114 年 國立中央大學光電科學與工程學系半導體光電科技碩士班《工程數學》

核心觀念

本題考查矩形孔徑的夫朗和斐繞射。遠場繞射振幅等於孔徑函數的二維傅立葉轉換，再乘上一個與位置相關的相位因子及傳播比例因子。

矩形孔徑的振幅透射率可寫成

$$U(\xi,\eta)=\operatorname{rect}\left(\frac{\xi}{a}\right) \operatorname{rect}\left(\frac{\eta}{b}\right),$$

其中孔徑範圍為

$$-\frac{a}{2}\leq \xi\leq \frac{a}{2}, \qquad -\frac{b}{2}\leq \eta\leq \frac{b}{2}.$$

夫朗和斐繞射公式為

$$U(x,y)= \frac{e^{jkz}}{j\lambda z} e^{j\frac{k}{2z}(x^2+y^2)} \iint U(\xi,\eta) \exp\left[ -j\frac{2\pi}{\lambda z}(x\xi+y\eta) \right] d\xi d\eta.$$

題目要求的是強度分布

$$I(x,y)=|U(x,y)|^2.$$

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解題方法

由於矩形孔徑函數可分離為 $\xi$ 與 $\eta$ 的乘積，二重積分可以拆成兩個一重積分。

代入孔徑範圍後，積分變為

$$\begin{aligned} &\iint U(\xi,\eta) \exp\left[ -j\frac{2\pi}{\lambda z}(x\xi+y\eta) \right] d\xi d\eta \\ &= \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-b/2}^{b/2} \exp\left[ -j\frac{2\pi}{\lambda z}(x\xi+y\eta) \right] d\eta d\xi \\ &= \left[ \int_{-a/2}^{a/2} \exp\left(-j\frac{2\pi x}{\lambda z}\xi\right)d\xi \right] \left[ \int_{-b/2}^{b/2} \exp\left(-j\frac{2\pi y}{\lambda z}\eta\right)d\eta \right]. \end{aligned}$$

$\xi$ 方向積分

令

$$\alpha=\frac{2\pi x}{\lambda z},$$

則

$$\begin{aligned} \int_{-a/2}^{a/2}e^{-j\alpha \xi}d\xi &= \left[ \frac{e^{-j\alpha \xi}}{-j\alpha} \right]_{-a/2}^{a/2} \\ &= \frac{e^{-j\alpha a/2}-e^{j\alpha a/2}}{-j\alpha} \\ &= \frac{2\sin(\alpha a/2)}{\alpha}. \end{aligned}$$

代回 $\alpha$ 得

$$\int_{-a/2}^{a/2} \exp\left(-j\frac{2\pi x}{\lambda z}\xi\right)d\xi = a\, \operatorname{sinc}\left( \frac{\pi ax}{\lambda z} \right),$$

其中採用工程上常見的定義

$$\operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin u}{u}.$$

$\eta$ 方向積分

同理可得

$$\int_{-b/2}^{b/2} \exp\left(-j\frac{2\pi y}{\lambda z}\eta\right)d\eta = b\, \operatorname{sinc}\left( \frac{\pi by}{\lambda z} \right).$$

因此二維積分結果為

核心觀念

本題考查**二階常係數齊次線性微分方程式（Second-Order Constant-Coefficient Homogeneous Linear ODE）**的初值問題求解。解題核心包含以下關鍵知識點：

1. 特徵方程式（Characteristic Equation）：將常微分方程式轉換為代數多項式，求解特徵根（Eigenvalues / Characteristic roots）。
2. 通解結構（General Solution）：若特徵方程式有兩相異實根 $\lambda_1, \lambda_2$，則微分方程式之齊次通解為 $y(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t}$。
3. 初值問題（Initial Value Problem, IVP）：代入初始條件 $y(0) = y_0$ 與 $y'(0) = y'_0$ 聯立求解未定係數 $c_1, c_2$，以確定唯一特解。

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解題方法

步驟一：建立特徵方程式並求特徵根
對於二階常係數齊次線性微分方程式：
$y'' - 3y' + 2y = 0$

設解的形式為 $y(t) = e^{\lambda t}$，代入原微分方程式得特徵方程式：
$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$

將特徵方程式因式分解：
$(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$

解得兩個相異實根：
$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2$

步驟二：寫出齊次通解與一階導函數
根據相異實根對應的解基底（Basis of solutions）$\{e^t, e^{2t}\}$，寫出微分方程式的通解為：
$y(t) = c_1 e^t + c_2 e^{2t}$

對時間 $t$ 微分，求得一階導函數：
$y'(t) = c_1 e^t + 2c_2 e^{2t}$

步驟三：帶入初始條件求解未定係數
代入第一個初始條件 $y(0) = 1$：
$y(0) = c_1 e^0 + c_2 e^0 = c_1 + c_2 = 1 \quad \text{--- (式 1)}$

代入第二個初始條件 $y'(0) = 0$：
$y'(0) = c_1 e^0 + 2c_2 e^0 = c_1 + 2c_2 = 0 \quad \text{--- (式 2)}$

利用 (式 2) 減去 (式 1)：
$(c_1 + 2c_2) - (c_1 + c_2) = 0 - 1 \implies c_2 = -1$

將 $c_2 = -1$ 代回 (式 1)：
$c_1 + (-1) = 1 \implies c_1 = 2$

步驟四：寫出特解並整理選項形式
將未定係數 $c_1 = 2$ 與 $c_2 = -1$ 代回通解，獲得特解：
$y(t) = 2e^t - e^{2t}$

核心觀念

本題考查**二階常係數齊次線性常微分方程式（Second-order Homogeneous Linear ODE with Constant Coefficients）**之初值問題（Initial Value Problem, IVP）。解題的核心觀念與定理包含：

1. 特徵方程式（Characteristic Equation）：對於 $a y'' + b y' + c y = 0$，其特徵方程式為 $a \lambda^2 + b \lambda + c = 0$。
2. 共軛複數根通解公式：當特徵根為共軛複根 $\lambda = \alpha \pm i \beta$ 時，方程式之通解（General Solution）為：
   $y(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos \beta t + C_2 \sin \beta t)$
3. 初值條件求特解（Particular Solution / IVP Solution）：利用微分與代入初值 $y(0)$ 及 $y'(0)$ 聯立求解待定常數 $C_1$ 與 $C_2$。

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解題方法

步驟一：求特徵根與通解
給定微分方程式 $y'' - 2y' + 2y = 0$，寫出對應的特徵方程式：
$\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0$

利用一元二次方程式求根公式：
$\lambda = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$

得到特徵根之實部 $\alpha = 1$，虛部 $\beta = 1$。故原微分方程式之通解為：
$y(t) = e^t (C_1 \cos t + C_2 \sin t)$

步驟二：代入初值條件求解待定常數
由第一個初值條件 $y(0) = 1$：
$y(0) = e^0 (C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0) = C_1 = 1$

對通解 $y(t)$ 運用微分乘法則求一階導函數 $y'(t)$：
$y'(t) = e^t (C_1 \cos t + C_2 \sin t) + e^t (-C_1 \sin t + C_2 \cos t) = e^t \left[ (C_1 + C_2)\cos t + (C_2 - C_1)\sin t \right]$

代入第二個初值條件 $y'(0) = 0$ 與 $C_1 = 1$：
$y'(0) = e^0 \left[ (1 + C_2)\cos 0 + (C_2 - 1)\sin 0 \right] = 1 + C_2 = 0 \implies C_2 = -1$

步驟三：寫出特解
將 $C_1 = 1$ 與 $C_2 = -1$ 代回通解，獲得滿足初值條件之特解：
$y(t) = e^t (\cos t - \sin t)$

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選項分析

• (A) 錯誤：$y(t) = e^t(\cos t + \sin t)$。雖然滿足 $y(0) = e^0(\cos 0 + \sin 0) = 1$，但微分後 $y'(t) = e^t(\cos t + \sin t) + e^t(-\sin t + \cos t) = 2e^t \cos t$，代入 $t=0$ 得 $y'(0) = 2 \neq 0$。此選項為誤將 $C_2 = -1$ 算成 $C_2 = 1$ 的常見錯誤。
• (B) 正確：$y(t) = e^t(\cos t - \sin t)$。

核心觀念

本題考查二階常係數線性非齊次常微分方程式（Second-order Linear Nonhomogeneous ODE with Constant Coefficients）的求解能力。

1. 通解結構：非齊次微分方程式的通解 $y(t)$ 由齊次解（Complementary Solution, $y_h(t)$）與特解（Particular Solution, $y_p(t)$）疊加而成：
   $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$
2. 齊次解 $y_h(t)$：求解對應齊次式 $y'' + 5y' + 6y = 0$ 的特徵方程式（Characteristic Equation），利用特徵根（Roots）建構線性獨立解的線性組合。
3. 特解 $y_p(t)$：根據非齊次項 $r(t) = 2e^{-t}$ 的形式，採用待定係數法（Method of Undetermined Coefficients）或逆微分運算子法（Inverse Operator Method）求得單一特解。

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解題方法

步驟一：求解齊次解 $y_h(t)$

考慮對應的齊次微分方程式：
$y'' + 5y' + 6y = 0$

設齊次解形式為 $y = e^{\lambda t}$，代入上式得到特徵方程式：
$\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$

將特徵方程式進行因式分解：
$(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0$

解得兩個相異實根：
$\lambda_1 = -2, \quad \lambda_2 = -3$

因此，齊次解為：
$y_h(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t} \quad (c_1, c_2 \text{ 為任意實數常數})$

步驟二：求解特解 $y_p(t)$

非齊次項為 $r(t) = 2e^{-t}$。指數中的係數為 $-1$，而特徵根為 $-2$ 與 $-3$，可知 $\lambda = -1$ 並非特徵根（無重複根現象）。

依據待定係數法，假設特解形式為：
$y_p(t) = A e^{-t}$

對 $y_p(t)$ 微分一次與二次：
$y_p'(t) = -A e^{-t}$
$y_p''(t) = A e^{-t}$

將 $y_p(t)$、 $y_p'(t)$、 $y_p''(t)$ 代入原非齊次微分方程式 $y'' + 5y' + 6y = 2e^{-t}$ 中：
$A e^{-t} + 5(-A e^{-t}) + 6(A e^{-t}) = 2e^{-t}$
$(1 - 5 + 6)A e^{-t} = 2e^{-t}$
$2A e^{-t} = 2e^{-t}$

對比等式兩端 $e^{-t}$ 的係數：
$2A = 2 \implies A = 1$

故求得特解為：
$y_p(t) = e^{-t}$

核心觀念

本題考查常係數二階非齊次線性常微分方程式（Second-Order Constant-Coefficient Non-homogeneous Linear ODE）的初值問題（Initial Value Problem, IVP）。

1. 通解結構：非齊次微分方程式的通解由齊次解 $y_h(t)$ 與特解 $y_p(t)$ 相加而成：
   $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$
2. 齊次解 $y_h(t)$：由對應齊次方程式 $y'' + 5y' + 6y = 0$ 的特徵方程式 $r^2 + 5r + 6 = 0$ 求得特徵根 $r_1, r_2$。
3. 特解 $y_p(t)$：可利用未定係數法（Method of Undetermined Coefficients）或拉普拉斯轉換法（Laplace Transform Method）求解。
4. 初值條件代入：將 $y(0) = 0$ 與 $y'(0) = 0$ 代入通解以確定積分常數 $c_1, c_2$。

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解題方法

本題提供兩種正規推導方法：經典微分方程式法與拉普拉斯轉換法。

方法一：經典微分方程式法（未定係數法）

步驟 1：求齊次解 $y_h(t)$

考慮對應的齊次微分方程式：
$y'' + 5y' + 6y = 0$

寫出特徵方程式並因式分解：
$r^2 + 5r + 6 = 0 \implies (r + 2)(r + 3) = 0$
解得特徵根 $r_1 = -2$ 與 $r_2 = -3$。故齊次解為：
$y_h(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t}$

步驟 2：求特解 $y_p(t)$

由於右端非齊次項為 $2e^{-t}$，且指數 $-1$ 並非齊次特徵根，故設特解型態為：
$y_p(t) = A e^{-t}$

對特解進行微分：
$y_p'(t) = -A e^{-t}$
$y_p''(t) = A e^{-t}$

將 $y_p(t)$、y_p'(t)$與$y_p''(t)$ 代回原微分方程式：
$A e^{-t} + 5(-A e^{-t}) + 6(A e^{-t}) = 2e^{-t}$
$(1 - 5 + 6) A e^{-t} = 2e^{-t}$
$2A e^{-t} = 2e^{-t} \implies A = 1$

得特解為：
$y_p(t) = e^{-t}$

步驟 3：組合通解並代入初值條件

微分方程式的完整通解為：
$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t} + e^{-t}$

計算一階導函數：
$y'(t) = -2c_1 e^{-2t} - 3c_2 e^{-3t} - e^{-t}$

代入初值條件 $y(0) = 0$ 與 $y'(0) = 0$：

$$\begin{cases} y(0) = c_1 + c_2 + 1 = 0 \implies c_1 + c_2 = -1 \\ y'(0) = -2c_1 - 3c_2 - 1 = 0 \implies 2c_1 + 3c_2 = -1 \end{cases}$$

解此二元一次聯立方程組：
將第一式乘以 2 得 $2c_1 + 2c_2 = -2$，與第二式相減可得：
$c_2 = 1$
代回第一式得：
$c_1 = -2$

步驟 4：整理最終函數型態

將 $c_1 = -2$ 與 $c_2 = 1$ 代回通解：
$y(t) = -2e^{-2t} + e^{-3t} + e^{-t} = e^{-t} - 2e^{-2t} + e^{-3t}$

提公因式 $e^{-t}$ 整理：
$y(t) = e^{-t} (1 - 2e^{-t} + e^{-2t})$

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方法二：拉普拉斯轉換法（Laplace Transform）

對原微分方程式兩邊同時取拉普拉斯轉換：
$\mathcal{L}\{y'' + 5y' + 6y\} = \mathcal{L}\{2e^{-t}\}$

利用微分定理與初值條件 $y(0) = 0, y'(0) = 0

核心觀念

本題考查二階常係數非齊次線性微分方程式（Second-Order Constant-Coefficient Non-homogeneous Linear Differential Equation）之初期值問題（Initial Value Problem, IVP）求解。核心觀念包含：

1. 齊次解（Homogeneous Solution, $y_h(t)$）：由特徵方程式（Characteristic Equation）求解對應齊次方程式的通解。
2. 特解（Particular Solution / Particular Integral, $y_p(t)$）：使用未定係數法（Method of Undetermined Coefficients）求出滿足非齊次項的特解。
3. 特解（IVP 之具體解）：結合通解 $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$ 與初始條件 $y(0)=1, y'(0)=0$ 決定未定常數。

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解題方法

Step 1：求解齊次解 $y_h(t)$

對應之齊次微分方程式為：
$y'' + 5y' + 6y = 0$

寫出特徵方程式：
$r^2 + 5r + 6 = 0 \implies (r+2)(r+3) = 0$
解得特徵根為 $r_1 = -2, r_2 = -3$。

故齊次解為：
$y_h(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t}$

Step 2：求解特解 $y_p(t)$

非齊次項為 $r(t) = 2e^{-t}$。由於指數次項中的 $-1$ 並非特徵根（即不存在重複根衝突），故設特解形式為：
$y_p(t) = A e^{-t}$

對 $y_p(t)$求一階與二階導函數：
$y_p'(t) = -A e^{-t}$
$y_p''(t) = A e^{-t}$

將 $y_p(t)$ 及其導函數代回原非齊次微分方程式：
$A e^{-t} + 5(-A e^{-t}) + 6(A e^{-t}) = 2 e^{-t}$
$(1 - 5 + 6) A e^{-t} = 2 e^{-t}$
$2A e^{-t} = 2 e^{-t} \implies A = 1$

得特解為：
$y_p(t) = e^{-t}$

Step 3：寫出一般通解 $y(t)$

微分方程式的一般通解為齊次解與特解之疊加：
$y(t) = y_h(t) + y_p(t) = c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-3t} + e^{-t}$

Step 4：代入初始條件求解未知常數 $c_1, c_2$

對通解求一階導函數：
$y'(t) = -2c_1 e^{-2t} - 3c_2 e^{-3t} - e^{-t}$

代入第一個初始條件 $y(0) = 1$：
$y(0) = c_1 + c_2 + 1 = 1 \implies c_1 + c_2 = 0 \implies c_2 = -c_1$

代入第二個初始條件 $y'(0) = 0$：
$y'(0) = -2c_1 - 3c_2 - 1 = 0$

將 $c_2 = -c_1$ 代入上式：
$-2c_1 - 3(-c_1) - 1 = 0 \implies c_1 - 1 = 0 \implies c_1 = 1$
進而求得 $c_2 = -1$。

將未知常數代回通解，得到此 IVP 的特定解：
$y(t) = e^{-t} + e^{-2t} - e^{-3t}$

核心觀念

本題旨在考察二階常係數非齊次常微分方程（Inhomogeneous Constant-Coefficient Second-Order ODE）在拉普拉斯變換（Laplace Transform）域下的求解技巧。解題的核心依據為拉普拉斯變換的線性性質（Linearity）與微分定理（Derivative Theorem）：

1. 一階微分的拉普拉斯變換：
   $\mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) - y(0)$
2. 二階微分的拉普拉斯變換：
   $\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)$
3. 外加輸入函數的拉普拉斯變換定義：
   $\mathcal{L}\{g(t)\} = G(s)$

透過拉普拉斯變換，可將時域（$t$-domain）的微分方程轉化為 $s$ 域（$s$-domain）的代數方程，進而順利解出 $Y(s)$。

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解題方法

步驟一：對微分方程兩邊同時進行拉普拉斯變換

給定二階非齊次常微分方程：
$a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = g(t)$

利用拉普拉斯變換的線性性質，對等號兩邊同時取變換：
$a \mathcal{L}\{y''(t)\} + b \mathcal{L}\{y'(t)\} + c \mathcal{L}\{y(t)\} = \mathcal{L}\{g(t)\}$

令 $\mathcal{L}\{y(t)\} = Y(s)$ 且 $\mathcal{L}\{g(t)\} = G(s)$。

步驟二：代入微分定理與初始條件

將初始條件 $y(0) = y_0$ 及 $y'(0) = u_0$ 代入微分定理：
$a \left[ s^2 Y(s) - s y_0 - u_0 \right] + b \left[ s Y(s) - y_0 \right] + c Y(s) = G(s)$

步驟三：展開並依 $Y(s)$ 及初始條件項進行整理

展開括號：
$a s^2 Y(s) - a s y_0 - a u_0 + b s Y(s) - b y_0 + c Y(s) = G(s)$

將含有 $Y(s)$ 的項提出公因式，其餘初始條件常數項移至等號右邊：
$(a s^2 + b s + c) Y(s) - (a s + b) y_0 - a u_0 = G(s)$

$(a s^2 + b s + c) Y(s) = (a s + b) y_0 + a u_0 + G(s)$

步驟四：求解 $Y(s)$

兩邊同除以特徵多項式 $(a s^2 + b s + c)$，得到以 $G(s)$ 表示的 $Y(s)$ 解：
$Y(s) = \frac{(a s + b) y_0 + a u_0 + G(s)}{a s^2 + b s + c}$

核心觀念

本題考驗常微分方程（Differential Equations）中的常點冪級數解法（Power Series Solutions about an Ordinary Point）與特殊函數級數展開的結合應用。重點包含：

1. 常點（Ordinary Point）定義與級數假設：
   對於常係數線性微分方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$，若 $P(x)$ 與 $Q(x)$ 在 $x = x_0$ 處均解析（Analytic），則 $x_0$ 稱為常點。本題 $x=0$ 為常點，可假設解為馬克勞林級數形式 $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$。
2. 遞迴關係式（Recurrence Relation）：
   將級數代入微分方程後，利用同次項係數相等的性質，建立高階係數 $a_{n+2}$ 與低階係數 $a_n$ 的遞迴關係。
3. 線性獨立性與通解（Linear Independence & General Solution）：
   由兩個任意常數 $a_0$ 與 $a_1$ 控制的兩個獨立級數解 $y_1(x)$ 與 $y_2(x)$，構成微分方程的基底解（Fundamental Set of Solutions）。
4. 雙曲函數（Hyperbolic Functions）的級數定義：
   • 雙曲餘弦函數：$\cosh x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{2m}}{(2m)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$
   • 雙曲正弦函數：$\sinh x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$

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解題方法

步驟一：假設冪級數解並求各階微分

假設微分方程在 $x=0$ 附近的冪級數解為：
$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$

對 $x$ 求一階與二階逐項微分：
$y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$
$y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}$

步驟二：代入微分方程並平移次方指數

將 $y(x)$ 與 $y''(x)$ 代入方程 $y'' - y = 0$：
$\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2} - \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = 0$

將第一項的累加項指數平移，令 $k = n - 2 \implies n = k + 2$：
$\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1) a_{k+2} x^k - \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k = 0$

合併同次項：
$\sum_{k=0}^{\infty} \left[ (k+2)(k+1) a_{k+2} - a_k \right] x^k = 0$

步驟三：推導遞迴關係式

由恆等式性質，各次項係數必均為零，故得遞迴關係式（對所有 $k \ge 0$）：
$a_{k+2} = \frac{a_k}{(k+2)(k+1)}$

步驟四：分項求解偶數項與奇數項係數

1. 偶數項（$k = 0, 2, 4, \dots$，由 $a_0$ 決定）：

   • $k=0 \implies a_2 = \frac{a_0}{2 \cdot 1} = \frac{a_0}{2!}$
   • $k=2 \implies a_4 = \frac{a_2}{4 \cdot 3} = \frac{a_0}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{a_0}{4!}$
   • 一般化規律：$a_{2m} = \frac{a_0}{(2m)!}$，其中 $m \ge 0$

2. 奇數項（$k = 1, 3, 5, \dots$，由 $a_1$ 決定）：

   • $k=1 \implies a_3 = \frac{a_1}{3 \cdot 2} = \frac{a_1}{3!}$
   • $k=3 \implies a_5 = \frac{a_3}{5 \cdot 4} = \frac{a_1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{a_1}{5!}$
   • 一般化規律：$a_{2m+1} = \frac{a_1}{(2m+1)!}$，其中 $m \ge 0$

核心觀念

本題考查三維空間向量幾何（Vector Geometry in 3D Space）中利用**純量三重積（Scalar Triple Product）**求解幾何體體積的應用。

1. 平行六面體與純量三重積：由同起點的三個非共面向量 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ 所張成的平行六面體（Parallelepiped），其體積等於三向量組成之行列式的絕對值，即純量三重積的絕對值：
   $V_{\text{parallelepiped}} = |\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})| = \left| \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix} \right|$

2. 四面體體積公式：以相同三個向量為鄰邊所構成的四面體（Tetrahedron），其體積恰為該平行六面體體積的 $\dfrac{1}{6}$：
   $V_{\text{tetrahedron}} = \frac{1}{6} |\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})|$

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解題方法

步驟一：設定參考頂點並建構張開向量
設四面體的四個頂點分別為：
$A = (2, 6, 1), \quad B = (3, 1, 7), \quad C = (4, 3, 9), \quad D = (5, 2, 8)$

選擇頂點 $A$ 作為共通起點，計算從 $A$ 出發至其他三個頂點的位移向量：
$\mathbf{u} = \vec{AB} = B - A = (3-2, 1-6, 7-1) = (1, -5, 6)$
$\mathbf{v} = \vec{AC} = C - A = (4-2, 3-6, 9-1) = (2, -3, 8)$
$\mathbf{w} = \vec{AD} = D - A = (5-2, 2-6, 8-1) = (3, -4, 7)$

步驟二：計算純量三重積（$3 \times 3$ 行列式）
將三向量組合為行列式：
$\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w}) = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 6 \\ 2 & -3 & 8 \\ 3 & -4 & 7 \end{vmatrix}$

利用矩陣的列運算簡化計算：

• 將第 2 列減去第 1 列的 2 倍（$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$）：
  $[2 - 2(1), \, -3 - 2(-5), \, 8 - 2(6)] = [0, \, 7, \, -4]$

核心觀念

本題考查向量微積分中的高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、**曲面積分（Flux Integral）以及球坐標系（Spherical Coordinates）**的體積積分技巧。

1. 高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）：
   若 $V$ 為三維空間中的分塊平滑封閉區域，其邊界曲面為 $S$（取向朝外），且 $\vec{F}$ 為連續可微的向量場，則曲面通量積分可轉化為體積積分：
   $\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} \, dA = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{F}) \, dV$

2. 向量場的散度（Divergence）：
   對於向量場 $\vec{F}(x, y, z) = [F_1, F_2, F_3]$，其散度定義為：
   $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$

3. 球坐標系（Spherical Coordinates）：
   坐標變換關係為：
   $x = r \sin\phi \cos\theta, \quad y = r \sin\phi \sin\theta, \quad z = r \cos\phi$
   其中體積元素為 $dV = r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta$。

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解題方法

步驟一：計算向量場 $\vec{F}$ 的散度

給定向量場 $\vec{F}(x, y, z) = [2yz - x^3, \, 2xz - y^3, \, 2xy - z^3]$，分別對各偏微分求和：
$\frac{\partial F_1}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2yz - x^3) = -3x^2$
$\frac{\partial F_2}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xz - y^3) = -3y^2$
$\frac{\partial F_3}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(2xy - z^3) = -3z^2$

因此，散度為：
$\nabla \cdot \vec{F} = -3x^2 - 3y^2 - 3z^2 = -3(x^2 + y^2 + z^2)$

步驟二：分析封閉區域與邊界曲面

考慮由 $x^2 + y^2 + z^2 \le 9$ 且 $z \ge 0$ 所圍成的半球體實體區域 $V$。
該區域的邊界曲面由兩部分組成：

1. 上半球面 $S_1$：$x^2 + y^2 + z^2 = 9, \, z \ge 0$
2. 底部圓盤 $S_2$：$x^2 + y^2 \le 9, \, z = 0$

檢查底面 $S_2$ 的外法向量通量：
在底面 $S_2$ 上，$z = 0$，朝外的單位法向量為 $\vec{n}_2 = [0, 0, -1]$。
此時向量場在 $S_2$ 上的內積為：
$\vec{F} \cdot \vec{n}_2 = [2(y)(0) - x^3, \, 2(x)(0) - y^3, \, 2xy - 0^3] \cdot [0, 0, -1] = -2xy$