108 年 國立中央大學光電科學與工程學系半導體光電科技碩士班《近代物理》

核心觀念

本題比較金屬導電電子在室溫下的平均速率：

1. 古典統計：電子遵守 Maxwell–Boltzmann 分布，平均速率為
   $\bar v_{\mathrm{cl}}=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m_e}}$

2. 量子統計：金屬中的電子是費米子，遵守 Fermi–Dirac 分布。由於室溫下
   $k_BT\ll E_F$
   電子氣體高度簡併，可近似視為絕對零度的費米氣體。此時平均速率為
   $\bar v_{\mathrm{q}}=\frac{3}{4}v_F$
   其中費米速率
   $v_F=\sqrt{\frac{2E_F}{m_e}}$

題目給定的費米能量為 $5\ \text{eV}$，必須先換算成焦耳。

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解題方法

一、古典統計

Maxwell–Boltzmann 分布下，三維粒子的速率平均值為

$$\bar v_{\mathrm{cl}} = \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m_e}}$$

代入

$$k_BT=(1.38\times10^{-23})(300) =4.14\times10^{-21}\ \text{J}$$

因此

$$\bar v_{\mathrm{cl}} = \sqrt{ \frac{8(1.38\times10^{-23})(300)} {\pi(9.1\times10^{-31})} }$$ $$\bar v_{\mathrm{cl}} = \sqrt{1.158\times10^{10}} \approx 1.08\times10^5\ \text{m/s}$$

所以古典統計預測的平均速率為

$$\boxed{\bar v_{\mathrm{cl}}\approx 1.08\times10^5\ \text{m/s}}$$

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二、量子統計

先將費米能量換算為焦耳：

$$E_F=5(1.6\times10^{-19}) =8.0\times10^{-19}\ \text{J}$$

費米速率由動能公式

$$E_F=\frac{1}{2}m_ev_F^2$$

得到

$$v_F=\sqrt{\frac{2E_F}{m_e}}$$

代入數值：

$$v_F = \sqrt{ \frac{2(8.0\times10^{-19})} {9.1\times10^{-31}} }$$ $$v_F = \sqrt{1.758\times10^{12}} \approx 1.33\times10^6\ \text{m/s}$$

對三維、各向同性的自由電子費米氣體，在 $T=0$ 時所有動量狀態填滿至 $p_F$。平均速率為

(a) 費米能量（Fermi Energy）

一維無限深位能井的單粒子能階為：
$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$

考慮費米子自旋 $s = 1/2$，自旋簡併度 $g_s = 2s + 1 = 2$，即每個空間軌態可容納 $2$ 個費米子。在絕對零度時，$N$ 個費米子會由低至高填滿至最高能階 $n_F$：
$N = 2 n_F \implies n_F = \frac{N}{2}$

因此，費米能量 $E_F$ 為最高佔據態的能量：
$E_F = E_{n_F} = \frac{(N/2)^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} = \frac{N^2 \pi^2 \hbar^2}{8 m L^2}$

【答案】$E_F = \frac{N^2 \pi^2 \hbar^2}{8 m L^2}$ （或 $\frac{N^2 h^2}{32 m L^2}$）

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(b) 玻色子系統之臨界溫度（Critical Temperature）

單粒子能階對應之量子數 $n = \frac{L}{\pi \hbar}\sqrt{2m E}$，故一維狀態密度（Density of States, DOS）為：
$g(E) = \frac{dn}{dE} = \frac{L}{\pi \hbar} \sqrt{\frac{m}{2E}}$

當系統達到臨界溫度 $T_c$ 且化學勢 $\mu = 0$ 時，總粒子數等於激發態粒子數總和：
$N = \int_0^\infty \frac{g(E)}{e^{E/(k_B T_c)} - 1} \, dE = \frac{L}{\pi \hbar} \sqrt{\frac{m}{2}} \int_0^\infty \frac{E^{-1/2}}{e^{E/(k_B T_c)} - 1} \, dE$

核心觀念

1. 原子電子組態與內層閉殼：
   氮原子（原子序 $Z = 7$）的基態電子組態為 $1s^2 2s^2 2p^3$。其中 $1s^2$ 與 $2s^2$ 為填滿的閉殼層（Closed subshells），其總軌域角動量與總自旋角動量均為零，因此基態的總角動量完全由未填滿的 $2p^3$ 殼層中 3 個價電子決定。

2. 洪德法則（Hund's Rules）：
   確定基態原子角動量量子數的三條原則：

   • 第一法則（自旋最大化）：在包立不相容原理允許下，總自旋量子數 $S = \sum m_s$ 取最大可能值，以降低電子間的庫侖排斥能。
   • 第二法則（軌域角動量最大化）：在滿足第一法則的前提下，總軌域角動量量子數 $L = |\sum m_l|$ 取最大可能值。
   • 第三法則（總角動量耦合）：
     • 若未填滿殼層的電子數小於或等於半滿，則總角動量量子數 $J = |L - S|$；
     • 若多於半滿，則 $J = L + S$。

3. 史特恩-革拉赫實驗（Stern-Gerlach Experiment）：
   當原子束通過不均勻外加磁場時，磁矩 $\boldsymbol{\mu}$ 在磁場方向受到的作用力為 $F_z = \mu_z \frac{\partial B_z}{\partial z}$。由於空間量子化效應，總角動量在 $z$ 軸的方向投影量子數 $M_J$ 只能取連續間隔為 $1$ 的散在值：
   $M_J = +J, J-1, \dots, -J$
   因此原子束分裂的組分數目由 $M_J$ 的可能狀態數決定，即為 $2J + 1$ 條。

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解題方法

第一部分：求解氮原子的總軌域量子數 $L$ 與總自旋量子數 $S$

1. 分析未填滿殼層：
   氮原子 $Z = 7$ 的價電子位於 $2p$ 軌域（軌域量子數 $l = 1$），共有 3 個電子。$p$ 軌域對應的磁量子數可能值為 $m_l \in \{+1, 0, -1\}$。

2. 應用洪德第一法則求解 $S$：
   欲使總自旋量子數 $S$ 最大化，3 個電子的自旋方向必須全部平行（同向）：
   $m_{s1} = +\frac{1}{2}, \quad m_{s2} = +\frac{1}{2}, \quad m_{s3} = +\frac{1}{2}$
   得到總自旋量子數：
   $S = \sum_{i=1}^{3} m_{si} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

3. 應用洪德第二法則求解 $L$：
   由於 3 個電子的自旋相同，根據包立不相容原理（Pauli Exclusion Principle），這 3 個電子必須佔據不同的軌域磁量子數 $m_l$。因此 3 個電子分別填入 $m_l = +1, 0, -1$：
   $L = \left| \sum_{i=1}^{3} m_{li} \right| = |(+1) + 0 + (-1)| = 0$

第二部分：分析史特恩-革拉赫實驗中的原子束分裂組分數

1. 計算總角動量量子數 $J$：
   氮原子的 $2p$ 殼層最多可容納 6 個電子，現有 3 個電子，正好為半滿殼層。

設一維有限深對稱位能井寬度為 $L$、深度為 $V_0$。將座標原點平移至位能井中心（即井內範圍為 $-\frac{L}{2} \le x' \le \frac{L}{2}$），則波函數解可分為偶態（偶對稱）與奇態（奇對稱）。

1. 定義波動向量與超越方程式

定義井內與井外波動向量分別為：
$k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \quad \alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}$
引進無因次變數：
$\xi = \frac{kL}{2}, \quad \eta = \frac{\alpha L}{2}$
二者滿足半徑為 $R$ 的圓方程式：
$\xi^2 + \eta^2 = \frac{mL^2}{4}(k^2 + \alpha^2) = \frac{mL^2 V_0}{2\hbar^2} \equiv R^2$

經由邊界條件（波函數及其一階導函數連續），可得束縛態（$0 < E < V_0$）之超越方程式：

• 偶態（Even states）：$\eta = \xi \tan\xi$
• 奇態（Odd states）：$\eta = -\xi \cot\xi$

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2. 分析束縛態個數與求解條件

在第一象限（$\xi > 0, \eta > 0$）繪製超越方程式與圓 $\xi^2 + \eta^2 = R^2$ 之交點：

核心觀念

題目考狹義相對論中的長度收縮與光速不變。列車長度 $L_0=1.0\,\mathrm{km}$ 是在列車靜止系量得的固有長度；在地面系 $S$ 中，列車沿運動方向的長度為

$$L=\frac{L_0}{\gamma},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$

依圖示，前、後端的波前同時發出，$C'$ 位於列車中點。地面觀察者以光速 $c$ 追蹤波前，並觀察 $C'$ 隨列車以速度 $v$ 向右移動。

解題方法

先換算列車速度：

$$v=200\,\mathrm{km/h} =\frac{200}{3.6}\,\mathrm{m/s} \approx 55.56\,\mathrm{m/s}.$$

在地面系中，$C'$ 到前、後端各為 $L/2$。前端的波前向左傳播，迎向向右移動的 $C'$；後端的波前向右傳播，需追上向右移動的 $C'$。兩者的到達時間分別是

$$t_{\text{前}}=\frac{L/2}{c+v}, \qquad t_{\text{後}}=\frac{L/2}{c-v}.$$

後端波前較晚抵達，因此地面觀察者量得的時間間隔為

核心觀念

本題考查狹義相對論（Special Relativity）中相對論質量（Relativistic Mass）與質速效應的關係。

當粒子的運動速度 $u$ 接近光速 $c$ 時，觀察者所量測到的粒子質量 $m$（動態質量／量測質量）會隨速度增加而增大，其與粒子的靜止質量（Rest Mass）$m_0$ 之關係式為：
$m = \gamma m_0 = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}$

其中 $\gamma$ 為勞侖茲因子（Lorentz factor）：
$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$
定義速度比值 $\beta = \frac{u}{c}$。

將上式對 $\beta$ 進行代數移項整理，可導出速度比值與勞侖茲因子 $\gamma$ 的通式關係：
$\sqrt{1 - \beta^2} = \frac{1}{\gamma} \implies 1 - \beta^2 = \frac{1}{\gamma^2} \implies \beta = \frac{u}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$

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解題方法

利用通用關係式 $\frac{u}{c} = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$，求得各小題對應之勞侖茲因子 $\gamma = \frac{m}{m_0}$，進而算出相對速度比值 $u/c$：

1. 通用公式建立

由相對論質量定義 $m = \gamma m_0$，可得：
$\gamma = \frac{m}{m_0}$
代入速度比值公式：
$\frac{u}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2}$

2. 各小題詳細推導與計算步驟

(a) 量測質量超過靜止質量 20%：
當質量增加 20% 時，量測質量為：
$m = m_0 + 0.20 m_0 = 1.20 m_0 = \frac{6}{5} m_0$
對應的勞侖茲因子為：
$\gamma = 1.20 = \frac{6}{5}$
代入速度公式：
$\frac{u}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{6}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{36}} = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6} \approx 0.553$

(b) 量測質量達到靜止質量的 10 倍（exceed its rest mass by a factor of 10）：
在近代物理經典題庫（如 Arthur Beiser 《Concepts of Modern Physics》）中，此題意代表量測質量膨脹為靜止質量的 10 倍，即：
$m = 10 m_0$
對應的勞侖茲因子為：
$\gamma = 10$
代入速度公式：
$\frac{u}{c} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{10}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.01} = \sqrt{0.99} = \frac{\sqrt{99}}{10} \approx 0.995$

(c) 量測質量達到靜止質量的 20 倍（exceed its rest mass by a factor of 20）：
量測質量膨脹為靜止質量的 20 倍，即：
$m = 20 m_0$
對應的勞侖茲因子為：
$\gamma = 20$
代入速度公式：

核心觀念

1. 質能等價原理（Mass-Energy Equivalence）：
   根據愛因斯坦狹義相對論（Special Relativity），能量 $E$ 與質量 $m$ 具備等價關係，公式為：
   $E = m c^2 \quad \Rightarrow \quad \Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}$
   其中 $c \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$ 為真空中光速。當系統向外界輻射或釋放能量 $\Delta E$ 時，系統的總質量必定會隨之減少 $\Delta m$。

2. 系統邊界與能量流失（System Boundary & Energy Radiation）：
   本題特別強調封裝外殼為透明容器（transparent enclosure）。燈泡點亮時，電池的化學能轉化為電能與光熱能，其中光能（電磁輻射）會穿透透明容器持續傳播至外部環境。因此，對掛在天秤上的整個懸掛系統而言，能量不斷以光子形式流失，屬於能量開放系統，系統總質量將隨時間持續遞減。

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解題方法

步驟一：計算系統在一年間輻射流失的總能量 $\Delta E$

燈泡功率為 $P = 100 \text{ W} = 100 \text{ J/s}$，連續發光時間 $t = 1 \text{ 年}$。
將時間單位換算為秒（以 $1 \text{ 年} = 365 \text{ 天}$ 計算）：
$t = 365 \times 24 \times 60 \times 60 \text{ s} = 3.1536 \times 10^7 \text{ s}$

系統流失的總能量 $\Delta E$ 為：
$\Delta E = P \times t = 100 \text{ W} \times 3.1536 \times 10^7 \text{ s} = 3.1536 \times 10^9 \text{ J}$

(若以平均儒略年 $1 \text{ 年} = 365.25 \text{ 天}$ 計算，則 $t = 3.15576 \times 10^7 \text{ s}$，$\Delta E = 3.15576 \times 10^9 \text{ J}$)

步驟二：利用質能等價公式求解質量變化量 $\Delta m$

將總能量帶入狹義相對論之質能公式：
$\Delta m = \frac{\Delta E}{c^2}$

代入數值（取光速 $c = 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$）：

核心觀念

本題考驗愛因斯坦的光子假說（Photon Hypothesis）與量子化能量計算。

光的能量在微觀下是以不連續的能量包（光子）形式存在。單一光子的能量 $E_{\text{photon}}$ 與其頻率 $\nu$ 成正比，或與其真空中波長 $\lambda$ 成反比，其關係由普朗克－愛因斯坦關係式（Planck-Einstein Relation）給出：
$E_{\text{photon}} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$

其中：

• $h$ 為普朗克常數（Planck constant），通常取 $h \approx 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$（或取 $6.63 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$）。
• $c$ 為真空中光速（Speed of light），通常取 $c \approx 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$。
• $\lambda$ 為光的波長（Wavelength）。

當共有 $N$ 個光子到達角膜時，總能量 $E_{\text{total}}$ 即為單一光子能量的 $N$ 倍：
$E_{\text{total}} = N \cdot E_{\text{photon}} = N \frac{hc}{\lambda}$

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解題方法

1. 整理已知條件與單位轉換：

   • 光子總數 $N = 60$
   • 光波長 $\lambda = 550 \text{ nm} = 550 \times 10^{-9} \text{ m} = 5.5 \times 10^{-7} \text{ m}$
   • 普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
   • 真空光速 $c = 3.00 \times 10^8 \text{ m/s}$

2. 計算單一光子能量 $E_{\text{photon}}$：
   $E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}) \times (3.00 \times 10^8 \text{ m/s})}{550 \times 10^{-9} \text{ m}}$

核心觀念

本題考查近代物理學中愛因斯坦（Albert Einstein）提出的**光電效應（Photoelectric Effect）**理論。

1. 光子能量公式：
   光子的能量 $E$ 與其頻率 $\nu$ 成正比，與真空中的波長 $\lambda$ 成反比：
   $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$
   其中 $h$ 為普朗克常數（Planck's constant），$c$ 為真空光速。

2. 閾值波長（Threshold Wavelength）與功函數（Work Function）：
   金屬表面束縛電子脱離金屬所需的最小能量稱為功函數 $\Phi$。機能引發光電效應的最長波長即為臨界波長／極限波長 $\lambda_0$（或 $\lambda_{\max}$）。當入射光波長為 $\lambda_0$ 時，入射光子能量恰好等於功函數，且逸出電子的最大動能為零：
   $\Phi = h\nu_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$

3. 愛因斯坦光電方程式（Einstein's Photoelectric Equation）：
   當入射光波長 $\lambda < \lambda_0$（即光子能量 $E > \Phi$）時，電子吸收單一光子後，扣除逸出金屬所需的功函數 $\Phi$，剩餘能量轉化為逸出電子的最大動能 $K_{\max}$：
   $K_{\max} = E - \Phi = \frac{hc}{\lambda} - \Phi$

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解題方法

常用物理常數與單位換算

• 普朗克常數與光速之積：$hc \approx 1240 \text{ eV}\cdot\text{nm} = 1.986 \times 10^{-25} \text{ J}\cdot\text{m}$
• 基本電荷：$e = 1.602 \times 10^{-19} \text{ C}$
• 單位換算：$1 \text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19} \text{ J}$

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(a) 計算銫（Cesium, Cs）的功函數 $\Phi$

已知引發光電效應的最長波長 $\lambda_0 = 653 \text{ nm}$。

帶入功函數定義式：
$\Phi = \frac{hc}{\lambda_0} = \frac{1240 \text{ eV}\cdot\text{nm}}{653 \text{ nm}} \approx 1.899 \text{ eV} \approx 1.90 \text{ eV}$

若換算為國際單位制（SI）焦耳（$\text{J}$）：
$\Phi = 1.899 \text{ eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV} \approx 3.04 \times 10^{-19} \text{ J}$

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(b) 當入射光波長為 $250 \text{ nm}$ 時，逸出電子的能量

當入射紫外光波長 $\lambda = 250 \text{ nm}$ 時，計算入射光子能量 $E$：