113 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《電路學》

核心觀念

本題考查平衡三相 $\Delta-\Delta$ 系統中的：

1. 三相平衡與正相序 $abc$。
2. 三角形負載的相電流與線電流關係。
3. 阻抗定律 $V=ZI$。
4. 輸電線阻抗造成的電壓降。
5. 線電壓與相電壓的關係。

題目給定負載三角形支路電流

$$I_{AB}=10\angle 30^\circ\ \text{A}_{\mathrm{rms}}$$

假設輸電線阻抗 $0.5+j0.2\ \Omega$ 為每一條線的串聯阻抗，且電源相電壓以中性點 $N$ 為參考。

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解題方法

先由已知的負載支路電流求出負載線電壓，再利用三角形負載的線電流求輸電線壓降，最後得到電源端線電壓與相電壓。

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一、求負載端線電壓

負載為平衡三角形，因此每一支路阻抗皆為

$$Z_{\Delta}=6+j3$$

其極座標形式為

$$Z_{\Delta} =\sqrt{6^2+3^2}\angle \tan^{-1}\left(\frac{3}{6}\right) =6.708\angle 26.565^\circ\ \Omega$$

因此

$$V_{AB,\mathrm{load}} =Z_{\Delta}I_{AB}$$ $$V_{AB,\mathrm{load}} =6.708\angle 26.565^\circ \times 10\angle 30^\circ$$ $$\boxed{V_{AB,\mathrm{load}}=67.08\angle 56.565^\circ\ \text{V}_{\mathrm{rms}}}$$

因為系統為正相序 $abc$，三相線電壓彼此相差 $120^\circ$：

$$\boxed{V_{BC,\mathrm{load}} =67.08\angle(-63.435^\circ)\ \text{V}_{\mathrm{rms}}}$$ $$\boxed{V_{CA,\mathrm{load}} =67.08\angle176.565^\circ\ \text{V}_{\mathrm{rms}}}$$

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二、求輸電線電流

對三角形負載，A 線電流為

$$I_A=I_{AB}-I_{CA}$$

由正相序可得

$$I_{BC}=10\angle(-90^\circ)\ \text{A}$$ $$I_{CA}=10\angle150^\circ\ \text{A}$$

因此

$$I_A =10\angle30^\circ-10\angle150^\circ$$

三角形負載的線電流與支路電流關係為

$$I_A=\sqrt{3}I_{AB}\angle(-30^\circ)$$

所以

$$\boxed{I_A=17.32\angle0^\circ\ \text{A}_{\mathrm{rms}}}$$

其餘兩條線電流為

$$\boxed{I_B=17.32\angle(-120^\circ)\ \text{A}_{\mathrm{rms}}}$$ $$\boxed{I_C=17.32\angle120^\circ\ \text{A}_{\mathrm{rms}}}$$

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三、求輸電線電壓降

每條輸電線的阻抗為

$$Z_{\mathrm{line}}=0.5+j0.2 =0.5385\angle21.801^\circ\ \Omega$$

A 線的電壓降為

$$\Delta V_A=Z_{\mathrm{line}}I_A$$ $$\Delta V_A =0.5385\angle21.801^\circ \times17.32\angle0^\circ$$ $$\boxed{\Delta V_A=9.33\angle21.801^\circ\ \text{V}}$$

轉為直角座標：

$$\Delta V_A=8.66+j3.46\ \text{V}$$

負載端 $AB$ 線電壓為

核心觀念

本題考查三相交流電路的複功率補償。感性負載的功率因數為 $0.75$ lagging，並聯電容器後，利用電容器提供超前的無效功率，使總功率因數變為 $0.98$ leading。

三相總功率為

$$S=P+jQ$$

其中：

• $P$：實功率
• $Q>0$：感性無效功率，lagging
• $Q<0$：容性無效功率，leading

由圖可知，$36\text{ kV}$ 為三相線電壓，三個電容器接成 Y 型，每個電容器跨接相電壓與中性點。

解題方法

原三相負載容量為 $20\text{ kVA}$，功率因數為 $0.75$ lagging。

實功率為

$$P=S\cos\phi_L =20(0.75) =15\text{ kW}$$

原負載的無效功率為

$$Q_L=S\sin\phi_L =20\sqrt{1-0.75^2}$$ $$Q_L=13.23\text{ kvar}$$

因此原負載為感性負載：

$$Q_L=+13.23\text{ kvar}$$

補償後要求總功率因數為 $0.98$ leading，因此

$$\tan\phi_T = \frac{\sqrt{1-0.98^2}}{0.98} =0.2031$$

補償後的總無效功率為

$$Q_T=-P\tan\phi_T$$ $$Q_T=-15(0.2031) =-3.046\text{ kvar}$$

故電容器組必須提供的無效功率為

$$Q_C=Q_T-Q_L$$ $$Q_C=-3.046-13.23 =-16.276\text{ kvar}$$

負號表示電容器提供容性超前無效功率，其大小為

$$|Q_C|=16.276\text{ kvar}$$

計算電容量

本題考查理想整流器（理想開關）的輸出特性、平均值與基頻。

核心觀念：

1. 理想整流器 (Ideal Rectifier)： 在此模型中，整流器被視為一個理想開關。當輸入電壓為正時，開關導通，輸出電壓等於輸入電壓；當輸入電壓為負時，開關截止，輸出電壓為零。這相當於一個全波整流器（如果輸入是正弦波）或半波整流器（如果輸入是正弦波，但只輸出正半週）。題目描述「free from turn-on voltage thresholds and resistors」以及「ideal switch」暗示了這種理想行為。
2. 輸出波形： 對於正弦波輸入，理想的半波整流輸出是正半週保留，負半週變為零。理想的全波整流輸出是將負半週翻轉到正。題目未明確說明是半波還是全波，但通常「整流器」若無特別說明，且輸入是正弦波，會預設為半波整流，即只保留正半週。
3. 平均值 (Average Value)： 對於週期性函數 $f(t)$，其平均值定義為 $f_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) dt$，其中 T 是週期。
4. 基頻 (Fundamental Frequency)： 指週期性訊號中最低的那個頻率分量。對於一個週期為 T 的訊號，其基頻 $f_0 = 1/T$。

題目參數：

• 輸入電壓 $v_{in}(t) = A \sin(\omega t)$
• 振幅 $A = 160$ V
• 角頻率 $\omega = 377$ rad/s

解題步驟：

A. 求輸出電壓 $v_s(t)$

根據理想整流器的模型，我們假設它是一個理想的半波整流器，即只輸出輸入電壓的正半週，負半週變為零。
$v_{in}(t) = 160 \sin(377t)$ V。

輸出電壓 $v_s(t)$ 的定義如下：
$v_s(t) = \begin{cases} v_{in}(t) & \text{if } v_{in}(t) \ge 0 \\ 0 & \text{if } v_{in}(t) < 0 \end{cases}$

代入 $v_{in}(t)$：
$v_s(t) = \begin{cases} 160 \sin(377t) & \text{if } \sin(377t) \ge 0 \\ 0 & \text{if } \sin(377t) < 0 \end{cases}$

這意味著：
當 $2n\pi \le 377t \le (2n+1)\pi$ 時，$v_s(t) = 160 \sin(377t)$。
當 $(2n+1)\pi < 377t < (2n+2)\pi$ 時，$v_s(t) = 0$。
其中 n 為整數。

這個波形是重複出現的，其週期是輸入正弦波週期的兩倍（因為負半週被截斷為零）。
輸入正弦波的週期 $T_{in} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{377}$ 秒。
輸出波形 $v_s(t)$ 的週期 $T_s = 2 \times T_{in} = \frac{4\pi}{377}$ 秒。

B. 求 $v_s(t)$ 的平均值

平均值的計算公式為 $v_{s,avg} = \frac{1}{T_s} \int_0^{T_s} v_s(t) dt$。
輸出波形 $v_s(t)$ 的週期是 $T_s = \frac{4\pi}{377}$。
在一個週期內（例如從 $t=0$ 到 $t=T_s$），$v_s(t)$ 的積分可以寫成：
$v_{s,avg} = \frac{1}{T_s} \int_0^{T_s} v_s(t) dt$
由於 $v_s(t)$ 在 $\sin(377t) \ge 0$ 時等於 $160 \sin(377t)$，在 $\sin(377t) < 0$ 時等於 $0$。
我們只需要對 $160 \sin(377t)$ 在其正半週積分。
一個完整的正弦波週期是 $2\pi/\omega$。
在 $0 \le 377t \le \pi$ 的區間內，$\sin(377t) \ge 0$，所以 $v_s(t) = 160 \sin(377t)$。
在 $\pi < 377t < 2\pi$ 的區間內，$\sin(377t) < 0$，所以 $v_s(t) = 0$。
輸出波形 $v_s(t)$ 的一個週期是 $T_s = 2\pi/\omega \times 2 = 4\pi/377$。
所以，積分範圍可以從 $0$ 到 $T_s = 4\pi/377$。
在 $0 \le t \le \pi/377$ 時，$v_s(t) = 160 \sin(377t)$。
在 $\pi/377 < t < 2\pi/377$ 時，$v_s(t) = 0$。
在 $2\pi/377 \le t \le 3\pi/377$ 時，$v_s(t) = 160 \sin(377t)$。
在 $3\pi/377 < t < 4\pi/377$ 時，$v_s(t) = 0$。

所以，積分可以寫成：
$\int_0^{T_s} v_s(t) dt = \int_0^{\pi/377} 160 \sin(377t) dt + \int_{\pi/377}^{2\pi/377} 0 dt + \int_{2\pi/377}^{3\pi/377} 160 \sin(377t) dt + \int_{3\pi/377}^{4\pi/377} 0 dt$
由於 $v_s(t)$ 的週期是 $4\pi/377$，我們只需要計算一個週期內的積分。
在 $0$ 到 $4\pi/377$ 這個週期內，有兩個正弦波的正半週期被保留，以及兩個零電壓的負半週期。
更簡單的說，一個週期 $T_s = 4\pi/377$ 包含了兩個輸入週期的時間。
在 $0$ 到 $T_s$ 的範圍內，我們有兩個區間是 $160 \sin(377t)$，即 $0 \le t \le \pi/377$ 和 $2\pi/377 \le t \le 3\pi/377$。
$\int_0^{T_s} v_s(t) dt = \int_0^{\pi/377} 160 \sin(377t) dt + \int_{2\pi/377}^{3\pi/377} 160 \sin(377t) dt$
由於 $\sin(x)$ 在 $[0, \pi]$ 和 $[2\pi, 3\pi]$ 的積分值相同，所以：
$\int_0^{T_s} v_s(t) dt = 2 \times \int_0^{\pi/377} 160 \sin(377t) dt$

計算積分 $\int 160 \sin(377t) dt = 160 \left(-\frac{\cos(377t)}{377}\right) = -\frac{160}{377} \cos(377t)$。

$\int_0^{\pi/377} 160 \sin(377t) dt = \left[-\frac{160}{377} \cos(377t)\right]_0^{\pi/377}$

核心觀念

二埠網路的阻抗參數定義為

$$\begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Z_{11} & Z_{12}\\ Z_{21} & Z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1\\ I_2 \end{bmatrix},$$

亦即

$$V_1=Z_{11}I_1+Z_{12}I_2, \qquad V_2=Z_{21}I_1+Z_{22}I_2,$$

其中 $I_1、I_2$ 均定義為流入二埠網路的電流。

T 型等效電路由三個阻抗組成：

• 左側串聯阻抗：$Z_a$
• 中間接地支路阻抗：$Z_b$
• 右側串聯阻抗：$Z_c$

其結構為

$$\text{Port 1} \;-\; Z_a \;-\; \bullet \;-\; Z_c \;-\; \text{Port 2},$$

且中間節點經 $Z_b$ 接地。

解題方法與推導

由於 $I_1$ 與 $I_2$ 都流入網路，中間支路 $Z_b$ 中的電流為

$$I_b=I_1+I_2.$$

因此，左側輸入端電壓為

$$V_1=Z_a I_1+Z_b(I_1+I_2),$$

整理得

$$V_1=(Z_a+Z_b)I_1+Z_b I_2.$$

右側輸出端電壓為

$$V_2=Z_c I_2+Z_b(I_1+I_2),$$

整理得

$$V_2=Z_b I_1+(Z_b+Z_c)I_2.$$

與阻抗參數方程式逐項比較：

$$V_1=Z_{11}I_1+Z_{12}I_2,$$ $$V_2=Z_{21}I_1+Z_{22}I_2,$$

可得

$$Z_a+Z_b=Z_{11}, \qquad Z_b=Z_{12},$$

以及

$$Z_b=Z_{21}, \qquad Z_b+Z_c=Z_{22}.$$

所以，中間支路阻抗必須滿足

$$Z_{12}=Z_{21}.$$

這表示普通的三阻抗 T 型電路只能直接表示互易二埠網路。此時三個支路阻抗為

核心觀念

端點 $a$-$b$ 的戴維寧等效電路由兩部分組成：

• 開路端電壓：$V_{\text{Th}}=V_{ab}\big|_{\text{open}}$
• 等效電阻：$R_{\text{Th}}$，含受控源時不可直接關閉受控源，須使用測試源求得。

令下方節點 $b$ 為接地，並令左上節點電壓為 $V_x$、右上節點電壓為 $V_y$。圖中

$$i_a=\frac{V_y}{40}$$

且 12 V 電壓源左端為負、右端為正，因此

$$V_y-V_x=12$$

解題方法一：求開路端電壓 $V_{\text{Th}}$

端點 $a$ 開路時，$5\,\Omega$ 電阻中沒有電流，所以

$$V_a=V_y$$

對包含 $V_x$、$V_y$ 的超級節點套用 KCL：

$$\frac{V_x}{10}+\frac{V_y}{40}-4.5i_a=0$$

代入 $i_a=V_y/40$：

$$\frac{V_x}{10}+\frac{V_y}{40} -\frac{4.5V_y}{40}=0$$ $$\frac{V_x}{10}-\frac{3.5V_y}{40}=0$$

整理得

$$V_x=0.875V_y$$

再利用電壓源關係：

$$V_y-V_x=12$$ $$V_y-0.875V_y=12$$ $$0.125V_y=12$$ $$V_y=96\text{ V}$$

因此

$$V_{\text{Th}}=V_a=96\text{ V}$$

解題方法二：求等效電阻 $R_{\text{Th}}$

將獨立電壓源 $12\text{ V}$ 短路，但保留受控電流源。此時 $V_x$ 與 $V_y$ 為同一節點，並在端點 $a$-$b$ 加入測試電壓 $V_t$。

節點 $y$ 對地的兩個電阻為 $10\,\Omega$ 與 $40\,\Omega$，而受控電流源大小為

$$4.5i_a=4.5\frac{V_y}{40}$$

核心觀念

本題使用網孔電流法與歐姆定律。圖中三個網孔電流皆採順時針方向，且右側電流源為 $2.5\text{ A}$ 向上。

中央節點電壓定義為 $v_a$，因此中央 $20\Omega$ 電阻可用歐姆定律求得。

解題方法

1. 求 $i_2$

右側電流源方向向上，但順時針網孔電流 $i_2$ 在右側支路方向向下，因此

$$i_2=-2.5\text{ A}$$

已知

$$i_1=-1.375\text{ A},\qquad i_3=-3.25\text{ A}$$

2. 求 $v_a$

中央 $20\Omega$ 電阻的向下電流為

$$i_1-i_2 =(-1.375)-(-2.5) =1.125\text{ A}$$

所以

$$v_a=20(i_1-i_2) =20(1.125) =22.5\text{ V}$$

3. 求 $B$

依圖中 $i_b$ 向左，通過 $50\Omega$ 電阻的向左電流為

$$i_b=i_3-i_2 =(-3.25)-(-2.5) =-0.75\text{ A}$$

左側受控電流源的向左電流為上方網孔與左下網孔電流之差：

$$B i_b=i_3-i_1$$

代入數值：

核心觀念

本題考查 Zeta converter 在連續導通模式（CCM）下，利用電感的伏秒平衡求輸入—輸出電壓轉換比。

穩態週期操作時，電感平均電壓必須為零：

$$d\,v_L^{(\mathrm{on})}+(1-d)\,v_L^{(\mathrm{off})}=0$$

其中 $d$ 為開關 $S_1$ 的導通占空比。

假設元件為理想元件，且圖中二極體方向使其在開關關斷時導通。令 $V_{C1}$ 的極性為電容右端對左端電壓。

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解題方法

將一個開關週期分為兩個狀態，分別對 $L_1$、$L_2$ 使用伏秒平衡。

1. 開關導通，時間比例為 $d$

此時開關將輸入電壓加到 $L_1$ 上，因此

$$v_{L1,\mathrm{on}}=V_{in}$$

二極體截止。由電路節點關係，電容右端電壓為

$$v_x=V_{in}+V_{C1}$$

故 $L_2$ 的電壓為

$$v_{L2,\mathrm{on}}=V_{in}+V_{C1}-V_o$$

2. 開關關斷，時間比例為 $1-d$

此時二極體導通，將 $C_1$ 右端節點箝位至接地，因此

$$v_{L2,\mathrm{off}}=-V_o$$

由 $C_1$ 電壓極性定義，$L_1$ 上端電壓為 $-V_{C1}$，所以

$$v_{L1,\mathrm{off}}=-V_{C1}$$

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對 $L_1$ 使用伏秒平衡

核心觀念

本題考查返馳式轉換器在不連續導通模式（DCM）下的開關電壓應力，以及磁化電感的伏秒平衡。先判斷開關導通與關斷時的繞組電壓，再由兩個工作區間的磁化電感電壓積分為零，求出輸出電壓與輸入電壓的關係。

解題方法

圖中一次側輸入為 $V_i$，磁化電感為 $L_m$，開關 $S_M$ 串接在一次側下方；變壓器匝數比為 $N_1:N_2$，二次側接二極體 $D_M$ 與輸出端。圖示輸出極性是上端為負、下端為正，因此 $V_o=V_{\text{下}}-V_{\text{上}}$。開關導通時間占一週期的比例為 $d$；二極體導通時間占比記為 $d_2$。

開關導通時，一次側磁化電感承受 $V_i$，磁化電流上升；此時二次側二極體截止。開關關斷後，二次側二極體導通，輸出端將能量經二次側送至負載，磁化電感電壓為 $-\frac{N_1}{N_2}V_o$，電流下降至零。由於是 DCM，電流歸零後還有一段空檔，因此 $d+d_2<1$。

（a）開關與二極體的電壓應力

開關關斷、二極體導通時，一次側電壓反射至開關端。依圖示 $V_{ds}$ 的正負方向，開關兩端承受輸入電壓與反射電壓之和：

$$V_{ds,\max}=V_i+\frac{N_1}{N_2}V_o$$

開關導通時，二次側感應電壓大小為 $\frac{N_2}{N_1}V_i$。依圖示二極體電壓的正負方向，截止的二極體承受此感應電壓與輸出電壓之和：