113 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（A）》

核心觀念

本題考查一階線性微分方程

$$y' + P(x)y = Q(x)$$

的解法。題目為

$$y'-y=1$$

其中 $P(x)=-1$、$Q(x)=1$。其通解由「齊次解」與「特解」組成：

$$y=y_h+y_p$$

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解題方法

1. 求齊次解

先考慮對應的齊次方程：

$$y'-y=0$$

即

$$\frac{dy}{dx}=y$$

分離變數得

$$\frac{dy}{y}=dx$$

兩邊積分：

$$\ln|y|=x+C$$

因此

$$y_h=Ce^x$$

2. 求特解

因為右側為常數 $1$，設特解為常數：

$$y_p=A$$

則 $y_p'=0$。代回原方程：

$$0-A=1$$

所以

$$A=-1$$

因此

$$y_p=-1$$

3. 合併通解

$$y=y_h+y_p$$

得到

$$\boxed{y=Ce^x-1}$$

快速代回驗算：

$$y'=Ce^x$$

所以

$$y'-y=Ce^x-(Ce^x-1)=1$$

確實符合原方程。

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選項分析

(A) $y=Ce^x$

核心觀念

本題考查二階常微分方程式（Second-Order ODE）的降階法（Reduction of Order）與分離變數法（Separation of Variables）：

1. 缺 $y$ 項的二階 ODE：若二階 ODE 形式為 $F(x, y', y'') = 0$（不含應變數 $y$ 本身），可透過變數代換令 $v(x) = y'$，使原式降階為關於 $v(x)$ 的一階 ODE。
2. 分離變數積分：降階後的一階 ODE 可透過分離變數法求得 $v(x)$。
3. 反三角函數積分：基本積分公式 $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin(x) + C$。

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解題方法

題目給定二階線性常微分方程式：

$$(1 - x^2)y'' - xy' = 0$$

步驟一：變數變換進行降階

觀察方程式發現不含 $y$ 項，令：

$$v(x) = y' = \frac{dy}{dx} \implies y'' = \frac{dv}{dx}$$

將其代入原微分方程式，可得關於 $v$ 的一階線性微分方程式：

$$(1 - x^2)\frac{dv}{dx} - xv = 0$$

步驟二：分離變數並求解 $v(x)$

將變數 $v$ 與 $x$ 分離：

$$\frac{1}{v}\,dv = \frac{x}{1-x^2}\,dx$$

兩邊同時取不定積分：

$$\int \frac{1}{v}\,dv = \int \frac{x}{1-x^2}\,dx$$

利用代換積分法 $\int \frac{x}{1-x^2}\,dx = -\frac{1}{2}\int \frac{d(1-x^2)}{1-x^2} = -\frac{1}{2}\ln|1-x^2|$：

$$\ln |v| = -\frac{1}{2}\ln |1-x^2| + c_1 = \ln \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) + c_1$$

兩邊取指數，得：

$$v(x) = \frac{C_1}{\sqrt{1-x^2}}$$

（其中 $C_1 = \pm e^{c_1}$ 為任意常數）

核心觀念

本題考查二階常微分方程的直接積分，以及三角函數的奇偶性：

$$\sin(-x)=-\sin x$$

因此原方程可改寫為

$$y''=-\sin x.$$

二階微分方程需要連續積分兩次，所以一般解應包含兩個任意常數 $C_1,C_2$。

解題方法

由

$$y''=-\sin x$$

第一次積分得

$$y'=\int -\sin x\,dx=\cos x+C_1.$$

再積分一次：

$$y=\int(\cos x+C_1)\,dx =\sin x+C_1x+C_2.$$

利用 $\sin(-x)=-\sin x$，可得

$$-\sin(-x)=\sin x.$$

所以一般解也可表示為

$$y=-\sin(-x)+C_1x+C_2.$$

選項分析

• (A) $y=\sin(-x)$

  因為

  $$y=-\sin x,$$

  所以

  $$y''=\sin x\neq-\sin x=\sin(-x).$$

  故錯誤。

• (B) $y=-\sin(-x)$

  因為

  $$y=\sin x,$$

  故

  $$y''=-\sin x=\sin(-x),$$

先將方程寫成線性標準形

$xy'+y=3\quad\Longrightarrow\quad y'+\frac{1}{x}y=\frac{3}{x}$

計算積分因子

$\mu(x)=e^{\int\frac{1}{x}\,dx}=e^{\ln x}=x$

兩側乘以 $\mu$

核心觀念

此題考查 Euler–Cauchy（等冪）微分方程的冪次試解法。對於

$$x^2y''+axy'+by=0$$

若設

$$y=x^m,$$

代入後可將微分方程化為關於 $m$ 的代數方程，稱為特徵方程。

解題方法

令

$$y=x^m.$$

則

$$y'=mx^{m-1}, \qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.$$

代入原微分方程：

$$x^2y''-5xy'+8y=0$$

得到

$$x^2\left[m(m-1)x^{m-2}\right] -5x\left(mx^{m-1}\right) +8x^m=0.$$

整理各項：

$$m(m-1)x^m-5mx^m+8x^m=0.$$

提取 $x^m$：

$$\left[m(m-1)-5m+8\right]x^m=0.$$

對於定義域內的 $x\neq 0$，有 $x^m\neq 0$，因此必須滿足

$$m(m-1)-5m+8=0.$$

展開並因式分解：

$$m^2-m-5m+8=0,$$ $$m^2-6m+8=0,$$ $$(m-2)(m-4)=0.$$

因此

$$m=2 \quad \text{或} \quad m=4.$$

選項分析

核心觀念

函數 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的 Taylor 級數為

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n。$$

因此，$(x-3)^5$ 的係數為

$$\frac{f^{(5)}(3)}{5!}。$$

本題的函數為

$$f(x)=e^{2x},$$

展開中心為 $x=3$。

解題方法

連續微分可得

$$f'(x)=2e^{2x},$$ $$f''(x)=2^2e^{2x},$$

一般化後為

$$f^{(n)}(x)=2^n e^{2x}。$$

令 $n=5$：

$$f^{(5)}(x)=2^5e^{2x}=32e^{2x}。$$

代入 $x=3$：

$$f^{(5)}(3)=32e^6。$$

所以 $(x-3)^5$ 的係數為

$$\frac{f^{(5)}(3)}{5!} = \frac{32e^6}{5!}。$$

選項分析

• (A) $\frac{1}{5!}$：錯誤。
  忽略了函數 $e^{2x}$ 的第五階導數所產生的因子 $2^5e^6$。

• (B) $\frac{3^5}{5!}$：錯誤。
  將展開中心 $x=3$ 誤當成係數來源。

核心觀念

Taylor series「在 $x=a$ 附近只有偶次方」是指其展開式具有形式

$$f(x)=c_0+c_2(x-a)^2+c_4(x-a)^4+\cdots, \qquad a=\frac{\pi}{2}.$$

判斷條件為

$$f(a+t)=f(a-t),$$

也就是函數圖形關於直線 $x=a$ 對稱。等價地，所有奇數階導數皆須滿足

$$f^{(2k+1)}(a)=0.$$

令

$$t=x-\frac{\pi}{2}.$$

逐一檢查各選項。

選項分析

(A) $\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$

代入 $x=\frac{\pi}{2}+t$：

$$\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2}+t\right)+\frac{\pi}{4}\right) =\sin\left(\frac{5\pi}{4}+2t\right).$$

依題目原式直接化簡可見其關於 $t$ 含有非零的一次項；例如其導數為

$$f'(x)=2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right),$$

因此

$$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) =2\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) =-\sqrt{2}\neq 0.$$

既然一次項不為零，Taylor 展開必含奇次方，故錯誤。

(B) $\cos\left(3\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\right)$

令 $t=x-\frac{\pi}{2}$，則

$$f(x)=\cos(3t).$$

其 Taylor 展開為

$$\cos(3t) =1-\frac{(3t)^2}{2!}+\frac{(3t)^4}{4!} -\frac{(3t)^6}{6!}+\cdots.$$

因此

$$f(x) =1-\frac{9}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 +\frac{81}{24}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^4-\cdots,$$

只含偶次方，故正確。

(C) $\exp(x^2-\pi)$

令 $x=\frac{\pi}{2}+t$：

核心觀念

本題考查：

• 偶函數的對稱性；
• 三角代換 $x=\tan\theta$；
• 反正切函數積分公式
  $\int \frac{dx}{1+a^2x^2}=\frac{1}{a}\tan^{-1}(ax)+C.$

因為 $\sin^2\theta$ 是偶函數，所以被積函數也是偶函數。

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解題方法

設

$$I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1}{1+\sin^2\theta}\,d\theta.$$

由偶函數對稱性，

$$I=2\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\sin^2\theta}\,d\theta.$$

在 $0\leq\theta<\pi/2$ 中令

$$x=\tan\theta, \qquad d\theta=\frac{dx}{1+x^2}.$$

又因為

$$\sin^2\theta =\frac{\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta} =\frac{x^2}{1+x^2},$$

因此

$$1+\sin^2\theta =1+\frac{x^2}{1+x^2} =\frac{1+2x^2}{1+x^2}.$$

代入積分：

$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\sin^2\theta}\,d\theta &=\int_0^\infty \frac{1}{\frac{1+2x^2}{1+x^2}} \cdot\frac{dx}{1+x^2}\\ &=\int_0^\infty\frac{dx}{1+2x^2}. \end{aligned}$$

將分母寫成標準形式：

$$1+2x^2=1+(\sqrt2x)^2.$$

所以

$$\begin{aligned} \int_0^\infty\frac{dx}{1+2x^2} &=\frac{1}{\sqrt2} \left[\tan^{-1}(\sqrt2x)\right]_0^\infty\\ &=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{2\sqrt2}. \end{aligned}$$

因此

核心觀念

本題考查廣義積分與 Beta 函數、Gamma 函數的關係：

$$B(p,q)=\int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt =\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$$

以及 Euler 反射公式：

$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin(\pi z)}.$$

常用結果為：當 $a>1$ 時，

$$\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^a} =\frac{\pi}{a}\csc\left(\frac{\pi}{a}\right) =\frac{\pi}{a\sin(\pi/a)}.$$

本題取 $a=56$。

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解題方法

令

$$t=x^{56},$$

則

$$x=t^{1/56},\qquad dx=\frac{1}{56}t^{1/56-1}\,dt.$$

因此原積分化為

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^{56}} &=\frac{1}{56}\int_0^\infty \frac{t^{1/56-1}}{1+t}\,dt. \end{aligned}$$

利用公式

$$\int_0^\infty \frac{t^{p-1}}{1+t}\,dt =B(p,1-p) =\Gamma(p)\Gamma(1-p), \qquad 0<p<1,$$

取

$$p=\frac{1}{56},$$

可得

$$\begin{aligned} \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^{56}} &=\frac{1}{56} \Gamma\left(\frac{1}{56}\right) \Gamma\left(\frac{55}{56}\right). \end{aligned}$$

再由 Euler 反射公式，

$$\Gamma\left(\frac{1}{56}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{56}\right) = \frac{\pi}{\sin(\pi/56)}.$$

因為

$$1-\frac{1}{56}=\frac{55}{56},$$

所以

$$\boxed{ \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^{56}} = \frac{\pi}{56\sin(\pi/56)} }.$$

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先判斷被積函數的奇點與解析區域。

$$f(z)=\frac{\ln (z+1)}{z^{2}+1},\qquad z^{2}+1=(z-i)(z+i)$$

• $\ln(z+1)$ 在主支上僅在$-\infty,-1]$ 產生分支切割，圓 $|z-i|=1.4$ 的中心在 $i$，半徑 $1.4<\sqrt{2}=|1+i|$，故切割線全部在圓外，$\ln(z+1)$ 在圓內全解析。
• 雙極點只有 $z=i$ 與 $z=-i$。點 $z=i$ 位於圓心，必在圓內；$z=-i$ 到圓心的距離為 $2>1.4$，在圓外。

因此只需計算 $z=i$ 的簡單極點留數：

$$\operatorname{Res}_{z=i}f(z) =\lim_{z\to i}\frac{\ln(z+1)}{z+i} =\frac{\ln(i+1)}{2i}.$$

依留數定理

核心觀念

本題考查複數矩陣的下列性質：

• 可逆：$\det(A)\neq 0$。
• Hermitian 矩陣：$A^*=A$，其中 $A^*$ 為共軛轉置。
• Normal 矩陣：$A^*A=AA^*$。
• Unitary 矩陣：$A^*A=AA^*=I$。
• Hermitian 矩陣的特徵值皆為實數，且一定可對角化。

給定

$$A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}.$$

解題方法

先計算行列式與共軛轉置，再利用 Hermitian 矩陣的性質判斷特徵值與對角化；最後直接檢查是否滿足 unitary 的定義。

首先，

$$\det(A) =1\cdot 1-i(-i) =1-1 =0.$$

因此 $A$ 不可逆。

接著，$A$ 的共軛轉置為

$$A^* = \begin{pmatrix} \overline{1} & \overline{-i}\\ \overline{i} & \overline{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&i\\ -i&1 \end{pmatrix} =A.$$

所以 $A$ 是 Hermitian 矩陣。由 Hermitian 矩陣的譜定理，$A$ 可對角化，且所有特徵值皆為實數。

為確認特徵值，也可計算特徵方程：

$$\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda&i\\ -i&1-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)^2-1.$$

因此

$$(1-\lambda)^2-1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=0,\ 2,$$

確實都是實數。

選項分析

(A) $A$ is invertible.

錯誤。因為

說明

• (A) 任意行或列皆可使用餘子式展開計算 $\det$，此為行列式的基本性質，正確。
• (B) 可逆矩陣 $\Leftrightarrow$ $\det\neq0$，故不可逆矩陣的行列式恆為 $0$，此敘述正確。
• (C) 行列式的乘法性質 $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ 於任意同階方陣皆成立，正確。

參考書等級：大學部教材

(A) $\displaystyle\text{Every subspace contains infinite number of vectors.}$
若子空間為 $\{0\}$，僅含唯一向量 $0$，故不一定無限，判為 錯。

(B) $\displaystyle\{0\}\text{ 是任何向量空間的子空間.}$
$\{0\}$ 滿足封閉於加法與純量乘法，必為子空間，判為 對。

矩陣表示

$$T=\begin{pmatrix} 3&2&0\\ -2&3&0\\ 0&0&5 \end{pmatrix}$$

1. 核 (kernel)
   解

$$\begin{cases} 3x+2y=0\\ -2x+3y=0\\ 5z=0 \end{cases} \Longrightarrow z=0,\; \det\begin{pmatrix}3&2\\-2&3\end{pmatrix}=13\neq0$$

故唯一解 $(x,y,z)=(0,0,0)$，核為 $\{0\}$。
零子空間的基底為空集合，$\{0\}$ 不是基底 ⇒ A 錯。

2. 單射
   線性映射單射 ⇔ 核僅含零向量。核已證為 $\{0\}$，故 B 正確。

3. 滿射
   滿射 ⇔ $\operatorname{rank}T=3$。

核心觀念

本題考查：

• 行列式的列運算。
• 參數矩陣的行列式計算。
• 判斷 $\det(A)=0$ 等價於矩陣 $A$ 不可逆。
• 利用 $\cos t$ 的取值範圍 $-1\leq \cos t\leq 1$ 判斷結果。

令

$$x=-1+\cos t.$$

則因為 $-1\leq \cos t\leq 1$，所以

$$-2\leq x\leq 0.$$

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解題方法

原矩陣第一欄為

$$\begin{pmatrix}6\\2\\4\\-1\\2\end{pmatrix}.$$

對第 $2$ 至第 $5$ 列分別作

$$R_i\leftarrow 6R_i-a_{i1}R_1,$$

可將第一欄消為 $0$。消去後，與行列式是否為零等價的 $4\times4$ 子矩陣為

$$B= \begin{pmatrix} 10&22&12&12\\ 14&14&18&24\\ 19&10&6&6x\\ 4&6x+4&6&12 \end{pmatrix}.$$

由列運算的比例關係，

$$\det(A)=\frac{\det(B)}{216}.$$

直接計算 $\det(B)$，整理得

$$\det(B)=16920x^2+29304x+15984.$$

因此

$$\det(A) =\frac{16920x^2+29304x+15984}{216} =\frac{235x^2+407x+222}{3}.$$

代回 $x=\cos t-1$：

$$\begin{aligned} \det(A) &=\frac{1}{3}\left[235(\cos t-1)^2+407(\cos t-1)+222\right]\\ &=\frac{235\cos^2t-63\cos t+50}{3}. \end{aligned}$$

令 $y=\cos t$，則 $-1\leq y\leq1$。考慮二次式

$$235y^2-63y+50.$$

矩陣

$$A=\begin{pmatrix} 1&-2&8\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}$$

為上三角矩陣，特徵值即對角線元素

$\lambda_1=1,\qquad \lambda_2=\lambda_3=-1 .$

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1. $\lambda=1$

$$(A-\lambda I)= \begin{pmatrix} 0&-2&8\\ 0&-2&0\\ 0&0&-2 \end{pmatrix}.$$

第一列給 $-2y+8z=0\Rightarrow y=4z$。
第二列 $-2y=0\Rightarrow y=0\Rightarrow z=0$。
第三列同樣得 $z=0$。

$x$ 自由，取 $x=1$ 得特徵向量

$v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$

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2. $\lambda=-1$

$$(A-\lambda I)=A+I= \begin{pmatrix} 2&-2&8\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix}.$$

唯一的限制式為

核心觀念

本題考查矩陣冪次與週期性。若能求得

$$A^2=I,$$

則矩陣的冪次呈現週期 $2$：

$$A^{2k}=I,\qquad A^{2k+1}=A.$$

因此只需判斷指數 $2301$ 的奇偶性。

解題方法

給定

$$A= \begin{pmatrix} 1&-2&8\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}.$$

計算 $A^2$：

$$A^2= \begin{pmatrix} 1&-2&8\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-2&8\\ 0&-1&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}.$$

各元素計算如下：

$$(A^2)_{11}=1,$$ $$(A^2)_{12}=1(-2)+(-2)(-1)=0,$$ $$(A^2)_{13}=1(8)+8(-1)=0.$$

其餘非對角線元素皆為 $0$，且對角線元素為

$$1^2=1,\qquad (-1)^2=1,\qquad (-1)^2=1.$$

所以

先以 $MM^{\mathsf T}$ 為基礎，因 singular value $\sigma_i$ 為 $MM^{\mathsf T}$（或 $M^{\mathsf T}M$）之特徵值 $\lambda_i$ 的正平方根。

$$M=\begin{pmatrix}4&11&14\\8&7&-2\end{pmatrix}, \qquad MM^{\mathsf T} =\begin{pmatrix} 4&11&14\\8&7&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&8\\11&7\\14&-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 333&81\\81&117 \end{pmatrix}.$$

特徵值滿足