108 年 國立中央大學光電科學與工程學系半導體光電科技碩士班《光學》

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第 1 題

Part A (50%)
填充題每題二分共十五小題(括號中數字為填充題號)共三十分,證明題每題十分共二十分。
填充題(30分)(請依照括號數字填寫)

a.曲面像關係
設一透明曲面龵徑為 R,物方折射率為 n₁,物方折射率為 n₂,物距為 S₀,像距為 S₁, yo 為物
高,y₁ 為像高,曲面橫向放大率 M₁,則
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Mt=y1y0=(1)S1−R(2)n2n2S0=(3)M_t = \frac{y_1}{y_0} = \frac{(1) S_1 - R}{(2)} \frac{n_2}{n_2 S_0} = \frac{(3)}{}

b.曲面折光率 K
設物方焦距為 fo,像方焦距為 f,則
K=n2(4)=n2(5)K = \frac{n_2}{(4)} = \frac{n_2}{(5)}
當 n₁=n₂,f 與f關係為何?(6)

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核心觀念

本題考查球面折射面的：

  1. 橫向放大率；
  2. 球面折射面的折光力；
  3. 物方焦距與像方焦距的關係。

球面折射面的近軸成像公式為

n1S0+n2S1=n2−n1R.\frac{n_1}{S_0}+\frac{n_2}{S_1} =\frac{n_2-n_1}{R}.

其中 RR 為曲率半徑，n1n_1、n2n_2 分別為物方與像方折射率。

a. 曲面像關係

取通過曲率中心 CC 的近軸光線。此光線入射曲面時不發生偏折，因此由幾何關係可得

Mt=y1y0=S1−RS0+R.M_t=\frac{y_1}{y_0} =\frac{S_1-R}{S_0+R}.

再利用球面折射公式：

n1S0+n2S1=n2−n1R,\frac{n_1}{S_0}+\frac{n_2}{S_1} =\frac{n_2-n_1}{R},

整理可得

S1−RS0+R=n1S1n2S0.\frac{S_1-R}{S_0+R} =\frac{n_1S_1}{n_2S_0}.

因此

Mt=y1y0=S1−RS0+R=n1S1n2S0\boxed{ M_t=\frac{y_1}{y_0} =\frac{S_1-R}{S_0+R} =\frac{n_1S_1}{n_2S_0} }

填空為：

(1)=y1,(2)=S0+R,(3)=n1S1\boxed{(1)=y_1,\qquad (2)=S_0+R,\qquad (3)=n_1S_1}

b. 曲面折光力 KK

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第 2 題

2.鏡物像關係,f為鏡焦距,設 f>0,凸透鏡,凸鏡焦距 f=f,透鏡焦距 f=(f為像方焦距)。
凸透鏡
物
像
位置
型態
位置
方向
相對尺寸
−∞<S0<f-\infty < S_0 < f
實像
f<S1<2ff < S_1 < 2f
倒立
縮小
S0=−fS_0 = -f
實像
S1=2fS_1 = 2f
倒立
相同
−2f<S0<−f-2f < S_0 < -f
實像
∞>S1>2f\infty > S_1 > 2f
放大
S0=−fS_0 = -f
±∞\pm \infty
S0>fS_0 > f
虛像
∣S1∣>S0|S_1| > S_0
(7)
(8)

凹透鏡
物
像
位置
型態
位置
方向
相對尺寸
任何地方
虛像
∣S1∣<∣f∣|S_1| < |f|
∣S0∣>∣S1∣|S_0| > |S_1|
(9)
(10)

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核心觀念

本題考查薄透鏡的成像規則與鏡物像關係。採用笛卡兒符號 convention：

  • 凸透鏡焦距：f>0f>0
  • 凹透鏡焦距：f<0f<0
  • 物在透鏡左側，因此實物的物距 so<0s_o<0
  • 實像在右側，si>0s_i>0；虛像在左側，si<0s_i<0

薄透鏡公式為

1si−1so=1f\frac{1}{s_i}-\frac{1}{s_o}=\frac{1}{f}

橫向放大率為

m=sisom=\frac{s_i}{s_o}

其中：

  • m<0m<0：倒立
  • m>0m>0：正立
  • ∣m∣<1|m|<1：縮小
  • ∣m∣=1|m|=1：相同
  • ∣m∣>1|m|>1：放大

解題方法

一、凸透鏡在焦點內

當物體位於凸透鏡焦點內時，

−f<so<0-f<s_o<0

由透鏡公式可得 si<0s_i<0，因此形成虛像。又因為物距與像距同號，

m=siso>0m=\frac{s_i}{s_o}>0

所以影像為正立；且題目已給出

∣si∣>∣so∣|s_i|>|s_o|

因此影像放大。

故凸透鏡表格中：

(7)=正立(7)=\text{正立}
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第 3 題

3.望遠鏡
a. Cassegrain (反射式)望遠鏡
在空氣中有— Cassegrain 望遠鏡之物鏡系統
由二曲面所組成如下圖所示,後焦距
(11)、有效焦距(12)。
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Surface
Object
1(primary)
2(secondary)
Image
Radius
Infinity
-100
-25
Thickness
Infinity
-40

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核心觀念

本題考查 Cassegrain 反射式望遠鏡中，主鏡與副鏡共同形成影像時的：

  1. 主鏡焦距；
  2. 副鏡的物距與像距；
  3. 系統的後焦距；
  4. 系統有效焦距。

已知：

  • 主鏡曲率半徑：R1=−100 cmR_1=-100\ \text{cm}
  • 副鏡曲率半徑：R2=−25 cmR_2=-25\ \text{cm}
  • 主鏡與副鏡間距離：40 cm40\ \text{cm}

球面鏡焦距為

f=R2f=\frac{R}{2}

解題方法

1. 主鏡形成的中間焦點

主鏡焦距大小為

f1=∣R1∣2=1002=50 cmf_1=\frac{|R_1|}{2} =\frac{100}{2} =50\ \text{cm}

若只有主鏡，平行光會在主鏡前方 50 cm50\ \text{cm} 處會聚。

副鏡位於主鏡前方 40 cm40\ \text{cm}，因此主鏡所形成的中間焦點位於副鏡前方：

50−40=10 cm50-40=10\ \text{cm}

所以，對副鏡而言，入射光線原本會在副鏡前方 10 cm10\ \text{cm} 會聚，這是副鏡的虛物，故取

s2=−10 cms_2=-10\ \text{cm}

2. 副鏡形成最終影像

副鏡焦距為

f2=R22=−252=−12.5 cmf_2=\frac{R_2}{2} =-\frac{25}{2} =-12.5\ \text{cm}

使用球面鏡公式：

1f2=1s2+1s2′\frac{1}{f_2}=\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_2'}

代入 f2=−12.5 cmf_2=-12.5\ \text{cm}、s2=−10 cms_2=-10\ \text{cm}：

1−12.5=1−10+1s2′\frac{1}{-12.5} = \frac{1}{-10} + \frac{1}{s_2'}

因此

−0.08=−0.10+1s2′-0.08=-0.10+\frac{1}{s_2'}
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第 3 題

b.折射式望遠鏡
望遠鏡是— afocal system,即平行光進,平行光出。已知 uo=tanθ₀, ue=tanθe。0。為入射望遠鏡
之半視角,0。為出射望遠鏡之半視角,h 為物鏡成像高度,P=望遠鏡角放大率 MP=10 倍。
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
u0≈θ0≈hf0u_0 \approx \theta_0 \approx \frac{h}{f_0}
ue≈θe≈hfeu_e \approx \theta_e \approx \frac{h}{f_e}
MP=θeθ0=fef0=10MP = \frac{\theta_e}{\theta_0} = \frac{f_e}{f_0} = 10
f0=10mm,fe=−100mmf_0 = 10 mm, f_e = -100 mm
a 設 θ。=0°,則 θe=(13)。
b 如果已知目鏡焦距 fo=10 mm,則物鏡之焦距 fe=(14),物鏡成像高度 h=(15)。
證明題
1.反射定律(10分)
光線在一光滑反射面時如下圖所示,其在
一介質a與反射角0'與折射角0',請利用 Fermat
定理,證明反射定律。
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
2.折射定律(10分)
光線在不同介質光線滑面時如下圖
所示,當光線入射時,其入射介質折射率
為 n,入射角為0,其折射介質折射率為 n'
折射角0',請利用 Fermat 定理證明其折射定律公式。
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題考查：

  1. 折射式望遠鏡的角放大率。
  2. afocal system 的平行光成像關係。
  3. Fermat 最短光程原理。
  4. 由光程極值推導反射定律與 Snell 折射定律。

一、折射式望遠鏡

望遠鏡為 afocal system，表示入射光與出射光皆為平行光。物鏡先將入射平行光聚焦，在焦平面形成高度為 hh 的中間像，再由目鏡將其轉換成平行出射光。

小角度下：

uo=tan⁡θo≈θo≈hfou_o=\tan\theta_o\approx\theta_o\approx\frac{h}{f_o} ue=tan⁡θe≈θe≈hfeu_e=\tan\theta_e\approx\theta_e\approx\frac{h}{f_e}

因此角放大率為

MP=θeθo=−fofeM_P=\frac{\theta_e}{\theta_o} =-\frac{f_o}{f_e}

負號表示倒立成像。

(a)

已知

MP=−10,θo=−2∘M_P=-10,\qquad \theta_o=-2^\circ

所以

θe=MPθo=(−10)(−2∘)=20∘\theta_e=M_P\theta_o =(-10)(-2^\circ) =20^\circ

(b)

已知目鏡焦距

fe=10 mmf_e=10\ \text{mm}

由

MP=−fofe=−10M_P=-\frac{f_o}{f_e}=-10

得

−fo10=−10-\frac{f_o}{10}=-10 fo=100 mmf_o=100\ \text{mm}

再由

h=fotan⁡θoh=f_o\tan\theta_o

得

h=100tan⁡(−2∘) mmh=100\tan(-2^\circ)\ \text{mm} h≈−3.49 mmh\approx-3.49\ \text{mm}

負號代表中間像相對於正方向為倒立；若只問成像高度的大小，則

∣h∣≈3.49 mm|h|\approx3.49\ \text{mm}

解題技巧

望遠鏡題目最重要的是先判斷符號：

MP=−fofeM_P=-\frac{f_o}{f_e}

放大率的大小決定焦距比，負號則表示倒立。若題目只問「高度大小」，應回答正值 3.49 mm3.49\ \text{mm}；若保留座標方向，則為 −3.49 mm-3.49\ \text{mm}。

二、利用 Fermat 原理證明反射定律

核心觀念

Fermat 原理指出：光線在兩點間傳播時，實際路徑會使光程取極值。由於反射前後都在同一介質中，光速相同，因此只需使幾何路徑長度最小。

設反射面為水平面，入射點為 AA。令 AA 相對於左側垂足的水平距離為 xx，兩端點到反射面的垂直距離分別為 aa、cc，兩垂足間距離為 bb。

入射段與反射段長度分別為

PA=a2+x2PA=\sqrt{a^2+x^2} AP′=c2+(b−x)2AP'=\sqrt{c^2+(b-x)^2}

總光程為

L(x)=a2+x2+c2+(b−x)2L(x)=\sqrt{a^2+x^2} +\sqrt{c^2+(b-x)^2}

依 Fermat 原理：

dLdx=0\frac{dL}{dx}=0

因此

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第 Part B (50%) 題

  1. (10 pts) Suppose that we look at a source perpendicularly through a stack of N glass parallel plates. The source seen through is noticeably darker as more glass parallel plates are added. Assuming negligible absorption, show that the total transmittance of the stack is Tt=(1−R)NT_t = (1-R)^N where R is the reflectivity of each glass-air interface.
  2. (10 pts) What is Babinet's principle? Please use simple mathematics to explain it.
  3. (10 pts) Write down the wave function in Euler formula of an expanding spherical wave with vacuum wavelength of λ0\lambda_0 propagating in a medium with refractive index of nR+inIn_R + i n_I. Shows that the inverse square law does not hold for such a wave. Explain why.
  4. (20 pts, 4 pts each blank) Some of you have tried to make Fresnel zone plate for sound wave. If you try to make a zone plate that will focus a plane sound wave (Vsound=350V_{sound} = 350 m/sec) to a point which is 100 cm from the zone plate and sound wave used is 7000 Hz. The first zone radius is ____ cm and the second zone radius is ____ cm. At the focal point, the loudness (equivalent to intensity of light) of the sound is roughly ____ times the original plane wave loudness assuming only 4 odd zones can pass the zone plate. There are higher order focal points, the second strongest focal point is located ____ cm away from the zone plate. The loudness of the second strongest focal point will be roughly ____ times the original plane wave.
    🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 4 頁

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1. 平行玻璃板的總透射率

核心觀念

每一個玻璃—空氣界面具有反射率 RR，因此光線通過一個界面後的透射率為

Tinterface=1−R.T_{\text{interface}}=1-R.

一片平行玻璃板有兩個界面；NN 片玻璃板共有 2N2N 個界面。

解題方法

忽略吸收，並忽略多重反射光重新疊加所造成的干涉效應，光線每通過一個界面就乘上一個透射因子 (1−R)(1-R)，因此

Tt=(1−R)2N.T_t=(1-R)^{2N}.

所以若題目中的 NN 指的是「玻璃—空氣界面的總數」，則可寫成

Tt=(1−R)N.T_t=(1-R)^N.

本題圖中文字的式子為 Tt=(1−R)2NT_t=(1-R)^{2N}，因為 NN 指玻璃平行板的片數。

解題技巧

判斷指數的方法是直接數界面：每片玻璃有兩個界面，因此 NN 片玻璃對應 2N2N 次透射。

2. Babinet 原理

核心觀念

Babinet 原理指出：一個孔徑與其互補的不透明障礙物，所產生的繞射圖樣在幾何陰影區外具有相同的強度分布。

解題方法

設原來的孔徑透射函數為 tA(x,y)t_A(x,y)，其互補障礙物的透射函數為 tB(x,y)t_B(x,y)。由互補關係，

tA(x,y)+tB(x,y)=1.t_A(x,y)+t_B(x,y)=1.

對兩邊作傅立葉轉換：

t~A+t~B=δ(qx,qy).\widetilde{t}_A+\widetilde{t}_B=\delta(q_x,q_y).

在非零繞射角度，即 (qx,qy)≠(0,0)(q_x,q_y)\neq(0,0) 時，

t~A+t~B=0,\widetilde{t}_A+\widetilde{t}_B=0,

因此

t~B=−t~A.\widetilde{t}_B=-\widetilde{t}_A.

繞射強度為振幅絕對值平方，所以

IB=∣t~B∣2=∣−t~A∣2=∣t~A∣2=IA.I_B=|\widetilde{t}_B|^2 =|-\widetilde{t}_A|^2 =|\widetilde{t}_A|^2 =I_A.

因此，互補孔徑與障礙物的繞射強度相同；差異只在於零階直射光與障礙物中心可能出現的 Poisson spot。

解題技巧

記住最簡形式：

孔徑+互補障礙物=完全透明平面.\text{孔徑}+\text{互補障礙物}=\text{完全透明平面}.

在非零繞射方向，完全透明平面的繞射振幅為零，所以兩者振幅大小相等、方向相反，強度便相同。

3. 複數折射率中的球面波

核心觀念

介質折射率為

n=nR+inI,n=n_R+i n_I,

其中 nRn_R 控制相位傳播，nIn_I 控制波的衰減。真空波數為

k0=2πλ0.k_0=\frac{2\pi}{\lambda_0}.

採用時間因子 e−iωte^{-i\omega t}。

解題方法

膨脹球面波的波函數可寫成

ψ(r,t)=Arei(nk0r−ωt).\psi(r,t)=\frac{A}{r} e^{i(nk_0r-\omega t)}.

代入 n=nR+inIn=n_R+i n_I：

ψ(r,t)=Arei[(nR+inI)k0r−ωt]=Arei(nRk0r−ωt)e−nIk0r.\begin{aligned} \psi(r,t) &=\frac{A}{r} e^{i[(n_R+i n_I)k_0r-\omega t]}\\ &=\frac{A}{r} e^{i(n_Rk_0r-\omega t)} e^{-n_Ik_0r}. \end{aligned}

因此其振幅為

∣ψ(r)∣∝1re−nIk0r.|\psi(r)|\propto \frac{1}{r}e^{-n_Ik_0r}.

強度與振幅平方成正比：

I(r)∝∣ψ(r)∣2=∣A∣2r2e−2nIk0r.I(r)\propto |\psi(r)|^2 =\frac{|A|^2}{r^2}e^{-2n_Ik_0r}.

若介質不吸收，即 nI=0n_I=0，才會得到熟悉的反平方定律

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