\},\{e\},S\}.$$ 雖然每個單點集合的補集不一定造成問題，例如 $$\{a\}^c=\{b,c,d,e\},$$ 但 $$\{b,c,d,e\}
otin\mathcal F.$$ 此外，$\{a\},\{b\}\in\mathcal F$，但 $$\{a\}\cup\{b\}=\{a,b\}
otin\mathcal F.$$ 因此此集合族不具備補集及聯集封閉性，不是 $\sigma$-代數。 故 (B) 錯誤。 --- 選項 (C) 給定 $$ \mathcal F= \{\emptyset,\{d\},\{a,c\},\{b,e\},\{a,c,d\},\{b,d,e\},\{a,b,c,e\},S\}. $$ 可將 $S$ 分割成三個互不相交的基本事件： $$\{d\},\qquad \{a,c\},\qquad \{b,e\}.$$ 這三個基本事件的所有聯集為： $$\emptyset,$$…

Question 12

12. Consider a random variable $X$ having a cumulative distribution function $F(x)$ and a real-valued function $g(x)$ with $$ F(x) = \begin{cases} 0 & x < -10 \ 1/8 & -10 \le x < -3 \ 1/4 & -3 \le x < 1 \ 3/4 & 1 \le x < 1.5 \ 7/8 & 1.5 \le x < 4 \ 1 & 4 \le x \end{cases} \quad 	ext{and} \quad g(x) = \begin{cases} -6 & x < -2 \ x-4 & -2 \le x \le 2 \ -2 & x 2 \end{cases} $$ Which of the following statements is/are true? (A) $X$ is a discrete random variable with probability mass function $p(-10) = p(-3) = p(1.5) = p(4) = 1/8$, $p(1) = 1/2$, and $p(x) = 0$ for all other $x \in \mathbb{R}$; (B) $P(-2 < X < 3) = 3/4$; (C) $g(X)$ is a continuous random variable; (D) $P(-1.5 \le g(X) < 1.5) = 0$; (E) The variance $	ext{Var}(g(X))$ of $g(X)$ is $535/256$.

Accepted Answer

核心觀念 1. 累積分布函數（CDF）與機率質量函數（PMF）： 若隨機變數 $X$ 的 CDF $F(x) = P(X \le x)$ 為分段常數的階梯函數（step function），則 $X$ 為離散隨機變數。其跳躍點 $xk$ 即為可能取值，跳躍量即為該點的機率質量： $$ p(xk) = P(X = xk) = F(xk) - F(xk^-) $$ 2. 區間機率之計算： 對於任意區間 $(a, b)$，其機率可由 CDF 表示為： $$ P(a < X < b) = F(b^-) - F(a) $$ 亦可直接加總該開區間內所有離散點的機率 $P(X = xk)$。 3. 離散隨機變數的函數變換： 若 $X$ 為離散隨機變數，則變換後的隨機變數 $Y = g(X)$ 亦為離散隨機變數。其分布由 $X$ 的取值映射後合併同值機率求得： $$ P(Y = y) = \sum{\{x : g(x) = y\}} P(X = x) $$ 4. 期望值與變異數： - 期望值：$E[Y] = \sum y \cdot P(Y = y)$ - 二階原點矩：$E[Y^2] = \sum y^2 \cdot P(Y = y)$ - 變異數：$	ext{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2$ --- 解題方法 步驟 1：求 $X$ 的機率質量函數 $p(x)$ 觀察 $F(x)$ 的不連續點（跳躍點）與對應跳躍幅度： - 在 $x = -10$ 處：$p(-10) = F(-10) - F(-10^-) = \frac{1}{8} - 0 = \frac{1}{8}$ - 在 $x = -3$ 處：$p(-3) = F(-3) - F(-3^-) = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$ - 在 $x = 1$ 處：$p(1) = F(1) - F(1^-) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ - 在 $x = 1.5$ 處：$p(1.5) = F(1.5) - F(1.5^-) = \frac{7}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8}$ - 在 $x = 4$ 處：$p(4) = F(4) - F(4^-) = 1 - \frac{7}{8} = \frac{1}{8}$ - 其餘 $x \in \mathbb{R}$ 之值，$p(x) = 0$。 步驟 2：求 $Y = g(X)$ 的可能取值與機率分布 將 $X$ 的可能取值代入 $g(x)$： - 當 $X = -10$ 時（因 $-10 < -2$）：$g(-10) = -6$ - 當 $X = -3$ 時（因 $-3 < -2$）：$g(-3) = -6$ - 當 $…

Question 13

13. Let $E1, E2, E3, E4, E5$ be five independent events. Which of the following statements is/are true? (A) The complements $E1^c, E2^c, E3^c, E4^c, E5^c$ of $E1, E2, E3, E4, E5$ are five independent events; (B) $E1, E2, E3^c, E4, E5$ are four independent events; (C) $E2$ and $F = E1 \cap E3 \cup E5$ are two independent events; (D) $F1 = E1 \cup E4$ and $F2 = E3 \cup E5$ are two independent events; (E) $E1, G1 = E2 \cap E4$, and $G2 = E3 \cup E5$ are three independent events.

Accepted Answer

概念：若事件族 $\{Ei\}$ 相互獨立，則任取子集合 $I$ 都滿足 $$P\Bigl(\bigcap{i\in I}Ei\Bigr)=\prod{i\in I}P(Ei).$$ 由此可推出每個 $Ei$ 所產生的 $\sigma$‑代數皆兩兩獨立，進而任何由它們的并、交、補所構成的事件，仍與不屬於同一 $\sigma$‑代數的事件獨立。 --- (A) $Ei^c$ 的機率為 $1-P(Ei)$，且 $$P\Bigl(\bigcap{i=1}^5Ei^c\Bigr)=\prod{i=1}^5(1-P(Ei)),$$ 符合獨立性定義。成立。 (B) 考慮 $E1\cap E2\cap E3^c\cap E4\cap E5$，左側必為 $\varnothing$，機率 $0$。右側為 $$P(E1)P(E2)P(E3^c)P(E4)P(E5)=P(E1)\cdots P(E5)(1-P(E3)),$$ 除非 $P(E3)=1$ 否則不等於 $0$。不成立。

Question 14

14. Let $X$ be a random variable with the set of possible values $\{-1, 0, 1\}$ and probability mass function $p(-1) = p(0) = p(1) = 1/3$ and $p(x) = 0$ for all other $x \in \mathbb{R}$. Let $Y = X^2$. Which of the following statements is/are true? (A) $E(X) = 0$ where $E(X)$ denotes the expectation of $X$; (B) $E(XY) 
eq 0$; (C) $X$ and $Y$ are uncorrelated; (D) $X$ and $Y$ are independent; (E) The conditional probability $P(X = 0 | Y = 1) = 0$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 離散型隨機變數的期望值 $$E[g(X)] = \sumx g(x)p(x)$$ - 共變異數與不相關： $$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$$ 若 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，則稱 $X,Y$ 不相關。 - 獨立性的判定： $$P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)$$ - 條件機率： $$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ 由 $Y=X^2$ 可得： $$ \begin{array}{c|ccc} X & -1 & 0 & 1\ \hline Y=X^2 & 1 & 0 & 1\ P(X=x) & \frac13 & \frac13 & \frac13 \end{array} $$ 因此 $Y$ 的分布為 $$P(Y=0)=\frac13,\qquad P(Y=1)=\frac23.$$ --- 解題方法 依序計算 $E(X)$、$E(XY)$、$\operatorname{Cov}(X,Y)$，再用聯合機率檢查獨立性，最後計算條件機率。 由於 $Y=X^2$，有 $$XY=X\cdot X^2=X^3.$$ 因此： $$E(X)=(-1)\frac13+0\cdot\frac13+1\cdot\frac13=0.$$ $$E(Y)=1\cdot\frac13+0\cdot\frac13+1\cdot\frac13=\frac23.$$ $$ E(XY)=E(X^3) =(-1)^3\frac13+0^3\frac13+1^3\frac13=0. $$ 接著計算共變異數： $$ \operatorname{Cov}(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y) =0-0\cdot\frac23=0. $$ 所以 $X$ 與 $Y$ 不相關。 --- 選項分析 (A) $E(X)=0$

Question 15

15. Let the joint probability mass function of $X$ and $Y$ be given by $$ p(x,y) = \begin{cases} \frac{x+y}{15}, & 	ext{if } x = 0, 1, 2, y = 1, 2 \ 0, & 	ext{otherwise}. \end{cases} $$ Which of the following statements is/are true? (A) Marginal probability mass function $pX(x) = (2x+3)/15$ if $x = 0,1,2$ and $pX(x) = 0$ for all other $x \in \mathbb{R}$; (B) Marginal probability mass function $pY(y) = (1+y)/5$ if $y = 1,2$ and $pY(y) = 0$ for all other $y \in \mathbb{R}$; (C) $P(X = 0|Y = 2) = 1/9$; (D) $X$ and $Y$ are independent; (E) All the previous statements are not true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 聯合機率質量函數 $p(x,y)$ - 邊際機率質量函數 - 條件機率 - 隨機變數獨立性的判定 相關公式為： $$ pX(x)=\sumy p(x,y),\qquad pY(y)=\sumx p(x,y) $$ $$ P(X=x\mid Y=y)=\frac{p(x,y)}{pY(y)} $$ 若 $X$ 與 $Y$ 獨立，則對所有可能的 $x,y$，必須滿足： $$ p(x,y)=pX(x)pY(y) $$ --- 解題方法 已知 $x=0,1,2$、$y=1,2$ 時， $$ p(x,y)=\frac{x+y}{15} $$ 聯合機率表為： $$ \begin{array}{c|cc|c} & y=1 & y=2 & pX(x)\ \hline x=0 & \frac{1}{15} & \frac{2}{15} & \frac{3}{15}\ x=1 & \frac{2}{15} & \frac{3}{15} & \frac{5}{15}\ x=2 & \frac{3}{15} & \frac{4}{15} & \frac{7}{15}\ \hline pY(y) & \frac{6}{15} & \frac{9}{15} & 1 \end{array} $$ --- 選項分析 (A) 對固定的 $x$，將所有可能的 $y$ 加總： $$ pX(x)=\sum{y=1}^{2}\frac{x+y}{15} $$ $$ =\frac{x+1}{15}+\frac{x+2}{15} =\frac{2x+3}{15} $$ 因此： $$ pX(0)=\frac{3}{15},\quad pX(1)=\frac{5}{15},\quad pX(2)=\frac{7}{15} $$ 其他 $x$ 不在題目指定範圍內，所以 $pX(x)=0$。 故 (A) 正確。 --- (B) 對固定的 $y$，將所有可能的 $x$ 加總： $$ pY(y)=\sum{x=0}^{2}\frac{x+y}{15} $$

Question 16

16. Let $X$ and $Y$ be joint Gaussian random variables with zero means and variances $\sigmaX^2$ and $\sigmaY^2$, respectively, and their covariance $	ext{Cov}(X,Y) = E(XY)$. Which of the following statements is/are true? (A) $|	ext{Cov}(X, Y)| \le \sigmaX \sigmaY$; (B) If $	ext{Cov}(X, Y) = 0$, then $X$ and $Y$ are independent; (C) $aX + bY$ is also a zero-mean Gaussian random variable where $a, b \in \mathbb{R}$; (D) $E[XY]$ is also a zero-mean random variable; (E) $P(|X| t) < \sigmaX^2/t^2$ for any $t 0$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查聯合高斯隨機變數的基本性質： 1. 柯西–施瓦茲不等式 $$ |E[XY]|\leq \sqrt{E[X^2]E[Y^2]}. $$ 2. 聯合高斯變數的獨立性判定 若 $X,Y$ 聯合高斯，則 $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=0 $$ 等價於 $X$ 與 $Y$ 相互獨立。 3. 高斯變數的線性組合 若 $X,Y$ 聯合高斯，則任意線性組合 $aX+bY$ 仍為高斯變數。 4. 切比雪夫不等式 對零均值變數 $X$， $$ P(|X|t)\leq \frac{E[X^2]}{t^2} =\frac{\sigmaX^2}{t^2}. $$ --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合上述定理。由於 $X,Y$ 的平均數皆為零，因此 $$ E[X^2]=\sigmaX^2,\qquad E[Y^2]=\sigmaY^2. $$ 又因為題目給定 $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=E[XY], $$ 可直接利用協方差、聯合高斯與切比雪夫不等式判斷。 --- 選項分析 (A) $|\operatorname{Cov}(X,Y)|\leq \sigmaX\sigmaY$ 由柯西–施瓦茲不等式， $$ |E[XY]| \leq \sqrt{E[X^2]E[Y^2]} =\sqrt{\sigmaX^2\sigmaY^2} =\sigmaX\sigmaY. $$ 因此 $$ |\operatorname{Cov}(X,Y)|\leq \sigmaX\sigmaY. $$ 選項 (A) 正確。 --- (B) 若 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，則 $X$ 與 $Y$ 相互獨立 一般而言，零協方差只代表不相關，未必代表獨立；但本題特別給定 $X,Y$ 為聯合高斯隨機變數。 對聯合高斯變數而言，聯合密度中的交叉項由協方差決定。當 $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=0 $$ 時，聯合分布會分解為邊際分布的乘積： $$ f{X,Y}(x,y)=fX(x)fY(y). $$ 因此 $X$ 與 $Y$ 相互獨立。 選項 (B) 正確。 --- (C) $aX+bY$ 是零均值高斯隨機變數，其中 $a,b\in\mathbb R$

Question 17

17. Let $X$ and $Y$ be continuous random variables with joint probability density function $$ f(x,y) = \begin{cases} e^{-y}, & 	ext{if } y 0, 0 < x < 1 \ 0, & 	ext{elsewhere}. \end{cases} $$ Which of the following statements is/are true? (A) $E(X|Y = 2) = 1/5$; (B) $E(X|Y = 2) = 1/4$; (C) $E(X|Y = 2) = 1/3$; (D) $E(XY = 2) = 1/2$; (E) The conditional variance $\sigma{XY|Y=2}^2$ of $X$ given $Y = 2$ is $1/12$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 聯合機率密度函數求邊際密度函數。 2. 條件機率密度函數 $$ f{X|Y}(x|y)=\frac{f{X,Y}(x,y)}{fY(y)}. $$ 3. 條件期望值與條件變異數。 4. 由聯合密度函數判斷 $X$ 與 $Y$ 是否獨立。 --- 解題方法 已知 $$ f{X,Y}(x,y)= \begin{cases} e^{-y}, & y0,\ 0<x<1,\ 0, & 	ext{其他情況}. \end{cases} $$ 1. 求 $Y$ 的邊際密度函數 對 $x$ 積分： $$ fY(y)=\int{-\infty}^{\infty}f{X,Y}(x,y)\,dx. $$ 當 $y0$ 時， $$ fY(y)=\int0^1 e^{-y}\,dx =e^{-y}\int0^1dx =e^{-y}. $$ 因此 $$ fY(y)= \begin{cases} e^{-y}, & y0,\ 0, & 	ext{其他情況}. \end{cases} $$ 2. 求給定 $Y=2$ 時 $X$ 的條件密度函數 由條件密度函數定義， $$ f{X|Y}(x|2) =\frac{f{X,Y}(x,2)}{fY(2)}. $$ 因為 $$ f{X,Y}(x,2)=e^{-2},\qquad 0<x<1 $$ 且 $$ fY(2)=e^{-2}, $$ 所以 $$ f{X|Y}(x|2) =\frac{e^{-2}}{e^{-2}} =1,\qquad 0<x<1. $$ 這表示 $$ X|Y=2\sim \operatorname{Uniform}(0,1). $$ 事實上，聯合密度函數可以寫成 $$ f{X,Y}(x,y) =\mathbf{1}{(0,1)}(x)\cdot e^{-y}\mathbf{1}{(0,\infty)}(y), $$ 因此 $X$ 與 $Y$ 相互獨立；給定 $Y=2$ 並不會改變 $X$ 的分布。 --- 條件期望值 因為 $X|Y=2$ 服從 $\operatorname{Uniform}(0,1)$， $$ E(X|Y=2) =\int0^1x\cdot 1\,dx =\left.\frac{x^2}{2}ight|0^1 =\frac12. $$ 因此 $$ E(X|Y=2)=\frac12. $$ --- 條件變異數 先求二階動差：

Question 18

18. Let $X1, X2, \dots, Xn$ be independent random variables, and let $M{Xi}(t)$ be the moment generating function of $Xi$ for $i = 1, 2, \dots, n$. Let $X = a1 X1 + a2 X2 + \dots + an Xn$, where $a1, a2, \dots, an$ are in $\mathbb{R}$, and let $MX(t)$ be the moment generating function of $X$. Which of the following statements is/are true? (A) $MX(t) = a1 M{X1}(t) + a2 M{X2}(t) + \dots + an M{Xn}(t)$; (B) $MX(t) = (a1 M{X1}(t)) (a2 M{X2}(t)) \dots (an M{Xn}(t))$; (C) $MX(t) = M{X1}(a1 t) M{X2}(a2 t) \dots M{Xn}(an t)$; (D) $MX(t) = (M{X1}(t))^{a1} (M{X2}(t))^{a2} \dots (M{Xn}(t))^{an}$; (E) $MX(t) = (M{X1}(t))^{a1} \cdot (M{X2}(t))^{a2} \dots (M{Xn}(t))^{an}$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個重要性質： 1. 隨機變數線性縮放的動差生成函數 若 $Y=aX$，則 $$MY(t)=E(e^{tY})=E(e^{taX})=MX(at)。$$ 2. 獨立隨機變數和的動差生成函數 若 $X1,\dots,Xn$ 相互獨立，則 $$M{X1+\cdots+Xn}(t)=\prod{i=1}^n M{Xi}(t)。$$ 因此，對 $$X=a1X1+a2X2+\cdots+anXn,$$ 應將每個 $Xi$ 先乘上係數 $ai$，再利用獨立性相乘。 --- 解題方法與推導 由動差生成函數定義， $$ \begin{aligned} MX(t) &=E(e^{tX})\ &=E\left[e^{t(a1X1+\cdots+anXn)}ight]\ &=E\left[e^{a1tX1}e^{a2tX2}\cdots e^{antXn}ight]. \end{aligned} $$ 因為 $X1,\dots,Xn$ 相互獨立，故 $e^{a1tX1},\dots,e^{antXn}$ 也相互獨立，因此期望值可以分解： $$ \begin{aligned} MX(t) &=\prod{i=1}^n E(e^{aitXi})\ &=\prod{i=1}^n M{Xi}(ait)\ &=M{X1}(a1t)M{X2}(a2t)\cdots M{Xn}(ant). \end{aligned} $$ 所以正確公式為選項（C）。 --- 選項分析 （A）錯誤 選項寫成 $$ MX(t)=a1M{X1}(t)+\cdots+anM{Xn}(t)。 $$ 動差生成函數不是對各個 MGF 作係數加權。線性組合的係數必須進入函數的自變數： $$ M{aiXi}(t)=M{Xi}(ait)， $$ 而不是 $aiM{Xi}(t)$。 --- （B）錯誤 選項寫成 $$ MX(t)=\prod{i=1}^n\left(aiM{Xi}(t)ight)。 $$

Question 19

19. Let $X$ be a Gaussian random variable with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$, i.e., $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, where $\mu \in \mathbb{R}$ and $\sigma^2 0$. It is known that the moment generating function $MX(t)$ of $X$ is given by $MX(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}$ for $t \in \mathbb{R}$. Let $Y = e^X$. Which of the following statements is/are true? (A) $E[Y] = e^{\mu + \sigma^2}$; (B) $E[Y^2] = e^{2\mu + 2\sigma^2}$; (C) $	ext{Var}(Y) = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} - 1)$; (D) $E[Y^3] = e^{3\mu + 3\sigma^2}$; (E) $E[Y^4] = e^{4\mu + 4\sigma^2}$.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查常態分布的動差生成函數（moment generating function, MGF）：

M_X(t)=E[e^{tX}] =e^{\mu t+\frac12\sigma^2t^2}.

由於 $Y=e^X$ ，對任意正整數 $k$ ：

Y^k=e^{kX}.

因此：

E[Y^k]=E[e^{kX}]=M_X(k) =e^{k\mu+\frac12\sigma^2k^2}.

這是本題判斷各階動差的核心公式。

解題方法

先求 $Y$ 的前幾階動差。

一階動差

令 $k=1$ ：

E[Y]=M_X(1) =e^{\mu+\frac12\sigma^2}.

二階動差

令 $k=2$ ：

E[Y^2]=M_X(2) =e^{2\mu+\frac12\sigma^2(2)^2} =e^{2\mu+2\sigma^2}.

變異數

利用

\operatorname{Var}(Y)=E[Y^2]-\bigl(E[Y]\bigr)^2.

代入前述結果：

\begin{aligned} \operatorname{Var}(Y) &=e^{2\mu+2\sigma^2} -\left(e^{\mu+\frac12\sigma^2}\right)^2\\ &=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}\\ &=e^{2\mu+\sigma^2} \left(e^{\sigma^2}-1\right). \end{aligned}

三階動差

令 $k=3$ ：

Question 20

20. Let $X$ be a discrete random variable and let the probability mass function $p(x)$ of $X$ be given by $p(1) = 0.4, p(2) = 0.3, p(3) = 0.2, p(4) = 0.1$, and $p(x) = 0$ for all other $x \in \mathbb{R}$. The Markov inequality says that $P(X \ge t) \le \frac{E[X]}{t}$ for $t 0$, and the Chebyshev inequality says that $P(|X - E[X]| \ge t) \le \frac{	ext{Var}(X)}{t^2}$ for $t 0$. Which of the following statements is/are true? (A) By using the Markov inequality, we obtain $P(X \ge 4) \le 0.25$; (B) By using the Chebyshev inequality, we obtain $P(X \ge 4) \le 0.25$; (C) The Markov inequality gives a better upper bound for $P(X 4)$ than the Chebyshev inequality; (D) The Chebyshev inequality gives a better upper bound for $P(X 4)$ than the Markov inequality; (E) The Markov inequality and the Ch…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查期望值、變異數，以及 Markov 不等式與 Chebyshev 不等式的應用。 兩個重要公式為： $$ P(X\ge t)\le \frac{E[X]}{t},\qquad t0 $$ 以及 $$ P\left(|X-E[X]|\ge t\right)\le \frac{\operatorname{Var}(X)}{t^2}. $$ 先計算期望值： $$ E[X] =1(0.4)+2(0.3)+3(0.2)+4(0.1) =2. $$ 再計算二階動差： $$ E[X^2] =1^2(0.4)+2^2(0.3)+3^2(0.2)+4^2(0.1) =5. $$ 因此 $$ \operatorname{Var}(X) =E[X^2]-[E[X]]^2 =5-2^2=1. $$ --- 解題方法 判斷 $P(X\ge 4)$ 由 Markov 不等式，取 $t=4$： $$ P(X\ge 4)\le \frac{E[X]}{4} =\frac{2}{4} =0.5. $$ 由於 $E[X]=2$，事件 $X\ge 4$ 必然包含於 $|X-2|\ge 2$，因此由 Chebyshev 不等式： $$ P(X\ge 4) \le P(|X-2|\ge 2) \le \frac{\operatorname{Var}(X)}{2^2} =\frac{1}{4} =0.25. $$ 判斷 $P(X4)$ 同樣地， $$ P(X4)\le P(X\ge 4). $$ 使用 Markov 不等式可得： $$ P(X4)\le \frac{E[X]}{4}=0.5. $$ 使用 Chebyshev 不等式可得：

112 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（B）》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

核心觀念

解題方法

第 6 題

核心觀念

解題方法

第 7 題

核心觀念

解題方法

第 8 題

第 9 題

第 10 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 正確

(B) 正確

第 11 題

第 12 題

核心觀念

解題方法

步驟 1：求 XXX 的機率質量函數 p(x)p(x)p(x)

步驟 2：求 Y=g(X)Y = g(X)Y=g(X) 的可能取值與機率分布

步驟 3：計算 E[g(X)]E[g(X)]E[g(X)]、 E[(g(X))2]E[(g(X))^2]E[(g(X))2] 與 Var(g(X))\text{Var}(g(X))Var(g(X))

第 13 題

(A)

(B)

第 14 題

第 15 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A)

(B)

第 16 題

第 17 題

核心觀念

解題方法

1. 求 YYY 的邊際密度函數

2. 求給定 Y=2Y=2Y=2 時 XXX 的條件密度函數

條件期望值

條件變異數

第 18 題

核心觀念

解題方法與推導

選項分析

（A）錯誤

（B）錯誤

第 19 題

核心觀念

解題方法

一階動差

二階動差

變異數

三階動差

第 20 題

判斷 P(X≥4)P(X\ge 4)P(X≥4)

判斷 P(X>4)P(X>4)P(X>4)

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112 年臺灣聯合大學系統的其他科目

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112 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（B）》

步驟 1：求 $X$ 的機率質量函數 $p(x)$

步驟 2：求 $Y = g(X)$ 的可能取值與機率分布

步驟 3：計算 $E[g(X)]$ 、 $E[(g(X))^2]$ 與 $\text{Var}(g(X))$

1. 求 $Y$ 的邊際密度函數

2. 求給定 $Y=2$ 時 $X$ 的條件密度函數

判斷 $P(X\ge 4)$

判斷 $P(X>4)$