112 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《控制系統》考古題與詳解

Question 1

Consider a unity feedback control system as given in Figure 1 below, where $G_p$ and $G_c$ denote the system plant and controller, respectively. Let the characteristic equation of the closed-loop system be given by $s^3 + 2s^2 + (a+1)s + 3Ks + 6K = 0$ .

(a) (8%) Let $G_c = K$ . Then find the function $G_p(s)$ and plot the root loci of the closed-loop system with $a=0$ for $K \ge 0$ .

(b) (4%) Solve the steady-state error for input $u(t)$ with $U(s) = \frac{1}{s}$ , respectively, with $a=0$ and $K=1$ .

(c) (8%) Find the value of $a$ and the corresponding value of $K$ so that the closed-loop system will have a triple pole on the real axis for $K \ge 0$ .

(d) (8%) Find the range of $a$ with $a \ge 0$ so that the closed-loop system will have only one breakaway and/or break-in points on the negative real axis for $K \ge 0$ .

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題主要考查： - 單位負回授系統的特徵方程式 $$1+Gc(s)Gp(s)=0$$ - 根軌跡的實軸判斷、漸近線與分離點 - 型別系統與穩態誤差 - 重根條件 - 根軌跡分離點、進入點的判定 由題目給定特徵方程式： $$s^3+2s^2+(a+1)s+3Ks+6K=0$$ 整理為 $$s^3+2s^2+(a+1+3K)s+6K=0.$$ --- (a) 求 $Gp(s)$ 並繪製 $a=0$ 時的根軌跡 求 $Gp(s)$ 題目給定 $Gc(s)=K$，且單位負回授特徵方程式為 $$1+K Gp(s)=0.$$ 因此可令 $$Gp(s)=\frac{3s+6}{s^3+2s^2+(a+1)s}.$$ 所以 $$\boxed{Gp(s)=\frac{3(s+2)}{s\left(s^2+2s+a+1ight)}}.$$ 當 $a=0$ 時， $$Gp(s)=\frac{3(s+2)}{s(s+1)^2}.$$ 開迴路極點與零點為： - 極點：$s=0$、$s=-1$（重根） - 零點：$s=-2$ 閉迴路特徵方程式為 $$s(s+1)^2+3K(s+2)=0.$$ 實軸根軌跡 實軸上一點若其右側的開迴路極點與零點總數為奇數，則該點在根軌跡上。 因此根軌跡位於： $$(-2,-1)\quad	ext{及}\quad(-1,0).$$ 漸近線 開迴路極點數 $n=3$，零點數 $m=1$，所以有 $$n-m=2$$ 條漸近線。 漸近線角度為 $$	heta=\frac{(2q+1)180^\circ}{2},\qquad q=0,1,$$ 故為 $$\boxed{	heta=90^\circ,\ 270^\circ}.$$ 漸近線交點： $$ \sigmaa=\frac{\sum pi-\sum zi}{n-m} =\frac{(0-1-1)-(-2)}{2}=0. $$ 因此兩條漸近線為通過原點的正、負虛軸。 分離點 由特徵方程式解出 $K$： $$K=-\frac{s(s+1)^2}{3(s+2)}.$$ 分離點滿足 $$\frac{dK}{ds}=0.$$ 計算得 $$ \frac{dK}{ds}=0 \Longrightarrow (s+1)(s^2+3s+1)=0. $$ 候選點為 $$ s=-1,\qquad s=\frac{-3\pm\sqrt5}{2}. $$ 其中： - $s=-1$ 為 $K=0$ 時的重複開迴路極點 - $s=\dfrac{-3-\sqrt5}{2}\approx-2.618$ 不在 $K\ge0$ 的根軌跡實軸區段 - $s=\dfrac{-3+\sqrt5}{2}\approx-0.382$ 位於 $(-1,0)$，為實際分離點 其對應增益為 $$ K=-\frac{s(s+1)^2}{3(s+2)}…

Question 2

Consider the closed-loop feedback system as given in Figure 1 above.

(a) (4%) Let $G_p = \frac{68}{s^3 + 2s^2 + 10}$ and $G_c = K$ . Find the range of $K$ for guaranteeing the asymptotic stability of the system.

(b) (6%) Let $G_p = \frac{s(s+2)}{s(s+4)}$ and $G_c = 1$ . Solve for the maximum overshoot of the system output $y(t)$ and the corresponding time for the unit-step input, i.e., $u(s) = \frac{1}{s}$ .

(c) (6%) Let $G_p = \frac{68}{s(s+4)}$ and $G_c = K$ . Find the value of $K$ so that the closed-loop poles will have damping ratio $\zeta = 0.5$ . In addition, what will be the value of the corresponding undamped natural frequency $\omega_n$ ?

(d) (6%) Let $G_p = \frac{s+1}{s(s+4)}$ and $G_c = K$ . Design a controller $G_c$ so that the closed-loop poles will have undamped natural frequency $\omega_n = 10$ . In addition, what will be the value of the corresponding damping ratio $\zeta$ ?

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Accepted Answer

核心觀念

本題考查單位負回授系統的閉迴路特徵方程、三階 Routh–Hurwitz 穩定判據，以及二階系統的阻尼比、自然頻率與步階超越量。

依原卷掃描圖，第 2 題 (a) 的被控體為 $G_p(s)=\dfrac{s(s+2)}{s^3+2s^2+10}$ ；(b) 的被控體為 $G_p(s)=\dfrac{68}{s(s+4)}$ 。以下依圖中內容作答。

(a) 求使系統漸近穩定的 $K$ 範圍

單位負回授的特徵方程為 $1+G_c(s)G_p(s)=0$ 。代入 $G_c=K$ ：

s^3+2s^2+10+Ks(s+2)=0

整理得

s^3+(K+2)s^2+2Ks+10=0

三階多項式 $s^3+a_1s^2+a_2s+a_3$ 漸近穩定的條件為 $a_1>0$ 、 $a_2>0$ 、 $a_3>0$ ，且 $a_1a_2>a_3$ 。因此：

K+2>0,\qquad 2K>0,\qquad 10>0,\qquad 2K(K+2)>10

由 $K>0$ 且 $K^2+2K-5>0$ ，得到

\boxed{K>\sqrt{6}-1}

約為 $K>1.449$ 。等號時系統處於臨界穩定邊界，故不包含等號。

(b) 求單位步階響應的最大超越量與發生時間

閉迴路傳遞函數為

T(s)=\frac{G_p(s)}{1+G_p(s)} =\frac{68}{s^2+4s+68}

與標準二階形式

\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}

比較，可得

\omega_n=\sqrt{68},\qquad \zeta=\frac{4}{2\sqrt{68}}=\frac{1}{\sqrt{17}}

阻尼振盪頻率為

\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=8

欠阻尼二階系統的最大超越比例與峰值時間分別為

M_p=e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}} =e^{-\pi/4}\approx 0.4559

Question 3

Consider the feedback control system in Figure 2. Let $C(s) = K 0$. Suppose that $G(s)$ is stable, and the Nyquist plot of $KG(s)$ for $K = 1$ is shown in Figure 3 (Note: the Nyquist path is in the clockwise direction). To answer the following questions, assume $K = 1$ for questions (a)-(d). (a) (4%) If $r$ is the unit step function, what is $\lim{t 	o \infty} e(t)$? (b) (4%) If $r$ is the impulse function, show that $y(0) 
e 0$. (c) (4%) If $r = \cos(0.53t)$, what is the steady-state output $y(t)$? (d) (6%) Let $S(s)$ be the sensitivity function of the system, i.e. the closed-loop transfer function from $r$ to $e$. Find a reasonable upper bound of $\max{\omega0} |S(j\omega)|$. (e) (8%) Find all ranges of positive $K$ such that the closed-loop system is stable. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題使用單位負回授系統： $$ \frac{Y(s)}{R(s)}=T(s)=\frac{KG(s)}{1+KG(s)},\qquad \frac{E(s)}{R(s)}=S(s)=\frac{1}{1+KG(s)}. $$ 主要考點包括： - 最終值定理與靈敏度函數。 - Nyquist 圖上的頻率響應。 - $G(j\omega)$ 的高頻極限與直接傳遞項。 - 以 Nyquist 判據判斷不同增益 $K$ 下的穩定範圍。 圖中重要數值為： $$ G(0)=0.9528, $$ $$ G(j0.53)\approx -j0.7482, $$ 且負實軸交點約為 $$ -0.4823,\qquad -0.001944,\qquad -0.000842. $$ 其中高頻極限為 $$ G(j\infty)=G(\infty)\approx -0.000842. $$ --- (a) 單位階躍輸入的穩態誤差 當 $r(t)$ 為單位階躍時， $$ R(s)=\frac{1}{s}. $$ 由最終值定理， $$ \lim{t	o\infty}e(t) = \lim{s	o 0}sE(s) = \lim{s	o 0}sS(s)R(s) = S(0). $$ 因為 $K=1$， $$ S(0)=\frac{1}{1+G(0)} =\frac{1}{1+0.9528} =\frac{1}{1.9528}. $$ 因此 $$ \boxed{\lim{t	o\infty}e(t)\approx 0.5121}. $$ --- (b) 脈衝輸入時證明 $y(0)
e 0$ 脈衝輸入為 $$ r(t)=\delta(t),\qquad R(s)=1. $$ 因此 $$ Y(s)=T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}. $$ 由圖中高頻端可讀得 $$ G(\infty)\approx -0.000842. $$ 故閉迴路傳遞函數的高頻極限為 $$ \lim{s	o\infty}T(s) = \frac{-0.000842}{1-0.000842} \approx -0.000843. $$ 此極限不為零，表示閉迴路具有非零的直接傳遞項。因此脈衝輸出包含非零的脈衝成分，故可得 $$ \boxed{y(0)
e 0}. $$ 嚴格而言，這裡的 $y(0)$ 應理解為脈衝響應在 $t=0$ 的直接傳遞成分，而非一般平滑函數的有限初值。 --- (c) $r(t)=\cos(0.53t)$ 時的穩態輸出 穩態正弦響應由 $$ T(j\omega)=\frac{G(j\omega)}{1+G(j\omega)} $$ 決定。 由圖在 $\omega=0.53$ rad/s 處， $$ G(j0.53)\approx -j0.7482. $$ 因此 $$ T…

Question 4

Consider the feedback control system in Figure 2. Let $C(s) = K > 0$ . Suppose that $G(s)$ is stable, and the Nyquist plot of $KG(s)$ for $K = 1$ is shown in Figure 3 (Note: the Nyquist path is in the clockwise direction). To answer the following questions, assume $K = 1$ for questions (a)-(d).

(a) (4%) If $r$ is the unit step function, what is $\lim_{t \to \infty} e(t)$ ?

(b) (4%) If $r$ is the impulse function, show that $y(0) \ne 0$ .

(c) (4%) If $r = \cos(0.53t)$ , what is the steady-state output $y(t)$ ?

(d) (6%) Let $S(s)$ be the sensitivity function of the system, i.e. the closed-loop transfer function from $r$ to $e$ . Find a reasonable upper bound of $\max_{\omega>0} |S(j\omega)|$ .

(e) (8%) Find all ranges of positive $K$ such that the closed-loop system is stable.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題使用負回授閉迴路傳遞函數 $$ M(s)=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}. $$ 重要定義如下： - 增益交越頻率 $\omegag$：$|G(j\omegag)|=1$。 - 相位交越頻率 $\omegap$：$\angle G(j\omegap)=-180^\circ$。 - 共振峰值： $$ Mr=\max\omega |M(j\omega)|. $$ - 持續振盪條件：閉迴路極點位於虛軸上，因此必須滿足 $$ C(j\omega)G(j\omega)=-1. $$ 由圖 4 可讀得： $$ \omegag=1.31\ {m rad/s},\qquad \angle G(j\omegag)=-161.27^\circ, $$ $$ \omegap=2.23\ {m rad/s},\qquad |G(j\omegap)|=-9.51\ {m dB}, $$ 且在 $\omega=0.13\ {m rad/s}$ 時， $$ |G(j\omega)|=25.28\ {m dB},\qquad \angle G(j\omega)=-100^\circ. $$ --- (a) 求 $M(0)$ 與 $M(j\omegap)$ 求 $M(0)$ 由 Bode 圖可知 $G(s)$ 在原點具有積分器，因此 $$ |G(j\omega)|	o\infty,\qquad \omega	o0^+. $$ 當 $C(s)=1$ 時， $$ M(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}. $$ 因此 $$ M(0)=\lim{s	o0}\frac{G(s)}{1+G(s)}=1. $$ 所以 $$ \boxed{M(0)=1=0\ {m dB}}. $$ 求 $M(j\omegap)$ 在相位交越頻率 $\omegap=2.23$ rad/s， $$ \angle G(j\omegap)=-180^\circ, $$ 因此 $G(j\omegap)$ 為負實數。 由圖上幅值 $-9.51$ dB， $$ |G(j\omegap)| =10^{-9.51/20} \approx0.334. $$ 故 $$ G(j\omegap)\approx-0.334. $$ 代入閉迴路函數： $$ M(j\omegap) =\frac{-0.334}{1-0.334} =\frac{-0.334}{0.666} \approx-0.502. $$ 因此 $$ \boxed{M(j\omegap)\approx-0.502} $$ 其幅值與相位為 $$ |M(j\omegap)|\approx0.502, $$ $$ 20\log{10}(0.502)\approx-5.99\ {m dB}, $$ $$ \ang…

112 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《控制系統》

第 1 題28 分

核心觀念

(a) 求 $G_p(s)$ 並繪製 $a=0$ 時的根軌跡

求 $G_p(s)$

實軸根軌跡

漸近線

分離點

(b) 穩態誤差

單位階躍輸入： $U(s)=1/s$

單位斜坡輸入： $U(s)=1/s^2$

第 2 題22 分

核心觀念

(a) 求使系統漸近穩定的 $K$ 範圍

(b) 求單位步階響應的最大超越量與發生時間

第 3 題26 分

核心觀念

(a) 單位階躍輸入的穩態誤差

(b) 脈衝輸入時證明 $y(0)\ne 0$

(c) $r(t)=\cos(0.53t)$ 時的穩態輸出

(d) $\displaystyle\max_{\omega>0}|S(j\omega)|$ 的合理上界

第 4 題24 分

核心觀念

(a) 求 $M(0)$ 與 $M(j\omega_p)$

求 $M(0)$

求 $M(j\omega_p)$

(b) 證明共振峰至少為 $9.75$ dB

判斷技巧

(c) Nyquist 圖

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112 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《控制系統》

第 1 題28 分

核心觀念

(a) 求 Gp(s)G_p(s)Gp​(s) 並繪製 a=0a=0a=0 時的根軌跡

求 Gp(s)G_p(s)Gp​(s)

實軸根軌跡

漸近線

分離點

(b) 穩態誤差

單位階躍輸入：U(s)=1/sU(s)=1/sU(s)=1/s

單位斜坡輸入：U(s)=1/s2U(s)=1/s^2U(s)=1/s2

第 2 題22 分

核心觀念

(a) 求使系統漸近穩定的 KKK 範圍

(b) 求單位步階響應的最大超越量與發生時間

第 3 題26 分

核心觀念

(a) 單位階躍輸入的穩態誤差

(b) 脈衝輸入時證明 y(0)≠0y(0)\ne 0y(0)=0

(c) r(t)=cos⁡(0.53t)r(t)=\cos(0.53t)r(t)=cos(0.53t) 時的穩態輸出

(d) max⁡ω>0∣S(jω)∣\displaystyle\max_{\omega>0}|S(j\omega)|ω>0max​∣S(jω)∣ 的合理上界

第 4 題24 分

核心觀念

(a) 求 M(0)M(0)M(0) 與 M(jωp)M(j\omega_p)M(jωp​)

求 M(0)M(0)M(0)

求 M(jωp)M(j\omega_p)M(jωp​)

(b) 證明共振峰至少為 9.759.759.75 dB

判斷技巧

(c) Nyquist 圖

其他考古題

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112 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《控制系統》

(a) 求 $G_p(s)$ 並繪製 $a=0$ 時的根軌跡

求 $G_p(s)$

單位階躍輸入： $U(s)=1/s$

單位斜坡輸入： $U(s)=1/s^2$

(a) 求使系統漸近穩定的 $K$ 範圍

(b) 脈衝輸入時證明 $y(0)\ne 0$

(c) $r(t)=\cos(0.53t)$ 時的穩態輸出

(d) $\displaystyle\max_{\omega>0}|S(j\omega)|$ 的合理上界

(a) 求 $M(0)$ 與 $M(j\omega_p)$

求 $M(0)$

求 $M(j\omega_p)$

(b) 證明共振峰至少為 $9.75$ dB