113 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《電磁學》

核心觀念

本題考查電磁學基本物理量的因次分析（Dimensional Analysis）與 SI 制單位轉換。

1. 磁導率（Permeability, $\mu$）：
   • 描述介質對磁場響應特性的物理量。
   • 常用衍生單位為 $\text{H/m}$（亨利／公尺）或 $\text{N/A}^2$（牛頓／安培平方）。
2. 基本力學與電學單位定義：
   • 力的定義（牛頓第二運動定律）：$F = ma \implies 1\text{ N} = 1\text{ kg}\cdot\text{m/s}^2$。
   • 電流與電荷的關係：$I = \frac{dQ}{dt} \implies 1\text{ A} = 1\text{ C/s}$。

解題方法

本題可透過多種電磁學基本定理進行因次推導，以下提供兩種標準且快速的切入方式：

方法一：利用平行載流導線的安培力公式（最推薦）

兩條長度為 $L$、通有電流 $I_1, I_2$、相距為 $d$ 的平行導線，其單位長度所受之磁力公式為：
$\frac{F}{L} = \frac{\mu I_1 I_2}{2\pi d}$

將磁導率 $\mu$ 整理至等號左側：
$\mu = \frac{2\pi d \cdot F}{L \cdot I_1 I_2}$

進行因次與單位分析（常數 $2\pi$ 無因次）：
$[\mu] = \frac{\text{m}\cdot\text{N}}{\text{m}\cdot\text{A}\cdot\text{A}} = \frac{\text{N}}{\text{A}^2}$

將牛頓（$\text{N}$）與安培（$\text{A}$）以題幹所給之基本單位代換：

• $1\text{ N} = 1\text{ kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2$
• $1\text{ A} = 1\text{ C/s}$

代入可得：
$[\mu] = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2}{(\text{C}/\text{s})^2} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2}{\text{C}^2/\text{s}^2} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{C}^2}$

方法二：利用真空光速與介電常數關係驗算

由馬克士威方程組可得電磁波波速關係式：
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \implies \mu_0 = \frac{1}{c^2 \varepsilon_0}$

1. 庫侖定律：$F = \frac{q_1 q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \implies [\varepsilon_0] = \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$
2. 光速因次：$[c] = \text{m/s} \implies [c^2] = \text{m}^2/\text{s}^2$

核心觀念

• 邊界條件的基本原理：在兩介質交界面上，若不存在面電流 $\mathbf{K}_s$ 與面電荷 $\sigma_s$，則 Maxwell 方程式在積分形式下的高斯定律與安培環路定理可直接導出場的切向與法向分量之連續性。
• 相關場的定義

其中 $\mathbf{P}$ 為電極化、$\mathbf{M}$ 為磁極化。

• 無面電荷、無面電流的情況

$\sigma_s =0,\qquad \mathbf{K}_s=\mathbf{0}$

解題方法

1. 法向分量：取高斯定律對小柱體（法向方向）做積分

$\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{enc}} \;\;\Rightarrow\;\; D_{n}^{(1)}-D_{n}^{(2)} = \sigma_s=0$

因此 $\mathbf{D}$ 的法向分量在界面兩側相等，連續。
同理對磁通量使用 $\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0$，得到

$B_{n}^{(1)}-B_{n}^{(2)} =0\;\;\Rightarrow\;\; B_n \text{ 連續}$

2. 切向分量：取安培環路定理對小矩形迴路（平行於界面）積分

$\oint \mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{\text{enc}}+\frac{d}{dt}\int\!\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}$

在靜態或準靜態情況（本題不涉及時間變化），且無面電流 $\mathbf{K}_s$，得

$H_{t}^{(1)}-H_{t}^{(2)} = K_{s}=0$

故 $\mathbf{H}$ 的切向分量連續。
同理對 Faraday 定律（靜電情況）

$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\frac{d}{dt}\int\!\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0$

得到 $\mathbf{E}$ 的切向分量亦連續：$E_t^{(1)}=E_t^{(2)}$。

3. 彙總
   • $\mathbf{E}_t$ 連續
   • $\mathbf{H}_t$ 連續
   • $\mathbf{D}_n$ 連續
   • $\mathbf{B}_n$ 連續

核心觀念

• 梯度 (Gradient)：對純量場 $S(\mathbf r)$，$\displaystyle \nabla S$ 為向量場。
• 旋度 (Curl)：對向量場 $\mathbf A(\mathbf r)$，$\displaystyle \nabla\times\mathbf A$ 為向量場；對純量場沒有定義。
• 散度 (Divergence)：對向量場 $\mathbf A$，$\displaystyle \nabla\!\cdot\!\mathbf A$ 為純量。
• Laplacian：$\displaystyle \nabla^{2}S=\nabla\!\cdot\!(\nabla S)$，對向量場 $\mathbf A$，$\displaystyle \nabla^{2}\mathbf A\equiv\nabla(\nabla\!\cdot\!\mathbf A)-\nabla\times(\nabla\times\mathbf A)$。
• 恆等式（在平直歐幾里得空間，偏導可互換）

前者稱為「梯度的旋度恆等式」，後者稱為「旋度的散度恆等式」。

解題方法

1. 先釐清每個選項中出現的運算是否在數學上有意義。
2. 判斷是否為恆成立的向量微分恆等式（不依賴 $S$、$\mathbf A$ 的具體形式）。
3. 若涉及 $\nabla^{2}S$、$\nabla\!\cdot\!\mathbf A$、$\nabla^{2}\mathbf A$ 等，必須檢查是否為一般條件下的恆等式；除非另有約束（如場為調和函數、無散度），否則不一定成立。

選項分析

核心觀念
波印廷定理（Poynting's theorem）是由 Maxwell 方程式導出，描述電磁場與電荷系統之間的能量交換與流動。其形式為

其中

• $u=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_0 E^{2}+\mu_0 H^{2}\right)$ 為電磁場的能量密度，
• $\mathbf{S}= \mathbf{E}\times\mathbf{H}$ 為波印廷向量（能量流密度），
• $\mathbf{J}\cdot\mathbf{E}$ 為電流對電場所做的功（轉換成熱或機械能）。

此式表明 電磁能量的總量在任意閉合體內守恆，即「能量守恆」的局部表達式。

解題方法

1. 直接回顧波印廷定理的物理意義：它說明了電磁場的能量如何在空間中傳遞以及如何與物質中的電流交換能量。
2. 確認選項中哪一項與「能量」相關：
   • (A) 電荷守恆 → 由連續性方程式 $\partial \rho/\partial t + \nabla\!\cdot\!\mathbf{J}=0$ 描述，與電磁場的能量無關。
   • (B) 能量守恆 → 正是波印廷定理所陳述的內容。
   • (C) 衝量守恆、(D) 動量守恆 → 需使用電磁動量定理（與 Maxwell‑Stress 張量）而非波印廷定理。

因此只要辨識出波印廷定理關注的量，是能量，即可直接選擇 (B)。

選項分析

核心觀念

• 馬克斯威爾方程組由四條場方程式組成：高斯電通量定律、Gauss磁通量定律、法拉第電磁感應定律、以及含位移電流的修正安培環路定律。
• 位移電流（displacement current）是馬克斯威爾為了解決「充電電容器中無自由電流」的矛盾而引入的概念，使得安培定律在變化電場情況下仍成立。

解題方法

1. 先回顧前人已有的電磁定律：
   • 庫倫定律：靜電力與電荷間的 $F = k \dfrac{q_1 q_2}{r^2}$。
   • 高斯定律（電場）：$\displaystyle \oint_{\partial V}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$。
   • 高斯磁定律：$\displaystyle \oint_{\partial V}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0$（無磁單極子）。
   • 法拉第電磁感應定律：$\displaystyle \oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}$。
   • 安培定律（原始）：$\displaystyle \oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= \mu_0 I_{\text{enc}}$。
2. 判斷哪一條在馬克斯威爾時代被「修改」：

電磁輻射來自隨時間變化的電荷或電流多極矩。

對於均勻平面波，

其中導體的本質阻抗為

良導體滿足 $\sigma\gg\omega\varepsilon$，故

核心觀念

矩形區域內沒有體電荷，因此電位 $V(x,y)$ 滿足拉普拉斯方程：

電場由電位求得：

上下兩板接地，故 $V(x,0)=V(x,a)=0$；左右金屬條的電位分別為 $V(-b,y)=-V_0$、$V(b,y)=V_0$。

解題方法

因為 $y=0,a$ 的電位為零，分離變數解應取 $\sin(n\pi y/a)$。又左右邊界互為相反數，電位對 $x$ 呈奇對稱，因此可寫成

在 $x=b$ 處，$V(b,y)=V_0$。將常數 $V_0$ 在 $0<y<a$ 展開為正弦級數：

其中

核心觀念

• 全內反射 (Total Internal Reflection, TIR)：當入射角 $\theta_i$ 大於臨界角 $\theta_c=\sin^{-1}(n_2/n_1)$（$n_1>n_2$）時，光在高折射率介質 $n_1$ 中完全被反射。
• 衰減波 (Evanescent Wave)：在低折射率側 $n_2$ 中，電磁場的波向量沿界面平行分量仍為實數，垂直分量變為虛數 $k_{z2}=i\kappa$，導致場強沿 $z$（法向）指數衰減：$E(z)=E_0 e^{-\kappa z}$。
• 波阻抗與能流：能量傳遞以時間平均 Poynting 向量 $\langle \mathbf{S}\rangle =\frac12\Re\{\mathbf{E}\times\mathbf{H}^\ast\}$ 表示。若波的垂直波數為純虛，則 $\langle S_z\rangle =0$，即沒有能量穿過界面。
• 邊界條件：介面上切向電場、切向磁場必須連續，這保證了在低折射率側產生的衰減波滿足電磁場的完整解。

解題方法

1. 寫出入射波的波向量

$\mathbf{k}_1 = k_1(\sin\theta_i\,\hat{x}+\cos\theta_i\,\hat{z}),\qquad k_1=\frac{2\pi n_1}{\lambda_0}$

2. 使用 Snell 定律求低折射率側的平行分量

$k_{x}=k_1\sin\theta_i = k_2\sin\theta_t,\qquad k_2=\frac{2\pi n_2}{\lambda_0}$

當 $\sin\theta_i>n_2/n_1$ 時，$\sin\theta_t>1$，因此 $\theta_t$ 成為虛數。
3. 求法向波數

於是低折射率側的電磁場寫成

核心觀念

電磁勢與電磁場的關係為

題目要求由含電荷密度 $\rho$ 與電流密度 $\vec{J}$ 的 Maxwell 方程式，推導純量勢 $V$ 與向量勢 $\vec{A}$ 的波動方程。關鍵是使用向量恆等式

以及 Lorentz 條件

解題方法

先分別代入 Gauss 定律與 Ampère–Maxwell 定律。Lorentz 條件會消去勢函數方程中的交叉項，使兩個勢都滿足受源項驅動的波動方程。

一、純量勢 $V$ 的波動方程

由 Gauss 定律，

代入 $\vec{E}=-\nabla V-\partial\vec{A}/\partial t$：

使用 Lorentz 條件，

整理後得到

二、向量勢 $\vec{A}$ 的波動方程

由 Ampère–Maxwell 定律，