111 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電路學》

核心觀念

本題考查：

• 串聯電阻的等效電阻。
• 並聯電阻的等效電阻。
• 歐姆定律：$V=IR$。
• 電阻功率：$P=I^2R$。

電流表的內阻 $4\,\Omega$ 必須視為串聯電阻計入電路。

解題方法

電流表右側的電路分成兩條並聯支路：

• 中間支路：$40\,\Omega$
• 右側支路：$R_1=20\,\Omega$ 與 $40\,\Omega$ 串聯

右側支路等效電阻為

$$R_{\text{右}}=20+40=60\,\Omega$$

兩支路並聯等效電阻：

$$R_p=40\parallel 60 =\frac{40\times 60}{40+60} =24\,\Omega$$

因此，電源看到的總電阻為

$$R_{\text{eq}}=20+4+24=48\,\Omega$$

所以主迴路電流，也就是電流表讀值 $i_1$：

$$i_1=\frac{10}{48} =\frac{5}{24}\,\text{A} \approx 0.208\,\text{A}$$

並聯部分兩端電壓為

核心觀念

本題考查含受控電壓源電路的 Thévenin／Norton 等效：

$$V_{\text{Th}}=V_{ab}\big|_{\text{開路}}$$ $$R_{\text{Th}}=\frac{V_{\text{test}}}{I_{\text{test}}}$$

求等效電阻時，獨立電流源須開路，但受控源必須保留。Norton 等效則為

$$I_{\text{N}}=\frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}}}.$$

以下取 $b$ 端為接地，且圖中受控電壓源左端為正、右端為負。

一、求 Thévenin 電壓 $V_{\text{Th}}$

令左側上方節點電壓為 $V$，受控電壓源右端電壓為 $V_x$。

由 $2\Omega$ 電阻上的電流：

$$i_1=\frac{V}{2}.$$

受控電壓源電壓為 $10i_1$，因此

$$V-V_x=10i_1=10\left(\frac{V}{2}\right)=5V,$$

得到

$$V_x=-4V.$$

端點 $a$、$b$ 開路時，兩個 $6\Omega$ 電阻均無電流，因此

$$V_a=V_x,\qquad V_b=0.$$

左側上方節點套用 KCL。$10\text{ A}$ 電流源注入的電流全部流經 $2\Omega$ 電阻：

$$\frac{V}{2}=10,$$

所以

$$V=20\text{ V}.$$

因此

$$V_x=-4(20)=-80\text{ V},$$ $$V_{\text{Th}}=V_{ab}=V_a-V_b=-80\text{ V}.$$

二、求 Thévenin 電阻 $R_{\text{Th}}$

將獨立 $10\text{ A}$ 電流源開路，並在 $a$、$b$ 端加測試電壓 $V_t$。令測試電流 $I_t$ 由 $a$ 流入電路。

仍有

$$i_1=\frac{V}{2},\qquad V_x=-4V.$$

對左側上方節點與受控源右端所形成的超節點套用 KCL：

$$\frac{V}{2}+\frac{V_x-V_t}{6}=0.$$

代入 $V_x=-4V$：

本題考查含電容的一階暫態電路分析。我們需要計算電容兩端的電壓 $v_c(t)$ 在開關切換後（$t>0$）的行為。

首先，分析電路在 $t \le 0$ 時的穩態情況，以確定電容的初始電壓 $v_c(0^-)$。
當 $t \le 0$ 時，開關是閉合的，電路處於直流穩態。此時，電容相當於開路，電感相當於短路。
電路中只有一個 10V 的電壓源，一個 3Ω 電阻，以及一個 2Ω 電阻。
電容 $C = 0.1 F$ 相當於開路。
電路就是 10V 電壓源串聯 3Ω 電阻，再串聯 2Ω 電阻。
流過電路的電流 $I_{dc} = \frac{10V}{3\Omega + 2\Omega} = \frac{10V}{5\Omega} = 2A$。
電容兩端的電壓 $v_c(t)$ 在穩態時，相當於 2Ω 電阻兩端的電壓。
$v_c(0^-) = I_{dc} \times 2\Omega = 2A \times 2\Omega = 4V$。
由於電容電壓不能突變，所以在 $t=0^+$ 時，電容的初始電壓為 $v_c(0^+) = v_c(0^-) = 4V$。

接下來，分析 $t > 0$ 時的電路。
當 $t > 0$ 時，開關打開。
10V 電壓源和 3Ω 電阻被斷開。
電路變為一個由 2Ω 電阻和 0.1F 電容組成的 R-C 一階電路。
這個電路是一個放電電路，電容的初始電壓是 $v_c(0^+) = 4V$。
我們需要計算電容電壓 $v_c(t)$ 的變化。

核心觀念

理想電感遵守 $v=L\frac{di}{dt}$。兩個二埠網路具有相同端口關係，代表 $v_1,v_2$ 對端口電流變化率的係數必須一一相同。

解題方法

由圖可讀出：$\pi$ 網路的 $L_{1p}$、$L_{2p}$ 分別是左右對地支路，$L_{3p}$ 是上方跨接支路；T 網路的 $L_{1T}$、$L_{2T}$ 是左右串聯支路，$L_{3T}$ 是中央對地支路。兩圖的端口電壓皆以上端為正，$i_1$、$i_2$ 皆指向網路內。

(i) $\pi$ 網路端口關係

令 $i_{3p}$ 為流經上方 $L_{3p}$、由左向右的電流。依節點電流關係，流過左右對地電感的電流分別為 $i_{1p}-i_{3p}$ 與 $i_{2p}+i_{3p}$，因此

$$v_{1p}=L_{1p}\frac{d(i_{1p}-i_{3p})}{dt},\qquad v_{2p}=L_{2p}\frac{d(i_{2p}+i_{3p})}{dt}.$$

跨接電感兩端電壓為 $v_{1p}-v_{2p}$，故

$$v_{1p}-v_{2p}=L_{3p}\frac{di_{3p}}{dt}.$$

令 $D=L_{1p}+L_{2p}+L_{3p}$，合併上式可得

$$D\frac{di_{3p}}{dt} =L_{1p}\frac{di_{1p}}{dt}-L_{2p}\frac{di_{2p}}{dt}.$$

將 $\frac{di_{3p}}{dt}$ 代回兩端口電壓式：

$$v_{1p} =\frac{L_{1p}(L_{2p}+L_{3p})}{D}\frac{di_{1p}}{dt} +\frac{L_{1p}L_{2p}}{D}\frac{di_{2p}}{dt},$$ $$v_{2p} =\frac{L_{1p}L_{2p}}{D}\frac{di_{1p}}{dt} +\frac{L_{2p}(L_{1p}+L_{3p})}{D}\frac{di_{2p}}{dt}.$$

核心觀念

本題考查：

• RC 電路的拉氏域分析。
• 電容阻抗 $Z_C=1/(sC)$。
• 以節點電壓法求傳遞函數。
• 初始電容未充電時的初始條件。
• 正弦輸入的穩態響應與自然響應。

令圖中中間節點電壓為 $V_a(s)$，輸出電壓為 $V_o(s)$。由於

$$R_1=R_2=1\,\text{k}\Omega,\qquad C_1=C_2=1\,\text{mF},$$

因此

$$R_1C_1=R_2C_2=1\ \text{s}.$$

---

(i) 傳遞函數 $V_o(s)/V_i(s)$

對輸出節點套用 KCL：

$$\frac{V_o-V_a}{R_2}+sC_2V_o=0.$$

整理得

$$V_a=(1+sR_2C_2)V_o=(1+s)V_o.$$

對 $V_a$ 節點套用 KCL：

$$sC_1(V_a-V_i)+\frac{V_a}{R_1} +\frac{V_a-V_o}{R_2}=0.$$

代入 $R_1=R_2=1\,\text{k}\Omega$、$C_1=1\,\text{mF}$，可得

$$s(V_a-V_i)+V_a+(V_a-V_o)=0,$$

即

$$(s+2)V_a-V_o=sV_i.$$

又因為 $V_a=(1+s)V_o$，所以

$$\left[(s+2)(s+1)-1\right]V_o=sV_i.$$

因此

$$\boxed{ \frac{V_o(s)}{V_i(s)} = \frac{s}{s^2+3s+1} }$$

---

(ii) 時域輸出電壓

假設輸入為因果訊號

$$v_i(t)=V_i\cos(\omega t)u(t),$$

且兩個電容初始皆未充電，則

$$V_i(s)=\frac{V_i s}{s^2+\omega^2}.$$

由傳遞函數：

$$V_o(s) = \frac{s}{s^2+3s+1} \frac{V_i s}{s^2+\omega^2},$$

因此

$$V_o(s) = \frac{V_i s^2} {(s^2+\omega^2)(s^2+3s+1)}.$$

自然響應的兩個極點為

$$p_1=\frac{-3+\sqrt5}{2},\qquad p_2=\frac{-3-\sqrt5}{2}.$$

定義

$$D=(1-\omega^2)^2+9\omega^2 =1+7\omega^2+\omega^4.$$

由頻率響應

$$H(j\omega)=\frac{j\omega}{1-\omega^2+j3\omega},$$

可得穩態響應

核心觀念

功率因數修正通常在負載兩端並聯電容器，使總導納的虛部變小。負載阻抗為

$$Z=100+j100\ \Omega$$

其導納為

$$Y=\frac{1}{Z} =\frac{1}{100+j100} =0.005-j0.005\ \text{S}$$

因此負載的電導與電納分別為

$$G_L=0.005\ \text{S},\qquad B_L=-0.005\ \text{S}$$

負電納代表負載呈感性，功率因數為 lagging。

設並聯修正阻抗為理想電容器，其導納為

$$Y_p=jB_p$$

其中 $B_p>0$。

---

(a) 修正為 $0.95$ lagging

功率因數角為

$$\phi=\cos^{-1}(0.95)$$

因此

$$\tan\phi=\frac{\sqrt{1-0.95^2}}{0.95} =0.328684$$

總導納的電導不因並聯理想電容器而改變，仍為

$$G_T=0.005\ \text{S}$$

要使總功率因數為 $0.95$ lagging，總電納須滿足

$$\frac{|B_T|}{G_T}=\tan\phi$$

且 lagging 表示 $B_T<0$，所以

$$B_T=-G_T\tan\phi =-(0.005)(0.328684) =-0.00164342\ \text{S}$$

由

$$B_T=B_L+B_p$$

可得

$$B_p=B_T-B_L =-0.00164342-(-0.005) =0.00335658\ \text{S}$$

故並聯電容器的阻抗為

核心觀念

本題考查平衡三相電路的單相等效分析：

• 平衡三相系統可只分析其中一相，再將結果乘以 $3$。
• 電感阻抗為

$$Z_L=j\omega L$$

• 電阻與電感串聯時，總阻抗為

$$Z=R+j\omega L$$

• 題目給的是正弦波峰值，因此先轉換為有效值：

$$V_{\mathrm{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}$$

• 負載平均功率只由負載電阻消耗：

$$P_{\text{load}}=3I_{\mathrm{rms}}^2R_{\text{load}}$$

解題方法

由於三相電源、負載與線路皆平衡，每一相的電流大小相同，因此取其中一相分析。

電源相電壓為

$$v_y=10\cos(2t+30^\circ)$$

所以峰值為 $10\ \mathrm{V}$，角頻率為

$$\omega=2\ \mathrm{rad/s}$$

其有效值為

$$V_{y,\mathrm{rms}}=\frac{10}{\sqrt{2}}\ \mathrm{V}$$

每相負載包含 $4\ \Omega$ 電阻與 $8\ \mathrm{H}$ 電感，因此負載阻抗為

$$Z_{\text{load}} =4+j\omega L =4+j(2)(8) =4+j16\ \Omega$$

每條連接線具有 $2\ \Omega$ 電阻，因此每相從電源到負載的總串聯阻抗為

$$Z_{\text{total}} =2+(4+j16) =6+j16\ \Omega$$

其阻抗大小平方為

$$|Z_{\text{total}}|^2 =6^2+16^2 =292$$

故每相電流有效值平方為

核心觀念

本題考理想正激式轉換器在導通與關斷期間的變壓器電壓反射，以及二極體的反向耐壓（PIV）。變壓器匝數比決定各繞組感應電壓；開關關斷時，復位繞組經 $D_{p3}$ 導通，將磁化能量送回輸入端，並限制主繞組的反向電壓。

解題方法

圖中主繞組為 $N_1$、復位繞組為 $N_2$、次級繞組為 $N_3$；$D_{p1}$ 是串聯整流二極體，$D_{p2}$ 是續流二極體，$D_{p3}$ 是復位二極體，開關為 $M_p$。以下假設元件理想，並依圖示極性計算最大阻斷電壓。

令輸入電壓為 $V_i$。開關導通時，主繞組電壓為 $V_i$，所以次級電壓為

$$v_{N_3,\mathrm{on}}=\frac{N_3}{N_1}V_i.$$

此時 $D_{p1}$ 導通、$D_{p2}$ 截止；$D_{p2}$ 承受的反向電壓就是次級感應電壓：

$$V_{Dp2}=\frac{N_3}{N_1}V_i.$$

開關關斷後，復位繞組經 $D_{p3}$ 導通，其電壓被輸入端箝位為 $V_i$。依匝數比反射至主繞組，主繞組的反向電壓大小為

$$|v_{N_1,\mathrm{off}}|=\frac{N_1}{N_2}V_i.$$

因此次級繞組的反向電壓大小為

$$|v_{N_3,\mathrm{off}}|=\frac{N_3}{N_2}V_i.$$

核心觀念

返馳式轉換器在連續導通模式下，利用磁化電感 $L_m$ 的伏秒平衡求輸出電壓。開關導通時，輸入電壓加在一次側；開關截止時，二次側經二極體導通，將能量送至輸出端。開關與二極體的耐壓，則分別由截止期間的一次側電壓、以及導通期間的二次側反向電壓決定。

解題方法

圖中一次側匝數為 $N_1$、二次側匝數為 $N_2$，兩側繞組的點標記都在上端；一次側由輸入 $V_i$ 供電，並由低側開關 $S_M$ 控制。輸出端標示上端為負、下端為正，二極體 $D_M$ 的電壓 $V_d$ 以二次側一端為正、輸出端一端為負。因此依照圖示極性，$V_o$ 是正值。

設開關週期為 $T_s$。

開關導通期間長度為 $DT_s$，一次側磁化電感電壓為

$$v_{L_m,\text{on}}=V_i$$

開關截止期間長度為 $(1-D)T_s$。二次側二極體導通，二次側繞組點端電壓為 $-V_o$，換算至一次側後：

$$v_{L_m,\text{off}}=-\frac{N_1}{N_2}V_o$$

對 $L_m$ 套用穩態伏秒平衡：

$$D V_i-(1-D)\frac{N_1}{N_2}V_o=0$$

所以：

$$\boxed{\frac{V_o}{V_i}=\frac{N_2}{N_1}\frac{D}{1-D}}$$

開關截止時，一次側下端電壓高於輸入端，開關所承受的電壓為：