114 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《光學》

此題主要測試對光波基本性質的理解，包含波長與頻率的轉換、可見光譜的顏色辨識、同調長度的定義，以及光波在不同介質中的傳播行為。

(a) 波長 $\lambda$ 與頻率 $f$ 的關係式為 $c = \lambda f$，其中 $c$ 是光速（在真空中約為 $3 \times 10^8 \text{ m/s}$）。
$\lambda = 0.55 \mu \text{m} = 0.55 \times 10^{-6} \text{ m}$
$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8 \text{ m/s}}{0.55 \times 10^{-6} \text{ m}} \approx 5.45 \times 10^{14} \text{ Hz}$

【答案】約 $5.45 \times 10^{14} \text{ Hz}$

(b) $0.55 \mu \text{m}$ (或 $550 \text{ nm}$) 的可見光波長落在黃綠色光範圍。

【答案】黃綠色

此題主要探討理想單色平面波在時間同調與空間同調方面的特性。

一個理想的 monochromatic plane wave（單色平面波）是指一個在空間中以平面波前傳播，且具有單一固定頻率（或波長）的電磁波。

• 時間同調 (Temporal Coherence)：時間同調描述的是波在時間上的相關性，也就是波在不同時間點上相位關係的穩定程度。一個理想的單色平面波，由於其頻率是絕對單一固定的，其相位關係在時間上是完美穩定的，可以無限期地保持下去。因此，理想單色平面波具有無限的時間同調。

核心觀念

兩道同頻平面波在介質中的干涉條紋間隔為

其中：

• $\lambda_m=\dfrac{\lambda_0}{n}$ 為平板內波長；
• $\alpha$ 為兩道光進入平板後的夾角；
• $\lambda_0=0.5\,\mu\text{m}$，平板折射率 $n=2$。

題圖以空氣為入射介質，因此由史乃耳定律：

(a) 圖一

兩道光在空氣中的夾角為 $60^\circ$，且對稱入射，因此每道光與平板法線的夾角為 $30^\circ$。折射進入平板後，每道光與法線的夾角為 $r$，所以平板內兩光夾角為

代入干涉條紋間隔公式：

由 $n\sin r=\sin30^\circ$，可直接化簡為

因此

(b) 圖二

此題主要測試對點光源定義、波前特性以及產生平行光方法的理解。

(a) 點光源 (Point Source)：
點光源是指一個在空間中可以被視為一個單一幾何點的發光源。在實際應用中，當光源的大小遠小於其到觀察點的距離時，就可以將其近似為點光源。

其輻射的波前 (Wavefront) 特徵：
一個理想的點光源向四面八方均勻地輻射光線。在任何一個時刻，從點光源發出的光波，在距離光源相同距離的所有點所構成的表面，稱為波前。對於點光源，這些等距離的點構成一個球面。因此，點光源輻射的波前是球面波 (Spherical Wavefront)。

【答案】點光源是指大小遠小於其距離的發光源。其輻射的波前是球面波。

(b) 產生平行光的方法：
平行光是指所有光線都互相平行傳播的光束。產生平行光的方法通常是利用光學元件將一個點光源或一個發散光源的光線匯聚成平行光束。

以下是兩種常見的方法：

此題考驗薄透鏡成像公式的應用，包括物距、像距、焦距的關係，以及像的性質判斷。

設物距為 $p$，像距為 $q$，焦距為 $f$。
根據題目給定的條件：
物體置於透鏡前 $10 \text{ cm}$ 處，表示物距 $p = 10 \text{ cm}$。
成像在透鏡後的 $10 \text{ cm}$ 處，表示像距 $q = 10 \text{ cm}$。
（注意：物距 $p$ 通常取正值，像距 $q$ 在成像於透鏡另一側時取正值，表示實像；成像在物體同側時取負值，表示虛像。）

(a) 計算焦距 $f$：
使用薄透鏡成像公式：$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$。
將已知數值代入：
$\frac{1}{10 \text{ cm}} + \frac{1}{10 \text{ cm}} = \frac{1}{f}$

此題考驗的是厚透鏡的成像計算，需要用到主點、焦點等概念，以及厚透鏡的成像公式。題目中給出了雙凸透鏡的物距、主點位置、後焦點位置，需要計算成像位置和像的性質。

首先，我們需要釐清題目給定的參數：

1. 物體位置：物體置於透鏡前 $10 \text{ cm}$ 處。這裡的「透鏡前」通常是指距離透鏡前頂點的距離。設前頂點為 $V_1$，後頂點為 $V_2$。則物體到 $V_1$ 的距離為 $p_{V1} = 10 \text{ cm}$。
2. 主點：
   • 前主點 $H_1$ 與前頂點 $V_1$ 的距離：$V_1H_1 = 2 \text{ cm}$。由於主點通常在透鏡內部或靠近透鏡，且題目未指明方向，我們通常假設主點在頂點的「後面」（朝向透鏡內部）。所以，如果以 $V_1$ 為參考點，則 $H_1$ 在 $V_1$ 後 $2 \text{ cm}$ 處。
   • 後主點 $H_2$ 與後頂點 $V_2$ 的距離：$V_2H_2 = 2 \text{ cm}$。同理，假設 $H_2$ 在 $V_2$ 前 $2 \text{ cm}$ 處（朝向透鏡內部）。
   • 對於雙凸透鏡，兩個主點通常在透鏡的兩側，並且它們之間的距離是固定的。這裡給出的距離是頂點到主點的距離。
3. 後焦點：
   • 後主點 $H_2$ 到後焦點 $F_2$ 的距離是焦距 $f$。題目說「該後透鏡的後焦點與鏡片的後頂點距離為 $4 \text{ cm}$」。這意味著 $V_2F_2 = 4 \text{ cm}$。
   • 對於厚透鏡，焦距 $f$ 是後主點 $H_2$ 到後焦點 $F_2$ 的距離，即 $f = H_2F_2$。
   • 我們知道 $V_2F_2 = V_2H_2 + H_2F_2$ (如果 $H_2$ 在 $V_2$ 和 $F_2$ 之間)。
   • 所以，$4 \text{ cm} = 2 \text{ cm} + f$。
   • 由此可得，焦距 $f = 4 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$。

現在我們有了厚透鏡的關鍵參數：

• 前頂點 $V_1$ 到物體的距離 $p_{V1} = 10 \text{ cm}$。
• 前主點 $H_1$ 在 $V_1$ 後 $2 \text{ cm}$ 處。
• 後主點 $H_2$ 在 $V_2$ 前 $2 \text{ cm}$ 處。
• 焦距 $f = H_2F_2 = 2 \text{ cm}$。

計算成像位置：
對於厚透鏡，我們通常使用主點來進行成像計算。
首先，我們需要計算物體到前主點 $H_1$ 的距離 $p_{H1}$。
物體在 $V_1$ 前 $10 \text{ cm}$ 處。$H_1$ 在 $V_1$ 後 $2 \text{ cm}$ 處。
所以，物體到 $H_1$ 的距離 $p_{H1}$ 是 $10 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$。
（注意：物距通常定義為物體到光學系統的第一主面（前主面）的距離。這裡假定物體在 $V_1$ 前 $10 \text{ cm}$，而 $H_1$ 在 $V_1$ 後 $2 \text{ cm}$，則物體到 $H_1$ 的距離為 $10+2=12 \text{ cm}$）。

現在，我們可以使用厚透鏡的成像公式，這個公式與薄透鏡類似，只是物距和像距是相對於主點來測量的：
$\frac{1}{p_{H1}} + \frac{1}{q_{H2}} = \frac{1}{f}$
其中 $p_{H1}$ 是物體到前主點的距離， $q_{H2}$ 是像到後主點的距離，$f$ 是焦距。

將數值代入：
$p_{H1} = 12 \text{ cm}$
$f = 2 \text{ cm}$

$\frac{1}{12 \text{ cm}} + \frac{1}{q_{H2}} = \frac{1}{2 \text{ cm}}$