109 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電子學》

核心觀念

本題考查二極體限幅電路。二極體順向導通時：

• 順向壓降為 $0.7\text{ V}$
• 內阻為 $0\ \Omega$
• 未導通時可視為開路

電阻 $R$ 的作用是限制二極體導通時的電流。

由圖可知：

• $D_1$ 負責限制輸出電壓上限，接至 $+3\text{ V}$
• $D_2$ 負責限制輸出電壓下限，接至 $-7\text{ V}$

解題方法

1. 輸出電壓上限

當輸出電壓過高時，$D_1$ 順向導通。此時 $D_1$ 的陽極接於輸出端，陰極接於 $+3\text{ V}$ 電源，因此導通條件為：

$$V_o-3\text{ V}=0.7\text{ V}$$

所以輸出上限為：

$$V_{o,\max}=3.7\text{ V}$$

當 $V_i=+5\text{ V}$ 時，$D_1$ 導通，電阻上的電壓為：

$$V_R=5-3.7=1.3\text{ V}$$

電流為：

$$I_R=\frac{1.3\text{ V}}{1\text{ k}\Omega}=1.3\text{ mA}$$

電流為正，符合 $D_1$ 順向導通的條件。

2. 輸出電壓下限

核心觀念

本題考查齊納二極體穩壓電路的導通判斷：

• 若未達崩潰電壓，齊納二極體視為開路。
• 若理想分壓所得電壓達到 $V_{ZK}=4\text{ V}$，齊納二極體進入崩潰區，節點電壓約被箝位在 $4\text{ V}$。

解題方法

先假設齊納二極體未崩潰，則電路只剩 $R_1$ 與 $R_2$ 串聯分壓：

$$V_o=12\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right)$$

代入 $R_1=10\,\text{k}\Omega$、$R_2=4\,\text{k}\Omega$：

核心觀念

本題考查：

• 理想變壓器的電壓比
• 全波橋式整流器的導通方式
• 二極體逆向峰值電壓（PIV）的定義

PIV 是單一未導通二極體所承受的最大逆向電壓。

解題方法

一次側電壓為

$$V_i(t)=2.5\sin(100t)\ \text{V}$$

因此一次側電壓峰值為

$$V_{p,\text{peak}}=2.5\ \text{V}$$

變壓器匝數比為

$$N_p:N_s=1:2$$

理想變壓器的二次側電壓峰值為

$$V_{s,\text{peak}} = \frac{N_s}{N_p}V_{p,\text{peak}} = 2(2.5) = 5\ \text{V}$$

在正半週時，橋式整流器中有兩顆二極體順向導通，每顆二極體壓降為 $0.7\ \text{V}$。因此負載兩端的最大輸出電壓為

核心觀念

本題考查理想運算放大器的虛短路特性，以及由電阻分壓器求輸出電壓：

$$V_+=V_-=V_i$$

理想運算放大器輸入端不吸收電流，因此輸入電流 $I_i$ 只流經 $30\,\Omega$ 電阻。

解題方法

設運算放大器輸出電壓為 $V_o$。反相端接在 $3\,\text{k}\Omega$ 與 $1\,\text{k}\Omega$ 的分壓節點，因此：

$$V_-=V_o\frac{1\,\text{k}\Omega}{3\,\text{k}\Omega+1\,\text{k}\Omega} =\frac{V_o}{4}$$

由虛短路：

$$V_-=V_+=V_i$$

所以：

$$\frac{V_o}{4}=V_i \quad\Rightarrow\quad V_o=4V_i$$

核心觀念

本題考查理想反相運算放大器的虛接地，以及電阻輸入與電容輸入的反相加法器。

理想運算放大器且正相端接地，因此

$$V_- \approx V_+ = 0$$

反相端為虛接地。電容電流公式為

$$i_C=C\frac{dV_1}{dt}$$

其中輸入端電容為 $1\,\text{mF}$。

解題方法

反相端節點套用 KCL。由於回授電阻為 $R_f=1\,\text{k}\Omega$，且 $V_2$ 經由 $R_2=1\,\text{k}\Omega$ 輸入，因此輸出電壓為

$$V_o=-R_f C\frac{dV_1}{dt}-\frac{R_f}{R_2}V_2$$

題目給定

$$V_1=t^2\ \text{V}$$

所以

核心觀念

本題考查理想運算放大器的兩大特性：

1. 輸入端不取電流：$i_+=i_-=0$。
2. 在線性負回授下，兩輸入端電壓相等：$V_+=V_-$。

第一級運算放大器的非反相端接地，因此其反相端為虛短路：

$$V_A=0\text{ V}$$

第二級運算放大器的反相端直接接輸出端，構成電壓追隨器，因此：

$$V_o=V_B$$

解題方法

設第一級運算放大器輸出為 $V_1$，第二級非反相端節點為 $V_B$。

由於第二級輸入端不取電流，$V_1$ 經過 $1\,\text{k}\Omega$ 與接地的 $1\,\text{k}\Omega$ 形成分壓：

$$V_B=\frac{1\,\text{k}\Omega}{1\,\text{k}\Omega+1\,\text{k}\Omega}V_1 =\frac{V_1}{2}$$

又因第二級為電壓追隨器：

$$V_o=V_B=\frac{V_1}{2}$$

接著對第一級反相端節點 $A$ 寫 KCL。由 $A$ 點電壓為 $0$，流向各支路的電流總和為：

核心觀念

本題考查 MOSFET 小訊號模型與輸入電阻定義：

$$R_{in}=\frac{v_i}{i_i}$$

進行小訊號分析時：

• 理想電壓源 $V_B$ 置換為交流接地，因此 $v_g=0$。
• 理想電壓源 $V_{DD}$ 置換為交流接地。
• 理想電流源 $I_1$ 置換為開路。
• $R_L=12\,\text{k}\Omega$ 與 $r_o=10\,\text{k}\Omega$ 均須保留。

由於輸入端接在 MOSFET 的 source，故

$$v_{gs}=v_g-v_s=-v_s$$

解題方法

令輸入電壓為

$$v_i=v_s$$

drain 端的小訊號電壓為 $v_d$。在 drain 節點套用 KCL：

$$\frac{v_d}{R_L}+\frac{v_d-v_s}{r_o}+g_mv_{gs}=0$$

代入 $v_{gs}=-v_s$：

$$\frac{v_d}{R_L}+\frac{v_d-v_s}{r_o}-g_mv_s=0$$

整理得

$$v_d = v_s\frac{R_L(1+g_mr_o)}{R_L+r_o}$$

輸入電流由 source 流入電晶體，為

$$i_i=g_mv_s+\frac{v_s-v_d}{r_o}$$

核心觀念

本題考查 NMOS 共閘極放大器的小訊號電壓增益。

• $V_B$ 為理想電壓源，因此小訊號下閘極接地：$v_g=0$。
• $V_{DD}$ 為直流電源，小訊號下視為接地。
• $C_1=\infty$，在工作頻率下視為短路。
• $r_o=\infty$，忽略電晶體的輸出電阻。
• 電晶體小訊號跨導為 $g_m=1\,\text{mA/V}=1\,\text{mS}$。

令 $v_s$ 為 $M_1$ 源極的小訊號電壓，則

$$v_{gs}=v_g-v_s=-v_s$$

---

解題方法

先求輸入端源極電壓 $v_s$，再求輸出電壓 $v_o$。

由源極看入電晶體的小訊號電阻為

$$\frac{1}{g_m}=\frac{1}{1\,\text{mS}}=1\,\text{k}\Omega$$

源極同時接有 $R_E=1\,\text{k}\Omega$，因此源極對地的等效電阻為

$$R_{\text{in,source}} = \frac{1}{g_m}\parallel R_E = 1\,\text{k}\Omega\parallel 1\,\text{k}\Omega = 0.5\,\text{k}\Omega$$

由於 $C_1$ 為交流短路，$v_{in}$ 經過 $R_s=2\,\text{k}\Omega$ 驅動此 $0.5\,\text{k}\Omega$ 負載，因此

$$v_s = v_{in} \frac{0.5\,\text{k}\Omega} {2\,\text{k}\Omega+0.5\,\text{k}\Omega} = \frac{1}{5}v_{in}$$

核心觀念

本題考查 BJT 小訊號模型與輸出電阻的求法。

求 $R_{out}$ 時：

1. 將獨立輸入源 $V_{in}$ 歸零，理想電壓源短路。
2. 理想電流源 $I_1$ 在小訊號下等效為開路。
3. $V_{CC}$ 為交流接地。
4. 在輸出端加測試電壓 $v_x$，求流入電路的測試電流 $i_x$：

$$R_{out}=\frac{v_x}{i_x}$$

由於 $r_o=\infty$，晶體管的 $r_o$ 不需列入計算。

解題方法

令輸出端，即電晶體射極電壓為 $v_x$，基極電壓為 $v_b$。

輸入源歸零後，$R_1=5\,\text{k}\Omega$ 接地；射極與基極之間有 $r_{\pi}=2\,\text{k}\Omega$ 及 $R_2=2\,\text{k}\Omega$。

基極節點套用 KCL：

$$\frac{v_b}{5\,\text{k}\Omega} +\frac{v_b-v_x}{2\,\text{k}\Omega} +\frac{v_b-v_x}{2\,\text{k}\Omega}=0$$

整理得：

$$\frac{v_b}{5\,\text{k}\Omega} +\frac{v_b-v_x}{1\,\text{k}\Omega}=0$$

因此

$$v_b=\frac{5}{6}v_x$$

所以

$$v_x-v_b=\frac{1}{6}v_x$$

從輸出端流入電路的電流包含：

核心觀念

本題考查：

• 共射極放大器的小訊號電壓增益。
• 二極體接法 BJT 的等效小訊號電阻。
• 發射極負載對 $Q_1$ 的負回授作用。
• 輸入電阻與訊號源電阻 $R_s$ 所造成的分壓。

由圖可知，$Q_2$ 的基極與集極相接，且其發射極接地，因此 $Q_2$ 為二極體接法。

---

解題方法

中頻小訊號分析時，$V_{CC}$ 視為交流接地，且 $r_{o1}=r_{o2}=\infty$，因此不必考慮 Early effect。

1. 求 $Q_2$ 的小訊號等效電導

二極體接法 BJT 的小訊號電流為

$$i_2=\left(g_{m2}+\frac{1}{r_{\pi2}}\right)v_e$$

其中 $v_e$ 為 $Q_1$ 的發射極電壓。因此

$$g_L=g_{m2}+\frac{1}{r_{\pi2}} =49\,\text{mS}+1\,\text{mS} =50\,\text{mS}$$

2. 求 $Q_1$ 的 $v_{be1}$ 與基極電壓關係

令 $v_b$ 為 $Q_1$ 基極電壓，$v_e$ 為發射極電壓，則

$$v_{be1}=v_b-v_e$$

在 $Q_1$ 發射極寫 KCL：

$$\left(g_{m1}+\frac{1}{r_{\pi1}}\right)(v_b-v_e) =g_Lv_e$$

代入數值：

$$(50+1)\,\text{mS}\,(v_b-v_e) =50\,\text{mS}\,v_e$$

所以

$$v_e=\frac{51}{101}v_b$$

因此

$$v_{be1}=v_b-v_e =\frac{50}{101}v_b \approx 0.49505v_b$$

3. 求 $Q_1$ 的輸入電阻

$Q_1$ 基極電流為

$$i_b=\frac{v_{be1}}{r_{\pi1}}$$

故由外部基極看入的等效輸入電阻為

$$R_{\text{in}} =\frac{v_b}{i_b} =r_{\pi1}\frac{v_b}{v_{be1}}$$

核心觀念

本題考查共射極放大器的中頻小訊號電壓增益：

• $C_1,C_2=\infty$，於交流小訊號等效為短路。
• $V_{CC}$ 為交流接地。
• $r_o=\infty$，因此忽略晶體管輸出電阻。
• 共射極放大器具有反相特性，故電壓增益為負。
• 輸入端需考慮偏壓電阻與 $r_{\pi}$ 所造成的分壓。

解題方法

1. 求基極對地的等效輸入電阻

交流等效時，$R_1$ 與 $R_2$ 的上端皆接交流地，因此

$$R_1\parallel R_2 =4\,\text{k}\Omega\parallel 2\,\text{k}\Omega =\frac{4\times 2}{4+2}\,\text{k}\Omega =\frac{4}{3}\,\text{k}\Omega$$

基極輸入電阻為

$$R_{\text{in}} =r_{\pi}\parallel R_1\parallel R_2 =2\,\text{k}\Omega\parallel \frac{4}{3}\,\text{k}\Omega =0.8\,\text{k}\Omega$$

2. 求輸入分壓後的 $v_{\pi}$

訊號源內阻為 $R_s=200\,\Omega$，所以

$$\frac{v_{\pi}}{v_{in}} = \frac{R_{\text{in}}}{R_s+R_{\text{in}}} = \frac{800}{200+800} =0.8$$

核心觀念

本題考查：

• MOS 差動對的差動半電路分析。
• 理想電流源在小訊號下視為開路。
• 完全匹配與純差動輸入造成尾端節點為交流虛地。
• 差動輸出端之間的電阻 $R_L$，在差動半電路中等效為 $R_L/2$。
• 由於 $M_{2A}$、$M_{2B}$ 為二極體接法，其小訊號等效電阻為

$$r_{M2}=\frac{1}{g_{m2}}.$$

---

解題方法

令差動輸入為

$$v_{id}=v_{in1}-v_{in2}.$$

由電路完全對稱，採用差動半電路分析。左半部的輸入為

$$\frac{v_{id}}{2},$$

左側輸出為

$$\frac{v_{out}}{2}.$$

在差動半電路中，跨接左右輸出端的 $R_L$ 等效為

$$\frac{R_L}{2}.$$

因此，左側輸出端所看到的等效負載為

$$R_{\text{eq}} = R_D\parallel \frac{R_L}{2}\parallel \frac{1}{g_{m2}}.$$

代入數值：

$$\frac{R_L}{2}=\frac{8\,\text{k}\Omega}{2}=4\,\text{k}\Omega,$$ $$\frac{1}{g_{m2}} = \frac{1}{0.5\,\text{mA/V}} = 2\,\text{k}\Omega.$$

所以

核心觀念

本題考查共源極放大器的高頻響應，以及寄生電容造成的極點與 Miller 效應。

中頻電壓增益約為

$$A_v \approx -g_m(R_D\parallel r_o\parallel R_L)$$

高頻時，主要考慮：

1. 閘極端的輸入電容 $C_{gs}$ 與 Miller 等效電容。
2. 汲極端的寄生電容 $C_{gd}$。
3. 輸出端的負載電容。
4. 訊號源電阻 $R_s$ 所形成的輸入極點。

若要增加 $-3\,\mathrm{dB}$ 頻寬，應降低等效電阻與電容，或利用負回授減輕 Miller 效應。

解題方法

輸入端高頻極點可概念性表示為

$$f_{H,\mathrm{in}} \approx \frac{1}{2\pi R_{\mathrm{in}} \left[C_{gs}+C_{gd}(1+g_mR_L')\right]}$$

其中 $R_L'$ 為汲極看到的等效電阻。由於共源極放大器的電壓增益為負，$C_{gd}$ 會被 Miller 效應放大，使輸入等效電容增加。

在源極加入未旁路的電阻後，負回授會降低增益，進而降低 $C_{gd}$ 的 Miller 放大倍數，因此雖然增益下降，頻寬會增加。

選項分析

(a) 電晶體 $M_1$ 寬度增加：錯誤

在偏壓電流大致固定時，增加寬度會使

$$C_{gs}\propto W,\qquad C_{gd}\propto W$$

雖然 $g_m$ 會增加，但寄生電容也同步增加，尤其 $C_{gd}$ 經 Miller 效應後會使輸入等效電容變大。因此無法保證 $-3\,\mathrm{dB}$ 頻寬增加，標準設計下反而可能降低頻寬。

(b) 電源供應電壓 $V_{DD}$ 增加：錯誤

若其他偏壓與小訊號參數維持不變，$V_{DD}$ 只提供較大的直流電壓裕度，並不直接降低 $R_s$、$C_{gs}$ 或 Miller 等效電容。

核心觀念

本題考查 MOS 差動對的共模增益。兩個輸入皆為同相共模訊號，因此兩支電晶體的汲極輸出相同，跨接於兩汲極之間的 $C_2$ 兩端電壓為零，不影響共模分析。

源極共同節點的等效阻抗為

$$Z_{SS}=R_{SS}\parallel \frac{1}{sC_1} =\frac{R_{SS}}{1+sR_{SS}C_1}.$$

由於兩支電晶體同時產生小訊號電流，源極節點的總跨導效應為 $2g_m$。

---

解題方法

單側輸出電壓為

$$v_o=-g_mR_Dv_{gs}.$$

源極電壓由兩支電晶體共同決定：

$$v_s=2g_mZ_{SS}v_{gs},$$

且

$$v_{gs}=v_{i,cm}-v_s.$$

因此

$$v_{gs} =\frac{v_{i,cm}}{1+2g_mZ_{SS}}.$$

共模電壓增益為

$$A_{cm}(s)=\frac{v_{o,cm}}{v_{i,cm}} =-\frac{g_mR_D}{1+2g_mZ_{SS}}.$$

代入 $Z_{SS}$：

$$A_{cm}(s) =-g_mR_D \frac{1+sR_{SS}C_1} {1+2g_mR_{SS}+sR_{SS}C_1}.$$

這是一個具有零點與極點的一階系統：

$$f_z=\frac{1}{2\pi R_{SS}C_1} =\frac{1}{2\pi(100\,\text{k}\Omega)(1\,\text{nF})} \approx 1.59\,\text{kHz},$$ $$f_p=(1+2g_mR_{SS})f_z.$$

因為

核心觀念

本題考查共源級放大器的中頻增益、米勒效應，以及由等效輸入電容形成的主極點。

輸入端與輸出端之間的電容 $C_1$ 會因電壓增益而產生米勒等效電容：

$$C_{\text{in}}=C_1(1-A_v)$$

其中 $A_v$ 為由輸入閘極至輸出的電壓增益。

解題方法

兩個電晶體的輸出端並聯，因此輸出電阻為

$$R_{\text{out}}=r_{on}\parallel r_{op} =6\,\text{k}\Omega\parallel4\,\text{k}\Omega =2.4\,\text{k}\Omega$$

NMOS 與 PMOS 皆對輸出產生反相作用，故等效跨導為

$$g_m=g_{mn}+g_{mp} =1\,\text{mA/V}+1\,\text{mA/V} =2\,\text{mS}$$

中頻電壓增益為

$$A_v=-g_mR_{\text{out}} =-(2\,\text{mS})(2.4\,\text{k}\Omega) =-4.8$$

因此，$C_1$ 在輸入端的米勒等效電容為

$$C_{\text{in}} =C_1(1-A_v) =(1\,\text{nF})[1-(-4.8)] =5.8\,\text{nF}$$

輸入端主要由 $R_s$ 與 $C_{\text{in}}$ 形成極點，因此主極點的角頻率為

核心觀念

此電路是 共汲極（源極追隨器）。忽略其他寄生電容後，輸出端的 $C_S$ 與晶體管的小訊號電導、$r_o$ 及 $R_S$ 共同形成單一極點。其電壓增益的 $-3\,\mathrm{dB}$ 頻寬由此極點決定。

解題方法

圖中 $M_1$ 的閘極接 $V_{in}$，汲極接電源（小訊號視為接地），源極為 $V_{out}$；輸出端接有 $R_S=2\,\mathrm{k\Omega}$ 與 $C_S=1\,\mathrm{nF}$ 至地。題目給定 $r_o=5\,\mathrm{k\Omega}$，且忽略其他寄生電容。

在輸出節點套用小訊號 KCL：

$$g_m(V_{in}-V_{out}) = \frac{V_{out}}{R_S} +\frac{V_{out}}{r_o} +sC_SV_{out}$$

因此電壓增益為

$$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{g_m} {g_m+\dfrac{1}{R_S}+\dfrac{1}{r_o}+sC_S}$$

這是一階低通響應，其極點角頻率，也就是相對於低頻增益的 $-3\,\mathrm{dB}$ 頻寬，為

核心觀念

本題考運算放大器與 MOSFET 組成的負回授放大器。運算放大器的開迴路電壓增益為 $A$ 時，輸出滿足 $v_g=A(v_i-v_s)$；MOSFET 小訊號汲極電流為 $i_d=g_{m1}v_{gs}$。負回授會讓源極電壓 $v_s$ 隨輸入變化，需一併列式求解，不能直接把運算放大器視為理想元件。

解題方法

圖中 $V_i$ 接運算放大器正端，負端接 MOSFET 源極；運算放大器輸出接閘極。MOSFET 汲極接輸出 $V_o$，並經 $R_1$ 接 $V_{DD}$；源極經 $R_2$ 接地。小訊號分析時，$V_{DD}$ 為交流接地。運算放大器輸入阻抗無限大，因此不從輸入端取電流。

運算放大器增益為

$$A=10^{20/20}=10$$

令 $v_{gs}=v_g-v_s$。在源極節點套用 KCL：

$$\frac{v_s}{R_2}=g_{m1}v_{gs} \quad\Longrightarrow\quad v_s=g_{m1}R_2v_{gs}$$

又因 $v_g=A(v_i-v_s)$，所以

$$v_{gs}=A(v_i-v_s)-v_s =A v_i-(A+1)v_s$$

代入源極關係，得到

$$v_{gs}=A v_i-(A+1)g_{m1}R_2v_{gs}$$

因此

核心觀念

本題用小訊號等效電路與節點分析求出閉迴路傳遞函數，再令頻率響應的大小降至直流增益的 $1/\sqrt{2}$，即可求得 $-3\,\mathrm{dB}$ 頻寬。電容 $C_L$ 形成頻率相關的導納 $sC_L$；忽略 $r_o$ 與寄生電容後，電路只有這一個電容。

解題方法

依圖可讀出：$M_1$ 的閘極接輸入 $v_i$，汲極節點經 $R_1$ 與 $C_L$ 接至交流接地的 $V_{DD}$，源極節點經 $R_2$ 接地，並透過 $R_3$ 接到輸出 $v_o$；$M_2$ 的閘極接 $M_1$ 汲極，源極接 $V_{DD}$，汲極接輸出，且輸出經 $R_4$ 接地。令 $v_x$ 為 $M_1$ 汲極與 $M_2$ 閘極的節點電壓，$v_y$ 為 $M_1$ 源極電壓。

將 $V_{DD}$ 視為交流接地，並令 $G_i=1/R_i$。以題目給定的跨導方向列節點方程：

$$(G_1+sC_L)v_x+g_{m1}(v_i-v_y)=0$$ $$(G_2+G_3+g_{m1})v_y-G_3v_o-g_{m1}v_i=0$$ $$-G_3v_y+(G_3+G_4)v_o+g_{m2}v_x=0$$

第三式中，輸出端經 $R_3$ 連到 $v_y$、經 $R_4$ 接地，且含有 $M_2$ 的小訊號電流，因此電導項為 $G_3+G_4$，跨導項為 $g_{m2}v_x$。

代入電阻與跨導數值，以 $\mathrm{mS}$ 為導納與跨導單位，令

$$a=G_1+sC_L=0.1+10^{-8}s$$

三式可寫成

$$av_x+0.1(v_i-v_y)=0$$ $$1.211111v_y-0.111111v_o-0.1v_i=0$$ $$10v_x-0.111111v_y+0.211111v_o=0$$

由第二式得 $v_o=(109v_y-9v_i)/10$；將其與第一式代入第三式並整理，可得傳遞函數

$$\frac{V_o}{V_i} = \frac{90(100+a)}{900+1971a}$$

直流時 $a=0.1$，故

核心觀念

本題考查有限輸出電阻的轉導放大器在負回授電路中的閉迴路增益。依圖 (a)，輸出電流源方向由地端指向輸出端，大小為 $g_mV_i$，並聯輸出電阻 $R_o$；依圖 (b)，正輸入端接地、負輸入端接回授節點，因此 $V_i=0-V_-$。輸出端另接負載 $R_L$，回授電阻 $R_2$ 也會負載輸出端，須一併列入節點方程。

解題方法

令反相輸入端電壓為 $V_-$。圖中 $V_s$ 經 $R_1$ 接至 $V_-$，$V_-$ 再經 $R_2$ 接至 $V_o$；輸出端則透過 $R_o$、$R_L$ 接地。由於放大器輸入端不取電流，於 $V_-$ 節點套用 KCL：

$$\frac{V_- - V_s}{R_1}+\frac{V_- - V_o}{R_2}=0$$

代入 $R_1=R_2$，得到

$$V_-=\frac{V_s+V_o}{2}$$

放大器輸入電壓為

$$V_i=V_+-V_-= -V_-$$

輸出電流源向輸出節點注入 $g_mV_i=-g_mV_-$。對輸出節點套用 KCL：

$$\frac{V_o}{R_o}+\frac{V_o}{R_L}+\frac{V_o-V_-}{R_2} =-g_mV_-$$

整理：

核心觀念

求含回授的輸出電阻時，將獨立輸入電壓源設為零，並在輸出端加測試電壓 $v_o$。受控源必須保留；輸出電阻由 $R_{out}=v_o/i_t$ 求得，其中 $i_t$ 定義為流入輸出端的測試電流。

解題方法

圖中正相端接輸入電壓源 $v_i$，反相端接 $R_1$ 至地，並透過 $R_2$ 回授至輸出端；運算放大器模型包含輸入電阻 $R_{in}$、增益 $A$ 的受控電壓源，以及串聯輸出電阻 $R_o$。求輸出電阻時令 $v_i=0$，因此正相端接地，$R_{in}$ 與 $R_1$ 都是反相端至地的電阻。

反相端至地的等效電阻為

$$R_g=R_1\parallel R_{in} =4\,\mathrm{k\Omega}\parallel10\,\mathrm{k\Omega} =\frac{20}{7}\,\mathrm{k\Omega}.$$

由 $R_2$ 與 $R_g$ 的分壓，反相端電壓為

$$v_-=\frac{R_g}{R_2+R_g}v_o =\frac{5}{12}v_o.$$

模型受控電壓源的電壓為 $A(v_+-v_-)$。由於 $v_+=0$，