109 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（A）》考古題與詳解

Question 1

請解微分方程： $$ \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{2}{x} \frac{dy}{dx} + \frac{2}{x^2} y = 4x^2e^x $$

Accepted Answer

參考書等級：大學三年級《工程數學 (A)》 解題步驟 1. 同齊方程 $$y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^{2}}y=0$$ 設 $y=x^{r}$，得 $$r(r-1)-2r+2=0\;\Longrightarrow\;r^{2}-3r+2=0\;\Longrightarrow\;r=1,2$$ $$y{h}=C{1}x+C{2}x^{2}$$ 2. 變異參數求特解 基底 $y{1}=x,\ y{2}=x^{2}$，Wronskian $$W=y{1}y{2}'-y{1}'y{2}=x\cdot 2x-1\cdot x^{2}=x^{2}$$ 右端 $R(x)=4x^{2}e^{x}$。 $$u{1}'=-\frac{y{2}R}{W}= -\frac{x^{2}\cdot4x^{2}e^{x}}{x^{2}}=-4x^{2}e^{x}$$

Question 2

Given the matrix $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ please find the fundamental matrix $e^{At}$ with the Cayley-Hamilton theorem/method of undetermined coefficients.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣指數 $e^{At}$ 是線性系統 $$ \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t) $$ 的基本解矩陣，並滿足 $$ \frac{d}{dt}e^{At}=Ae^{At},\qquad e^{A\cdot 0}=I. $$ 本題矩陣為 $$ A= \begin{pmatrix} 2&1\ 0&2 \end{pmatrix}. $$ 其特徵多項式為 $$ p(\lambda)=\det(\lambda I-A) =\det \begin{pmatrix} \lambda-2&-1\ 0&\lambda-2 \end{pmatrix} =(\lambda-2)^2. $$ 由 Cayley-Hamilton 定理， $$ p(A)=(A-2I)^2=0. $$ 因此 $A-2I$ 是冪零矩陣，矩陣指數的冪級數會在二次項後完全消失。 --- 解題方法一：Cayley-Hamilton 定理 令 $$ N=A-2I = \begin{pmatrix} 0&1\ 0&0 \end{pmatrix}. $$ 直接計算可得 $$ N^2= \begin{pmatrix} 0&1\ 0&0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0&0\ 0&0 \end{pmatrix}. $$ 因為 $A=2I+N$，且 $2I$ 與 $N$ 可交換，所以 $$ e^{At}=e^{(2I+N)t} =e^{2tI}e^{Nt} =e^{2t}e^{Nt}. $$ 將 $e^{Nt}$ 展開： $$ e^{Nt} =I+Nt+\frac{(Nt)^2}{2!}+\frac{(Nt)^3}{3!}+\cdots. $$ 由於 $N^2=0$，所以所有二次以上的項皆為零，得到 $$ e^{Nt}=I+tN. $$ 因此 $$ e^{At} =e^{2t}(I+tN). $$ 代入 $N$： $$ e^{At} =e^{2t} \left[ \begin{pmatrix} 1&0\ 0&1 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 0&1\ 0&0 \end{pmatrix} ight]. $$ 故 $$ \boxed{ e^{At} = e^{2t} \begin{pmatrix} 1&t\ 0&1 \end{pmatrix} }. $$ --- 解題方法二：待定係數法 由 Cayley-Hamilton 定理，任何 $A$ 的函數皆可化為 $I$ 與 $A$ 的線性組合。因此設 $$ e^{At}=c0(t)I+c1(t)A. $$ 利用初始條件 $e^{A\cdot 0}=I$，可得 $$ c0(0)I+c1(0)A=I. $$

Question 3

Suppose $g(s)$ is the Laplace transform of $f(t)$ . In other words, $g(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$ and $f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{g(s)\}$ . Suppose $g(s)$ is given by
$g(s) = \frac{e^{\exp(-s)}}{s}$
(note: $\exp(-s) = e^{-s}$ ), please find $f(4.5)$ .

Accepted Answer

參考書等級：大學二、三年級《工程數學（A）》或《Laplace Transform and Its Applications》（Widder），屬中等難度。 解題步驟 1. 展開指數： $$ e^{\exp(-s)}=\exp\!\big(e^{-s}\big)=\sum{n=0}^{\infty}\frac{(e^{-s})^{n}}{n!} =\sum{n=0}^{\infty}\frac{e^{-ns}}{n!} $$ 2. 與 $\frac1s$ 相乘得到 $$ g(s)=\frac{e^{\exp(-s)}}{s} =\sum{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\frac{e^{-ns}}{s} $$

Question 4

Suppose $fc(\omega)$ is the cosine transform of $f(x)$ and is given by $$ fc(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \cos\left(\frac{\omega^2}{\pi} + \frac{\pi}{4}\right) $$ please find the inverse transform $f(x)$ of $fc(\omega)$. Hint: you may use the following definite integral: $$ \int{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$

Accepted Answer

解題步驟 1. 逆餘弦變換公式（本題採用的標準定義） $$f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int{0}^{\infty}f{c}(\omega)\cos(\omega x)\,d\omega .$$ 2. 代入已知的 $fc(\omega)$ $$ f(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \int{0}^{\infty}\cos\!\left(\frac{\omega^{2}}{\pi}+\frac{\pi}{4}\right) \cos(\omega x)\,d\omega =\frac{1}{\pi\sqrt{a}} \int{0}^{\infty}\cos\!\left(\frac{\omega^{2}}{\pi}+\frac{\pi}{4}\right) \cos(\omega x)\,d\omega . $$ 3. 乘積化和 $$\cos A\cos B=\frac12\big[\cos(A+B)+\cos(A-B)\big],$$ $$ \begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{2\pi\sqrt{a}} \int{0}^{\infty}\Big\{\cos\!\Big(\frac{\omega^{2}}{\pi} +\frac{\pi}{4}+\omega x\Big) +\cos\!\Big(\frac{\omega^{2}}{\pi} +\frac{\pi}{4}-\omega x\Big)\Big\}\,d\omega . \end{aligned} $$ 4. 變數正規化 $\displaystyle \omega=\sqrt{\pi}\,t$（$d\omega=\sqrt{\pi}\,dt$）

Question 5

A "mixer" is an RF electric circuit that is commonly used in communication systems to shift the EM wave's frequency to a desired frequency band by multiplying an input sinusoidal wave with another sinusoidal wave. The configuration of a mixer is simply a combination of an electric multiplier and a band-pass filter (BPF) as shown in the following diagram.
Assume the input vector space is generated by $n$ input sinusoidal waves with the same non-zero amplitude $A$ , but different frequencies, $\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n$ , and the output vector space is generated by these $n$ "down-converted" sinusoidal waves. Note: "down-convert" means the frequency is reduced.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) (5%) Show that the input $n$ signals are linearly independent.
(二) (7%) Please verify that if this mixer performs a linear transformation in this system.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 不同頻率的正弦波是否線性獨立。 2. Mixer 在「固定本地振盪器（local oscillator, LO）」與固定 BPF 下，是否滿足線性轉換的定義。 3. 乘法器使用公式 $$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)ight].$$ 題目所附掃描圖與文字中的 mixer 題目不一致；以下依題目文字，採用標準 mixer 模型：輸入乘上固定的 $\cos\omega{\mathrm{LO}}t$，再由 BPF 保留下變頻分量。 --- （一）證明 $n$ 個輸入訊號線性獨立 令第 $i$ 個輸入訊號為 $$ xi(t)=A\cos\omegai t,\qquad i=1,2,\ldots,n, $$ 其中 $A
eq 0$，且 $\omega1,\omega2,\ldots,\omegan$ 彼此相異。 若這些訊號線性相關，則存在不全為零的常數 $c1,c2,\ldots,cn$，使得 $$ \sum{i=1}^{n}ci xi(t)=0 $$ 對所有 $t$ 成立。由於 $A
eq 0$，可除以 $A$ 得 $$ \sum{i=1}^{n}ci\cos\omegai t=0. $$ 利用 $$ \cos\omegai t =\frac{e^{j\omegai t}+e^{-j\omegai t}}{2}, $$ 可得 $$ \sum{i=1}^{n}\frac{ci}{2}e^{j\omegai t} + \sum{i=1}^{n}\frac{ci}{2}e^{-j\omegai t} =0. $$ 不同頻率的複指數函數彼此線性獨立，因此每一個係數都必須為零： $$ c1=c2=\cdots=cn=0. $$ 這與「存在不全為零的係數」矛盾，所以 $$ \boxed{\{x1(t),x2(t),\ldots,xn(t)\}	ext{ 線性獨立}}. $$ 也可以由正交性理解：在足夠長的時間區間上，不同頻率的正弦波彼此正交，因此不可能由其他不同頻率的正弦波線性組合得到。 --- （二）驗證 Mixer 是否為線性轉換 1. 對單一輸入訊號的作用 令固定的本地振盪器為 $$ \ell(t)=\cos\omega{\mathrm{LO}}t. $$ 對第 $i$ 個輸入訊號： $$ xi(t)=A\cos\omegai t, $$ 乘法器輸出為 $$ xi(t)\ell(t) =A\cos\omegai t\cos\omega{\mathrm{LO}}t. $$ 利用積化和公式： $$ xi(t)\ell(t) = \frac{A}{2} \cos\left[(\omegai-\omega{\mathrm{LO…

Question 6

Fourier series says that any periodic function can be expressed as a linear combination of infinite harmonic cosine and sine functions.
(一) (8%) If the period of a set of periodic functions is $2\pi$ , what is the orthonormal basis of the vector space that these periodic functions belong to? You have to show the vectors in the basis are orthonormal to get full credit.
(二) (5%) Find a vector $g(x)$ in a subspace spanned by only $\{1, \cos(x), \cos(2x), \sin(x), \sin(2x)\}$ so that $g(x)$ has the shortest distance to the function $f(x) = x$ in the interval $[-\pi, \pi]$ .
Note: In this problem, you may need:
$\int x \sin ax \, dx = -\frac{x}{a} \cos ax + \frac{1}{a^2} \sin ax$
$\int x \cos ax \, dx = \frac{x}{a} \sin ax + \frac{1}{a^2} \cos ax$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個觀念： 1. 週期為 $2\pi$ 的函數空間，其 Fourier 基底由常數函數、餘弦函數與正弦函數組成。 2. 在有限維子空間中，與函數 $f(x)$ 距離最短的向量，是 $f(x)$ 在該子空間上的正交投影。 在 $[-\pi,\pi]$ 上採用內積 $$ \langle u,vangle=\int{-\pi}^{\pi}u(x)v(x)\,dx. $$ 函數距離定義為 $$ \|f-g\|=\sqrt{\int{-\pi}^{\pi}|f(x)-g(x)|^2\,dx}. $$ --- （一）週期為 $2\pi$ 的正交規範基底 解題方法 週期為 $2\pi$ 的 Fourier 函數系統為 $$ 1,\ \cos x,\ \cos 2x,\ldots,\ \sin x,\ \sin 2x,\ldots $$ 其正交關係如下： $$ \int{-\pi}^{\pi}1\cdot \cos(nx)\,dx=0, $$ $$ \int{-\pi}^{\pi}1\cdot \sin(nx)\,dx=0, $$ $$ \int{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\sin(nx)\,dx=0. $$ 此外，當 $m,n\geq 1$ 時， $$ \int{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx = \begin{cases} 0,&m
eq n,\ \pi,&m=n, \end{cases} $$ 以及 $$ \int{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx = \begin{cases} 0,&m
eq n,\ \pi,&m=n. \end{cases} $$ 常數函數的範數為 $$ \|1\|^2=\int{-\pi}^{\pi}1\,dx=2\pi, $$ 所以各函數的規範化結果為 $$ \left\|\frac{1}{\sqrt{2\pi}}ight\|=1, $$ $$ \left\|\frac{\cos(nx)}{\sqrt{\pi}}ight\|=1, \qquad \left\|\frac{\sin(nx)}{\sqrt{\pi}}ight\|=1. $$ 因此正交規範基底為 $$ \boxed{ \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}},\ldots, \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}},\ldots ight\} } $$ 也可寫成 $$ \boxed{ \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos(nx)…

Question 7

Let a linear equation system $Ax = b$ with its coefficient matrix:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
(一) (6%) Please find a lower triangular matrix $L$ and an upper triangular matrix $U$ so that matrix $A$ can be represented as a product of $LU$ .
(二) (4%) Apply the result in (一) to solve the solution of $Ax = b$ .

Accepted Answer

參考書等級：大學二年級下學期教材 (一) LU 分解 以 Doolittle 方式（$L$ 單位下三角），先對第一欄消去： $$ \begin{aligned} \ell{21}&=2, & R2\leftarrow R2-2R1\;&\Rightarrow\;[0,-3,-1],\ \ell{31}&=1, & R3\leftarrow R3-R1\;&\Rightarrow\;[0,1,1]. \end{aligned} $$ 再消去第二欄的 $(3,2)$ 元素： $$ \ell{32}= \frac{1}{-3}= -\frac13,\qquad R3\leftarrow R3-\ell{32}R2 = R3+\frac13R2\;\Rightarrow\;[0,0,	frac23]. $$ 得到 $$ U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\ 0 & -3 & -1\ 0 & 0 & \frac23 \end{pmatrix}, \qquad L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 2 & 1 & 0\ 1 & -\frac13 & 1 \end{pmatrix}, \quad	ext{且 }A=LU. $$ (二) 解線性系統 $Ax=b$ 先解 $Ly=b$（前向替換）：

Question 8

Given $f(z) = \frac{z}{z^2 + |z|^2}$, find $u$ and $v$ such that $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$; determine where $f$ is differentiable and where $f$ is not.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 複數函數的實部、虛部表示； - 複數函數的定義域； - 柯西—黎曼方程判斷複數可微性： $$ux=vy,\qquad uy=-vx.$$ 令 $z=x+iy$，則 $$ |z|^2=x^2+y^2. $$ 解題方法 先化簡分母： $$ z^2+|z|^2 =(x+iy)^2+x^2+y^2. $$ 由 $$ (x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy, $$ 可得 $$ z^2+|z|^2 =x^2-y^2+2ixy+x^2+y^2 =2x^2+2ixy =2x(x+iy) =2xz. $$ 因此，在分母不為零時， $$ f(z)=\frac{z}{2xz}=\frac{1}{2x}. $$ 由於分母 $$ z^2+|z|^2=2xz, $$ 其為零的情形為 $x=0$ 或 $z=0$。但 $z=0$ 本身已包含在 $x=0$ 中，所以函數的定義域為 $$ x
eq 0. $$ 在此定義域上， $$ f(z)=\frac{1}{2x}+i\cdot 0. $$ 故 $$ \boxed{u(x,y)=\frac{1}{2x}},\qquad \boxed{v(x,y)=0},\qquad x
eq 0. $$ 複數可微性判斷 對 $u$ 與 $v$ 求偏導： $$ ux=-\frac{1}{2x^2},\qquad uy=0, $$ $$ vx=0,\qquad vy=0. $$ 柯西—黎曼方程要求 $$ ux=vy,\qquad uy=-vx. $$ 第二式成立： $$ uy=0=-vx. $$ 但第一式為 $$ -\frac{1}{2x^2}=0, $$

Question 9

Expand $\frac{2z}{9+z^2}$ in Laurent series with center $z = 3i$ in the neighborhood. Write down at least the first three terms. Determine the precise region of convergence.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查以 $z0=3i$ 為中心的 Laurent 級數展開。由 $$ \frac{2z}{z^2+9} =\frac{2z}{(z-3i)(z+3i)} =\frac{1}{z-3i}+\frac{1}{z+3i}, $$ 可知 $z=3i$ 是一階極點，必須保留其主部項 $\frac{1}{z-3i}$。另一奇點 $z=-3i$ 與展開中心的距離為 $$ |-3i-3i|=6, $$ 因此收斂區域會受到 $z=-3i$ 限制。 解題方法 令 $$ w=z-3i, $$ 則 $z+3i=w+6i$，原式化為 $$ \frac{2z}{9+z^2} =\frac{1}{w}+\frac{1}{w+6i}. $$ 將第二項改寫成幾何級數形式： $$ \frac{1}{w+6i} =\frac{1}{6i}\frac{1}{1+\frac{w}{6i}}. $$ 使用公式 $$ \frac{1}{1+u}=\sum{n=0}^{\infty}(-u)^n, \qquad |u|<1, $$ 得到 $$ \frac{1}{w+6i} =\frac{1}{6i}\sum{n=0}^{\infty} \left(-\frac{w}{6i}\right)^n. $$ 逐項展開： $$ \frac{1}{w+6i} =-\frac{i}{6} +\frac{w}{36} +\frac{iw^2}{216} -\frac{w^3}{1296} +\cdots. $$ 因此 $$ \frac{2z}{9+z^2} = \frac{1}{w} -\frac{i}{6} +\frac{w}{36} +\frac{iw^2}{216} -\frac{w^3}{1296} +\cdots, \qquad w=z-3i. $$ 故 Laurent 級數為

Question 10

(一) (5%) Find all zeros of $\cos z$ and show that all these are simple zeros. (二) (5%) Evaluate $\ointC \frac{z}{z^2+1} dz$ where $C: |z| = 5$, counter-clockwise.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個複變函數基本觀念： 1. 整函數的零點與零點階數 - 若 $f(z0)=0$，則 $z0$ 是 $f$ 的零點。 - 若 $f'(z0)
eq 0$，則 $z0$ 為單零點。 - 複數指數函數的週期性： $$e^{w}=1 \iff w=2k\pi i,\qquad k\in\mathbb Z.$$ 2. 留數定理 - 若閉曲線 $C$ 逆時針方向包住函數 $f$ 的孤立奇點 $zk$，則 $$\ointC f(z)\,dz=2\pi i\sumk\operatorname{Res}(f,zk).$$ --- 解題方法 （一）求 $\cos z$ 的所有零點，並證明皆為單零點 利用複數形式表示餘弦函數： $$ \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}. $$ 令 $\cos z=0$，則 $$ e^{iz}+e^{-iz}=0. $$ 兩邊乘以 $e^{iz}$，得到 $$ e^{2iz}+1=0, $$ 因此 $$ e^{2iz}=-1. $$ 由於 $$ -1=e^{(2k+1)\pi i},\qquad k\in\mathbb Z, $$ 可得 $$ 2iz=(2k+1)\pi i. $$ 約去 $i$ 並除以 $2$： $$ z=\frac{(2k+1)\pi}{2},\qquad k\in\mathbb Z. $$ 所以 $\cos z$ 的所有零點為 $$ \boxed{zk=\frac{(2k+1)\pi}{2},\quad k\in\mathbb Z}. $$ 接著判斷零點是否為單零點。對 $\cos z$ 微分： $$ (\cos z)'=-\sin z. $$ 在 $zk=\dfrac{(2k+1)\pi}{2}$ 處， $$ \sin zk = \sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}ight) = (-1)^k. $$ 因此 $$ (\cos zk)'=-\sin zk=-(-1)^k
eq 0. $$ 因為每個零點都滿足導數不為零，所以每個零點皆為單零點。 --- （二）計算 $\displaystyle \ointC\frac{z}{z^2+1}\,dz$ 已知 $$ C:|z|=5 $$ 為逆時針方向的圓。先分解分母： $$ z^2+1=(z-i)(z+i). $$ 因此被積函數 $$ f(z)=\frac{z}{(z-i)(z+i)} $$ 在

109 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（A）》

第一題10 分

第二題10 分

核心觀念

解題方法一：Cayley-Hamilton 定理

解題方法二：待定係數法

第三題10 分

第四題10 分

第五題12 分

（一）證明 $n$ 個輸入訊號線性獨立

（二）驗證 Mixer 是否為線性轉換

1. 對單一輸入訊號的作用

第六題13 分

（一）週期為 $2\pi$ 的正交規範基底

解題方法

（二）求距離 $f(x)=x$ 最近的 $g(x)$

解題方法

第七題10 分

第八題10 分

第九題5 分

第十題10 分

核心觀念

解題方法

（一）求 $\cos z$ 的所有零點，並證明皆為單零點

（二）計算 $\displaystyle \oint_C\frac{z}{z^2+1}\,dz$

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其他學校的電機系考古題

109 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（A）》

第 一 題10 分

第 二 題10 分

核心觀念

解題方法一：Cayley-Hamilton 定理

解題方法二：待定係數法

第 三 題10 分

第 四 題10 分

第 五 題12 分

（一）證明 nnn 個輸入訊號線性獨立

（二）驗證 Mixer 是否為線性轉換

1. 對單一輸入訊號的作用

第 六 題13 分

（一）週期為 2π2\pi2π 的正交規範基底

解題方法

（二）求距離 f(x)=xf(x)=xf(x)=x 最近的 g(x)g(x)g(x)

解題方法

第 七 題10 分

第 八 題10 分

第 九 題5 分

第 十 題10 分

核心觀念

解題方法

（一）求 cos⁡z\cos zcosz 的所有零點，並證明皆為單零點

（二）計算 ∮Czz2+1 dz\displaystyle \oint_C\frac{z}{z^2+1}\,dz∮C​z2+1z​dz

其他考古題

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第一題10 分

第二題10 分

第三題10 分

第四題10 分

第五題12 分

（一）證明 $n$ 個輸入訊號線性獨立

第六題13 分

（一）週期為 $2\pi$ 的正交規範基底

（二）求距離 $f(x)=x$ 最近的 $g(x)$

第七題10 分

第八題10 分

第九題5 分

第十題10 分

（一）求 $\cos z$ 的所有零點，並證明皆為單零點

（二）計算 $\displaystyle \oint_C\frac{z}{z^2+1}\,dz$