112 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《訊號與系統》

核心觀念

本題為台聯大碩士班入學考試經典的離散時間系統綜合題，評量考生對離散時間 LTI 系統基礎定義與特性的掌握度：

1. LTI 系統的判定：
   • 線性（Linearity）：滿足疊加原理（Superposition），即同時具備可加性（Additivity）與純量齊次性（Homogeneity）：$\mathcal{T}\{a x_1[n] + b x_2[n]\} = a\mathcal{T}\{x_1[n]\} + b\mathcal{T}\{x_2[n]\}$。
   • 非時變性（Time-Invariance）：若輸入延遲 $n_0$，輸出亦同等延遲 $n_0$，即 $\mathcal{T}\{x[n-n_0]\} = y[n-n_0]$。
2. 脈衝響應（Impulse Response $h[n]$）：系統對單位脈衝 $\delta[n]$ 的零狀態響應（Zero-state response），決定了 LTI 系統的一切行為。
3. 系統實體可實現性（Practical Realizability）：累加器（Accumulator）可藉由將無窮級數轉換為一階遞迴差分方程式（Recursive Difference Equation）以有限硬體資源實作。
4. 系統特性判定：
   • 可逆性（Invertibility）：是否存在逆系統 $h_i[n]$ 滿足 $h[n] * h_i[n] = \delta[n]$。
   • 無記憶性（Memoryless）：輸出 $y[n]$ 僅取決於同時間之輸入 $x[n]$；對 LTI 系統而言，$h[n] = c\delta[n]$。
   • 因果性（Causality）：輸出不取決於未來之輸入；對 LTI 系統而言，$h[n] = 0, \; \forall n < 0$。
5. 特徵函數（Eigenfunction）與系統轉移響應：
   • 當輸入為複幾何序列 $x[n] = z_0^n$ 時，LTI 系統輸出為 $y[n] = H(z_0) z_0^n$，其中 $H(z)$ 為系統轉移函數（System Function）。

---

解題方法與詳細推導

(一) 證明該系統為 LTI 系統 (Show that this is an LTI system)

給定輸入與輸出關係：

$$y[n] = \mathcal{T}\{x[n]\} = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k]$$

1. 線性度（Linearity）檢驗：

設任意兩組輸入訊號 $x_1[n]$ 與 $x_2[n]$ 對應之輸出分別為：

$$y_1[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x_1[k], \quad y_2[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} x_2[k]$$

對於任意複數常數 $a, b \in \mathbb{C}$，考慮線性組合輸入 $x_3[n] = a x_1[n] + b x_2[n]$：

$$y_3[n] = \mathcal{T}\{x_3[n]\} = \sum_{k=-\infty}^{n} x_3[k] = \sum_{k=-\infty}^{n} (a x_1[k] + b x_2[k])$$

由求和運算的線性可拆性：

$$y_3[n] = a \sum_{k=-\infty}^{n} x_1[k] + b \sum_{k=-\infty}^{n} x_2[k] = a y_1[n] + b y_2[n]$$

滿足疊加原理，因此該系統為線性系統（Linear System）。

2. 非時變性（Time-Invariance）檢驗：

將輸入信號延遲 $n_0$ 點，令 $x_1[n] = x[n - n_0]$。則系統對 $x_1[n]$ 的響應為：

$$y_1[n] = \mathcal{T}\{x_1[n]\} = \sum_{k=-\infty}^{n} x_1[k] = \sum_{k=-\infty}^{n} x[k - n_0]$$

進行變數代換，令 $m = k - n_0$（即 $k = m + n_0$）。當 $k \to -\infty$ 時 $m \to -\infty$；當 $k = n$ 時 $m = n - n_0$：

$$y_1[n] = \sum_{m=-\infty}^{n - n_0} x[m] = y[n - n_0]$$

輸出結果恰等於原始輸出信號延遲 $n_0$ 點，滿足非時變條件，因此該系統為非時變系統（Time-Invariant System）。

結論：該系統同時具備線性與非時變性，故為一 LTI 系統。

---

(二) 求脈衝響應 $h[n]$ 並繪圖 (Obtain the impulse response $h[n]$ and plot it)

令輸入訊號為單位脈衝函數 $x[n] = \delta[n]$，輸出即為系統的脈衝響應 $h[n]$：

$$h[n] = \mathcal{T}\{\delta[n]\} = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]$$

• 當 $n < 0$ 時，求和區間 $(-\infty, n]$ 不包含 $k = 0$，因 $\delta[k] = 0 \; (\forall k \neq 0)$，故 $h[n] = 0$。
• 當 $n \ge 0$ 時，求和區間 $(-\infty, n]$ 包含 $k = 0$（$\delta[0] = 1$），故 $h[n] = 1$。

因此，脈衝響應為離散時間單位步階函數（Unit Step Function）：

$$h[n] = u[n] = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

脈衝響應 $h[n]$ 圖形：

       h[n]
        ^
        |
    1 --+           o   o   o   o   o  ...
        |           |   |   |   |   |
        |   o   o   |   |   |   |   |
  ------+---+---+---+---+---+---+---+------> n
       -2  -1   0   1   2   3   4

---

(三) 該系統是否可在實務中實現？請說明並繪製方塊圖 (Can it be implemented in practice? Explain and plot block diagram)

1. 說明：

可以實作（Yes）。
若直接依定義式 $y[n] = \sum_{k=-\infty}^n x[k]$ 計算，需要儲存自 $-\infty$ 以來無限多的輸入數據，在硬體上無法實現。但該累加器可改寫為一階遞迴差分方程式（First-Order Recursive Difference Equation）：

$$y[n] = \sum_{k=-\infty}^{n-1} x[k] + x[n] = y[n-1] + x[n]$$

此形式僅需一個狀態記憶暫存器（單位延遲單元 $z^{-1}$）儲存前一刻輸出 $y[n-1]$，以及一個加法器（Adder），即可在數位信號處理器（DSP）、FPGA 或微控制器中以即時（Real-time）有限硬體架構實作。

2. 系統方塊圖（Block Diagram）：

核心觀念

本題考查：

1. 週期訊號的複指數傅立葉級數係數
   $a_k=\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}\,dt,\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$

2. LTI 系統對傅立葉級數係數的作用：
   $b_k=H(jk\omega_0)a_k$

3. 頻率選擇濾波器可保留特定諧波，並藉由調整增益改變輸出振幅。

由圖可知，方波振幅為 $1$，週期為

$T_0=4,\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$

在一個週期內，

$$x(t)= \begin{cases} 1,&-1<t<1\\ 0,&1<t<3 \end{cases}$$

---

（一）求傅立葉係數 $a_k$

$k=0$

$$a_0=\frac{1}{4}\int_{-1}^{1}1\,dt =\frac{1}{4}(2) =\frac{1}{2}$$

因此直流分量為

$\boxed{a_0=\frac{1}{2}}$

$k\neq 0$

$$a_k=\frac{1}{4}\int_{-1}^{1}e^{-jk\frac{\pi}{2}t}\,dt$$

積分得

$$\begin{aligned} a_k &=\frac{1}{4} \left[ \frac{e^{-jk\frac{\pi}{2}t}} {-jk\frac{\pi}{2}} \right]_{-1}^{1}\\ &=\frac{1}{4} \frac{e^{-jk\frac{\pi}{2}}-e^{jk\frac{\pi}{2}}} {-jk\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{\sin\left(\frac{k\pi}{2}\right)}{k\pi} \end{aligned}$$

故

$$\boxed{ a_k= \begin{cases} \dfrac{1}{2},&k=0\\[6pt] \dfrac{\sin\left(\frac{k\pi}{2}\right)}{k\pi},&k\neq0 \end{cases}}$$

其係數特性為：

$$a_{\pm1}=\frac{1}{\pi},\qquad a_{\pm3}=-\frac{1}{3\pi},\qquad a_{\pm5}=\frac{1}{5\pi},\ldots$$

偶數次諧波皆為零：

$a_k=0,\qquad k=\pm2,\pm4,\pm6,\ldots$

---

（二）判斷是否能得到指定輸出

題目指定

$$y(t)=2\cos\left(\frac{2\pi}{T_0}t\right)$$

因為 $T_0=4$，所以

$$y(t)=2\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)$$

寫成複指數形式：

$$y(t) =e^{j\frac{\pi}{2}t}+e^{-j\frac{\pi}{2}t}$$

因此輸出只有基頻 $\omega_0=\pi/2$ 的正、負頻率分量，其輸出傅立葉係數為

$$b_1=b_{-1}=1$$

其餘 $b_k=0$。

LTI 系統滿足

$b_k=H(jk\omega_0)a_k$

對 $k=1$：

核心觀念

本題考查三個觀念：

1. 由差分方程求因果 LTI 系統的系統函數與頻率響應。
2. 全通系統的條件：
   $|H(e^{j\omega})|=1,\qquad \text{對所有 }\omega.$
3. 由 $Y(z)=H(z)X(z)$ 求單位階躍響應，並由頻率響應判斷相位特性。

---

（一）求使系統成為全通系統的 $b$

對差分方程取 $Z$ 轉換，假設系統為初始靜止：

$$Y(z)-az^{-1}Y(z)=bX(z)+z^{-1}X(z)$$

因此系統函數為

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{b+z^{-1}}{1-az^{-1}}.$$

令 $z=e^{j\omega}$，得到頻率響應：

$$H(e^{j\omega}) =\frac{b+e^{-j\omega}}{1-ae^{-j\omega}}.$$

其大小平方為

$$|H(e^{j\omega})|^2 = \frac{|b+e^{-j\omega}|^2} {|1-ae^{-j\omega}|^2}.$$

因為 $a,b$ 為實數，

$$|b+e^{-j\omega}|^2 =b^2+1+2b\cos\omega,$$

而

$$|1-ae^{-j\omega}|^2 =1+a^2-2a\cos\omega.$$

全通條件要求：

$$b^2+1+2b\cos\omega = 1+a^2-2a\cos\omega$$

對所有 $\omega$ 成立。比較 $\cos\omega$ 的係數：

$$2b=-2a.$$

因此

$$\boxed{b=-a}.$$

代回常數項可驗證：

$$b^2+1=a^2+1,$$

確實成立。此時

$$H(z)=\frac{z^{-1}-a}{1-az^{-1}},$$

這正是穩定的一階全通系統。由於 $|a|<1$，其極點 $z=a$ 位於單位圓內，符合因果穩定系統條件。

---

（二）當 $a=-\frac12$ 時的相位與階躍響應

1. 求 $b$ 與系統函數

由上一小題：

$$b=-a=\frac12.$$

因此

$$H(z) = \frac{\frac12+z^{-1}}{1+\frac12z^{-1}}.$$

在單位圓上：

$$H(e^{j\omega}) = \frac{\frac12+e^{-j\omega}} {1+\frac12e^{-j\omega}}.$$

由於系統為全通系統，

$$|H(e^{j\omega})|=1,$$

輸入正弦波的振幅不變，但相位會隨頻率改變。

---

2. $\angle H(e^{j\omega})$ 的大致圖形

分子與分母的相位分別為

$$\angle\left(\frac12+e^{-j\omega}\right)$$

與

$$\angle\left(1+\frac12e^{-j\omega}\right).$$

所以

$$\angle H(e^{j\omega}) = \angle\left(\frac12+e^{-j\omega}\right) - \angle\left(1+\frac12e^{-j\omega}\right).$$

將 $H(e^{j\omega})$ 化為實部與虛部形式，可得其相位可表示為

$$\angle H(e^{j\omega}) = \operatorname{atan2} \left( -\frac34\sin\omega,\, 1+\frac54\cos\omega \right).$$

採用連續展開的相位，主要特徵如下：

$$\angle H(e^{j0})=0,$$ $$\angle H(e^{j\pi/2}) = -\tan^{-1}\left(\frac34\right) \approx -36.9^\circ,$$

當

$$1+\frac54\cos\omega=0$$

時，相位約為 $-\frac{\pi}{2}$，其頻率為

$$\omega=\cos^{-1}\left(-\frac45\right)\approx 2.50.$$

最後，

此題考驗將一個信號分解為其偶部與奇部的能力。

核心觀念：
任何信號 $x(t)$ 都可以唯一地分解為一個偶信號 $x_e(t)$ 和一個奇信號 $x_o(t)$：
$x(t) = x_e(t) + x_o(t)$
其中：
$x_e(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2}$
$x_o(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2}$
偶信號的性質是 $x_e(t) = x_e(-t)$，奇信號的性質是 $x_o(t) = -x_o(-t)$。

---

(一) (2%) $x(t) = 1 + t + 2t^2 + 7t^3 + 5t^4$

我們需要分別計算 $x(t)$ 的偶部 $x_e(t)$ 和奇部 $x_o(t)$。

1. 計算 $x(-t)$：
   將 $t$ 替換為 $-t$：
   $x(-t) = 1 + (-t) + 2(-t)^2 + 7(-t)^3 + 5(-t)^4$
   $x(-t) = 1 - t + 2t^2 - 7t^3 + 5t^4$

2. 計算偶部 $x_e(t)$：
   $x_e(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2}$
   $x_e(t) = \frac{(1 + t + 2t^2 + 7t^3 + 5t^4) + (1 - t + 2t^2 - 7t^3 + 5t^4)}{2}$
   $x_e(t) = \frac{(1+1) + (t-t) + (2t^2+2t^2) + (7t^3-7t^3) + (5t^4+5t^4)}{2}$
   $x_e(t) = \frac{2 + 0 + 4t^2 + 0 + 10t^4}{2}$
   $x_e(t) = 1 + 2t^2 + 5t^4$
   我們可以驗證 $x_e(t)$ 是一個偶函數，因為所有項的指數都是偶數。

3. 計算奇部 $x_o(t)$：
   $x_o(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2}$
   $x_o(t) = \frac{(1 + t + 2t^2 + 7t^3 + 5t^4) - (1 - t + 2t^2 - 7t^3 + 5t^4)}{2}$
   $x_o(t) = \frac{(1-1) + (t-(-t)) + (2t^2-2t^2) + (7t^3-(-7t^3)) + (5t^4-5t^4)}{2}$
   $x_o(t) = \frac{0 + 2t + 0 + 14t^3 + 0}{2}$
   $x_o(t) = t + 7t^3$
   我們可以驗證 $x_o(t)$ 是一個奇函數，因為所有項的指數都是奇數。

結論：
偶部為 $x_e(t) = 1 + 2t^2 + 5t^4$。
奇部為 $x_o(t) = t + 7t^3$。

【答案】偶部：$1 + 2t^2 + 5t^4$；奇部：$t + 7t^3$。

---

(二) (3%) $x(t) = 1 + t \cos(t) + t^2 \sin(t) + t^3 \sin(t) \cos(t)$

我們需要分別計算 $x(t)$ 的偶部 $x_e(t)$ 和奇部 $x_o(t)$。
首先，我們需要知道一些基本函數的奇偶性：

• 常數 $1$ 是偶函數。
• $t$ 是奇函數。
• $t^2$ 是偶函數。
• $t^3$ 是奇函數。
• $\cos(t)$ 是偶函數。
• $\sin(t)$ 是奇函數。

根據函數乘積的奇偶性：

• 偶函數 $\times$ 偶函數 = 偶函數。
• 奇函數 $\times$ 奇函數 = 偶函數。
• 偶函數 $\times$ 奇函數 = 奇函數。

1. 計算 $x(-t)$：
   $x(-t) = 1 + (-t) \cos(-t) + (-t)^2 \sin(-t) + (-t)^3 \sin(-t) \cos(-t)$

此題考察離散時間傅立葉轉換 (DTFT) 的性質。題目要求利用信號 $x[n]$ 的圖形，並在不直接計算 $X(e^{j\omega})$ 的情況下，應用傅立葉轉換的各種性質來求解。

核心觀念：

1. DTFT 的基本定義與性質。
2. 時域信號的奇偶性與頻域響應的關係。
3. 傅立葉轉換的尺度、延遲、微分、積分等性質。
4. 帕斯伐定理 (Parseval's Theorem)。

圖片分析：
圖示為一個離散時間信號 $x[n]$。
該信號為有限長度，且為實數信號。
$x[n]$ 的值為：
$x[-4] = 1$
$x[-2] = 2$
$x[0] = 3$
$x[2] = 2$
$x[4] = 1$
所有其他 $x[n]$ 的值均為 0。
這個信號 $x[n]$ 是一個偶函數，因為 $x[n] = x[-n]$ 對於所有 $n$ 都成立。

性質回顧：

• 若 $x[n]$ 是實數且為偶函數，則其 DTFT $X(e^{j\omega})$ 是實數且為偶函數。
• 若 $x[n]$ 是實數且為奇函數，則其 DTFT $X(e^{j\omega})$ 是純虛數且為奇函數。
• $X(e^{j0}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]$ (總能量或直流分量)。
• 若 $X(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}$，則 $\theta(0)$ 與 $X(e^{j\omega})$ 在 $\omega=0$ 時的特性有關。
• $\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) d\omega = 2\pi x[0]$ (來自傅立葉級數的性質，對於 DTFT 也是類似的)。
• $\int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2$ (帕斯伐定理)。
• $Z\{ \frac{dx[n]}{dn} \} \leftrightarrow (j\omega) X(e^{j\omega})$ (頻域微分)。
  $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{dx(e^{j\omega})}{d\omega} d\omega = [X(e^{j\omega})]_{-\pi}^{\pi}$。

---

(一) (3%) Evaluate $X(e^{j0})$

$X(e^{j0})$ 是信號 $x[n]$ 在 $\omega=0$ 處的傅立葉轉換值，這表示直流分量。
根據定義，$X(e^{j0}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]$.
從圖形中，我們將所有 $x[n]$ 的值加總：
$X(e^{j0}) = x[-4] + x[-2] + x[0] + x[2] + x[4]$
$X(e^{j0}) = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9$.

【答案】$X(e^{j0}) = 9$。

---

(二) (3%) If $X(e^{j\omega}) = |X(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}$, find $\theta(e^{j0})$

信號 $x[n]$ 是實數且為偶函數 ($x[n] = x[-n]$)。
因此，其傅立葉轉換 $X(e^{j\omega})$ 必定是實數且為偶函數。
實數偶函數意味著 $X(e^{j\omega})$ 的相位 $\theta(\omega)$ 必須是 $0$ 或 $\pi$ (或 $2k\pi$)。
由於 $X(e^{j\omega})$ 是實數，其相位 $\theta(\omega)$ 只能是 $0$ 或 $\pi$。
當 $X(e^{j\omega})$ 為正實數時， $\theta(\omega) = 0$。
當 $X(e^{j\omega})$ 為負實數時， $\theta(\omega) = \pi$。
當 $X(e^{j\omega}) = 0$ 時，相位是未定義的。

我們需要計算 $\theta(e^{j0})$，也就是在 $\omega=0$ 時的相位。
$X(e^{j0}) = 9$，這是我們在上一步計算得到的。
因為 $X(e^{j0}) = 9$ 是正實數，所以其相位 $\theta(0)$ 必須是 $0$。

【答案】$\theta(e^{j0}) = 0$。

---

(三) (3%) Evaluate $\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) d\omega$

這個積分與時域信號 $x[n]$ 在 $n=0$ 點的值有關。
根據傅立葉轉換的性質，對於離散時間信號 $x[n]$，其傅立葉轉換 $X(e^{j\omega})$ 滿足：
$\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) d\omega = 2\pi x[0]$
從圖形中，我們知道 $x[0] = 3$。
所以，
$\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega}) d\omega = 2\pi \times 3 = 6\pi$

【答案】$6\pi$。

---

(四) (3%) Evaluate $\int_{-\pi}^{\pi} |X(e^{j\omega})|^2 d\omega$

核心觀念

本題考查：

1. 拉普拉斯反變換與部分分式分解。
2. 基本反變換公式：

$$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\}=e^{-at}u(t)$$ $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^2}\right\}=te^{-at}u(t)$$

3. 頻率響應 $H(j\omega)$ 的大小與分貝表示：

$$|H(j\omega)|_{\mathrm{dB}}=20\log_{10}|H(j\omega)|$$

因系統為因果系統，拉普拉斯反變換包含 $u(t)$。

解題方法

先作部分分式分解：

$$H(s)=\frac{3s+4}{(s+1)(s+2)^2} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2)^2}$$

通分後得：

$$3s+4=A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1)$$

令 $s=-1$：

$$1=A$$

因此：

$$A=1$$

令 $s=-2$：

$$-2=-C$$

因此：

$$C=2$$

比較 $s^2$ 項：

$$A+B=0$$

代入 $A=1$：

$$B=-1$$

所以：

$$H(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}+\frac{2}{(s+2)^2}$$

反拉普拉斯變換為：

$$h(t)=e^{-t}u(t)-e^{-2t}u(t)+2te^{-2t}u(t)$$

因此：

$$A=1,\qquad B=-1,\qquad C=2$$

頻率響應判斷

在 $\omega=1$ 時

$$H(j)=\frac{3j+4}{(j+1)(j+2)^2}$$

其大小為：

$$|H(j)|= \frac{|3j+4|}{|j+1|\,|j+2|^2}$$

各項大小為：

$$|3j+4|=\sqrt{3^2+4^2}=5$$ $$|j+1|=\sqrt{2}$$ $$|j+2|^2=2^2+1^2=5$$

故：

$$|H(j)|=\frac{5}{5\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$

換算為分貝：

核心觀念

本題考查離散時間系統方塊圖、$z$ 轉換、轉移函數、ROC，以及因果性與 BIBO 穩定性的關係。

使用以下定理：

• 因果右邊序列的 ROC 在最外側極點之外。
• 非因果左邊序列的 ROC 在最內側極點之內。
• 系統穩定的條件是 ROC 必須包含單位圓 $|z|=1$。
• 穩定性也等價於脈衝響應滿足
  $\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|<\infty$

解題方法

設第一個加法器輸出為 $y[n]$，第二個加法器輸出為 $v[n]$。依照圖中的回授路徑：

• $y[n]$ 經過 $z^{-1}$ 後輸入第二個加法器。
• $y[n]$ 經過增益 $0.7$ 後輸入第二個加法器。
• $v[n]$ 經過 $z^{-1}$ 與增益 $-0.12$ 後回授至第一個加法器。

因此在 $z$ 域中，

$$V(z)=\left(z^{-1}+0.7\right)Y(z)$$

第一個加法器的輸出為

$$Y(z)=X(z)-0.12z^{-1}V(z)$$

代入 $V(z)$：

$$Y(z)=X(z)-0.12z^{-1}\left(z^{-1}+0.7\right)Y(z)$$ $$Y(z)\left(1+0.084z^{-1}+0.12z^{-2}\right)=X(z)$$

所以轉移函數為

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)} =\frac{1}{1+0.084z^{-1}+0.12z^{-2}}$$

將分母乘上 $z^2$：

$$H(z)=\frac{z^2}{z^2+0.084z+0.12}$$

極點為

$$p_{1,2}=\frac{-0.084\pm\sqrt{0.084^2-4(0.12)}}{2} =-0.042\pm j0.34385$$

極點大小為

$$|p_1|=|p_2|=\sqrt{0.12}\approx 0.3464$$

（一）因果系統的 $H(z)$ 與 ROC

因果系統的 ROC 必須位於極點外側，因此

$$\boxed{ H(z)=\frac{1}{1+0.084z^{-1}+0.12z^{-2}} }$$ $$\boxed{\text{ROC： }|z|>0.3464}$$

（二）因果系統的脈衝響應

由

$$H(z)=\frac{1}{1+0.084z^{-1}+0.12z^{-2}}$$