114 年 國立中央大學光電科學與工程學系半導體光電科技碩士班《近代物理》

一、 光子動量

由愛因斯坦–德布羅意關係式，波長 $\lambda = 100 \text{ nm} = 10^{-7} \text{ m}$ 之光子動量為：
$p_{\text{photon}} = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}}{100 \times 10^{-9} \text{ m}} = 6.626 \times 10^{-27} \text{ kg}\cdot\text{m/s}$

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二、 光電子的群速度與相速度

1. 光子能量與最大動能量：
   $E_{\text{photon}} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{1240 \text{ eV}\cdot\text{nm}}{100 \text{ nm}} = 12.4 \text{ eV}$
   由光電效應方程式 $E_{\text{photon}} = K_{\max} + \Phi$（其中功函數 $\Phi = 5.1 \text{ eV}$）：
   $K_{\max} = 12.4 \text{ eV} - 5.1 \text{ eV} = 7.3 \text{ eV} = 1.169 \times 10^{-18} \text{ J}$

2. 群速度 ($v_g$)：
   德布羅意物質波之群速度等於粒子實體運動速度 $v$。因 $K_{\max} \ll m_e c^2$（非相對論極限）：

核心觀念

普朗克黑體輻射定律描述黑體在特定波長下的光譜發射強度（單位波長之輻射強度）。因波長範圍 $\Delta\lambda = 602\text{ nm} - 600\text{ nm} = 2\text{ nm}$ 遠小於中心波長 $\lambda = 600\text{ nm}$，該波段之輻射強度可近似為：
$\Delta I \approx I(\lambda) \Delta\lambda$

太陽發射之總輻射強度則由史蒂芬－波茲曼定律（Stefan-Boltzmann Law）給出：
$I_{\text{total}} = \int_0^{\infty} I(\lambda) d\lambda = \sigma T^4$

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計算步驟

1. 計算 $600\text{ nm}$ 至 $602\text{ nm}$ 之輻射強度 $\Delta I$

給定常數：

• 普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
• 光速 $c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}$
• 波茲曼常數 $k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$
• 太陽溫度 $T = 6000 \text{ K}$
• 中心波長 $\lambda = 600 \text{ nm} = 6.0 \times 10^{-7} \text{ m}$
• 波長區間 $\Delta\lambda = 2 \text{ nm} = 2.0 \times 10^{-9} \text{ m}$

代入指數項：
$\frac{hc}{\lambda kT} = \frac{(6.626 \times 10^{-34})(3.0 \times 10^8)}{(6.0 \times 10^{-7})(1.38 \times 10^{-23})(6000)} \approx 4.00$

核心觀念

本題考查**康普頓散射（Compton Scattering）**效應，屬於相對論性粒子碰撞與動量／能量守恆定律的綜合應用。

1. 光子與電子碰撞的能量守恆與動量守恆：高能 $\gamma$ 射線光子與靜止自由電子發生彈性碰撞，光子轉移部分能量給電子，使其獲得動能並反彈。
2. 散射光子能量公式：由動量與能量守恆推導可得散射光子能量 $E'$ 與入射光子能量 $E$ 及散射角 $\theta$ 的關係：
   $E' = \frac{E}{1 + \frac{E}{m_0 c^2}(1 - \cos\theta)}$
   其中 $m_0 c^2 \approx 0.511\text{ MeV}$ 為電子的靜止能量（Rest Mass Energy）。
3. 電子動能守恆：電子所獲得的動能 $K_e$ 即為光子損失的能量：
   $K_e = E - E'$
4. 電子散射角（反彈角）關係式：結合動量在平行與垂直入射方向的分量守恆，可導出電子散射角 $\phi$ 與光子散射角 $\theta$ 的經典關係：
   $\cot\phi = \left( 1 + \frac{E}{m_0 c^2} \right) \tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$

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解題方法

(a) 計算散射光子的能量 $E'$

已知條件：

• 入射光子能量 $E = 0.7\text{ MeV}$
• 光子散射角 $\theta = 60^\circ$
• 電子靜能量 $m_0 c^2 = 0.511\text{ MeV}$

將已知數值代入散射光子能量公式：
$\frac{E}{m_0 c^2} = \frac{0.7}{0.511} \approx 1.3699$
$1 - \cos 60^\circ = 1 - 0.5 = 0.5$

計算分母部分：
$1 + \frac{E}{m_0 c^2}(1 - \cos 60^\circ) = 1 + 1.3699 \times 0.5 = 1 + 0.68495 = 1.68495$

因此散射光子能量 $E'$ 為：
$E' = \frac{0.7\text{ MeV}}{1.68495} \approx 0.41544\text{ MeV} \approx 0.415\text{ MeV}$

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(b) 計算反彈電子的動能 $K_e$ 與散射角 $\phi$

1. 電子動能 $K_e$：
根據能量守恆，光子減少的能量全部轉化為電子的動能：
$K_e = E - E' = 0.7\text{ MeV} - 0.41544\text{ MeV} = 0.28456\text{ MeV} \approx 0.285\text{ MeV}$

2. 電子散射角 $\phi$：
設入射光子沿 $x$ 軸方向行進：

• 沿 $x$ 軸動量守恆：
  $\frac{E}{c} = \frac{E'}{c} \cos\theta + p_e \cos\phi \implies p_e c \cos\phi = E - E'\cos\theta$
• 沿 $y$ 軸動量守恆：
  $0 = \frac{E'}{c} \sin\theta - p_e \sin\phi \implies p_e c \sin\phi = E'\sin\theta$

兩式相除得：
$\tan\phi = \frac{E'\sin\theta}{E - E'\cos\theta}$

一、 玻爾模型估算動能

對於類氫離子 $\text{Li}^{2+}$，其原子序 $Z = 3$。當處於第一激發態時，主量子數 $n = 2$。

1. 軌道半徑：
   根據玻爾模型，第 $n$ 層軌道半徑為：
   $r_n = \frac{n^2}{Z} a_0$
   代入 $Z = 3, n = 2$，得第一激發態軌道半徑：
   $r_2 = \frac{2^2}{3} a_0 = \frac{4}{3} a_0$

2. 動能計算：
   庫侖力提供電子圓周運動所需之向心力：
   $\frac{Z k e^2}{r_2^2} = \frac{m v^2}{r_2} \implies m v^2 = \frac{Z k e^2}{r_2}$
   故玻爾模型下電子的動能為：
   $K_{\text{Bohr}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{Z k e^2}{2 r_2} = \frac{3 k e^2}{2 \left(\frac{4}{3} a_0\right)} = \frac{9 k e^2}{8 a_0}$

   利用玻爾半徑定義 $a_0 = \frac{\hbar^2}{m k e^2} \implies k e^2 = \frac{\hbar^2}{m a_0}$ 代入上式：
   $K_{\text{Bohr}} = \frac{9 \hbar^2}{8 m a_0^2}$

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二、 海森堡不確定性原理估算最低動能

核心觀念

1. 一維定態薛丁格方程式（Time-Independent Schrödinger Equation）：
   質量為 $m$ 的粒子於位能 $V(x)$ 中運動時，其波函數 $\psi(x)$ 滿足：
   $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

2. 無窮深位能井（Infinite Square Well）：
   位能井邊界處位能無限大，波函數在井外嚴格為零。對稱井寬為 $L$ 時，強制的邊界條件使基態波函數在井壁處歸零，其基態能量為：
   $E_{1,\text{infinite}} = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$

3. 有限深位能井與穿透效應（Finite Square Well & Barrier Penetration）：
   當井外位能為有限值 $V_0$ 時，在 bound state 條件下（$0 < E < V_0$），波函數會滲透進入井外，形成指數衰減的隱沒波（evanescent wave）。此穿透現象相當於擴大了粒子的有效運動空間範圍（有效井寬 $L_{\text{eff}} > L$），進而降低粒子的基態能量。

4. 超越方程式與束縛態數量（Transcendental Equations for Bound States）：
   對於井寬為 $L$、深度為 $V_0$ 的對稱有限深位能井，波函數可依對稱性分為偶對稱（Even parity）與奇對稱（Odd parity）。定義無因次變數 $\xi = \frac{kL}{2}$ 與 $\eta = \frac{\alpha L}{2}$，其中 $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$，$\alpha = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}$，兩者滿足圓方程式：
   $\xi^2 + \eta^2 = R^2 = \frac{mV_0 L^2}{2\hbar^2}$

   • 偶對稱態（含基態）：滿足 $\eta = \xi \tan\xi$
   • 奇對稱態（含第一激發態）：滿足 $\eta = -\xi \cot\xi$

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解題方法

一、 基態能量比較與物理機制解釋

1. 無窮深位能井之基態能量：
   粒子的空間分佈嚴格限制於 $-L/2 \le x \le L/2$。邊界條件要求 $\psi(\pm L/2) = 0$，對應基態波函數為 $\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)$，其能量為：
   $E_{1,\text{infinite}} = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$

2. 有限深位能井之基態能量：
   在有限深位能井中，位能障壁高度為有限值 $V_0$。於井外（$|x| > L/2$），薛丁格方程式解為指數衰減形式 $\psi(x) \propto \exp(-\alpha |x|)$。

3. 物理解釋：
   由於井外位能有限，波函數在邊界 $x = \pm L/2$ 處不必為零，而能連續過渡並滲透至位能障壁中（障壁穿透，Barrier Penetration）。
   這使得波函數的空間分佈擴張，其「有效位能井寬度」大於實際幾何寬度（$L_{\text{eff}} \approx L + \frac{2}{\alpha} > L$）。
   依據海森堡不確定性原理（Heisenberg Uncertainty Principle）$\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$，位置不確定度 $\Delta x$ 的增加會導致動量不確定度 $\Delta p$ 減小。動量平均平方值 $\langle p^2 \rangle$ 變小，意味著粒子的動能下降。
   因此，相同寬度 $L$ 下，有限深位能井的基態能量必小於無窮深位能井的基態能量：
   $E_{1,\text{finite}} < E_{1,\text{infinite}}$

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二、 僅支持一個束縛態的位能井臨界高度推導

考慮寬度為 $L$、深度為 $V_0$ 的對稱有限深位能井：
$V(x) = \begin{cases} 0, & |x| < \frac{L}{2} \\ V_0, & |x| > \frac{L}{2} \end{cases}$

無因次變數 $\xi = \frac{kL}{2}$ 及 $\eta = \frac{\alpha L}{2}$ 滿足半徑為 $R$ 的圓方程式：
$\xi^2 + \eta^2 = \frac{mV_0 L^2}{2\hbar^2} \equiv R^2$

圖形解分析如下：

1. 偶對稱束縛態（基態）：
   超越方程式為 $\eta = \xi \tan\xi$（在第一象限 $\xi, \eta > 0$）。
   當 $\xi \to 0^+$ 時，$\xi \tan\xi \to 0$。

核心觀念

當能量 $E > V_0$ 的電子入射階梯位能障時，穿透機率（Transmission Probability）定義為穿透機率流密度與入射機率流密度之比：

$T = \frac{4 k_1 k_2}{(k_1 + k_2)^2} = \frac{4 \sqrt{E(E - V_0)}}{(\sqrt{E} + \sqrt{E - V_0})^2}$

其中：

• $k_1 = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$（區域一波數）
• $k_2 = \frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar}$（區域二波數）

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計算步驟

1. 代入已知數據：
   • $E = 5\text{ eV}$
   • $V_0 = 3\text{ eV}$
   • $E - V_0 = 2\text{ eV}$

核心觀念

1. 一維量子諧振子 (1D Quantum Simple Harmonic Oscillator)：
   題給位能函數為 $V(x) = Ax^2 + B$。與標準一維諧振勢能 $\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 + B$ 對照，可得固有角頻率 $\omega = \sqrt{\frac{2A}{m}}$。
   含常數偏置 $B$ 之諧振子能量本徵值（能階）公式為：
   $E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega + B = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\sqrt{\frac{2A}{m}} + B \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$
2. 維里定理 (Virial Theorem)：
   對於形如 $V_{\text{osc}}(x) = Ax^2$ 的二次方勢場，量子態 $n$ 下的動能期望值 $\langle T \rangle_n$ 與二次諧振位能期望值 $\langle Ax^2 \rangle_n$ 平分諧振能量：
   $\langle T \rangle_n = \langle Ax^2 \rangle_n = \frac{1}{2} E_{\text{osc}, n} = \frac{1}{2}\left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega$
   因此總位能期望值為 $\langle V \rangle_n = \langle Ax^2 \rangle_n + B$。
3. 包立不相容原理與費米子統計 (Pauli Exclusion Principle & Fermion Statistics)：
   電子為自旋 $s = 1/2$ 的費米子。依據包立不相容原理，每一個空間本徵態（確定量子數 $n$）最多可容納 2 個自旋方向相反（$m_s = +1/2, -1/2$）的電子。
   在絕對零度 ($T = 0\text{ K}$) 下，系統處於基態，10 個電子會從最低能階 ($n=0$) 開始向上依次填滿能階。

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解題方法

(a) 第一激發態電子的平均位能

1. 求出固有角頻率 $\omega$：
   將位能 $V(x) = Ax^2 + B$ 比對標準式 $\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 + B$，得到：
   $A = \frac{1}{2}m\omega^2 \implies \omega = \sqrt{\frac{2A}{m}}$
2. 計算第一激發態 ($n = 1$) 之諧振部分能量：
   第一激發態對應量子數 $n = 1$，其純諧振能量為：
   $E_{\text{osc}, 1} = \left(1 + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega = \frac{3}{2}\hbar\omega = \frac{3}{2}\hbar\sqrt{\frac{2A}{m}}$
3. 運用維里定理求平均位能 $\langle V \rangle_{n=1}$：
   二次項位能之期望值為諧振能量的一半：
   $\langle Ax^2 \rangle_1 = \frac{1}{2} E_{\text{osc}, 1} = \frac{3}{4}\hbar\omega = \frac{3}{4}\hbar\sqrt{\frac{2A}{m}}$
   加入常數位能 $B$，即得第一激發態電子的平均位能：

核心觀念

將金屬內的傳導電子視為受限於體積 $V = L^3$ 的三維自由電子氣（Free electron gas）。在絕對零度（$T = 0\text{ K}$）下，依據包利不相容原理（Pauli exclusion principle），電子會由最低能階依序向上填充至最高能量，此最高能量即為費米能（Fermi energy, $E_F$）。

推導步驟

1. 三維 $k$ 空間的量子態分佈
若採用週期性邊界條件（Periodic boundary conditions），電子波向量 $\vec{k}$ 的各分量為：
$k_x = \frac{2\pi}{L}n_x, \quad k_y = \frac{2\pi}{L}n_y, \quad k_z = \frac{2\pi}{L}n_z \quad (n_x, n_y, n_z \in \mathbb{Z})$

每個量子態在 $k$ 空間中所佔據的體積為：
$\Delta V_k = \left(\frac{2\pi}{L}\right)^3 = \frac{8\pi^3}{V}$

2. 計算費米球內的總電子數
在 $T = 0\text{ K}$ 時，電子在 $k$ 空間中填滿半徑為 $k_F$（費米波向量）的球體（Fermi sphere）。考慮電子自旋自由度（自旋簡併度 $g_s = 2$），球體內包含的總電子數 $N$ 為：

核心觀念

1. 氫原子發射光譜（Hydrogen Emission Spectrum）：

   • 氫原子的第一激發態對應主量子數 $n = 2$，退激發至基態 $n = 1$ 時會發射萊曼線系的光子（Lyman-$\alpha$ 光譜線）。
   • 未加外磁場時，發射光子的能量差為 $E_0 = E_2 - E_1 = 13.6 \text{ eV} \times \left(1 - \frac{1}{2^2}\right) = 10.2 \text{ eV}$，對應波長 $\lambda_0 \approx 121.57 \text{ nm}$。

2. 正常塞曼效應（Normal Zeeman Effect）：

   • 將原子置於外加磁場 $\mathbf{B}$ 中，原子的軌道磁矩與磁場發生耦合作用，使軌道磁量子數 $m_l$ 簡併的能階發生分裂，附加能量為：
     $\Delta E_B = m_l \mu_B B$
     其中 $\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 5.788 \times 10^{-5} \text{ eV/T}$ 為玻爾磁元（Bohr magneton）。

3. 偶極躍遷選律（Electric Dipole Selection Rules）：

   • 躍遷時角量子數需滿足 $\Delta l = \pm 1$，磁量子數滿足 $\Delta m_l = 0, \pm 1$。
   • 電子由 $2p$ 態（$l=1$）躍遷至 $1s$ 態（$l=0$），受限於選律，光子能量變換僅為 $\Delta E_{\text{photon}} = 0, \pm \mu_B B$。因此，單一發射線會分裂成三條波長（勞侖茲三重線, Lorentz triplet）。

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解題方法

步驟一：計算無磁場時的未偏移中心波長 $\lambda_0$

根據里德伯公式（Rydberg formula）：
$\frac{1}{\lambda_0} = R_H \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) = \frac{3}{4} R_H$
代入里德伯常數 $R_H \approx 1.09737 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$：
$\lambda_0 = \frac{4}{3 \times 1.09737 \times 10^7 \text{ m}^{-1}} \approx 1.2157 \times 10^{-7} \text{ m} = 121.57 \text{ nm}$

步驟二：分析磁場下能階與躍遷能量

• $n = 2$ 態：包含 $2s$ ($l=0$) 與 $2p$ ($l=1$)。由躍遷選律 $\Delta l = \pm 1$，僅 $2p \to 1s$ 可發生輻射躍遷。
  $2p$ 態的磁量子數為 $m_l = +1, 0, -1$，在磁場 $B = 1 \text{ T}$ 下分裂為三個能階：
  $E_{2p}(m_l) = E_2 + m_l \mu_B B$
• $n = 1$ 態：為 $1s$ ($l=0, m_l=0$)，能階無軌道分裂：
  $E_{1s} = E_1$
• 躍遷發射光子能量：
  $E_{\text{photon}} = E_{2p}(m_l) - E_{1s} = (E_2 - E_1) + m_l \mu_B B = E_0 + m_l \mu_B B, \quad m_l = 0, \pm 1$

步驟三：計算波長偏移量 $\Delta \lambda$

玻爾磁元數值為 $\mu_B \approx 5.788 \times 10^{-5} \text{ eV/T}$。當 $B = 1 \text{ T}$ 時，能量變化量：
$\Delta E = \mu_B B = 5.788 \times 10^{-5} \text{ eV}$

由於 $\Delta E \ll E_0$（$5.788 \times 10^{-5} \text{ eV} \ll 10.2 \text{ eV}$），採用全微分一階近似法推導波長偏移量：