109 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《控制系統》

核心觀念

本題為經典的線性控制系統穩定度分析與根軌跡（Root Locus）綜合題，主要考察以下核心觀念：

1. 羅斯–赫維茲穩定準則（Routh-Hurwitz Stability Criterion）：
   • 藉由特徵多項式建立羅斯表（Routh Array），透過第一行（First Column）元素的正負號變化次數，判定右半平面（RHP）極點個數。
   • 系統穩定的充要條件為羅斯表第一行元素皆嚴格大於零。
2. 虛軸極點與臨界穩定（Marginal Stability / $j\omega$-axis Poles）：
   • 當羅斯表中出現全零列（Row of Zeros）時，可由其上一列構成輔助多項式（Auxiliary Polynomial），求解虛軸上的共軛極點對。
   • 亦可直接將 $s = j\omega$ 代入特徵方程式，令實部與虛部各自為零求解臨界增益與震盪頻率 $\omega$。
3. 根軌跡作圖法則（Evans' Root Locus Rules）：
   • 開迴路極點與零點分佈、實軸上的根軌跡判定。
   • 漸近線個數、交點（Centroid, $\sigma_a$）與夾角（Angles, $\theta_a$）。
   • 虛軸交點（$j\omega$-axis Crossings）。
   • 複數共軛極點之離去角（Angle of Departure, $\theta_{\text{dep}}$）。

---

解題方法與詳細推導

閉迴路特徵方程式為：
$x(s) = s^4 + 2s^3 + K_1s^2 + 4K_2s + 2K_2(K_1-2) = 0$
其中參數限制為 $K_1 > 0$ 且 $K_2 > 0$。

(a) 求解系統閉迴路穩定之 $K_1$ 與 $K_2$ 條件

步驟 1：建立羅斯表（Routh Array）

$$\begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & K_1 & 2K_2(K_1-2) \\ s^3 & 2 & 4K_2 & 0 \\ s^2 & b_1 & b_2 & 0 \\ s^1 & c_1 & 0 & 0 \\ s^0 & d_1 & 0 & 0 \end{array}$$

計算第一行各列元素：

• $s^2$ 列元素：
  $b_1 = \frac{2 \cdot K_1 - 1 \cdot 4K_2}{2} = K_1 - 2K_2$
  $b_2 = \frac{2 \cdot [2K_2(K_1-2)] - 0}{2} = 2K_2(K_1-2)$

• $s^1$ 列元素：
  $c_1 = \frac{b_1 \cdot 4K_2 - 2 \cdot b_2}{b_1} = \frac{4K_2(K_1 - 2K_2) - 4K_2(K_1-2)}{K_1 - 2K_2} = \frac{8K_2(1 - K_2)}{K_1 - 2K_2}$

• $s^0$ 列元素：
  $d_1 = b_2 = 2K_2(K_1-2)$

步驟 2：套用穩定條件

閉迴路系統為漸近穩定（Asymptotically Stable）的充要條件為羅斯表第一行元素全為正數：

1. $b_1 > 0 \implies K_1 - 2K_2 > 0 \implies K_1 > 2K_2$
2. $d_1 > 0 \implies 2K_2(K_1-2) > 0 \implies K_1 > 2 \quad (\text{因 } K_2 > 0)$
3. $c_1 > 0 \implies \frac{8K_2(1-K_2)}{K_1 - 2K_2} > 0$
   由於分母 $K_1 - 2K_2 > 0$ 且 $K_2 > 0$，故分子需滿足：
   $1 - K_2 > 0 \implies K_2 < 1 \implies 0 < K_2 < 1$

由 $K_1 > 2$ 與 $0 < K_2 < 1$ 可知：$2K_2 < 2 < K_1$，條件 $K_1 > 2K_2$ 自動成立。

故系統穩定的充要條件為：
$K_1 > 2 \quad \text{且} \quad 0 < K_2 < 1$

---

(b) 求解具有非零虛部之純虛數極點條件及其極點位置

方法：代入 $s = j\omega$（$\omega > 0$）

若特徵方程式在虛軸上有極點 $s = \pm j\omega$（$\omega > 0$），代入 $x(s) = 0$：
$x(j\omega) = (j\omega)^4 + 2(j\omega)^3 + K_1(j\omega)^2 + 4K_2(j\omega) + 2K_2(K_1-2) = 0$
$\left[ \omega^4 - K_1\omega^2 + 2K_2(K_1-2) \right] + j \left[ -2\omega^3 + 4K_2\omega \right] = 0$

分別令虛部與實部為零：

1. 虛部為零：
   $-2\omega(\omega^2 - 2K_2) = 0 \implies \omega^2 = 2K_2 \quad (\text{因 } \omega > 0)$
2. 實部為零：
   將 $\omega^2 = 2K_2$ 代入實部方程式：
   $(2K_2)^2 - K_1(2K_2) + 2K_2(K_1-2) = 0$
   $4K_2^2 - 2K_1 K_2 + 2K_1 K_2 - 4K_2 = 0$
   $4K_2(K_2 - 1) = 0$

因題目給定 $K_2 > 0$，得唯一解：
$K_2 = 1$
此時實部方程式對任意 $K_1 > 0$ 皆恆成立。

將 $K_2 = 1$ 代回 $\omega$：
$\omega = \sqrt{2K_2} = \sqrt{2}$

因此，純虛數極點為：
$s = \pm j\sqrt{2}$

條件為：$K_2 = 1$ 且 $K_1 > 0$。

---

(c) 令 $K_1 = 4$，繪製 $K_2$ 由 $0 \to \infty$ 之根軌跡圖

將 $K_1 = 4$ 代入特徵多項式：
$x(s) = s^4 + 2s^3 + 4s^2 + 4K_2 s + 4K_2 = 0$
改寫為以 $K_2$ 為參數的標準根軌跡形式：
$s^2(s^2 + 2s + 4) + K_2 \cdot 4(s+1) = 0 \implies 1 + K_2 \frac{4(s+1)}{s^2(s^2 + 2s + 4)} = 0$

根軌跡作圖要素分析：

1. 開迴路極點與零點：

   • 極點（$n = 4$ 個）：$s = 0, 0$（原點二重極點），$s = -1 \pm j\sqrt{3}$
   • 零點（$m = 1$ 個）：$s = -1$
   • 根軌跡分支數：4 條分支。

2. 實軸上的根軌跡：
   實軸上某區間右側的實軸極點與零點總數為奇數時存在根軌跡。

   • $s \in (-\infty, -1]$：其右側有 1 個零點（$s=-1$）及 2 個極點（$s=0, 0$），總數為 3（奇數），故此區間存在根軌跡。
   • $s \in (-1, 0]$：總數為 2（偶數），無根軌跡。

3. 漸近線（Asymptotes）：

   • 漸近線數量：$n - m = 4 - 1 = 3$ 條。
   • 漸近線角度：
     $\theta_a = \frac{(2k+1)180^\circ}{3} = \pm 60^\circ, 180^\circ \quad (k=0, 1, 2)$
   • 漸近線與實軸交點（重心 $\sigma_a$）：
     $\sigma_a = \frac{\sum p_i - \sum z_j}{n - m} = \frac{[0 + 0 + (-1+j\sqrt{3}) + (-1-j\sqrt{3})] - (-1)}{3} = \frac{-2 - (-1)}{3} = -\frac{1}{3}$

4. 虛軸交點（$j\omega$-axis Intersections）：

核心觀念

• 單位負回授系統的斜坡穩態誤差由速度誤差常數 $K_v$ 決定：$e_{ss}=1/K_v$。
• 根軌跡可用特徵方程表示；把參數改寫成標準增益形式，便能判斷實軸區段、漸近線及分支方向。
• 二階欠阻尼系統的階躍最大超越量與阻尼比 $\zeta$ 的關係為 $M_p=e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$。
• 增益交越頻率滿足 $|L(j\omega_{gc})|=1$；相位裕度為 $180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})$。

解題方法

原卷圖中的方塊圖是單位負回授：輸入 $r$ 接加號端，輸出 $y$ 回授至減號端；前向路徑依序為控制器 $C(s)$ 與植物 $G(s)$。因此開迴路傳遞函數為 $L(s)=C(s)G(s)$，閉迴路特徵方程為 $1+L(s)=0$。

(a) 求 $K$

開迴路傳遞函數為

$$L(s)=\frac{K(s+1)}{(\tau s+1)s(s+2)}.$$

對單位斜坡輸入，速度誤差常數為

$$K_v=\lim_{s\to 0}sL(s) =\lim_{s\to 0}\frac{K(s+1)}{(\tau s+1)(s+2)} =\frac{K}{2}.$$

因此

$$e_{ss}=\frac{1}{K_v}=\frac{2}{K}.$$

令 $e_{ss}=0.01$：

$$\frac{2}{K}=0.01 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{K=200}.$$

(b) $K=200$ 時，$\tau$ 由 $0$ 變至 $\infty$ 的根軌跡

閉迴路特徵方程為

$$(\tau s+1)s(s+2)+200(s+1)=0,$$

展開得

$$\tau s^3+(1+2\tau)s^2+202s+200=0.$$

令 $\lambda=1/\tau$，並除以 $\tau$，可改寫成標準根軌跡形式：

$$s^2(s+2)+\lambda(s^2+202s+200)=0,$$

即

$$1+\lambda\frac{s^2+202s+200}{s^2(s+2)}=0.$$

因此可視為增益 $\lambda>0$ 的根軌跡；但題目要求 $\tau$ 遞增，等同於 $\lambda$ 從 $\infty$ 遞減至 $0$。

此形式的開迴路極點為 $s=0$（二重）與 $s=-2$；開迴路零點為

$$s=\frac{-202\pm\sqrt{40004}}{2},$$

即約為 $-201.005$ 與 $-0.995$。根軌跡的實軸區段為 $(-\infty,-201.005)$ 與 $(-2,-0.995)$。一條漸近線的質心及角度為

$$\sigma_a=\frac{(-2)-(-202)}{3-2}=200, \qquad \theta_a=180^\circ.$$

端點與分支方向如下：

• 當 $\tau\to0^+$，兩根分別趨近零點 $-201.005$、$-0.995$，第三根趨向 $-\infty$。
• 從 $-0.995$ 出發的實根沿 $(-2,-0.995)$ 向左移，當 $\tau\to\infty$ 時趨近 $-2$。
• 從 $-201.005$ 與 $-\infty$ 出發的兩根互相接近，於實軸分離點合併後形成一對共軛複根，再朝原點方向移動。

分離點可由下式求得：

$$\tau(s)=-\frac{s^2+202s+200}{s^2(s+2)}.$$

令 $\frac{d\tau}{ds}=0$，得到

$$s^3+404s^2+1004s+800=0.$$

相關實根及其參數值約為

$$s_b\approx-401.504, \qquad \tau_b=\tau(s_b)\approx0.001247.$$

因此，兩個實根在 $s_b$ 合併；當 $\tau>\tau_b$ 時，成為共軛複根。當 $\tau\to\infty$ 時，三根的極限為 $0$（二重）與 $-2$。複根由左半平面趨近原點，漸近行為為

$$s\approx-\frac{25.5}{\tau}\pm j\frac{10}{\sqrt{\tau}}.$$

核心觀念

本題考查二階閉迴路的根軌跡與穩定性、Nyquist 圖與增益裕度、相位裕度及延遲裕度，最後再用可控正準形進行狀態回授極點配置。根軌跡可由特徵方程、根的和與積判讀；Nyquist 穩定性則要把原點的開迴路極點納入考慮。

解題方法

依原卷圖，第 3 題是單位負回授，控制器為 $G_c(s)=K$，植物為

$$G_p(s)=\frac{s^2+2s+2}{s(s+1)}.$$

圖上可讀得開迴路極點為 $0,-1$，零點為 $-1\pm j$。由植物直接計算的頻率響應為

$$G_p(j\omega) =\frac{\omega^2}{\omega^2+1} -j\frac{\omega^2+2}{\omega(\omega^2+1)}.$$

(a) 根軌跡與圓形軌跡

閉迴路特徵方程為

$$1+KG_p(s)=0,$$

也就是

$$(1+K)s^2+(1+2K)s+2K=0.$$

根軌跡由極點 $0,-1$ 出發，終止於零點 $-1\pm j$。兩根為實數的條件由判別式決定：

$$\Delta=(1+2K)^2-8K(1+K)=1-4K-4K^2.$$

令 $\Delta=0$，得到重根增益與位置

$$K_b=\frac{\sqrt2-1}{2}\approx0.2071, \qquad s_b=-\frac{1+2K_b}{2(1+K_b)} =\sqrt2-2\approx-0.5858.$$

$K$ 從 $0$ 增加時，極點 $0$ 沿實軸向左移，極點 $-1$ 沿實軸向右移，兩者在 $s_b$ 相遇後分成共軛複數分支。兩分支最後分別趨近 $-1\pm j$。實軸上的根軌跡只有 $(-1,0)$；開迴路極點與零點數相同，因此沒有漸近線。

證明複數分支落在圓上：設複數根為 $x\pm jy$。由兩根之和與乘積，

$$2x=-\frac{1+2K}{1+K}, \qquad x^2+y^2=\frac{2K}{1+K}.$$

消去 $K$ 可得

$$(x+2)^2+y^2=2.$$

所以複數分支沿著圓心 $(-2,0)$、半徑 $\sqrt2$ 的圓弧，由 $s_b$ 分別走向零點 $-1\pm j$。這也驗算了離軸點：圓與實軸右側的交點為 $-2+\sqrt2=\sqrt2-2=s_b$。

(b) $K>0$ 的 Nyquist 圖

對 $\omega>0$，

$$\operatorname{Re}\{KG_p(j\omega)\} =\frac{K\omega^2}{\omega^2+1}>0, \qquad \operatorname{Im}\{KG_p(j\omega)\} =-\frac{K(\omega^2+2)}{\omega(\omega^2+1)}<0.$$

因此正頻率分支位於第四象限；$\omega$ 由 $0^+$ 增加至 $\infty$ 時，曲線由 $0-j\infty$ 附近出發，最後從下方趨近實軸上的 $K$。負頻率分支是它對實軸的鏡射。

原點有一個開迴路極點，Nyquist 輪廓需在原點作小半圓繞行；其映射位於很大的右半平面，不會包圍 $-1$。有限頻率的曲線也全在右半平面，因此 $K>0$ 時不包圍 $-1$。

(c) 全部 $K$ 的穩定性

開迴路沒有右半平面極點；原點極點以小半圓繞行處理。依 Nyquist 判據：

• $K>0$：不包圍 $-1$，閉迴路穩定。
• $-1<K<0$：Nyquist 圖順時針包圍 $-1$ 一次，因此有一個右半平面閉迴路極點，不穩定。
• $K<-1$：不包圍 $-1$，閉迴路穩定。

用特徵多項式可驗算上述範圍：$K>0$ 時三個係數皆正；$K<-1$ 時三個係數皆負，整式乘以 $-1$ 後係數皆正。

邊界值也需分類：$K=0$ 時閉迴路仍有原點極點，非漸近穩定；$K=-1$ 時植物的高頻直接傳遞增益為 $1$，負回授代數迴路滿足 $1+K=0$，互連不適定。閉迴路特徵式降階為一次式，不能據此視為一般良定的穩定閉迴路。

(d) $K>0$ 的增益裕度

對所有有限 $\omega>0$，$G_p(j\omega)$ 的實部為正、虛部為負，沒有有限頻率的 $-180^\circ$ 相位交越。因此

$$\boxed{\mathrm{GM}=\infty}.$$

(e) 單位階躍的穩態輸出

閉迴路傳遞函數為

$$T(s)=\frac{K(s^2+2s+2)} {(1+K)s^2+(1+2K)s+2K}.$$

在穩定的非零增益範圍 $K>0$ 或 $K<-1$，對 $r(t)=1$ 使用終值定理：

$$y_{\mathrm{ss}} =\lim_{s\to0}T(s) =\frac{2K}{2K} =1.$$

因此穩定閉迴路的單位階躍穩態輸出為 $1$。

(f) $K<0$ 的增益裕度

負增益使正頻率的相位整體移動 $180^\circ$；相位交越點在 $\omega\to\infty$，此時 $G_p(j\omega)\to1$，所以臨界負增益為 $K_{\mathrm{crit}}=-1$。依增益倍率定義，

$$\boxed{\mathrm{GM}=\left|\frac{K_{\mathrm{crit}}}{K}\right| =\frac{1}{|K|}=-\frac1K}.$$

對 $-1<K<0$，系統本身已不穩定；此裕度表示到 $K=-1$ 邊界的增益倍率。

(g) $K=-0.5$、$r(t)=\cos(2t)$