115 年 國立臺灣聯合大學系統（清華、政治、陽明交通、中央四校聯招）研究所電機類《固態電子元件》

本題考查晶體結構與原子密度計算。
矽晶體為鑽石結構 (diamond structure)，其晶格常數 (lattice constant) 為 $a = 5.43$ Å。
鑽石結構中，每個晶胞 (unit cell) 包含 8 個原子。
體積密度即為單位體積內的原子數。
首先，計算晶胞的體積：
$V_{cell} = a^3 = (5.43 \text{ Å})^3$
將單位 Å 轉換為 cm：$1 \text{ Å} = 10^{-8} \text{ cm}$
$V_{cell} = (5.43 \times 10^{-8} \text{ cm})^3 = (5.43)^3 \times 10^{-24} \text{ cm}^3 \approx 160.1 \times 10^{-24} \text{ cm}^3$
每個晶胞有 8 個原子，因此矽原子的體積密度為：

本題考查光子的基本性質。
A. 光本身沒有靜止質量，但根據量子力學，光子具有動量。光子的動量 $p = h/\lambda$ 或 $p = E/c$。因此，此敘述正確。
B. 光子的能量 $E$ 與波長 $\lambda$ 的關係是 $E = hc/\lambda = hf$，其中 $f$ 是頻率。

核心觀念

電子在能帶中的群速度由能量對波數的斜率決定：

因此，粒子沿負方向移動表示 $\frac{dE}{dk}<0$，也就是 $E$ 隨 $k$ 增加而下降。

有效質量由能帶曲率決定：

正有效質量表示 $\frac{d^2E}{dk^2}>0$，也就是能帶在該點附近開口向上。

解題方法

核心觀念

本題考補償摻雜半導體的電荷中性條件、熱平衡質量作用定律，以及電導率與載子遷移率的關係。採用矽在 300 K 的標準熱平衡模型，並依題意假設施體與受體完全游離。

電荷中性條件為

完全游離時，$N_A^-=N_A$、$N_D^+=N_D$。熱平衡下，電子與電洞濃度滿足

電導率則為

其中 $\mu_n$、$\mu_p$ 分別是電子與電洞遷移率。

解題方法

兩種條件都有 $N_A=N_D$。代入電荷中性條件：

因為 $N_A=N_D$，所以 $n=p$。再與質量作用定律聯立：

因此

所以兩種摻雜條件下的電子與電洞濃度相同；在 300 K 的矽中，$n_i$ 約為 $10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}$。

核心觀念

補償型矽中同時含有施體與受體雜質。若 $N_D>N_A$，材料為 n 型，平衡時的多數載子電子濃度約為淨施體濃度：

在熱平衡下，電子與電洞濃度遵守質量作用定律：

因此少數載子電洞濃度為：

解題方法

先求施體與受體互相補償後的淨施體濃度：

因為 $N_D>N_A$，矽為 n 型，少數載子是電洞。代入質量作用定律：

選項分析

核心觀念

本題考查 $E-k$ 能帶圖與有效質量、載子遷移率的關係。

能帶有效質量為

在價帶頂端，$E-k$ 曲線向下彎曲，因此電子有效質量為負；但電洞的有效質量取正值，其大小為

電洞遷移率為

在散射時間 $\tau_h$ 相近時，電洞有效質量越小，遷移率越高。

解題方法

由圖可見：

• A 能帶為較狹窄的虛線拋物線，曲率較大。
• B 能帶為較寬的實線拋物線，曲率較小。

因此

所以

本題考查半導體的導電率和漂移電流密度計算。
給定條件：
GaAs 樣品，$T=300$ K。
N 型摻雜，施體濃度 $N_D = 10^{16} \text{ cm}^{-3}$。
電子遷移率 $\mu_n = 8500 \text{ cm}^2/\text{V-s}$。
空穴遷移率 $\mu_p = 400 \text{ cm}^2/\text{V-s}$。
外加電場 $E = 10 \text{ V/cm}$。

首先，我們需要確定樣品的載子濃度。對於 N 型半導體，在室溫下，如果摻雜濃度遠大於本徵載子濃度 ($n_i$)，則電子濃度 $n$ 約等於施體濃度 $N_D$，而空穴濃度 $p$ 則由 $np = n_i^2$ 決定。
GaAs 在 300K 的 $n_i$ 大約是 $1.8 \times 10^6 \text{ cm}^{-3}$。
由於 $N_D = 10^{16} \text{ cm}^{-3} \gg n_i = 1.8 \times 10^6 \text{ cm}^{-3}$，我們可以近似認為：
電子濃度 $n \approx N_D = 10^{16} \text{ cm}^{-3}$。
空穴濃度 $p = n_i^2 / n = (1.8 \times 10^6)^2 / 10^{16} = 3.24 \times 10^{12} / 10^{16} = 3.24 \times 10^{-4} \text{ cm}^{-3}$。
很明顯，空穴濃度 $p$ 遠小於電子濃度 $n$，所以這是典型的 N 型半導體。

漂移電流密度 $J$ 由以下公式給出：
$J = J_n + J_p = qn\mu_n E + qp\mu_p E$
其中 $q$ 是基本電荷，$q = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$。

由於 $p \ll n$，空穴對總電流的貢獻非常小，我們可以近似認為總電流主要由電子貢獻：
$J \approx J_n = qn\mu_n E$

本題考查愛因斯坦關係式 (Einstein relation)。
愛因斯坦關係式描述了半導體中載子遷移率 $\mu$ 和載子擴散係數 $D$ 之間的關係。這個關係式源於熱力學平衡條件下，漂移電流和擴散電流相互抵消。
對於電子，愛因斯坦關係式為：
$D_n / \mu_n = kT/q$
其中：
$D_n$ 是電子的擴散係數。
$\mu_n$ 是電子的遷移率。
$k$ 是波茲曼常數 ($1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$)。
$T$ 是絕對溫度 (K)。
$q$ 是基本電荷 ($1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$)。

對於空穴，愛因斯坦關係式為：
$D_p / \mu_p = kT/q$
其中：
$D_p$ 是空穴的擴散係數。
$\mu_p$ 是空穴的遷移率。

核心觀念

本題考高電場下的負微分電阻，典型機制是耿氏效應（Gunn effect，又稱轉移電子效應）。負微分電阻區的特徵是電壓增加時，電流反而下降，即 $\frac{dI}{dV}<0$。

半導體的電流密度可寫為 $J=qn v_d$，其中 $q$ 為電子電量、$n$ 為載子濃度、$v_d$ 為電子漂移速度。低電場下 $v_d\approx\mu E$；高電場下，若電子轉移到遷移率較低的能谷，平均漂移速度可能隨電場增加而降低，使電流出現負斜率。

解題方法

判斷是否具備高電場轉移電子的條件：材料需有低能量的高遷移率能谷，以及能量較高、遷移率較低的衛星能谷。電場足夠強時，電子轉入衛星能谷，平均漂移速度下降。

對長度為 $L$、截面積為 $A$ 的均勻試片，$V=EL$、$I=JA$，因此：

若高電場區的 $\frac{dJ}{dE}<0$，量測的 $I$–$V$ 曲線便可能出現負微分電阻。GaAs 是耿氏效應的經典材料：高電場使電子由中央 $\Gamma$ 能谷轉移至遷移率較低的衛星能谷，造成漂移速度與電流下降。IEEE 對轉移電子效應的說明

選項分析

核心觀念

本題考查「非均勻摻雜半導體在熱平衡下的能帶彎曲與費米能階特性」。

線性漸變摻雜表示摻雜濃度隨位置改變，例如：

因此，半導體內的多數載子濃度也會隨位置改變。載子會由高濃度區向低濃度區擴散，形成內建電場，使漂移電流與擴散電流相互抵消，系統達到熱平衡。

在熱平衡時，最重要的判斷原則是：

也就是說，整個平衡系統的費米能階必須是平坦的，不能隨位置改變。

解題方法

以 $n$ 型半導體為例，若摻雜濃度隨位置變化，且完全游離、非簡併，則局部電中性近似下有：

電子濃度與能帶位置的關係為：

整理得：

因為 $n_0(x)$ 隨位置改變，而熱平衡時 $E_F$ 為常數，所以：

此外，能帶邊緣與局部本徵費米能階會一起受到電勢影響而彎曲，因此 $E_C$ 與 $E_V$ 也會隨位置改變。

在熱平衡狀態下，費米能階則必須保持水平：

所以不應被漸變的是 $E_F$。

選項分析

A. $E_C$

$E_C$ 是導帶底能量。由於漸變摻雜造成載子擴散，半導體內形成內建電場。電勢隨位置改變時，電子能量也會隨位置改變，因此導帶會發生彎曲：

核心觀念

雙極（ambipolar）傳輸方程式把過量電子與過量電洞綁在一起描述，其中

$D'=\frac{D_nD_p(n+p)}{D_n n+D_p p},\qquad \mu'=\frac{\mu_n\mu_p(p-n)}{\mu_n n+\mu_p p}$

在 N 型半導體、低階注入（$n\approx n_0\gg p$）時，分母由含 $n$ 的項主導：

$D'\approx\frac{D_nD_p\,n}{D_n n}=D_p,\qquad \mu'\approx\frac{\mu_n\mu_p(-n)}{\mu_n n}=-\mu_p$

核心觀念

本題考查本徵半導體的費米能階。本徵半導體中，電子濃度與電洞濃度相等：

在非簡併近似下，導帶電子濃度與價帶電洞濃度分別為

其中 $N_C$、$N_V$ 分別是導帶與價帶的有效態密度。它們和電子、電洞的態密度有效質量有關：

因此，若電子有效質量小於電洞有效質量，則 $N_C<N_V$。

解題方法

令 $n=p$，將兩個濃度公式相等，取對數並整理，可得本徵費米能階 $E_i$：

本題考查 PN 接面崩潰 (breakdown) 機制及其特性。崩潰主要有兩種機制：齊納崩潰 (Zener breakdown) 和雪崩崩潰 (Avalanche breakdown)。

1. 齊納崩潰 (Zener breakdown)：

   • 發生在摻雜濃度非常高（重摻雜，heavily-doped）的 PN 接面。
   • 高摻雜濃度導致接面寬度很窄，內建電場非常強。
   • 在外加反向電壓下，強電場會直接將價帶中的電子隧穿到導帶，形成崩潰電流。
   • 齊納崩潰的電壓相對較低，且崩潰電流的電壓依賴性較強（斜率陡峭）。
   • 其崩潰機制是「帶到帶的隧穿 (band-to-band tunneling)」。

2. 雪崩崩潰 (Avalanche breakdown)：

   • 發生在摻雜濃度較低（輕摻雜，lightly-doped）的 PN 接面。
   • 外加反向電壓使得載子在高電場中加速，獲得足夠的動能。
   • 這些高能載子與晶格碰撞，產生新的電子-空穴對（倍增效應）。
   • 新產生的載子又被加速，進一步產生更多的載子，形成「雪崩效應」。
   • 雪崩崩潰的電壓相對較高。
   • 其崩潰機制是「載子倍增 (carrier multiplication)」。

現在我們來分析題目陳述：
"A (1) diodes have a (2) breakdown voltage, as compare to that of a (3) diode."
這句話比較了兩種二極體。

"Its breakdown current is caused by band-to-band (4) in its (5) pn junctions."
這句話描述了其中一種二極體的崩潰機制。

讓我們逐一分析選項：

選項 A：Zener, higher, Avalanche, tunneling, heavily-doped

• (1) Zener
• (2) higher breakdown voltage
• (3) Avalanche diode
• (4) tunneling
• (5) heavily-doped

如果 (1) 是 Zener，那麼它應該是「較低的」崩潰電壓，而不是「較高的」。所以 A 錯誤。

選項 B：Avalanche, higher, tunneling, multiplications, lightly-doped

• (1) Avalanche
• (2) higher breakdown voltage
• (3) lightly-doped diode (與 (1) 欄位衝突，(3) 應該是另一種二極體，例如 Zener)
• (4) multiplications
• (5) lightly-doped

如果 (1) 是 Avalanche，它確實有較高的崩潰電壓。
但是，(3) 應該是與 Avalanche 相對的另一種二極體，例如 Zener。

核心觀念

題組條件（第 14–16 題）：兩個 $n^+/p$ 二極體，截面積相同，$n^+$ 側 $10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}$；D1 的 p 側 $N_A=10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$，D2 的 p 側 $N_A=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$。

$n^+/p$ 接面的順向電流幾乎全由「注入 p 區的電子」構成：

$I\approx qA\frac{n_i^2}{N_A}\frac{D_n}{L_n}\left(e^{V/V_T}-1\right)$

p 側摻雜愈高，飽和電流 $I_S$ 愈小，要流相同的電流 $I_{D0}$ 就需要愈大的順向電壓。

選項分析

• A. D1 電容較大：錯。 順向偏壓下，總電容由擴散電容主導，$C_d=\dfrac{\tau_n}{V_T}I_{D0}$。

核心觀念

二極體的反向飽和電流 $I_{D0}$，在理想 $p$-$n$ 接面模型中，主要來自中性區的少數載子擴散。少數載子到達空乏區邊緣後，會被空乏區電場掃過接面；電場負責收集載子，主要電流分量則由中性區的擴散決定。柏克萊大學半導體元件講義

理想接面的反向飽和電流可寫成

其中第一項是電子在 $p$ 區的擴散電流，第二項是電洞在 $n$ 區的擴散電流；$N_A$ 與 $N_D$ 分別是受體與施體濃度。

解題方法

依題目承接第 14 題的接面設定，判斷 $I_{D0}$ 的兩種少數載子擴散分量，再比較其所在區域的摻雜。對 $n^+$-$p$ 接面，$n^+$ 區施體濃度 $N_D$ 很高，因此第二項中的 $1/N_D$ 很小；相對地，電子在較低摻雜 $p$ 區的擴散分量較大，為主要分量。

所以主要成分是 $p$ 區中的電子擴散電流。

選項分析

核心觀念

承第 14 題的條件：D1 的 p 側 $N_A=10^{17}\ \mathrm{cm^{-3}}$，D2 為 $10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}$，$n^+$ 側同為 $10^{19}\ \mathrm{cm^{-3}}$，是單邊陡接面，空乏區幾乎全落在 p 側：

$W\approx\sqrt{\frac{2\varepsilon_s(V_{bi}+V_R)}{qN_A}},\qquad C_{dep}=\frac{\varepsilon_sA}{W},\qquad E_{\max}=\frac{qN_AW}{\varepsilon_s}=\sqrt{\frac{2qN_A(V_{bi}+V_R)}{\varepsilon_s}}$

相同反向偏壓下，$N_A$ 較大的 D1：空乏區較窄、空乏電容較大、峰值電場較大。

選項分析

核心觀念

光二極體在反向偏壓下，入射光子若滿足

便能產生電子—電洞對。這些光生載子在耗盡區內受到電場漂移，或在中性區先擴散至耗盡區後被收集，形成光電流 $I_{PH}$。

反向偏壓下量測的電流可概念性寫成

其中 $I_{\text{dark}}$ 是無光時的暗電流，$I_{PH}$ 是光照所增加的電流。對輕摻雜 $pn$ 接面而言，耗盡區較寬、電場通常不足以引發顯著的穿隧效應，因此光電流主要與下列機制有關：

• 耗盡區內的光生載子產生與收集。
• 中性區少數載子的擴散。
• 載子的產生—復合過程及其對反向電流、載子收集的影響。

解題方法

判斷各選項是否對 $I_{PH}$ 有貢獻，關鍵在於區分：

1. 是否與光生電子—電洞對的產生、傳輸或收集有關。
2. 是否需要非常強的電場或重摻雜條件。

輕摻雜 $pn$ 接面的耗盡層較寬，反向偏壓時的主要光電流機制是漂移與擴散；而 band-to-band tunneling 必須依賴極高電場，通常出現在重摻雜接面或極高反向偏壓下。

選項分析

A. Recombination current

復合電流與電子—電洞對的產生及復合有關。在光照下，光生載子可能在被收集前復合；耗盡區內的產生—復合過程也會影響反向電流。因此，復合相關機制會影響光照下量測到的電流與光生載子的收集效率。

所以此項可視為對反向光電流具有貢獻，不能選。

B. Generation current

在耗盡區內，光子產生電子—電洞對。接面電場會將電子與電洞分別推向兩側，形成可量測的光電流。其基本概念可表示為

核心觀念

二極體品質因子（diode quality factor），又稱理想因子（ideality factor），記為 $n$，出現在二極體方程式：

其中：

• $I_S$：反向飽和電流
• $q$：電子電荷量
• $V_D$：二極體端電壓
• $k$：波茲曼常數
• $T$：絕對溫度
• $n$：品質因子

品質因子反映二極體電流主要由何種機制控制：

• $n=1$：中性區的少數載子擴散電流主導
• $n=2$：空乏區內的產生—復合電流主導

在一般理想二極體模型中，$n$ 通常介於 $1$ 與 $2$ 之間。

解題方法

本題是判斷品質因子敘述是否正確。可依序檢查三個重點：

1. 不同電流區域的主導傳導機制。
2. 空乏區產生—復合效應對 $n$ 的影響。
3. $n=1$ 時的電壓與電流關係。
4. 品質因子的合理數值範圍。

由理想二極體方程式取正向偏壓且忽略 $-1$：

若電壓增加 $\Delta V$，電流比為：

在室溫下，熱電壓約為：

因此：

選項分析

A. $n$ is typically higher at low current regime

低電流區時，空乏區中的載子產生—復合電流通常較為重要，其電流近似為：

因此此時品質因子接近：

當電流增加後，中性區少數載子的擴散電流逐漸主導，電流近似為：

此時：

所以低電流區的 $n$ 通常較高。選項 A 正確。

核心觀念

本題考查 BJT 的射極注入效率（emitter injection efficiency）：

對於 $pnp$ 電晶體：

• 射極為 $p$ 型，主要注入基極的是電洞，電流記為 $J_{pE}$。
• 基極為 $n$ 型，也會有電子反向注入射極，電流記為 $J_{nE}$。
• 射極摻雜遠高於基極摻雜時，電洞注入電流遠大於電子反向注入電流，因此 $\gamma_E$ 接近 $1$。

在低階注入、均勻摻雜且兩區寬度相同的條件下：

其中：

• $N_E=2\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}$：射極摻雜濃度
• $N_B=10^{17}\ \text{cm}^{-3}$：基極摻雜濃度
• $D_p$：電洞擴散係數
• $D_n$：電子擴散係數

解題方法

由 Einstein 關係式：

在同一溫度下，擴散係數與遷移率成正比。題目給出電子遷移率為電洞的 $2$ 倍，因此：

又因為射極與基極寬度相同，$W_E=W_B$，且 $n_i^2$ 與寬度項會相消，因此兩個注入電流的比值為：

代入數值：

因此射極注入效率為：

核心觀念

本題考雙極性電晶體（BJT）的基區傳輸因子 $\alpha_T$。它表示由射極注入基區的少數載子中，有多少比例能穿越基區、抵達集極側而未在基區復合：

其中 $I_{nE}$ 是由射極注入基區的電子電流，$I_{nC}$ 是抵達集極側的電子電流。載子若在基區復合，就無法抵達集極，因此要提高 $\alpha_T$，應減少基區內的復合。基區越窄，載子穿越基區所需的距離越短，傳輸因子越高。UCLA 半導體元件教材

對均勻摻雜、正向主動區操作的 BJT，常用下式描述基區傳輸因子：

$W_B$ 是中性基區寬度，$L_n=\sqrt{D_n\tau_n}$ 是電子在基區中的擴散長度。當基區遠窄於擴散長度，即 $W_B\ll L_n$ 時，

因此，減小 $W_B$ 會使 $\alpha_T$ 更接近 1；基區中的載子復合也隨之減少。[伊利諾大學 BJT 課程講義](https://courses.physics.illinois.edu/ece340/sp2020/Dallesasse_Slides/ECE340_L4

核心觀念

本題考查**雙極性接面電晶體（BJT）**的內部載子傳輸機制與端點電流增益關係：

1. 共基極電流增益（Common-Base Current Gain, $\alpha$）：
   在理想主動區（Active Mode）操作下，共基極直流電流增益 $\alpha$ 可表示為三個物理因子的乘積：

   $$\alpha = \gamma \cdot \alpha_T \cdot M$$

   其中：

   • $\gamma$：發射極注入效率（Emitter Injection Efficiency）
   • $\alpha_T$：基極傳輸因子（Base Transport Factor）
   • $M$：集極空乏區雪崩倍增因子（Avalanche Multiplication Factor）
     在一般未發生崩潰且設計良好的 BJT 中，通常視 $\gamma \approx 1$ 且 $M \approx 1$，因此共基極電流增益近似於基極傳輸因子，即 $\alpha \approx \alpha_T$。

2. 共射極電流增益（Common-Emitter Current Gain, $\beta$）：
   集極電流 $I_C$、基極電流 $I_B$ 與射極電流 $I_E$ 的關係為 $I_E = I_B + I_C$ 且 $I_C = \alpha I_E$。由定義 $\beta = \frac{I_C}{I_B}$，可推導出 $\alpha$ 與 $\beta$ 之間的標準轉換公式：

   $$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$$

解題方法

1. 代入物理參數：
   題目給定基極傳輸因子 $\alpha_T = 0.95$。在無其他非理想效應（$\gamma = 1, M = 1$）的前提下，取 $\alpha = \alpha_T = 0.95$。

2. 計算共射極電流增益 $\beta$：
   將 $\alpha = 0.95$ 代入電流增益轉換公式：

核心觀念

MOS 結構的工作狀態可由半導體表面的能帶彎曲判斷：

• 能帶向上彎曲：通常代表耗盡或反轉。
• 能帶向下彎曲：通常代表累積。
• 能帶完全水平：表示半導體內沒有能帶彎曲，為平帶狀態（Flat Band）。

平帶條件為表面電位

因此半導體表面沒有額外的空間電荷，且閘極電壓等於平帶電壓：

解題方法

觀察題目附圖中矽區的 $E_C$、$E_F$ 與 $E_V$：

• $E_C$ 為水平線；
• $E_V$ 為水平線；
• 矽內的能帶沒有向上或向下彎曲。

因此，矽表面沒有形成累積層、耗盡層或反轉層，器件處於平帶狀態。

選項分析

核心觀念

平帶電壓是使半導體表面能帶不彎曲時所需的閘極電壓。其一般關係式為

其中 $\Phi_{\mathrm{MS}}$ 是金屬與半導體的功函數差，$Q_{\mathrm{ox}}$ 是氧化層中的電荷面密度，$C_{\mathrm{ox}}$ 是氧化層電容。圖中未標示氧化層電荷，因此依圖判斷平帶時所需閘極電壓的正負。

解題方法

圖中 Si 的 $E_c$、$E_f$、$E_v$ 都是水平的，表示半導體能帶平坦。金屬的費米能階位置比 Si 的 $E_f$ 低，也就是圖上金屬費米能階較靠下。對電子而言，金屬能階相對降低代表金屬端電位較高，因此要形成圖示的平帶狀態，閘極電壓為正；

核心觀念

此題考 MOS 電容的閘極偏壓如何影響半導體表面載子與能帶。圖中矽的能帶 $E_c$、$E_v$ 均為水平，表示表面能帶沒有彎曲，處於平帶狀態；$E_f$ 靠近 $E_c$，表示矽為 $n$ 型。以下依理想 MOS 結構判斷。

解題方法

圖中結構由金屬、$\mathrm{SiO_2}$ 與矽組成；矽側的 $E_c$、$E_f$、$E_v$ 都是水平線，且 $E_f$ 靠近 $E_c$。因此起始狀態是 $n$ 型矽的平帶狀態。由平帶狀態提高 $V_G$，即施加更正的閘極偏壓，會吸引電子至氧化層與矽的界面，形成累積。

核心觀念

高頻 MOS 電容的 $C$–$V_G$ 曲線方向，先由矽基板的摻雜型態判斷；曲線沿電壓軸的位置，再由平帶電壓 $V_{FB}$ 的正負判斷。

本題矽能帶中 $E_f$ 靠近 $E_c$，表示基板為 n 型。圖中矽的 $E_c$、$E_f$、$E_v$ 都是水平的，表示矽內能帶平坦；金屬的費米能階低於矽的 $E_f$。由平帶時的功函數差可知

此處假設圖示未標出氧化層固定電荷。

解題方法

先看偏壓方向：對 n 型基板，正閘極偏壓會使電子累積在 SiO₂/Si 介面，電容趨近氧化層電容 $C_{ox}$；負閘極偏壓則使基板進入空乏，接著進入反轉。高頻下少數載子無法及時跟隨訊號，反轉時電容維持在低值。因此，n 型基板的高頻曲線應由負電壓側的低電容，隨 $V_G$ 增加而轉為正電壓側的高電容。

核心觀念

MOS 電容的氧化層電容（單位面積）為

因此，氧化層厚度 $t_{\mathrm{ox}}$ 改變時，$C_{\mathrm{ox}}$ 也會改變。高頻 $C$–$V$ 曲線的最大值與最小值都會受到氧化層電容影響。

解題方法

原卷第 26 題詢問改變氧化層厚度後，$C_{\max}$ 或 $C_{\min}$ 哪些會改變；選項列出「只有最大值」、「只有最小值」、「兩者皆變」及「兩者皆不變」。同頁第 25 題提到 MOS 結構的高頻 $C$–$V$ 曲線，但未呈現共用題幹所說的能帶圖；本題判斷電容隨氧化層厚度的變化，不需依賴該圖。

累積區的電容最大值近似為氧化層電容：

所以氧化層厚度改變，$C_{\max}$ 就會改變。

高頻反轉區的最小電容，是氧化層電容與最大空乏層電容 $C_{\mathrm{dep,max}}$ 串聯：

核心觀念

MOS 電容的最大值主要由氧化層電容決定：

因此，在氧化層材料、厚度與面積不變時，改變矽的摻雜濃度不會改變 $C_{\max}$。

高頻 C–V 曲線的最小電容則是氧化層電容與最大空乏層電容的串聯值。空乏層寬度受矽摻雜濃度影響，所以 $C_{\min}$ 會改變。

解題方法

原卷第 8 頁列出第 27 題及四個選項；題幹提到的能帶圖未出現在附上的兩頁中。不過本題可由 MOS 高頻 C–V 的電容關係判斷，不需要額外圖形數據。

矽基板進入強反轉前，空乏層寬度達到最大值。以 p 型基板為例：

其中 $N_A$ 是受體濃度。最大空乏層電容為

高頻下，反轉層的少數載子無法跟上交流訊號，因此量到的最小電容是氧化層與最大空乏層電容串聯：

核心觀念

理想長通道 nMOSFET 進入飽和區後，汲極端形成夾止區，汲極電流主要由閘極過驅電壓決定，理想上不再隨汲極—源極電壓 $V_{DS}$ 改變。

令 $V_{OV}=V_{GS}-V_{TH}$，長通道模型的飽和電流為

實際量測時，飽和區的 $I_D$ 常會隨 $V_{DS}$ 增加而上升。主要原因是通道長度調變：$V_{DS}$ 增加時，汲極端的夾止區向源極方向延伸，導電通道的有效長度縮短，使電流增加。此效應常以修正因子表示：

其中 $\lambda$ 為通道長度調變參數。當 $\lambda>0$ 時，飽和區電流並非完全水平。

解題方法

題目指出「飽和區的汲極電流在量測時不為常數」，應辨認這是實際輸出特性與理想飽和模型的差異。理想模型預測飽和區電流對 $V_{DS}$ 不敏感；若量測曲線在飽和區仍隨 $V_{DS}$ 上升，便對應到通道有效長度縮短造成的通道長度調變。

選項分析

核心觀念

長通道 nMOSFET 在飽和區的汲極電流，忽略通道長度調變時為

其中 $W$ 是通道寬度、$L$ 是通道長度，$C_{\mathrm{ox}}$ 是單位面積閘極氧化層電容，且

$V_{GS}-V_{TH}$ 稱為閘極過驅電壓。此式顯示，固定其他條件時，$I_D$ 與 $W$、$C_{\mathrm{ox}}$ 成正比，與 $L$ 成反比，並與閘極過驅電壓的平方成正比。

解題方法

判斷各選項對電流的影響時，固定其他操作條件與元件參數，再比較改變後的比例。若要用直接且可預測的方式調整電流，改變通道寬度最簡單：

因此將 $W$ 加倍，電流便加倍。此作法不必改變閘極偏壓，也不必改變氧化層厚度或通道長度。

選項分析

(A) Reduce the oxide thickness by half

因為 $C_{\mathrm{ox}}=\varepsilon_{\mathrm{ox}}/t_{\mathrm{ox}}$，若 $t_{\mathrm{ox}}$ 減半，$C_{\mathrm{ox}}$ 加倍。在理想長通道模型中，固定其他參數時，汲極電流也會加倍。

核心觀念

本題考的是 n 通道增強型 MOSFET 的反轉層形狀與汲極偏壓 $V_D$ 的關係。長通道模型下，通道位置 $x$ 的反轉層電荷可寫為

其中 $V(x)$ 是該處通道電位。汲極電壓愈高，通道電位由源極往汲極上升，反轉層電荷的絕對值便愈小。

解題方法

圖中可見，源極與汲極都是 $N^+$ 區；兩者之間的反轉層連續延伸至汲極，且厚度大致均勻，沒有在汲極端收窄至零，也沒有在汲極前方中止。這表示通道電位沿長度方向沒有明顯變化，對應 $V_D=0$。

當 $V_D=0$ 時，$V(x)=0$，所以

沿通道為常數，反轉層厚度均勻，符合圖示。

選項分析

• (A) Pinch-off, $V_D=V_{D,\mathrm{sat}}$：錯。 臨界夾止時，汲極端反轉層電荷降至零，通道會在汲極端收窄至尖端；

核心觀念

單色光的每個光子能量為

其中 $h$ 為普朗克常數，$\nu$ 為光頻率。光功率 $P$ 是單位時間傳遞的能量，因此入射光子的數目率為

題目固定光的頻率，將光功率加倍時，每個光子的能量不變，但單位時間入射的光子數加倍。對矽而言，若光子能量大於能隙 $E_g$，被吸收的光子可激發電子並產生電子－電洞對。

以下依一般線性光吸收情況討論：材料與表面狀態不變，沒有光學飽和或其他非線性效應。

解題方法

設原入射功率為 $P$，頻率為 $\nu$。功率加倍後，光子數目率由

變為

因此，單位時間入射的光子數加倍。吸收光子的比例固定時，單位時間吸收的光子數也加倍；每個被吸收的光子產生一個電子－電洞對，所以電子與電洞的產生率都加倍。

表面反射率 $R$ 固定時，反射功率為 $P_{\mathrm{ref}}=RP$，故入射功率加倍也使反射功率加倍。

選項分析

(A) The frequency of the light：不變。
光源仍是同一束單色光，增加光功率會增加光子的數目率，不會改變光頻率。

核心觀念

本題考查電子遇到矩形位障時的量子穿隧效應。當電子能量 $E$ 小於位障高度 $V$ 時，電子在位障內的波函數會呈指數衰減，但不會立刻變成零，因此仍有機率穿過位障。

定義位障內的衰減常數為

其中 $m$ 是電子質量，$\hbar$ 是約化普朗克常數。對足夠寬的位障，穿隧機率可用近似式表示：

因此，位障越薄，或電子能量越接近位障高度，穿隧機率越大。

解題方法

由近似式可直接判斷參數的影響：

• 增加位障寬度 $W$：指數衰減加劇，穿隧機率降低。
• 增加位障高度 $V$：$\kappa$ 增大，穿隧機率降低。
• 提高電子能量 $E$，使其接近 $V$：$V-E$ 變小，$\kappa$ 減小，穿隧機率增加。
• 降低位障寬度 $W$：指數衰減減弱，穿隧機率增加。

所以會增加穿隧機率的是 (C) 和 (D)。

選項分析

核心觀念

本題考察突變 $pn$ 接面的空乏區分布、反向崩潰機制、電場分布、漏電流的溫度效應，以及接面空乏電容與反向偏壓的關係。

在空乏近似下，接面兩側的空乏區電荷量大小相等：

因此空乏區寬度滿足：

總空乏寬度為：

其中 $V_{\mathrm{bi}}$ 是內建電位，$V_R$ 是反向偏壓的大小。接面空乏電容為：

解題方法

先用電中性條件判斷空乏區在兩側的分布，再辨認輕摻雜接面的典型崩潰機制。接著利用突變接面中的電場分布判斷最大電場位置，最後由反向漏電流的溫度依賴性及 $C_j=\varepsilon_sA/W$ 判斷其餘選項。

題幹給定 $N_D=N_A$，故 $x_n=x_p$。電子遷移率是電洞遷移率的兩倍，與空乏區寬度分布及空乏電容的判斷無關。

選項分析

核心觀念

題組條件（第 33–34 題）：輕摻雜 pn 接面，$N_D=N_A$，電子遷移率是電洞的 2 倍。由愛因斯坦關係 $D=\mu V_T$，得 $D_n=2D_p$。

順向偏壓下，兩側注入的少數載子擴散電流分別為

$J_n\ (\text{p 區})\propto\frac{D_n n_i^2}{N_A\,L},\qquad J_p\ (\text{n 區})\propto\frac{D_p n_i^2}{N_D\,L}$

$N_A=N_D$，在兩側長度條件相同的假設下，$J_n/J_p=D_n/D_p=2$。

選項分析

• A. 電壓隨 $I_{D0}$ 呈指數增加：錯。 是電流隨電壓指數增加；反過來 $V=V_T\ln(I_{D0}/I_S)$，電壓只隨電流對數增加。

核心觀念

本題以突變 pn 接面的耗盡區模型為基礎。令耗盡區電位差為 $V_D$，在反向偏壓 $V_R<0$ 時：

對突變接面，耗盡電容、峰值電場與耗盡寬度分別滿足：