113 年 國立中央大學光電科學與工程學系半導體光電科技碩士班《電子學》

核心觀念

本題考查小訊號電壓放大器的等效電路模型與電容耦合之頻率響應（Frequency Response）：

1. 放大器雙埠模型（Two-Port Network Model）：電壓放大器包含輸入電阻 $R_{in}$、開路電壓增益 $A_{vo}$ 與輸出電阻 $R_o$。在計算總電壓增益時，需考慮訊號源內阻 $R_s$ 與負載電阻 $R_L$ 所造成的負載效應（分壓效應）。
2. 耦合電容與高通響應：
   • 直流（$\text{DC}, f = 0$）時，耦合電容視為開路（Open Circuit），訊號無法傳遞。
   • 高頻（$f \to \infty$）時，耦合電容阻抗趨近於零，視為交流短路（Short Circuit），放大器工作於中頻帶（Midband）。
   • 耦合電容在低頻區產生極點（Pole）與零點（Zero），阻絕直流並讓交流通過，構成高通濾波器（High-Pass Filter）。
3. 極點頻率（Pole Frequency）計算：
   單一電容產生的轉折頻率（3 dB 截止頻率）由電容值與其兩端看入之等效戴維寧電阻 $R_{eq}$ 決定：
   $f_P = \frac{1}{2\pi R_{eq} C}$

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解題方法

(a) 計算直流與高頻電壓增益及判斷濾波器類型

1. 直流增益（DC Gain, $f = 0$）：
   在直流時，電容 $C_1$ 與 $C_2$ 的阻抗為：
   $Z_C = \frac{1}{j\omega C} \to \infty$
   輸入端 $C_1$ 阻斷輸入訊號，放大器輸入電壓 $v_i = 0\text{ V}$；輸出端 $C_2$ 阻斷輸出路徑，負載電壓 $v_o = 0\text{ V}$。
   因此，整體直流電壓增益為：
   $A_v(\text{DC}) = 0\text{ V/V}$

2. 高頻增益（High Frequency Gain, $f \to \infty$）：
   當頻率足夠高時，耦合電容視為短路（$Z_{C1} \approx 0$、$Z_{C2} \approx 0$），電路處於中高頻平坦區：

   • 輸入端分壓：
     $v_i = v_s \cdot \frac{R_{in}}{R_s + R_{in}} = v_s \cdot \frac{5\text{ k}\Omega}{10\text{ k}\Omega + 5\text{ k}\Omega} = \frac{1}{3} v_s$
   • 受控電壓源輸出：
     $A_{vo} v_i = 50 \cdot v_i = 50 \cdot \left(\frac{1}{3} v_s\right)$
   • 輸出端分壓：
     $v_o = (A_{vo} v_i) \cdot \frac{R_L}{R_o + R_L} = 50 \cdot \left(\frac{1}{3} v_s\right) \cdot \frac{1\text{ k}\Omega}{3\text{ k}\Omega + 1\text{ k}\Omega} = 50 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} v_s = \frac{25}{6} v_s$
     因此，整體高頻電壓增益為：
     $A_v(f \to \infty) = \frac{v_o}{v_s} = \frac{25}{6}\text{ V/V} \approx 4.17\text{ V/V}$

3. 濾波器類型描述：
   此電路在 $\text{DC}$ 增益為 0，隨頻率上升至高頻帶時具有平坦的放大增益（$\approx 4.17\text{ V/V}$），阻絕低頻直流訊號、允許高頻訊號通過，因此工作模式為高通濾波器（High-pass filter）。

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(b) 求滿足截止頻率小於 $100\text{ kHz}$ 所需之最小 $C_1$ 與 $C_2$

核心觀念

本題考查兩級 BJT 共射極放大器的：

• 分壓偏壓分析
• Thevenin 等效電路
• BJT 小訊號參數
  $g_m=\frac{I_C}{V_T},\qquad r_\pi=\frac{\beta}{g_m}$
• 中頻時耦合電容與旁路電容視為短路
• 多級放大器的負載效應與總電壓增益

以下採用 $V_T=25\text{ mV}$，並忽略 $r_o$。

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(a) 直流偏壓分析

直流時所有耦合電容及旁路電容皆視為開路，因此兩級的直流偏壓電路相同。

1. 基極分壓 Thevenin 等效

由圖中

$$R_1=20\text{ k}\Omega,\qquad R_2=10\text{ k}\Omega$$

分壓等效電壓為

$$V_{TH}=V_{CC}\frac{R_2}{R_1+R_2} =15\frac{10}{20+10} =5\text{ V}$$

Thevenin 等效電阻為

$$R_{TH}=R_1\parallel R_2 =20\parallel10 =6.667\text{ k}\Omega$$

2. 基極電流與集極電流

由 $V_{BE}=0.7\text{ V}$、$\beta=100$、$R_E=4\text{ k}\Omega$：

$$I_B= \frac{V_{TH}-V_{BE}} {R_{TH}+(\beta+1)R_E}$$ $$I_B= \frac{5-0.7} {6.667\text{ k}\Omega+101(4\text{ k}\Omega)} =10.47\ \mu\text{A}$$

因此

$$I_C=\beta I_B =100(10.47\ \mu\text{A}) =1.047\text{ mA}$$

兩級元件相同，所以

$$I_{C1}=I_{C2}=1.047\text{ mA}$$

3. 基極電壓

$$I_E=(\beta+1)I_B =101(10.47\ \mu\text{A}) =1.057\text{ mA}$$ $$V_E=I_ER_E =(1.057\text{ mA})(4\text{ k}\Omega) =4.229\text{ V}$$ $$V_B=V_E+V_{BE} =4.229+0.7 =4.929\text{ V}$$

因此

$$V_{B1}=V_{B2}=4.929\text{ V}$$

4. 集極電壓

$$V_C=V_{CC}-I_CR_C$$

其中 $R_C=4\text{ k}\Omega$，故

$$V_C=15-(1.047\text{ mA})(4\text{ k}\Omega) =10.812\text{ V}$$

因此

$$V_{C1}=V_{C2}=10.812\text{ V}$$

兩級皆滿足 $V_C>V_B$，工作於 forward-active region。

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(b) 小訊號增益

中頻時：

• 輸入耦合電容為短路
• 級間耦合電容為短路
• 兩個射極旁路電容為短路
• 因此兩級射極皆為交流接地

1. 小訊號參數

$$g_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{1.047\text{ mA}}{25\text{ mV}} =41.88\text{ mS}$$ $$r_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{41.88\text{ mS}} =2.388\text{ k}\Omega$$

每一級的輸入電阻為

$$R_{in}=r_\pi\parallel R_1\parallel R_2$$ $$R_{in}=2.388\parallel20\parallel10 =1.758\text{ k}\Omega$$

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核心觀念

理想運算放大器在線性負回授下具有：

$V_+=V_-=0,\qquad i_+=i_-=0$

因此兩個左側運算放大器的反相端皆為虛接地。解題時分別對節點 $V_x$ 與各反相端套用 KCL。

右側兩級皆為反相放大器，增益公式為：

$V_o=-\frac{R_f}{R_{in}}V_i$

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1. 求 $V_x$ 與 $V_{out1}$

由於上方運算放大器的非反相端接地，其反相端為虛接地。

對節點 $V_x$ 寫 KCL。圖中 $V_x$ 分別經由 $1\,\text{k}\Omega$ 連接至虛接地、接地，以及 $V_{out1}$：

$$\frac{V_x-0}{1\,\text{k}\Omega} +\frac{V_x-0}{1\,\text{k}\Omega} +\frac{V_x-V_{out1}}{1\,\text{k}\Omega}=0$$

整理得：

$$3V_x-V_{out1}=0$$

因此：

$$V_{out1}=3V_x$$

再對上方運算放大器的反相端寫 KCL。輸入電壓 $V_{in}=2\,\text{V}$ 經 $2\,\text{k}\Omega$ 接入，$V_x$ 經 $1\,\text{k}\Omega$ 接入：

$$\frac{V_{in}-0}{2\,\text{k}\Omega} +\frac{V_x-0}{1\,\text{k}\Omega}=0$$

代入 $V_{in}=2\,\text{V}$：

$$\frac{2}{2}+V_x=0$$

所以：

$$\boxed{V_x=-1\,\text{V}}$$

進而：

$$V_{out1}=3V_x=3(-1)$$ $$\boxed{V_{out1}=-3\,\text{V}}$$

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2. 求 $V_{out2}$

右上方運算放大器為反相放大器：

• 輸入電阻：$R_{in}=1\,\text{k}\Omega$
• 回授電阻：$R_f=0.5\,\text{k}\Omega$

因此：

$$V_{out2} =-\frac{0.5\,\text{k}\Omega}{1\,\text{k}\Omega}V_{out1} =-\frac{1}{2}V_{out1}$$

核心觀念

本題考查 MOSFET 差動對的：

• 差動增益 $A_d$
• 共模增益 $A_{cm}$
• 尾端電流源有限輸出電阻 $R_{SS}$ 對共模抑制的影響
• 電流源順從電壓與 MOSFET 飽和區操作條件

已知每支 MOSFET 的靜態電流為

$$I_D=\frac{2\text{ mA}}{2}=1\text{ mA}$$

MOSFET 的跨導參數為

$$k_n=\mu_n C_{ox}\frac WL =(1)(40)=40\text{ mA/V}^2$$

因此過驅電壓為

$$V_{OV}=\sqrt{\frac{2I_D}{k_n}} =\sqrt{\frac{2(1\text{ mA})}{40\text{ mA/V}^2}} =0.2236\text{ V}$$

跨導為

$$g_m=k_nV_{OV} =\sqrt{2k_nI_D} =0.2828\text{ S}$$

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(a) 差動增益

令差動輸入為

$$v_{i1}=+\frac{v_{id}}{2}, \qquad v_{i2}=-\frac{v_{id}}{2}$$

理想尾端電流源在差動模式下使源極節點為交流接地，因此兩支 MOSFET 的小訊號汲極電流變化為

$$\Delta i_{d1}=g_m\frac{v_{id}}{2}$$ $$\Delta i_{d2}=-g_m\frac{v_{id}}{2}$$

由於汲極電阻皆為 $R_D=5\text{ k}\Omega$，

$$v_{o1}=-g_mR_D\frac{v_{id}}{2}$$ $$v_{o2}=+g_mR_D\frac{v_{id}}{2}$$

題目定義

$$v_{od}=v_{o2}-v_{o1}$$

所以

$$v_{od}=g_mR_Dv_{id}$$

因此差動增益為

$$A_d=\frac{v_{od}}{v_{id}}=g_mR_D$$

代入數值：

$$A_d=(0.2828)(5\,000)=1.414\text{ V/V}$$

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(b) 共模增益

依題目正式定義：差動輸出共模增益

兩個輸入同時加上共模訊號：

$$v_{i1}=v_{i2}=v_{icm}$$

在完全對稱的差動對中，兩個輸出電壓的變化相同：

$$v_{o1}=v_{o2}$$

因此

$$v_{od}=v_{o2}-v_{o1}=0$$

所以若依題目所寫的定義

$$A_{cm}=\frac{v_{od}}{v_{icm}}$$

則

$$\boxed{A_{cm}=0}$$

此結果與 $R_{SS}$ 無關，因為共模訊號造成兩側輸出等量變化，差動相減後完全抵消。

單端輸出共模增益

題目又提到「at a single end」，此處所指應為單端輸出，例如 $v_{o1}/v_{icm}$。

尾端電阻為 $R_{SS}$ 時，對共模半電路而言，尾端電流變化為

$$2g_m(v_{icm}-v_s)=\frac{v_s}{R_{SS}}$$

整理得