114 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《電子學》

核心觀念

Fig. 1 是由運算放大器控制 NPN 電晶體 $Q_1$ 的定電流電路。運算放大器負回授感測 $Q_1$ 的射極電壓，並調整基極電壓，使射極電壓接近 $V_{\mathrm{REF}}$。

主要使用：

• 負回授虛短：$V_E \simeq V_{\mathrm{REF}}$
• 射極電阻電流：
  $I_E=\frac{V_E-V^-}{R_1}$
• BJT 電流關係：
  $I_C=\frac{\beta}{\beta+1}I_E$

其中 $I_1$ 為 $Q_1$ 的集極電流，即 $I_1=I_C$。

(a) $A_{OL}$ 很大時的 $I_1$

當運算放大器開迴路增益 $A_{OL}$ 很大時，負回授使

$V_E=V_{\mathrm{REF}}$

因此流過 $R_1$ 的射極電流為

$I_E=\frac{V_{\mathrm{REF}}-V^-}{R_1}$

若採用一般理想化近似，忽略 BJT 基極電流，則 $I_C\simeq I_E$，所以

$\boxed{I_1\simeq\frac{V_{\mathrm{REF}}-V^-}{R_1}}$

(b) $I_1$ 的較精確表示式

考慮 BJT 有限電流增益 $\beta$，基極電流不可忽略。由

$I_E=I_C+I_B$

以及

$I_C=\beta I_B$

可得

$I_E=I_C\left(1+\frac{1}{\beta}\right)$

所以

$$I_C=\frac{I_E}{1+\frac{1}{\beta}} =\frac{\beta}{\beta+1}I_E$$

代入

$I_E=\frac{V_{\mathrm{REF}}-V^-}{R_1}$

得到較精確的電流：

$$\boxed{ I_1=I_C =\frac{\beta}{\beta+1} \frac{V_{\mathrm{REF}}-V^-}{R_1} }$$

若進一步考慮有限的 $A_{OL}$，設運算放大器輸出直接驅動 $Q_1$ 基極，則

$V_B=A_{OL}(V_{\mathrm{REF}}-V_E)$

又因為

$V_B=V_E+V_{BE}$

因此

$V_E=V_{\mathrm{REF}}-\frac{V_{BE}}{A_{OL}}$

此時

核心觀念

本題是以齊納二極體 $D_1$、電晶體 $Q_1$ 與電阻分壓器組成的串聯控制式並聯穩壓器，考查：

• 齊納二極體穩壓：$V_E \approx V_Z$
• BJT 射極電壓：$V_E \approx V_B - V_{BE}$
• 電阻分壓與節點電流定律
• 齊納二極體動態電阻 $Z_Z$ 對輸出電阻的影響

以下採用常見近似：

$V_{BE}\approx 0.7\text{ V},\qquad \beta\to\infty$

因此忽略基極電流，且 $I_{R1}=I_{R2}$。

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(a) 求 $R_1$ 與 $R_2$

由齊納二極體穩壓，

$V_E=V_Z=6.3\text{ V}$

所以基極電壓為

$V_B=V_E+V_{BE}=6.3+0.7=7.0\text{ V}$

題目給定

$I_{R1}=I_{R2}=1.0\text{ mA}$

且輸出電壓為 $V_O=10\text{ V}$。

求 $R_1$

$R_1$ 兩端電壓為

$V_{R1}=V_O-V_B=10-7=3\text{ V}$

因此

$$R_1=\frac{V_{R1}}{I_{R1}} =\frac{3\text{ V}}{1.0\text{ mA}} =3.0\text{ k}\Omega$$

求 $R_2$

$R_2$ 兩端電壓即為基極對地電壓：

$V_{R2}=V_B=7.0\text{ V}$

所以

$$R_2=\frac{V_{R2}}{I_{R2}} =\frac{7.0\text{ V}}{1.0\text{ mA}} =7.0\text{ k}\Omega$$

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(b) 求輸出電流 $I_O$ 的 compliance range

原圖此小題標示為求 $I_O$ 的電流 compliance range。輸入電流源提供的電流為

$I_Q=12\text{ mA}$

在輸出節點套用 KCL：

$I_Q=I_{R1}+I_O+I_C$

其中 $I_C$ 為 $Q_1$ 的集極電流。由 $I_{R1}=1.0\text{ mA}$，

$I_C=12-I_O-1=11-I_O\quad(\text{mA})$

為使 $Q_1$ 能正常吸收多餘電流，必須有

$I_C\geq 0$

因此

$11-I_O\geq 0$

得到

$I_O\leq 11\text{ mA}$

另一方面，負載電流不能為負，因此

$I_O\geq 0$

所以輸出電流的 compliance range 為

核心觀念

本題考查：

• BJT 差動對的尾電流分配。
• BJT 電流鏡與有限 $\beta$ 所造成的基極電流誤差。
• 共射極級的小訊號電壓增益。
• 差動模式增益定義。
• $V_A=\infty$ 時，忽略 Early effect，因此 $r_o=\infty$。

採用室溫常用近似：

$$V_{BE}\approx 0.7\text{ V},\qquad V_T\approx 25\text{ mV}$$

圖中 $Q_5,Q_6,Q_7,Q_9$ 的基極皆由 $V_2$ 偏壓，且視為匹配電晶體。

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(a) 求 $V_1$ 與 $V_2$

$Q_8$ 為接在正電源端的二極體接法 PNP，因此

$$V_1=V^+-V_{BE}=10-0.7$$ $$\boxed{V_1=9.3\text{ V}}$$

$Q_9$ 為接在負電源端的二極體接法 NPN，因此

$$V_2=V^-+V_{BE}=-10+0.7$$ $$\boxed{V_2=-9.3\text{ V}}$$

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(b) 求 $I_R$

電阻 $R_3$ 兩端電壓為

$$V_1-V_2=9.3-(-9.3)=18.6\text{ V}$$

因此

$$\boxed{I_R=\frac{18.6}{R_3}\text{ A}}$$

題圖未標示 $R_3$ 的數值，所以 $I_R$ 只能表示成上述形式。

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(c) 求 $I_1$ 與 $I_2$

令 $Q_5,Q_6,Q_7,Q_9$ 的集極電流皆為 $I_1$。由於每個電晶體的基極電流為

$$I_B=\frac{I_1}{\beta}$$

在 $V_2$ 節點套用 KCL，$I_R$ 供應：

• $Q_9$ 的射極電流：$I_1+I_1/\beta$
• $Q_5,Q_6,Q_7$ 三個電晶體的基極電流：$3I_1/\beta$

所以

$$I_R=I_1+\frac{I_1}{\beta}+\frac{3I_1}{\beta}$$ $$I_R=I_1\left(1+\frac{4}{\beta}\right)$$

因此

$$I_1=\frac{\beta}{\beta+4}I_R$$

代入 $\beta=180$：

$$\boxed{I_1=\frac{180}{184}I_R=\frac{45}{46}I_R}$$

$Q_6$ 與 $Q_7$ 皆流過與 $Q_5$ 相同的電流，因此

$$I_2=I_{C6}+I_{C7}=2I_1$$ $$\boxed{I_2=\frac{90}{46}I_R=\frac{45}{23}I_R}$$

亦可寫成

$$\boxed{I_1=\frac{45}{46}\frac{18.6}{R_3}}$$ $$\boxed{I_2=\frac{45}{23}\frac{18.6}{R_3}}$$

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(d) 求 $R_{C1}$

當 $v_1=v_2=0$ 時，差動對平均分配尾電流。由於 $I_1$ 為 $Q_5$ 的集極電流，兩個輸入電晶體的射極電流各為

$$I_{E1}=I_{E2}=\frac{I_1}{2}$$

其集極電流為

$$I_{C1}=I_{C2} =\frac{\beta}{\beta+1}\frac{I_1}{2}$$

已知 $v_{o1}=v_{o2}=2$ V，故 $R_{C1}$ 上的電壓為

$$10-2=8\text{ V}$$

因此

$$R_{C1} =\frac{8}{\dfrac{\beta}{\beta+1}\dfrac{I_1}{2}}$$ $$\boxed{R_{C1}=\frac{16(\beta+1)}{\beta I_1}}$$

代入 $\beta=180$：

$$\boxed{R_{C1}=\frac{16(181)}{180I_1}}$$

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(e) 求 $R_{C2}$

$Q_6,Q_7$ 的總電流為 $I_2$，因此 $Q_3,Q_4$ 平均分配電流：

$$I_{E3}=I_{E4}=\frac{I_2}{2}$$

每個電晶體的集極電流為

$$I_{C3}=I_{C4} =\frac{\beta}{\beta+1}\frac{I_2}{2}$$

已知 $v_{o4}=6$ V，因此 $R_{C2}$ 上的電壓為

$$10-6=4\text{ V}$$

故

$$R_{C2} =\frac{4}{\dfrac{\beta}{\beta+1}\dfrac{I_2}{2}}$$ $$\boxed{R_{C2}=\frac{8(\beta+1)}{\beta I_2}}$$

代入 $\beta=180$：

$$\boxed{R_{C2}=\frac{8(181)}{180I_2}}$$

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