113 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電子學》

核心觀念

本題考查理想運算放大器的兩項特性：

• 輸入端電流為零：$i_+=i_-=0$
• 負回授下，兩輸入端電壓相等：$V_+=V_-$

電路中非反相端由 $2\text{ V}$ 經 $2\,\text{k}\Omega$ 與 $2\,\text{k}\Omega$ 分壓。

解題方法

先求非反相端電壓：

$$V_+=2\text{ V}\times \frac{2\,\text{k}\Omega}{2\,\text{k}\Omega+2\,\text{k}\Omega} =1\text{ V}$$

由虛短路特性：

$$V_-=V_+=1\text{ V}$$

在反相端節點套用 KCL。由於運算放大器輸入電流為零，流入反相端的電流總和為零：

核心觀念

此電路為理想運算放大器的反相積分器，非反相端接地，因此反相端為虛地：

$$V_- = V_+ = 0$$

兩個輸入電阻皆為 $1\,\text{k}\Omega$，回授電容為 $1\,\text{mF}$。反相積分器公式為：

$$\frac{dV_o}{dt} = -\frac{1}{RC}\left(V_1+V_2\right)$$

其中

$$RC=(1\,\text{k}\Omega)(1\,\text{mF})=1\,\text{s}$$

解題方法

在 $t>0$ 時：

$$V_1=2\text{ V},\qquad V_2=2t\text{ V}$$

因此輸出電壓變化率為：

$$\frac{dV_o}{dt} = -\frac{2+2t}{1} =-(2+2t)$$

核心觀念

本題是 NMOS 共源級放大器搭配 PMOS 電流鏡主動負載。小訊號增益主要由：

• M1 的跨導 $g_{m1}$
• M1 與 M2 輸出端的輸出電阻 $r_{o1},r_{o2}$

決定。由於 M3 為二極體接法，且其閘極與 M2 閘極相連，交流小訊號下可視為固定偏壓，M2 的小訊號跨導電流不直接由 $v_1$ 控制。

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解題方法

由圖可知，M3 的汲極電流由理想 $200\,\mu\text{A}$ 電流源設定，因此電流鏡使 M2 的靜態電流約為

$$I_{D1}=I_{D2}=I_{D3}=200\,\mu\text{A}.$$

且

$$\frac{W}{L}=\frac{20\,\mu\text{m}}{1\,\mu\text{m}}=20.$$

1. 計算 M1 的跨導

題目給定

$$\mu_n C_{ox}=20\,\mu\text{A/V}^2.$$

NMOS 飽和區電流為

$$I_D=\frac{1}{2}\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}V_{OV}^2,$$

因此

$$g_m=\sqrt{2\mu_n C_{ox}\frac{W}{L}I_D}.$$

代入 M1 的參數：

$$g_{m1} =\sqrt{2(20\,\mu\text{A/V}^2)(20)(200\,\mu\text{A})}$$ $$g_{m1}=0.4\,\text{S}.$$

2. 計算輸出電阻

題目給定

$$|V_A|=100\,\text{V}.$$

核心觀念

本題考查兩個 NMOS 串聯電路的小訊號輸出阻抗。忽略通道長度調變時，MOSFET 的 $r_o\to\infty$，因此輸出端主要由二極體接法的 $M_2$ 提供小訊號導通路徑。

由圖可知：

• $M_1$：$V_{G1}=2\text{ V}$、$V_{S1}=0$。
• $M_2$：閘極與汲極接至 $4\text{ V}$，為二極體接法。
• 輸出端 $v_o$ 位於兩管的汲極／源極連接點。

直流工作點

兩管串聯，所以直流電流相同。對 $M_1$ 而言，

$$V_{GS1}=2\text{ V}$$ $$V_{OV1}=V_{GS1}-V_{THN}=2-1=1\text{ V}$$

晶體管的導通參數為

$$k_n=\mu_n C_{ox}\frac{W}{L} =20\frac{\text{mA}}{\text{V}^2}\cdot\frac{5}{0.5} =200\frac{\text{mA}}{\text{V}^2}$$

因此

$$I_D=\frac{1}{2}k_nV_{OV1}^2 =\frac{1}{2}(200)(1)^2 =100\text{ mA}$$

因兩管電流相同，$M_2$ 也有

核心觀念

本題考查二極體的直流工作點、小訊號電阻，以及交流等效電路。

二極體順向導通時：

$$r_d=\frac{V_T}{I_D}$$

其中 $V_T=25\text{ mV}$。在小訊號分析中，理想直流電流源視為開路；由於 $C_1=C_2=\infty$，交流訊號下兩個電容視為短路，因此 $v_i$ 直接加在 $D_1$ 下端，$v_o$ 為 $D_1$ 上端電壓。

解題方法

先求直流工作電流。下方 $0.5\text{ mA}$ 電流源決定通過 $D_1$ 的電流：

$$I_{D1}=0.5\text{ mA}$$

上方節點注入總電流為 $2\text{ mA}$，因此通過 $D_2$ 的電流為：

$$I_{D2}=2-0.5=1.5\text{ mA}$$

故兩顆二極體的小訊號電阻為：

$$r_{d1}=\frac{25\text{ mV}}{0.5\text{ mA}}=50\ \Omega$$

核心觀念

本題考二極體的分段線性模型，以及戴維寧等效電路。二極體導通時，陽極電壓比陰極高 $0.7\,\text{V}$；導通內阻為 $0\,\Omega$，因此導通壓降固定為 $0.7\,\text{V}$。

解題方法

圖中左側分壓器由上方 $30\,\text{k}\Omega$、下方 $30\,\text{k}\Omega$ 組成；右側由上方 $40\,\text{k}\Omega$、下方 $10\,\text{k}\Omega$ 組成。二極體的參考電流 $I$ 由左向右，方向與導通方向相同。

先假設二極體不導通，左右中點電壓分別為

$$V_L=10\frac{30}{30+30}=5\,\text{V}, \qquad V_R=10\frac{10}{40+10}=2\,\text{V}.$$

因此陽極比陰極高 $5-2=3\,\text{V}$，超過 $0.7\,\text{V}$，二極體確實導通。

將左右分壓器分別化為戴維寧等效：

核心觀念

本題考查 NMOS 的飽和區條件，以及電阻負載下的汲極電壓。忽略通道長度調變時，NMOS 在飽和區的條件為

$$V_{DS}\ge V_{GS}-V_t$$

飽和區汲極電流為

$$I_D=\frac{1}{2}k_n'\frac{W}{L}(V_{GS}-V_t)^2$$

解題方法

圖中是 NMOS，源極接地，閘極接 $+1\,\text{V}$，汲極經電阻 $R_D$ 接至 $+1\,\text{V}$ 電源。因此 $V_{GS}=1\,\text{V}$，且汲極電壓為 $V_D=1\,\text{V}-I_D R_D$。

先計算過驅電壓：

$$V_{OV}=V_{GS}-V_t=1-0.5=0.5\,\text{V}$$

電晶體處於飽和區時的電流為

核心觀念

這題考共源級的源極退化與旁路電容。源極阻抗會形成一個零點與一個極點；忽略輸出電阻及寄生電容時，電壓增益可寫成

$$\frac{v_o}{v_i} = -\frac{g_mR_1(1+sR_2C_s)} {1+g_mR_2+sR_2C_s}$$

解題方法

圖中 $M_1$ 為共源級：閘極接輸入 $v_i$，汲極經 $R_1$ 接 $V_{DD}$，輸出 $v_o$ 取自汲極；源極接到 $R_2$ 與 $C_s$ 並聯後接地。小訊號分析時，$V_{DD}$ 視為交流接地，因此源極阻抗為

$$Z_s=R_2\parallel\frac{1}{sC_s} =\frac{R_2}{1+sR_2C_s}$$

忽略 $r_o$，共源級增益為

$$\frac{v_o}{v_i} = -\frac{g_mR_1}{1+g_mZ_s} = -\frac{g_mR_1(1+sR_2C_s)} {1+g_mR_2+sR_2C_s}$$

核心觀念

本題考查小訊號等效電路、輸出電阻與單極點頻寬。當只有輸出端的負載電容 $C_L$ 有效時，電路的 $3\,\mathrm{dB}$ 頻寬為

$$\omega_{3\mathrm{dB}}=\frac{G_{\mathrm{out}}}{C_L} =\frac{1}{R_{\mathrm{out}}C_L}.$$

求 $G_{\mathrm{out}}$ 時，將輸入小訊號設為零，在輸出端加測試電壓，並計算流入電路的測試電流。

解題方法

依原圖，$M_1$ 為閘極與汲極相接的 PMOS，並與 $M_2$ 共用閘極形成電流鏡；$M_3$、$M_4$ 為共用理想偏壓電流源的 NMOS。$M_4$ 的閘極與汲極都直接接到輸出端 $v_o$，因此是二極體接法，會對輸出端提供小訊號導通路徑。電路中唯一需計入的電容是接在輸出端的 $C_L$。

令

$$g_m=10\,\mathrm{mS},\qquad g_o=\frac{1}{20\,\mathrm{k}\Omega}=50\,\mathrm{\mu S}.$$

將 $v_i=0$，在輸出端加測試電壓 $v_o$。令 $v_x$ 為 $M_1$、$M_3$ 相接節點電壓，$v_s$ 為 $M_3$、$M_4$ 的共源節點電壓。

在 $v_x$ 節點套用小訊號 KCL：

$$(g_m+g_o)v_x+\big[g_o(v_x-v_s)-g_m v_s\big]=0,$$

因此

$$(g_m+2g_o)v_x-(g_m+g_o)v_s=0, \qquad \frac{v_x}{v_s}=\frac{g_m+g_o}{g_m+2g_o}.$$

理想尾電流源的小訊號電阻為無限大，故共源節點的 KCL 為

$$\big[g_o(v_x-v_s)-g_m v_s\big] +(g_m+g_o)(v_o-v_s)=0,$$

整理得

$$g_o v_x+(g_m+g_o)v_o-2(g_m+g_o)v_s=0.$$

代入元件數值，可得

核心觀念

這題考有限開迴路增益運算放大器的反相電路，以及耦合電容 $C_c$ 所形成的低頻截止點。低頻 $3\,\text{dB}$ 頻率是增益幅度降至中頻增益的 $1/\sqrt{2}$ 倍時的角頻率。

解題方法

圖中 $C_c$ 串接在輸入端，$R_1$ 由輸出端回授至反相端，非反相端接地；運算放大器輸入阻抗 $10\,\text{k}\Omega$ 因此等效接在反相端與地之間。輸出端並接 $C_L$ 至地。題目給定開迴路增益 $A=100$、輸出阻抗為 $0\,\Omega$，且 $R_1=1.01\,\text{M}\Omega$、$C_c=C_L=1\,\text{nF}$。

令反相端電壓為 $v_x$。由開迴路增益關係，且非反相端接地：

$$v_o=-A v_x$$

在反相端寫 KCL：

$$sC_c(v_x-v_i)+\frac{v_x}{R_{\text{in}}} +\frac{v_x-v_o}{R_1}=0$$

代入 $v_o=-A v_x$：

$$sC_c(v_x-v_i)+ \left(\frac{1}{R_{\text{in}}}+\frac{1+A}{R_1}\right)v_x=0$$

因此傳遞函數為：

$$\frac{v_o}{v_i} = -\frac{A s C_c} {sC_c+\dfrac{1}{R_{\text{in}}}+\dfrac{1+A}{R_1}}$$

核心觀念

本題考差動對的小訊號分析，以及由傳遞函數分子判斷零點。雖然尾電流源是理想電流源，尾端小訊號電流為零，但共源節點電壓不因此固定為交流地；有限的 $r_o$ 會使兩支 NMOS 的汲極電壓變化耦合到共源節點。

解題方法

圖中 $M_1$ 為二極體接法 PMOS，與 $M_2$ 形成電流鏡負載；$M_3$、$M_4$ 為差動對，兩汲極分別接節點 1、節點 2，輸出 $v_o$ 取自節點 2。節點 1、2 的寄生電容分別為 $1\,\text{pF}$、$10\,\text{pF}$。各管 $g_m=10\,\text{mS}$、$g_o=1/r_o=5\,\mu\text{S}$。

對差動輸入，兩輸入小訊號總和為零。令共源節點電壓為 $v_s$，由尾端小訊號電流為零的條件：

$$g_m(v_{g3}-v_s)+g_o(v_1-v_s) +g_m(v_{g4}-v_s)+g_o(v_o-v_s)=0$$

因此

$$v_s=\frac{g_o(v_1+v_o)}{2(g_m+g_o)}.$$

將此共源節點電壓納入節點方程，再消去內部節點變數，傳遞函數分子的零點因子為

核心觀念

單位增益緩衝器的回授係數為 $\beta=1$，因此迴路增益為 $A_{OL}(j\omega)$。相位邊限定義在迴路增益大小等於 $1$ 的增益交越頻率 $\omega_{gc}$：

$$\mathrm{PM}=180^\circ+\angle A_{OL}(j\omega_{gc})$$

所以相位邊限為 $45^\circ$ 時，開迴路增益的相位必須是 $-135^\circ$。

解題方法

圖中運算放大器的正相輸入接 $v_i$，輸出直接回授至反相輸入，形成單位增益緩衝器。開迴路增益有兩個極點，且 $\omega_2=10^8\ \mathrm{rad/sec}$。

令

$$\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{\omega_{gc}}{\omega_1}\right), \qquad \beta=\tan^{-1}\left(\frac{\omega_{gc}}{\omega_2}\right)$$

相位邊限條件給出兩極點的相位總和：

$$\alpha+\beta=135^\circ$$

在增益交越頻率，$|A_{OL}(j\omega_{gc})|=1$，因此

$$\frac{10^5}{\sqrt{(1+\tan^2\alpha)(1+\tan^2\beta)}}=1$$

由於 $\sqrt{1+\tan^2\theta}=1/\cos\theta$，可得

$$\cos\alpha\cos\beta=10^{-5}$$

利用積化和差公式：

核心觀念

本題考查小訊號等效電路中的交流接地，以及辨認輸出端是否為理想電壓源直接固定的節點。理想直流電源在小訊號分析時視為交流接地。

解題方法

依原圖，$M_1$、$M_2$、$M_3$ 與偏壓電流源 $I_1$、$I_2$、$I_3$ 相連；$R_1$、$R_2$ 位於回授網路中。關鍵是 $v_o$ 接在 $M_3$ 汲極，而該節點以導線直接連到 $V_{DD}$；$M_3$ 源極則接至 $I_3$。

小訊號分析時，理想電源 $V_{DD}$ 的交流電壓為零，因此輸出節點的交流電壓為

$$v_o=0.$$

核心觀念

本題考查電壓取樣、串聯混合的負迴授放大器。此種迴授會提高輸入阻抗，其關係為

$$R_{\text{in},f}=R_{\text{in}}(1+A\beta)$$

其中 $A$ 是開迴路電壓增益，$\beta$ 是迴授係數，$A\beta$ 是迴路增益。閉迴路電壓增益則為

$$A_f=\frac{A}{1+A\beta}$$

解題方法

先用輸入阻抗的增加倍數求出 $1+A\beta$：

核心觀念

負回授放大器的閉迴路增益為

$$A_f=\frac{A}{1+A\beta}$$

其中 $A$ 是開迴路增益，$\beta$ 是迴授係數。當迴路增益 $A\beta$ 足夠大時，閉迴路增益近似為 $1/\beta$，且對開迴路增益變動的敏感度為

$$S_A^{A_f} =\frac{\Delta A_f/A_f}{\Delta A/A} =\frac{1}{1+A\beta}$$

因此，開迴路增益的誤差會被迴授降低 $1+A\beta$ 倍。

解題方法

理想閉迴路增益為 $20\,\text{V}/\text{V}$，先由 $A_f\approx 1/\beta$ 求迴授係數：

$$\beta=\frac{1}{20}=0.0500$$

核心觀念

本題考差動對的小訊號分析。MOSFET 的小訊號汲極電流為 $g_m v_{gs}$；忽略通道長度調變時，輸出電阻 $r_o$ 可視為無限大。由於兩側電路對稱，輸出端接在兩個相等的 $R_L$ 中點，因此 $v_{out}$ 等於兩個汲極小訊號電壓的平均值。

解題方法

圖中是兩顆共源極相接的 NMOS：左側閘極輸入 $v_{in}$，右側閘極接地；兩個汲極各經 $R_D=2\,\text{k}\Omega$ 接至 $V_{DD}$，而 $V_{DD}$ 在小訊號分析中視為交流接地。兩汲極之間以兩個 $R_L=5\,\text{k}\Omega$ 串接，中央接出 $v_{out}$；共源極節點經 $R_S=500\,\Omega$ 接地。

原卷印出的 $g_m$ 單位為 $\text{mA}/\text{V}^2$，但轉導的單位應為 $\text{A}/\text{V}$。以下依題目數值將其解讀為 $g_m=1\,\text{mA}/\text{V}=1\,\text{mS}$。

令共源極小訊號電壓為 $v_s$。對共源極節點寫電流方程：

$$\frac{v_s}{R_S}+g_m(v_s-v_{in})+g_m v_s=0$$

因此

核心觀念

本題考差動對與電流鏡主動負載的小訊號分析。將電容 $C=\infty$ 視為交流短路，因此負載 $R_L$ 接在輸出端與交流地之間。各 MOSFET 的小訊號模型包含 $g_m$ 控制電流源與 $r_o$；尾電流源視為理想電流源，其小訊號電阻為無限大。

解題方法

圖中 $M_1、M_2$ 為共源極差動對，$M_3、M_4$ 為 PMOS 電流鏡，$M_3$ 為二極體接法；輸出取自 $M_2、M_4$ 的共接汲極。已知 $g_m=10\,\text{mS}$、$r_o=2\,\text{k}\Omega$，故 $g_o=1/r_o=0.5\,\text{mS}$；輸入為 $v_{in1}=1\,\text{mV}$、$v_{in2}=-1\,\text{mV}$。

令 $v_x$ 為 $M_1、M_3$ 共接點電壓、$v_s$ 為差動對共源極電壓，並令 $v_o=v_{out}$。以下以 mV 表示電壓、以 mS 表示電導，乘積的單位為 $\mu\text{A}$。

共源極節點套用 KCL。尾電流源的小訊號電流為零，因此兩支 MOSFET 的增量電流總和為零：

$$10(1-v_s)+0.5(v_x-v_s)+10(-1-v_s)+0.5(v_o-v_s)=0$$

整理得：

$$v_s=\frac{v_x+v_o}{42}$$

核心觀念

這題考差動對的輸入等效直流漂移電壓。負載電阻不匹配會讓兩側輸出產生直流差；輸入端必須加上一個差動電壓，才能補償這個差值。忽略通道長度調變時，NMOS 飽和區電流為

$$I_D=\frac{1}{2}K_nV_{OV}^2,\qquad K_n=k_n'(W/L)$$

解題方法

圖中是 M1、M2 組成的 NMOS 差動對，共用尾電流源 $I_S$；兩側汲極各經 $R_{D1}$、$R_{D2}$ 接至 $V_{DD}$，輸出取自兩汲極。已知負載標稱值為 $2\,\text{k}\Omega$，兩者相差 $1\%$，故取 $R_{D1}/R_{D2}=1.01$；尾電流方向依圖示向下。

將輸入漂移電壓定義為讓兩側輸出直流電壓相等所需的差動輸入。輸出相等時，兩負載上的電壓降相等，因此

$$I_1R_{D1}=I_2R_{D2},\qquad I_1+I_2=I_S$$

令 $q=R_{D1}/R_{D2}=1.01$，可得 $I_1=I_S/(1+q)$、$I_2=qI_S/(1+q)$。由平方律，兩管所需的閘源電壓差大小為