111 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》考古題與詳解

Question 1

1. Consider the vectors that end at the vertices of the unit cube in the $R^{10}$ space, i.e., the vectors in the form of $[x1, x2, \ldots, x{10}]^T$ in which $xi$, $i = 1, 2, \ldots, 10$, is either zero or one but not all $xi$'s are zero simultaneously. We then select from these vectors to form a set such that vectors in the set are mutually orthogonal to each other. At most how many vectors can the set have? (A) 2. (B) 10. (C) $10^2$. (D) $2^{10}$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 向量內積與正交的定義 - $0$、$1$ 向量的內積性質 - 集合分割與鴿籠原理的概念 兩個向量 $$ \mathbf{u}=[u1,\ldots,u{10}]^T,\qquad \mathbf{v}=[v1,\ldots,v{10}]^T $$ 互相正交的條件是 $$ \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} =\sum{i=1}^{10}uivi=0. $$ 由於每個分量皆為 $0$ 或 $1$，所以每一項 $uivi$ 也只能是 $0$ 或 $1$，不可能出現負值。因此內積為零，當且僅當對所有 $i$ 都有 $$ uivi=0. $$ 也就是說，兩個向量在值為 $1$ 的位置上不能重疊。 --- 解題方法 將每個向量視為一個非空集合，集合中的元素代表向量中值為 $1$ 的座標。 例如： $$ [1,0,1,0,\ldots,0]^T $$ 對應到集合 $\{1,3\}$。 兩個向量正交，等價於它們所對應的集合互不相交。因此，題目實際上是在問： $10$ 個座標最多能形成多少個彼此不相交的非空集合？ 每個向量至少包含一個值為 $1$ 的座標，而不同向量不能共用值為 $1$ 的座標。因此，每個向量至少消耗一個不同的座標，最多只能形成 $10$ 個向量。 此上限確實可以達到。取標準基底向量： $$ \mathbf{e}1=[1,0,0,\ldots,0]^T, $$ $$ \mathbf{e}2=[0,1,0,\ldots,0]^T, $$ $$ \ldots, $$ $$ \mathbf{e}{10}=[0,0,0,\ldots,1]^T. $$ 對任意 $i
eq j$，

Question 2

2. Which of the following statements is/are true? (A) A real matrix with real eigenvalues and orthogonal eigenvectors is symmetric. (B) For a matrix $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 	imes & 0 \ 	imes & 	imes & 	imes \ 0 & 	imes & 0 \end{bmatrix} $$ regardless of the values of the five elements marked by x's (they can be different), A cannot have 1 as its eigenvalue. (C) If a $3 	imes 3$ matrix has three eigenvalues $0, 1, 2$, then its rank is 3. (D) The rotation matrix $$ \begin{bmatrix} \cos(	heta) & -\sin(	heta) \ \sin(	heta) & \cos(	heta) \end{bmatrix} $$ does not have eigenvectors in $R^2$, unless $	heta$ is an integral multiple of $\pi$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 正交特徵向量與對稱矩陣 2. 特徵值的判定 3. 特徵值與矩陣秩、可逆性的關係 4. 二維旋轉矩陣的實特徵值與實特徵向量 若矩陣有一組由正交特徵向量組成的正交基，令 $$ Q=[q1\ q2\ \cdots\ qn],\qquad Q^TQ=I, $$ 且對應特徵值為 $\lambda1,\lambda2,\ldots,\lambdan$，則 $$ A=Q\Lambda Q^T, $$ 其中 $$ \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda1,\lambda2,\ldots,\lambdan). $$ 由於 $\Lambda$ 為實對角矩陣，因此 $$ A^T=(Q\Lambda Q^T)^T=Q\Lambda Q^T=A, $$ 所以 $A$ 為對稱矩陣。 --- 解題方法 逐一檢查各選項： - 對涉及特徵值的敘述，使用 $\det(A-\lambda I)=0$。 - 對秩的敘述，利用「矩陣有特徵值 $0$ $\Longleftrightarrow$ 矩陣不可逆」。 - 對旋轉矩陣，計算其特徵多項式，判斷是否具有實特徵值。 --- 選項分析 (A) 正確 題意為實矩陣具有實特徵值，且特徵向量彼此正交。按照線性代數中此類敘述的標準意義，是指矩陣具有一組完整的正交特徵向量基。 因此可寫成正交對角化形式： $$ A=Q\Lambda Q^T, $$ 其中 $Q$ 為正交矩陣，$\Lambda$ 為實對角矩陣。 取轉置得 $$ A^T=(Q\Lambda Q^T)^T=Q\Lambda^TQ^T=Q\Lambda Q^T=A. $$ 故 $A$ 為對稱矩陣，選項 (A) 正確。 --- (B) 錯誤 設五個 $x$ 分別為 $a,b,c,d,e$，則 $$ A= \begin{bmatrix} 0&a&0\ b&c&d\ 0&e&0 \end{bmatrix}. $$ 若 $1$ 是 $A$ 的特徵值，必須滿足 $$ \det(A-I)=0. $$ 計算： $$ A-I= \begin{bmatrix} -1&a&0\ b&c-1&d\ 0&e&-1 \end{bmatrix}. $$ 因此 $$ \begin{aligned} \det(A-I) &=(-1)\bigl[-(c-1)-de\bigr]+ab\ &=ab+de+c-1. \end{aligned} $$ 此值不一定不為零。例如取 $$ a=b=d=e=0,\qquad c=1, $$ 則 $$ A= \begin{bmatrix} 0&0&0\ 0&1&0\ 0&0&0 \end{bmatrix}, $$ 此時 $A$ 明顯具有特徵值 $1$。 所以「無論五個元素取何值，$A$ 都不可能有特徵值 $1$」是錯誤的，選項 (B)…

Question 3

3. Consider the $2 	imes 2$ matrix $$ A = \begin{bmatrix} 0.7 & -0.3 \ -0.3 & 0.7 \end{bmatrix} $$ Which of the following statements is/are true? (A) A is diagonalizable. (B) A is positive definite. (C) A and $A^2$ have the same eigenvectors. (D) $$ \lim{k	o\infty} A^k = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.5 \ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix} $$ (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 矩陣是否可對角化； - 對稱矩陣與正定矩陣； - 特徵值、特徵向量； - 矩陣冪 $A^k$ 的極限。 矩陣 $A$ 若具有足夠多個線性獨立的特徵向量，即可對角化。實對稱矩陣一定可正交對角化。 --- 解題方法 給定 $$ A= \begin{bmatrix} 0.7&-0.3\ -0.3&0.7 \end{bmatrix}. $$ 計算特徵多項式： $$ \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 0.7-\lambda&-0.3\ -0.3&0.7-\lambda \end{vmatrix} $$ $$ =(0.7-\lambda)^2-0.09 =\lambda^2-1.4\lambda+0.4. $$ 因此 $$ \lambda^2-1.4\lambda+0.4 =(\lambda-1)(\lambda-0.4), $$ 故兩個特徵值為 $$ \lambda1=1,\qquad \lambda2=0.4. $$ 對於 $\lambda1=1$： $$ (A-I)\boldsymbol{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad -x-y=0, $$ 可取特徵向量 $$ \boldsymbol{v}1= \begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix}. $$ 對於 $\lambda2=0.4$： $$ (A-0.4I)\boldsymbol{x}=0 \quad\Longrightarrow\quad 0.3x-0.3y=0, $$ 可取特徵向量 $$ \boldsymbol{v}2= \begin{bmatrix}1\1\end{bmatrix}. $$ 兩個特徵向量線性獨立，因此可令 $$ P= \begin{bmatrix} 1&1\ -1&1 \end{bmatrix}, \qquad D= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&0.4 \end{bmatrix}, $$ 使得 $$ A=PDP^{-1}. $$ --- 選項分析 (A) $A$ is diagonalizable. 矩陣 $A$ 有兩個相異特徵值 $1$ 與 $0.4$，因此具有兩個線性獨立的特徵向量，必可對角化。 此外，$A$ 本身為實對稱矩陣，也由譜定理知必可正交對角化。 因此： $$ \boxed{	ext{(A) 正確}} $$ --- (B) $A$ is positive definite. 實對稱矩陣正定的判斷方式之一，是所有特徵值皆為正。 本題特徵值為 $$ 10,\qquad 0.40, $$ 所以 $A$ 為正定矩陣。 也可直接利用 Sylvester 判準： $$ a{11}=0.70, $$ 且 $$ \det(A)=0.7^2-(-0.3)…

Question 4

4. Which of the following statements is/are true? (A) For a nonzero matrix $A \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$, let $P$ be a matrix that orthogonally projects vectors in $\mathbb{R}^n$ onto the column space of $A$. Then $In - P$ projects onto the right null space of $A$. (B) If $A \in \mathbb{R}^{3 	imes 2}$ has two orthonormal columns, then $A^T A = I2$. (C) The orthogonal projection of vectors in $\mathbb{R}^3$ onto the column space of $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 3 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ can be obtained by multiplying the vector with the projection matrix $P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$. (D) Three orthogonal vectors in $\mathbb{R}^4$ can be constructed by the Gram-Schmidt procedure from the vectors $[1, -1, 0, 0]^T$, $[0, 1, -1, 0]^…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 正交投影矩陣與正交補空間 - 零空間與左零空間的區別 - 正交規一矩陣的性質 - Gram–Schmidt 正交化程序 - 複選題中逐項判斷命題真偽 若 $A$ 的列向量構成矩陣 $Q$，且列向量線性獨立，則投影到 $\operatorname{Col}(A)$ 的矩陣為 $$ P=A(A^TA)^{-1}A^T. $$ 若 $Q$ 的列向量為正交規一向量，則簡化為 $$ P=QQ^T. $$ 此外， $$ \operatorname{Col}(A)^\perp=\operatorname{Null}(A^T), $$ 這是「左零空間」，不一定等於右零空間 $\operatorname{Null}(A)$。 --- 選項分析 （A）錯誤 題目說：對非零矩陣 $A\in\mathbb{R}^{n	imes n}$，若 $P$ 投影到 $A$ 的列空間，則 $In-P$ 投影到 $A$ 的右零空間。 正交投影的基本性質是： $$ In-P $$ 投影到 $\operatorname{Col}(A)$ 的正交補空間，因此 $$ \operatorname{Range}(In-P) =\operatorname{Col}(A)^\perp =\operatorname{Null}(A^T). $$ 這是 $A$ 的左零空間，而右零空間為 $$ \operatorname{Null}(A)=\{x:Ax=0\}. $$ 一般而言， $$ \operatorname{Null}(A^T)
eq \operatorname{Null}(A). $$ 即使 $A$ 是方陣，兩者仍不必相同。例如 $$ A= \begin{bmatrix} 1&1\ 0&0 \end{bmatrix}. $$ 其列空間為 $\operatorname{span}\{(1,0)^T\}$，故其正交補為 $$ \operatorname{span}\{(0,1)^T\}. $$ 但右零空間由 $$ A \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x+y\0\end{bmatrix} =0 $$ 可得 $$ \operatorname{Null}(A) =\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix} ight\}, $$ 確實不同。 因此（A）錯誤。 --- （B）正確 $A\in\mathbb{R}^{3	imes 2}$ 有兩個正交規一列向量，表示若 $$ A= \begin{bmatrix} |&|\ a1&a2\ |&| \end{bmatrix}, $$ 則 $$ a1^Ta1=1,\qquad a2^Ta2=1,\…

Question 5

5. Let $Pn$ be the set of polynomials in $x$ with degree at most $n$ and with real-valued coefficients. For any $u(x) = c0 + c1x + \cdots + cnx^n$ and $v(x) = d0 + d1x + \cdots + dnx^n$ in $Pn$, define the following inner product $$ \langle u(x), v(x) \rangle = c0d0 + c1d1 + \cdots + cndn. $$ Note that $Pn$ can be regarded as a normed vector space. Which of the following statements is/are true? (A) $P2$ is a subspace of $P3$. (B) The norm of $1 + x + x^2$ is 3 in $P2$. (C) The set $\{1, x, x^2\}$ can be an orthonormal basis for $P2$. (D) The operation $u(x) \mapsto u(x)/x$ maps elements from $Pn$ to $P{n-1}$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查多項式向量空間 $Pn$ 的定義、內積誘導的範數，以及子空間與正交歸一基底的判斷。 對 $$ u(x)=c0+c1x+\cdots+cnx^n, $$ 由題目給定的內積可得其範數為 $$ \|u\|=\sqrt{\langle u,uangle} =\sqrt{c0^2+c1^2+\cdots+cn^2}. $$ 此外： - $Pn$ 表示所有實係數、次數至多為 $n$ 的多項式。 - 正交歸一基底中的每個向量範數必須為 $1$，且不同向量彼此正交。 - 子空間必須包含零向量，且對加法與純量乘法封閉。 解題方法 逐一依照定義檢查各選項： 1. 判斷 $P2$ 是否包含於 $P3$ 且為其子空間。 2. 利用範數公式計算 $\|1+x+x^2\|$。 3. 計算 $\{1,x,x^2\}$ 中各元素的內積與範數。 4. 檢查除以 $x$ 是否能將 $Pn$ 中每一個多項式都映射到 $P{n-1}$。 選項分析 (A) $P2$ is a subspace of $P3$. $P2$ 中的多項式形式為 $$ a0+a1x+a2x^2, $$ 可視為 $P3$ 中三次項係數為 $0$ 的多項式。因此 $$ P2\subseteq P3. $$ 而 $P2$ 包含零多項式，且兩個次數至多為 $2$ 的多項式相加或乘以實數後，次數仍至多為 $2$，所以對加法及純量乘法封閉。 因此 $P2$ 是 $P3$ 的子空間，選項 (A) 正確。 --- (B) The norm of $1+x+x^2$ is 3 in $P2$. 多項式 $$ u(x)=1+x+x^2 $$ 的係數為 $(1,1,1)$，因此 $$ \|u\| =\sqrt{1^2+1^2+1^2} =\sqrt{3}. $$ 由於 $\sqrt{3}
eq 3$，所以選項 (B) 錯誤。 常見陷阱是將 $$ \langle u,uangle=3 $$ 誤認為範數 $\|u\|=3$；實際上範數必須再開平方根。 --- (C) The set $\{1,x,x^2\}$ can be an orthonormal basis for $P2$.

Question 6

6. Which of the following statements about vector space is/are true? (A) A vector is an arrow in three-dimensional space. (B) A subset H of a vector space V is a subspace of V if the zero vector is in H. (C) $R^2$ is a subspace of $R^3$. (D) Let $Pn$ be the set of polynomials $p(x) = a0 + a1x + a2x^2 + \cdots + anx^n$ with degree at most $n$ and coefficients $a0, \ldots, an \in \mathbb{R}$. Then, the set of polynomials with degree at most 3 and integer coefficients, is a subspace of $P5$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查向量空間與子空間的基本定義。 1. 向量不一定是三維空間中的箭頭，也可以是數組、矩陣、函數或多項式。 2. 子空間 $H$ 必須滿足： - $H$ 含有零向量； - 對向量加法封閉； - 對純量乘法封閉。 等價地，對任意 $u,v\in H$ 與任意純量 $c,d\in\mathbb{R}$，必須有 $$cu+dv\in H.$$ 3. 子空間必須是原向量空間的子集合，且運算與原空間一致。 解題方法 逐一檢查各選項是否符合向量與子空間的定義。只要一個選項違反定義，即可判定為錯誤。 選項分析 (A) A vector is an arrow in three-dimensional space. 此敘述錯誤。 在初等幾何中，三維向量可以用空間中的箭頭表示，但向量的概念不限於三維空間。例如： - $\mathbb{R}^2$ 中的向量是二維有序數組； - 多項式空間中的元素可以是向量； - 矩陣空間中的矩陣也可以視為向量。 因此，「向量就是三維空間中的箭頭」過度限縮了向量的定義，故錯誤。 --- (B) A subset $H$ of a vector space $V$ is a subspace of $V$ if the zero vector is in $H$. 此敘述錯誤。 零向量屬於 $H$ 只是子空間的必要條件，並非充分條件。還必須檢查加法與純量乘法封閉。 例如在 $\mathbb{R}^2$ 中取 $$H=\{(0,0),(1,0)\}.$$ 雖然 $(0,0)\in H$，但 $$2(1,0)=(2,0)
otin H,$$ 所以 $H$ 對純量乘法不封閉，不是子空間。 --- (C) $\mathbb{R}^2$ is a subspace of $\mathbb{R}^3$. 此敘述錯誤。 $\mathbb{R}^2$ 的元素形如 $$(x,y),$$ 而 $\mathbb{R}^3$ 的元素形如 $$(x,y,z).$$ 因此，按照通常定義，$\mathbb{R}^2$ 並不是 $\mathbb{R}^3$ 的子集合，無法直接成為其子空間。

Question 7

7. Which of the following statements about the multiplicative inverse of square matrices is/are true? (A) The columns of an invertible matrix in $\mathbb{R}^{n 	imes n}$ form a basis for $\mathbb{R}^n$. (B) Let $A$ and $P$ be square matrices of the same size. Suppose that $P$ is invertible with its multiplicative inverse $P^{-1}$. Then $\det(PAP^{-1}) = \det(A)$. (C) Let $A, B, C \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$ be matrices and suppose that matrices $A, C$ and $(A - AC)$ are invertible with multiplicative inverses respectively $A^{-1}, C^{-1}$ and $(A - AC)^{-1}$. If $(A - AC)^{-1} = C^{-1}B$, then $B$ must be invertible. (D) The matrix $$ \begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \ 3 & 5 & -3 \ -2 & -6 & 3 \end{bmatrix} $$ is invertible. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查方陣可逆的等價條件、相似矩陣的行列式，以及可逆矩陣乘積的性質。 重要定理如下： 1. $n 	imes n$ 方陣 $A$ 可逆，等價於其欄向量形成 $\mathbb{R}^n$ 的一組基底。 2. 對任意同階方陣，有 $$\det(XY)=\det(X)\det(Y)。$$ 3. 若 $P$ 可逆，則 $$ \det(PAP^{-1}) =\det(P)\det(A)\det(P^{-1}) =\det(A)。 $$ 4. 可逆矩陣的乘積仍可逆；若 $X,Y$ 可逆，則 $$(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}。$$ 5. 方陣 $A$ 可逆的充要條件為 $$\det(A)
eq 0。$$ --- 解題方法 本題逐一判斷各敘述： - (A) 直接使用可逆矩陣欄向量形成基底的定理。 - (B) 使用行列式乘法公式與 $\det(P^{-1})=\dfrac{1}{\det(P)}$。 - (C) 將條件式整理成 $B$ 為兩個可逆矩陣的乘積。 - (D) 計算矩陣行列式。 - (E) 根據前四項的判斷結果決定。 --- 選項分析 (A) 正確 題目敘述： The columns of an invertible matrix in $\mathbb{R}^{n 	imes n}$ form a basis for $\mathbb{R}^n$. 設 $A\in\mathbb{R}^{n	imes n}$ 為可逆矩陣。可逆表示存在 $A^{-1}$ 使得 $$ A^{-1}A=AA^{-1}=I。 $$ 因此 $A$ 的欄向量線性獨立，且可張成整個 $\mathbb{R}^n$。由於 $\mathbb{R}^n$ 中有 $n$ 個欄向量，這些欄向量即構成 $\mathbb{R}^n$ 的一組基底。 所以 (A) 正確。 --- (B) 正確 根據行列式乘法公式， $$ \det(PAP^{-1}) =\det(P)\det(A)\det(P^{-1})。 $$ 又因為 $P$ 可逆， $$ \det(P^{-1})=\frac{1}{\det(P)}。 $$ 因此 $$ \det(PAP^{-1}) =\det(P)\det(A)\frac{1}{\det(P)} =\det(A)。 $$ 矩陣 $PAP^{-1}$ 是 $A$ 的相似矩陣，相似矩陣必定具有相同的行列式。 所以 (B) 正確。 --- (C) 正確 已知 $A$、$C$ 與 $A-AC$ 均可逆，且 $$ (A-AC)^{-1}=C^{-1}B。 $$ 左乘 $C$： $$ C(A-AC)^{-1}=CC^{-1}B=B。 $$

Question 8

8. Which of the following statements about determinant is/are true? (A) The determinant of a triangular matrix is the sum of the entries on the main diagonal. (B) $$ \det \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 & 0 \ 9 & 0 & -4 & 1 & 0 \ -8 & 5 & -6 & 7 & 1 \ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \ -4 & 2 & 3 & 2 & 0 \end{bmatrix} = 6 $$ (C) Let $U \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$ be such that $U^T U = In$. Then $\det(U)$ equals either 1 or -1. (D) Replacing a row of a square matrix by the sum of itself and a multiple of another row changes the determinant of the matrix. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查行列式的基本性質： 1. 三角矩陣的行列式等於主對角線元素的乘積： $$\det(A)=a{11}a{22}\cdots a{nn}.$$ 2. 行列式可利用某一列或某一行展開： $$\det(A)=\sumj a{ij}C{ij},$$ 其中 $C{ij}=(-1)^{i+j}M{ij}$。 3. 若 $U^TU=In$，則 $U$ 為正交矩陣，且 $$\det(U^TU)=\det(U^T)\det(U)=\det(U)^2.$$ 4. 將某一列加上另一列的倍數，不會改變行列式值。 --- 解題方法 逐一利用上述行列式定理判斷各選項。計算選項 (B) 時，先利用矩陣中大量的零元素做餘因子展開，可大幅降低計算量。 --- 選項分析 (A) 錯誤 三角矩陣的行列式是主對角線元素的「乘積」，不是總和。 例如： $$ A= \begin{bmatrix} a&&\ 0&b&\ 0&0&c \end{bmatrix}, $$ 則 $$ \det(A)=abc. $$ 因此選項所述的「sum」錯誤。 --- (B) 正確 令 $$ A= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 & 0 \ 9 & 0 & -4 & 1 & 0 \ -8 & 5 & -6 & 7 & 1 \ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \ -4 & 2 & 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}. $$ 第 $5$ 欄只有第 $3$ 列元素非零，因此沿第 $5$ 欄展開： $$ \det(A)=(-1)^{3+5} \det \begin{bmatrix} 1&3&2&4\ 9&0&-4&1\ 2&0&0&0\ -4&2&3&2 \end{bmatrix}. $$ 因為 $(-1)^8=1$，所以 $$ \det(A)= \det \begin{bmatrix} 1&3&2&4\ 9&0&-4&1\ 2&0&0&0\ -4&2&3&2 \end{bmatrix}. $$ 再沿第 $3$ 列展開。第 $3$ 列只有第一個元素 $2$ 非零： $$ \det(A) = 2(-1)^{3+1} \det \begin{bmatrix} 3&2&4\ 0&-4&1\ 2&3&2 \end{bmatrix}. $$ 因為 $(-1)^4=1$，故

Question 9

9. Which of the following statements about linear independence is/are true? (A) If S is a set of linearly dependent vectors, then each vector in S is a linear combination of other vectors in S. (B) The columns of matrix $$ \begin{bmatrix} 0 & 4 & -3 & 1 \ 1 & -7 & 5 & -2 \ 5 & -5 & 7 & -4 \end{bmatrix} $$ form a linearly independent set in $R^3$. (C) If the matrix $A \in \mathbb{R}^{m 	imes n}$ satisfies that for any vector $b \in \mathbb{R}^m$ the equation $Ax = b$ has at most one solution to the unknown $x$, then the columns of $A$ must be linearly independent. (D) If the columns of a matrix $A \in \mathbb{R}^{n 	imes n}$ span $R^n$, then they are linearly independent. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 向量組 $S=\{v1,\dots,vn\}$ 線性獨立的定義是： $$ c1v1+\cdots+cnvn=0 $$ 只有平凡解 $$ c1=\cdots=cn=0。 $$ 常用等價條件如下： 1. $S$ 線性相依，表示至少有一個向量可由其餘向量線性表示。 2. 矩陣 $A$ 的欄向量線性獨立，等價於齊次方程 $Ax=0$ 只有零解。 3. 矩陣 $A$ 的欄向量線性獨立，等價於對每個 $b$，方程 $Ax=b$ 至多有一組解。 4. $n$ 個向量若張成 $\mathbb{R}^n$，則它們必線性獨立。 --- 選項分析 （A）錯誤 選項聲稱：若 $S$ 線性相依，則 $S$ 中每一個向量都能由其他向量線性表示。 線性相依只能保證「至少有一個」向量可以由其餘向量表示，不能保證每一個向量都具有此性質。 例如： $$ S=\{0,v\},\qquad v
eq 0。 $$ 此集合線性相依，因為其中包含零向量。但向量 $v$ 無法由集合中其他向量 $0$ 線性表示，因為 $$ cv=0 $$ 不可能得到非零的 $v$。 因此（A）錯誤。 --- （B）錯誤 矩陣為 $$ A= \begin{bmatrix} 0&4&-3&1\ 1&-7&5&-2\ 5&-5&7&-4 \end{bmatrix}. $$ 此矩陣有 $4$ 個欄向量，而每個欄向量都屬於 $\mathbb{R}^3$。 在 $\mathbb{R}^3$ 中，最多只有 $3$ 個向量能形成線性獨立組。因此，$4$ 個 $\mathbb{R}^3$ 中的向量必線性相依。 也可由矩陣觀點判斷： $$ \operatorname{rank}(A)\leq 3<4, $$ 所以齊次方程 $Ax=0$ 必有非零解，欄向量不可能線性獨立。 因此（B）錯誤。 --- （C）正確 假設對任意 $b\in\mathbb{R}^m$，方程 $$ Ax=b $$ 至多有一組解。

Question 10

10. Which of the following statements about linear transformation is/are true? (A) The transformation $T(x, y) = (3x - 2y, x + 3, 6y)$ is not linear. (B) A mapping $T : \mathbb{R}^n ightarrow \mathbb{R}^m$ is onto if for each vector $b \in \mathbb{R}^m$ there exists at most one vector $x \in \mathbb{R}^n$ such that $T(x) = b$. (C) If $A \in \mathbb{R}^{m 	imes n}$ is a matrix with $m n$, then the transformation $T(x) = Ax$ cannot be one-to-one. (D) An affine transformation $T : \mathbb{R}^n ightarrow \mathbb{R}^m$ in the form of $T(x) = Ax+b$ with $A \in \mathbb{R}^{m 	imes n}$ and $b \in \mathbb{R}^m$ is not a linear transformation when $b 
eq 0$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 線性轉換 $T:\mathbb{R}^n	o\mathbb{R}^m$ 必須同時滿足： $$ T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(cu)=cT(u) $$ 等價地，線性轉換必滿足： $$ T(\mathbf{0})=\mathbf{0} $$ 對矩陣轉換 $T(x)=Ax$，則可利用秩—零度定理： $$ \dim(\ker A)+\operatorname{rank}(A)=n $$ 其中： - onto（滿射）：對每個 $b\in\mathbb{R}^m$，至少存在一個 $x\in\mathbb{R}^n$ 使 $T(x)=b$。 - one-to-one（單射）：對每個 $b\in\mathbb{R}^m$，至多存在一個 $x\in\mathbb{R}^n$ 使 $T(x)=b$；等價於 $\ker T=\{\mathbf{0}\}$。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合線性轉換、滿射、單射與仿射轉換的定義。 --- 選項分析 （A）正確 給定 $$ T(x,y)=(3x-2y,\ x+3,\ 6y) $$ 若 $T$ 為線性轉換，必須滿足 $T(0,0)=(0,0,0)$。但實際上： $$ T(0,0)=(0,3,0)
eq(0,0,0) $$ 因此 $T$ 不可能是線性轉換。 其中的常數項 $3$ 破壞了線性性，所以選項（A）正確。 --- （B）錯誤 題目敘述「對每個 $b\in\mathbb{R}^m$，至多存在一個 $x\in\mathbb{R}^n$ 使 $T(x)=b$」，這是單射 one-to-one 的條件： $$ T(x1)=T(x2)\implies x1=x2 $$ 滿射 onto 的正確定義是： $$ \forall b\in\mathbb{R}^m,\ \exists x\in\mathbb{R}^n \quad	ext{使得}\quad T(x)=b $$ 關鍵在於滿射要求「至少一個」原像，而不是「至多一個」。因此（B）錯誤。 --- （C）錯誤

Question 11

11. The Bernoulli equation $$ 2xy'(x) + (y(x))^3 xe^{-2x} = 2xy(x) $$ with the condition $y(1) = e$ can be solved by the substitution $v(x) = (y(x))^{-2}$. Which of the following statements is/are true? (A) $y(x) = x e^x$ (B) $v(x) = x e^{-2x}$ (C) $x(y(x))^2 = e^{2x}$ (D) The differential equation after substitution is a linear differential equation for the new variable $v$. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題的核心觀念為白努力微分方程式（Bernoulli Differential Equation）的標準解法與線性化變數變換： 1. 白努力方程式標準式： 形式為 $y' + P(x)y = Q(x)y^n$（其中 $n 
eq 0, 1$ 為非線性項之次方）。 2. 線性化變數變換： 令 $v(x) = y^{1-n}$，兩邊對 $x$ 微分得 $v' = (1-n)y^{-n}y'$。原方程式同除以 $y^n$ 後，即可化為關於 $v$ 的一階線性常微分方程式： $$ v' + (1-n)P(x)v = (1-n)Q(x) $$ 3. 一階線性微分方程式求通解： 利用積分因子 $I(x) = e^{\int (1-n)P(x)\,dx}$ 求解 $v(x)$，再代入初值條件決定待定常數，最後還原回 $y(x)$。 --- 解題方法 步驟一：整理為白努力方程式標準式 原方程式為： $$ 2xy'(x) + (y(x))^3 xe^{-2x} = 2xy(x) $$ 移項整理得： $$ 2xy' - 2xy = -x e^{-2x} y^3 $$ 當 $x 
eq 0$ 時，同除以 $2x$ 化為標準式： $$ y' - y = -\frac{1}{2}e^{-2x} y^3 $$ 此為 $n = 3$、$P(x) = -1$、$Q(x) = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ 的白努力微分方程式。 步驟二：變數代換（線性化） 題目提示令變數 $v(x) = (y(x))^{-2} = y^{-2}$（即 $v = y^{1-3}$）： 對 $x$ 微分得： $$ v' = -2y^{-3}y' \implies y^{-3}y' = -\frac{1}{2}v' $$ 將標準式同除以 $y^3$： $$ y^{-3}y' - y^{-2} = -\frac{1}{2}e^{-2x} $$ 代入 $v$ 與 $v'$： $$ -\frac{1}{2}v' - v = -\frac{1}{2}e^{-2x} $$ 同乘以 $-2$ 得到關於新變數 $v$ 的一階線性微分方程式： $$ v' + 2v = e^{-2x} $$ 步驟三：利用積分因子求解 $v(x)$ 此線性方程式的積分因子為： $$ I(x) = e^{\int 2\,dx} = e^{2x} $$ 方程式兩邊同乘以 $I(x) = e^{2x}$： $$ e^{2x}v' + 2e^{2x}v = e^{2x} \cdot e^{-2x} = 1 $$ 左式合併為全微分： $$ \frac{d}{dx}\left( v e^{2x} ight) = 1 $$ 兩邊對 $x$ 積分： $$ v e^{2x} = x + C $$ 整理得 $v(x)$ 之通解： $$ v(…

Question 12

12. For the homogeneous second order linear differential equation $$ 4x^2y''(x) - 4xy'(x) + 3y(x) = 0, $$ if given one solution $y1(x) = \sqrt{x}$, the other linearly independent solution $y2(x)$ can then be derived by setting $y(x)$ equal to $y2(x) = v(x)y1(x)$ and solving for $v(x)$. Which of the following statements is/are true? (A) $v''(x) = 0$ (B) $v'(x) = 0$ (C) $v'(x) = \frac{1}{x}$ (D) $y(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ is a possible solution. (E) None of the above is true.

Accepted Answer

已將方程式化為標準形 $$y''-\frac{1}{x}y'+\frac{3}{4x^{2}}y=0\qquad (x0)$$ 已知一解 $y{1}(x)=\sqrt{x}$。 設 $y{2}=v(x)\,y{1}$，則 reduction‑of‑order 公式 $$ y{2}=y{1}\int\frac{e^{-\int P\,dx}}{y{1}^{2}}dx , \qquad P=-\frac{1}{x} $$ 給出

Question 13

13. Continue from Problem 12. Solve the non-homogeneous second order linear differential equation $$ 4x^2y''(x) - 4xy'(x) + 3y(x) = 8x $$ by the variation of parameters, i.e., by setting the particular solution as $$ yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) $$ where $y1(x)$ and $y2(x)$ are from Problem 12. Which of the following statements is/are true? (A) $u1(x) = 12x^{\frac{3}{2}}$ (B) $u1(x) = -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ (C) $u1'(x) = -2x^{-\frac{1}{2}}$ (D) $yp(x) = 72x^{\frac{3}{2}}$ (E) None of the above is true.

Accepted Answer

先將方程式化為標準形 $$ 4x^{2}y''-4xy'+3y=8x\qquad\Longrightarrow\qquad y''-\frac1x y'+\frac{3}{4x^{2}}y=\frac{2}{x} $$ 同齊齊次方程式 $$y''-\frac1x y'+\frac{3}{4x^{2}}y=0$$ 設 $y=x^{m}$，得 $$4m^{2}-8m+3=0\;\Rightarrow\; m{1}= \frac32,\; m{2}= \frac12$$ 故兩個基礎解 $$y{1}=x^{3/2},\qquad y{2}=x^{1/2}$$ 變參數公式（標準形） $$ u{1}'=-\frac{y{2}R}{W},\qquad u{2}'=\frac{y{1}R}{W},\qquad R(x)=\frac{2}{x},\quad W=y{1}y{2}'-y{1}'y{2}= -x $$

Question 14

14. The second order system $$ \begin{bmatrix} x''(t) \ y''(t) \ z''(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & 4 & 0 \ 6 & -12 & 6 \ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(t) \ y(t) \ z(t) \end{bmatrix} $$ can be transformed into an equivalent first order system $$ \begin{bmatrix} x1'(t) \ y1'(t) \ z1'(t) \ x2'(t) \ y2'(t) \ z2'(t) \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x1(t) \ y1(t) \ z1(t) \ x2(t) \ y2(t) \ z2(t) \end{bmatrix} $$ by introducing the functions $x1(t) = x(t)$, $x2(t) = x'(t)$, $y1(t) = y(t)$, $y2(t) = y'(t)$, $z1(t) = z(t)$, $z2(t) = z'(t)$. Which of the following statements is/are true? (A) $$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -4 & 4 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 6 & -12 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & -4 \ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 &…

Accepted Answer

轉換矩陣 $A$ 根據定義 $x1'=x2,\;y1'=y2,\;z1'=z2$ $x2'= -4x1+4y1,\;y2'=6x1-12y1+6z1,\;z2'=-4y1+4z1$ 寫成向量形式 $\mathbf{u}'=A\mathbf{u}$（$\mathbf{u}=(x1,y1,z1,x2,y2,z2)^T$），得到 $$ A= \begin{bmatrix} 0&0&0&1&0&0\ 0&0&0&0&1&0\ 0&0&0&0&0&1\ -4&4&0&0&0&0\ 6&-12&6&0&0&0\ 0&4&-4&0&0&0 \end{bmatrix} $$ 即 選項 (B) 為正確；選項 (A) 與題意不符。 --- 特徵值分析 $A$ 為

Question 15

15. Continue from Problem 14. Find the particular solution of the second order system with initial conditions $x(0) = y(0) = z(0) = 0$ and $x'(0) = y'(0) = z'(0) = 12$. Which of the following statements is/are true? (A) $x(t) = 12t$ (B) $y(t) = 12t - 2 \sin(2t) + \sin(4t)$ (C) $z(t) = 12t + 2 \sin(2t) - \sin(4t)$ (D) $x(t) = y(t) = z(t)$ (E) None of the above is true.

Accepted Answer

解題步驟 1. 由第 14 題可得二階線性常係數系統 $$ \mathbf{x}'' =A\mathbf{x},\qquad \mathbf{x}=(x,\;y,\;z)^{T}, $$ 其中 $$ A=\begin{pmatrix} 0&-2&2\ 2&0&-2\ -2&2&0 \end{pmatrix}. $$ 2. 求特徵值：$\det(\lambda^{2}I-A)=\lambda^{2}(\lambda^{2}+4)(\lambda^{2}+16)=0$。 - $\lambda=0$（重根 2 次）→ 產生常數與線性項 $c{1}+c{2}t$。 - $\lambda=\pm2i$ → 正弦與餘弦頻率 $2$。 - $\lambda=\pm4i$ → 正弦與餘弦頻率 $4$。 3. 把通解寫成 $$ \begin{aligned} x(t)&=a{0}+a{1}t+b{1}\sin2t+b{2}\cos2t+c{1}\sin4t+c{2}\cos4t,\ y(t)&=a{0}+a{1}t+d{1}\sin2t+d{2}\cos2t+e{1}\sin4t+e{2}\cos4t,\ z(t)&=a{0}+a{1}t+f{1}\sin2t+f{2}\cos2t+g{1}\sin4t+g{2}\cos4t. \end{aligned} $$ 4. 代入初值

Question 16

16. For the following second order differential equation $$ 2y''(t) - \frac{1}{t(t-1)}y'(t) + \frac{1}{(t-1)^2}y(t) = 0 $$ let $y1(t) = \sum{n=0}^\infty an (t-t0)^{r1+n}$ and $y2(t) = \sum{n=0}^\infty bn (t-t0)^{r2+n}$ be two linearly independent Frobenius series solutions for $y(t)$ at $t = t0$ for some $t0 \in \mathbb{R}$. Assuming $r1 \ge r2$, which of the following statements is/are true? (A) $r1 = 0$ for $t0 = 0$ (B) $r2 = -\frac{1}{2}$ for $t0 = 0$ (C) $r1 = 1$ for $t0 = 1$ (D) $r2 = \frac{1}{2}$ for $t0 = 1$ (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查二階線性微分方程在正則奇異點的 Frobenius 法。對標準形式

y''+P(t)y'+Q(t)y=0,

若 $t=t_0$ 是正則奇異點，令

p_0=\lim_{t\to t_0}(t-t_0)P(t),\qquad q_0=\lim_{t\to t_0}(t-t_0)^2Q(t),

則指標方程為

r(r-1)+p_0r+q_0=0.

其兩根即為 Frobenius 解的指標 $r_1,r_2$ ，並依題意排列為 $r_1\ge r_2$ 。

解題方法

原方程為

2y''(t)-\frac{1}{t(t-1)}y'(t)+\frac{1}{(t-1)^2}y(t)=0.

除以 $2$ 得標準形式：

y''-\frac{1}{2t(t-1)}y' +\frac{1}{2(t-1)^2}y=0.

因此

P(t)=-\frac{1}{2t(t-1)},\qquad Q(t)=\frac{1}{2(t-1)^2}.

在 $t_0=0$ 附近

計算

p_0=\lim_{t\to0}tP(t) =\lim_{t\to0}\left(-\frac{1}{2(t-1)}\right) =\frac12,

以及

q_0=\lim_{t\to0}t^2Q(t) =\lim_{t\to0}\frac{t^2}{2(t-1)^2} =0.

所以指標方程為

r(r-1)+\frac12r=0,

即

r\left(r-\frac12\right)=0.

兩根為

r_1=\frac12,\qquad r_2=0.

在 $t_0=1$ 附近

令 $x=t-1$ ，直接計算

p_0=\lim_{t\to1}(t-1)P(t) =\lim_{t\to1}\left(-\frac{1}{2t}\right) =-\frac12,

以及

q_0=\lim_{t\to1}(t-1)^2Q(t) =\lim_{t\to1}\frac12 =\frac12.

Question 17

17. Consider the following differential equation defined for all $t \in \mathbb{R}$ $$ y'(t) - 4y(t) + 4 \int0^t e^{-	au} y(t-	au) d	au = 9 $$ subject to the condition $y(0) = 3$. Which of the following statements is/are true regarding the solution $y(t)$ and its power series representation $y(t) = \sum{n=0}^\infty yn t^n$? (A) The radius of convergence of the power series equals 5. (B) $y1 = 21$ (C) $y2 = 42$ (D) $y(\frac{-1}{2}) = \frac{8}{3}$ (E) None of the above is true.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 卷積積分的微分： $$I(t)=\int0^t e^{-	au}y(t-	au)\,d	au$$ 可利用 Leibniz 法則求導。 2. 微分積分方程化為常微分方程。 3. 指數函數的冪級數展開與收斂半徑。 4. 由初始條件求解常微分方程。 --- 解題方法 令 $$ I(t)=\int0^t e^{-	au}y(t-	au)\,d	au. $$ 原方程為 $$ y'(t)-4y(t)+4I(t)=9. $$ 對 $I(t)$ 微分。由 Leibniz 法則， $$ \begin{aligned} I'(t) &=e^{-t}y(0)+\int0^t e^{-	au}y'(t-	au)\,d	au. \end{aligned} $$ 也可利用卷積微分公式直接得到 $$ I'(t)=y(t)-I(t). $$ 因此，對原方程微分可得 $$ y''(t)-4y'(t)+4I'(t)=0. $$ 代入 $I'(t)=y(t)-I(t)$： $$ y''-4y'+4y-4I=0. $$ 由原方程， $$ 4I=9-y'+4y. $$ 代入上式： $$ \begin{aligned} y''-4y'+4y-(9-y'+4y)&=0,\ y''-3y'-9&=0. \end{aligned} $$ --- 求初始條件 題目給定 $$ y(0)=3. $$ 在原積分方程中令 $t=0$，積分項為零，因此 $$ y'(0)-4y(0)=9. $$ 代入 $y(0)=3$： $$ y'(0)-12=9, $$ 所以 $$ y'(0)=21. $$ --- 求解微分方程 令 $v(t)=y'(t)$，則 $$ v'-3v=9. $$ 其通解為 $$ v(t)=Ce^{3t}-3. $$ 由 $v(0)=y'(0)=21$： $$ C-3=21, $$ 故 $$ C=24. $$ 因此 $$ y'(t)=24e^{3t}-3. $$ 積分得 $$ y(t)=8e^{3t}-3t+D. $$ 利用 $y(0)=3$： $$ 8+D=3, $$ 所以 $$ D=-5. $$ 故原方程的解為 $$ \boxed{y(t)=8e^{3t}-3t-5}. $$ --- 冪級數表示 由 $$ e^{3t}=\sum{n=0}^{\infty}\frac{(3t)^n}{n!}, $$ 可得 $$ y(t) =8\sum{n=0}^{\infty}\frac{3^n}{n!}t^n-3t-5. $$ 其中 $e^{3t}$ 的冪級數對所有 $t$ 都收斂，因此 $y(t)$ 的冪級數收斂半徑為

Question 18

18. Continue from Problem 17. Let $Y(s)$ be the unilateral Laplace transform of $y(t)$ for $t \ge 0$. Which of the following statements is/are true? (A) $Y(s)$ exists for Re{s} 2 (B) $Y(3) = \frac{137}{9}$ (C) $Y(4) = \frac{179}{16}$ (D) $Y(5) = \frac{96}{25}$ (E) None of the above is true.

Accepted Answer

題目資訊不足 本題明確寫出「Continue from Problem 17」，因此必須知道第 17 題所求得的 $y(t)$，才能判斷其單邊 Laplace transform $$ Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} =\int{0}^{\infty}y(t)e^{-st}\,dt. $$ 目前題目未提供 $y(t)$ 或第 17 題的微分方程、初始條件，故無法計算 $Y(3)$、$Y(4)$、$Y(5)$，也無法判定收斂域。一般解題步驟如下： 核心觀念 若 $$ Y(s)=\int{0}^{\infty}y(t)e^{-st}\,dt, $$ 則其存在範圍由積分收斂條件決定。若 $y(t)$ 的成長率近似 $e^{at}$，通常需滿足 $$ \operatorname{Re}(s)a. $$ 取得 $Y(s)$ 後，再分別代入 $s=3,4,5$，比較：

Question 19

19. Use the method of separation of variables to solve the following partial differential equation for the function $g(x, y)$ $$ \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} $$ defined for $0 \le x \le 3$ and $-3 \le y \le 3$, subject to conditions $g(0, y) = g(3, y) = 0$ $g(x, 0) = x(3 - x)$ $g(x, y) = g(x, -y)$ With the following Fourier series $$ f(x) = \sum{n=0}^\infty \left[ an \cos\left(\frac{2\pi nx}{3}\right) + bn \sin\left(\frac{2\pi nx}{3}\right) \right] $$ that is a periodic function in $x$ with period equal to 3 and that equals $g(x, 0)$ for $x \in (0,3)$, which of the following statements is/are true regarding the values of $an$ and $bn$? (A) $a4 = \frac{8}{3\pi^2}$ (B) $b4 = \frac{9}{16\pi^2}$ (C) $a1 - b1 = -\frac{9}{\pi}$ (D) $a2 + b2 = -\frac{9}{4\…

Accepted Answer

求解 $$ \frac{\partial^{2}g}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}},\qquad 0\le x\le 3,\ -3\le y\le 3, $$ 併滿足 $g(0,y)=g(3,y)=0,\; g(x,0)=x(3-x),\; g(x,y)=g(x,-y)$. --- 1. 分離變數 設 $g(x,y)=X(x)Y(y)$，則 $$\frac{X''}{X}= \frac{Y''}{Y}= \lambda .$$ $X(0)=X(3)=0$ 只能得到正弦本徵函數，故 $$ \lambda =-\Bigl(\frac{n\pi}{3}\Bigr)^{2},\qquad Xn(x)=\sin\frac{n\pi x}{3}\;(n=1,2,\dots) $$ $g$ 為偶函數於 $y$，故取 $$Yn(y)=\cos\frac{n\pi y}{3}.$$ 故一般解為 $$ g(x,y)=\sum{n=1}^{\infty}An\sin\frac{n\pi x}{3}\, \cos\frac{n\pi y}{3}. $$ --- 2. 由 $g(x,0)=x(3-x)$ 求係數 $An$ $$ x(3-x)=\sum{n=1}^{\infty}An\sin\frac{n\pi x}{3}, \qquad 0<x<3 . $$ 正弦係數 $$An=\frac{2}{3}\int{0}^{3}x(3-x)\sin\frac{n\pi x}{3}\,dx.$$ 設 $k=\frac{n\pi}{3}$，利用 $$ \int{0}^{3}x(3-x)\sin(kx)\,dx= \frac{2\bigl(1-\cos(k\cdot3)\bigr)}{k^{3}}, $$ 得 $$ An=\frac{2}{3}\cdot\frac{2\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{k^{3}} =\frac{36\bigl(1-(-1)^{n}\bigr)}{n^{3}\pi^{3}}. $$ 所以 $$ An= \begin{cases} \displaystyle\frac{72}{n^{3}\pi^{3}}, & n\ \text{奇}\[6pt] 0, & n\ \text{偶}. \end{cases} $$ --- 3. 轉換為題目所給的周期為 $3$ 的傅立葉級數 對於週期 $3$ 的一般級數

Question 20

20. Continue from Problem 19. Which of the following statements is/are true regarding the solution $g(x, y)$? (A) $g\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right) = \frac{8}{3}$ (B) $g(1, 1) = 1$ (C) $g\left(\frac{3}{2}, 0\right) = 0$ (D) $g(2, -2) = 2e^{-2}$ (E) None of the above is true.

Accepted Answer

解題關鍵 題目 20 必須根據第 19 題所求得的函數 $g(x,y)$ 直接代入檢驗各選項的值。若未提供第 19 題的條件與 $g(x,y)$ 的明確形式，無法判斷 (A)–(D) 的真偽。

111 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》

第 1 題

核心觀念

解題方法

第 2 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 正確

(B) 錯誤

(C) 錯誤

第 3 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) AAA is diagonalizable.

(B) AAA is positive definite.

(C) AAA and A2A^2A2 have the same eigenvectors.

第 4 題

（A）錯誤

（B）正確

（C）錯誤

第 5 題

第 6 題

第 7 題

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 正確

(B) 正確

(C) 正確

第 8 題

第 9 題

核心觀念

選項分析

（A）錯誤

（B）錯誤

（C）正確

第 10 題

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）正確

（B）錯誤

（C）錯誤

第 11 題

核心觀念

解題方法

步驟一：整理為白努力方程式標準式

步驟二：變數代換（線性化）

步驟三：利用積分因子求解 v(x)v(x)v(x)

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

核心觀念

解題方法

在 t0=0t_0=0t0​=0 附近

在 t0=1t_0=1t0​=1 附近

第 17 題

核心觀念

解題方法

求初始條件

求解微分方程

冪級數表示

第 18 題

第 19 題

1. 分離變數

2. 由 g(x,0)=x(3−x)g(x,0)=x(3-x)g(x,0)=x(3−x) 求係數 AnA_nAn​

3. 轉換為題目所給的周期為 333 的傅立葉級數

第 20 題

其他考古題

111 年臺灣聯合大學系統的其他科目

臺灣聯合大學系統《工程數學》其他年度

其他學校的電機系考古題

111 年國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《工程數學（C）》

(A) $A$ is diagonalizable.

(B) $A$ is positive definite.

(C) $A$ and $A^2$ have the same eigenvectors.

步驟三：利用積分因子求解 $v(x)$

在 $t_0=0$ 附近

在 $t_0=1$ 附近

2. 由 $g(x,0)=x(3-x)$ 求係數 $A_n$

3. 轉換為題目所給的周期為 $3$ 的傅立葉級數