114 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《電磁學》

核心觀念

• 電容器的電荷與電壓關係：$Q = C\,V$。
• 能量等於把電容器從無電荷充至電荷 $Q$ 時所做的功：
  $W = \int_{0}^{Q} V\,\mathrm{d}q$，其中 $V = \dfrac{q}{C}$（因 $V = Q/C$，且在充電過程中 $q$ 隨時間變化）。

解題方法

1. 代入 $V = q/C$ 至功的積分式：

2. 用 $Q = C V$ 轉換成以 $C$、$V$ 表示的形式：
   $\frac{Q^{2}}{2C}= \frac{(C V)^{2}}{2C}= \frac{1}{2}C V^{2}.$

因此電容器儲存的能量為 $\displaystyle \frac{1}{2}C V^{2}$。

核心觀念

• 極化向量 $\mathbf P$：描述介質內單位體積因電荷分離而產生的偶極矩。
• 束縛電荷：由極化產生的體電荷與面電荷。
  • 體束縛電荷密度
    $\rho_b = -\nabla\!\cdot\!\mathbf P$
  • 面束縛電荷密度（位於介面的電荷）
    $\sigma_b = \mathbf P\cdot\hat n$
    其中 $\hat n$ 為指向外側的單位法向量。
• 位移場 $\mathbf D$：定義 $\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P$，其散度給予 自由體電荷
  $\nabla\!\cdot\!\mathbf D = \rho_{\text{free}}$
  其法向分量 $\mathbf D\cdot\hat n$ 為 自由面電荷密度。

解題方法

1. 先回憶「束縛電荷」的基本定義。
2. 由 $\mathbf P$ 產生的電位移可視為在介面上形成的面電荷，方向與 $\mathbf P$ 在法向上的投影相同。
3. 直接寫出面束縛電荷的通式 $\sigma_b = \mathbf P\cdot\hat n$，與題目中的選項比對即得答案。

選項分析

核心觀念
電場在真空中的波動方程式

$\nabla^{2}\mathbf{E}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}=0$

是由 麥克斯威爾方程式 中的 法拉第電磁感應定律 以及 安培‑麥克斯威爾定律（帶位移電流項）組合而得。此兩式分別給予電場的旋度與磁場的旋度，兩者相互取旋度可消除磁場，留下只含 $\mathbf{E}$ 的二階偏微分方程，即為波動方程式。

解題方法

1. 取法拉第定律（Faraday's law）

2. 取安培‑麥克斯威爾定律（Ampère‑Maxwell law）

於真空中 $\mathbf{J}=0$，且 $\mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2}$。

3. 先對 (1) 作 curl，得

4. 代入 (2) 於右側：

5. 使用向量恆等式

6. 在自由空間，根據 高斯電通量定律（Gauss's law for electricity）

因而 (5) 簡化為 $-\nabla^{2}\mathbf{E}$。

7. 結合 (4) 與 (5) 得

核心觀念
在電磁學中，介面兩側的電場$\mathbf{E}$受麥克斯韋方程式的邊界條件限制。對於切向分量（tangential component），常用的推導來源是法拉第電磁感應定律的積分形式

$\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}= -\frac{\partial}{\partial t}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{a},$

取一個跨越介面的極小矩形迴路，令其高度$h\to0$（垂直於介面），寬度$\Delta l$（平行於介面），則右側面積$\to0$，導致左側迴路積分為零，得到

$\bigl(\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2\bigr)\times\hat{n}=0,$

其中$\hat{n}$為介面的單位法向量。此式等價於切向分量連續：$\mathbf{E}_{1\parallel}=\mathbf{E}_{2\parallel}$。

解題方法

1. 以法拉第定律的積分形式構造跨介面的微小迴路。
2. 計算迴路的四條邊上$\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}$的貢獻，除兩條平行於介面的邊外，其餘兩條（垂直於介面）長度$h$趨於零，貢獻可忽略。
3. 設$\Delta l$為平行邊長，則

$\mathbf{E}_{1\parallel}\Delta l - \mathbf{E}_{2\parallel}\Delta l = 0 \;\Rightarrow\; \mathbf{E}_{1\parallel} = \mathbf{E}_{2\parallel}.$

4. 以向量表示時，即為

$(\mathbf{E}_1 - \mathbf{E}_2)\times\hat{n}=0.$

5. 檢視四個選項，找出與上述條件等價者。

選項分析

核心觀念

• 在自由空間（真空）中，電磁波滿足麥克斯韋方程組的波動方程，且電場 $\mathbf{E}$、磁場 $\mathbf{B}$ 與傳播方向 $\mathbf{k}$ 形成右手正交坐標系。
• 麥克斯韋方程式中的法拉第感應定律 $\nabla \times \mathbf{E}= -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ 與安培-馬克士威定律（無自由電流） $\nabla \times \mathbf{B}= \mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$，在平面波解裡可寫成
  $\mathbf{E}=c\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{B},\qquad \mathbf{B}= \dfrac{1}{c}\,\hat{\mathbf{k}}\times\mathbf{E}$
  其中 $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ 為光速，$\hat{\mathbf{k}}$ 為波矢單位向量。由此可直接看出 $\mathbf{E}$ 與 $\mathbf{B}$ 互相垂直且同時垂直於傳播方向。

解題方法

1. 以平面電磁波的標準形式 $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=\mathbf{E}_0\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)$、$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\mathbf{B}_0\cos(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)$ 帶入麥克斯韋方程。
2. 由 $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$、$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$（在自由空間無電荷、無磁單極子）得到 $\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0=0$、$\mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_0=0$，即 $\mathbf{E}_0$、$\mathbf{B}_0$ 均垂直於傳播方向 $\mathbf{k}$.
3. 再將 $\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$ 帶入 $\nabla \times \mathbf{E}= -\partial\mathbf{B}/\partial t$，利用 $\nabla \times (\mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}) = i\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0 e^{i(\cdot)}$，得到

核心觀念

• Poynting 向量定義：
  $\mathbf{S}= \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B} \;=\; \mathbf{E}\times\mathbf{H}$
  其單位為 $\mathrm{W/m^2}$。
• 能流密度的概念：在電磁場中，單位時間內穿過單位面積的能量稱為能流密度，等於 Poynting 向量的大小與方向。
• 能量守恆（Poynting 定理）：
  $\frac{\partial u}{\partial t}+ \nabla\!\cdot\!\mathbf{S}= -\mathbf{J}\!\cdot\!\mathbf{E}$
  其中 $u=\frac{1}{2}\left(\varepsilon_0E^2+\frac{1}{\mu_0}B^2\right)$ 為電磁能密度。此式說明 $\mathbf{S}$ 的散度代表能量在空間中的流出或流入。

解題方法
題目詢問「Poynting 向量 $\mathbf{S}$ 代表什麼」並給予四個敘述選項，屬於概念辨識題。解題步驟：

1. 直接寫出 $\mathbf{S}$ 的定義與單位。
2. 依照定義判斷每個選項所描述的物理量是否與 $\mathbf{S}$ 的意義相符。
3. 注意單位與量的性質（能量、能量密度、功率、動量、動量密度），若與 $\mathbf{S}$ 的單位 $\mathrm{W/m^2}$ 不符，即可排除。

選項分析

核心觀念

• 完全導體（perfect conductor）在靜電或低頻電磁情況下，內部電場必為 零，因為自由電荷會立即重新分布，使電場抵消。
• 介面處的電場分解為 切向分量 $E_t$ 與 法向分量 $E_n$。根據麥克斯韋方程與邊界條件：
  1. 切向電場：
     $\mathbf{E}_t^{\text{上}}-\mathbf{E}_t^{\text{下}} = 0$
     若下側是導體內部（$\mathbf{E}=0$），則上側（導體表面外）必有 $\mathbf{E}_t=0$。
  2. 法向電場：
     $\mathbf{E}_n^{\text{上}}-\mathbf{E}_n^{\text{下}} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$
     內部 $\mathbf{E}_n^{\text{下}}=0$，故外部 $\mathbf{E}_n=\sigma/\epsilon_0$，與表面電荷密度 $\sigma$ 相關。
• 其他兩個常見的場方程式：
  • $\nabla\cdot\mathbf{E}= \rho/\epsilon_0$（與電荷分布有關）。
  • $\nabla\times\mathbf{E}= -\partial\mathbf{B}/\partial t$（與時間變化的磁場有關）。

解題方法
直接應用完美導體的邊界條件：

1. 由於導體內部 $\mathbf{E}=0$，取導體內外的切向分量差：
   $\mathbf{E}_t^{\text(外)} - \mathbf{E}_t^{\text(內)} = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \mathbf{E}_t^{\text(外)} = 0.$
2. 只要不考慮時間變化的磁場，$\nabla\times\mathbf{E}$ 不一定為零（例如交流電場），因此不能直接作為普遍邊界條件。

核心觀念

• 在電磁波的自由空間（無電荷、無電流）中，電磁場滿足麥克斯威爾方程組的真空形式。
• 兩條相關方程式為

$\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0 \qquad\text{(磁場無源性)}$

$\nabla\!\times\!\mathbf{B}= \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\qquad\text{(麥克斯威爾–安培定律的位移電流項)}$

• 以上兩式均在「無自由電荷、無自由電流」的條件下成立，且不需額外假設電磁波是平面波或是時間諧波。

解題方法

1. 判斷題目所給條件：「In the absence of charges and currents」，即 $\rho=0$、$\mathbf{J}=0$。
2. 直接寫出真空中的麥克斯威爾方程組：

3. 從中挑選與題目敘述相符的選項：
   • (a) 正是 $\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0$。

核心觀念

• 位移電流 (displacement current)：在麥克斯威爾-安培定律中加入的額外項，定義為
  $\mathbf{J}_d=\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$
• 麥克斯威爾修正的安培定律：
  $\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$
• 電荷守恆 (continuity equation)：
  $\nabla\!\cdot\!\mathbf{J} +\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$
  只要方程式的左手項為$\nabla\!\cdot\!(\nabla\times\mathbf{B})=0$，右手必須同樣為零，才不會與電荷守恆衝突。位移電流的加入正是為了滿足此條件。

解題方法

1. 取麥克斯威爾-安培定律兩側做散度：
   $\nabla\!\cdot(\nabla\times\mathbf{B})=0$
2. 右側得到

3. 由高斯定律 $\nabla\!\cdot\!\mathbf{E}= \rho/\varepsilon_0$，代入上式得到
   $\mu_0\bigl(\nabla\!\cdot\!\mathbf{J}+ \frac{\partial\rho}{\partial t}\bigr)=0$

核心觀念
電磁波在自由空間的能量密度 $u$ 由電場與磁場的能量分佈組成。根據電磁場的能量密度定義

$u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^{2} + \frac{1}{2\mu_0} B^{2},$

其中 $\epsilon_0$ 為真空電容率、$\mu_0$ 為真空磁導率，$E$ 與 $B$ 為瞬時電場與磁場幅度。此式同時包含電場能與磁場能，兩者在平面波中相等且隨時間共同振盪。

解題方法
直接套用真空（自由空間）中的電磁能量密度公式，可判斷選項是否完整或過於簡化。若只保留單一項，則代表忽略了另一種場的能量，除非題目特別限定只有電場或磁場存在（本題未有此條件），故必須同時出現兩項。

選項分析

核心觀念
本題測驗的是麥克斯威爾對安培定律的修正，也稱為「位移電流」項。原始的安培環路定理

$\oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= \mu_0 I_{\text{導}}$

只能描述導電電流 $I_{\text{導}}$。為了滿足電荷連續方程

$\nabla\!\cdot\!\mathbf{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0,$

在無導電電流的情況（如電容充放電）仍需產生磁場。麥克斯威爾引入的額外項為

$\mathbf{J}_D = \varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},$

稱為位移電流 (displacement current)。修正後的安培-麥克斯威爾方程式為

$\oint_{\partial S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}= \mu_0 \!\left(I_{\text{導}} + \varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right),$

核心觀念
在電磁場的時變問題中，訊號的傳播速率為光速 $c$。因此，觀測點在時間 $t$ 所感受到的場，其實是來源在較早時刻 $t_{\text{ret}}$ 所發出的訊號，兩者之間的時間差稱為傳遞延遲。此概念由**遲延時間（retarded time）**正式描述，其定義式為

其中 $R(t_{\text{ret}})$ 為來源到觀測點的距離（可能隨時間變化），$c$ 為真空光速。

解題方法

1. 釐清題目所問的空格內詞彙。題目敘述「accounts for the delay of electromagnetic influence due to finite speed of light」正是描述上述傳遞延遲的概念。
2. 直接對應電磁學教科書（如 Griffiths《Introduction to Electrodynamics》）中對遲延時間的說明。
3. 若題目為選擇題，可列出常見干擾選項並逐一驗證其定義：

核心觀念
電磁波的能量傳遞以能流密度（energy flux density）來描述。根據麥克斯韋方程式，電場 $\mathbf{E}$ 與磁場 $\mathbf{B}$ 的交叉乘積給出單位面積、單位時間內通過的能量，稱為Poynting 向量 $\mathbf{S}$，其定義式

$\mathbf{S}= \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}$

其中 $\mu_0$ 為真空磁導率。$\mathbf{S}$ 的方向即為能量傳播的方向，大小等於瞬時功率密度（W/m$^2$）。

解題方法
題目只要求填入空格的名詞。根據上述定義，能量流（energy flux）在電磁波中即由 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 所形成的向量描述，因而答案為 Poynting 向量。若要驗證，可檢視以下兩點：

1. 單位檢查：
   $\mathbf{E}$ 單位 V/m，$\mathbf{B}$ 單位 T (= N·s/C·m)。
   $\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B} \;[\text{W/m}^2]$
   確實為功率密度（能流）之單位。

2. 能量守恆：
   Poynting 定理
   $\nabla\!\cdot\!\mathbf{S}+ \frac{\partial u}{\partial t}= -\mathbf{J}\!\cdot\!\mathbf{E}$
   其中 $u$ 為電磁場能密度，$\mathbf{J}\!\cdot\!\mathbf{E}$ 為功率損耗。此關係說明 $\mathbf{S}$ 正是能量流的守恆流向。

選項分析（假設典型的四選題選項）

真空中平面電磁波滿足

核心觀念

• 理想電偶極子（Hertzian dipole）：長度遠小於波長的振盪電流元件，電偶極矩 $\mathbf{p}=I_0\ell\,\hat{\mathbf{z}}$（軸向以 $\hat{\mathbf{z}}$ 為例）。
• 遠區（far‑field）輻射場：對於理想電偶極子，遠區電場與磁場的幅度分佈為
  $|\mathbf{E}_\theta|\propto\frac{I_0\ell}{r}\sin\theta ,\qquad |\mathbf{H}_\phi|= \frac{|\mathbf{E}_\theta|}{\eta_0}$
  其中 $\theta$ 為與偶極子軸的夾角（$0^\circ$ 為軸向，$90^\circ$ 為垂直面）。
• 功率密度（radiation intensity）：
  $U(\theta)=\frac{r^2}{2\eta_0}|\mathbf{E}_\theta|^2\propto\sin^2\theta$
  故輻射強度隨 $\sin^2\theta$ 變化。

解題方法

1. 辨認題目問的方向：題目敘述「radiation pattern ... strongest in the direction _____ to its axis」，意指在與偶極子軸的相對方向上，哪一個方向的輻射最強。
2. 套用偶極子遠區強度公式：由 $U(\theta)\propto\sin^2\theta$ 可得
   • $\theta=0^\circ$（沿軸向）及 $\theta=180^\circ$（與軸相反）時 $\sin\theta=0$，輻射為零。
   • $\theta=90^\circ$（垂直於軸）時 $\sin\theta=1$，取得最大值。
3. 因此，最強輻射方向為與偶極子軸垂直（perpendicular） 的平面。

選項分析（假設常見四個選項）

核心觀念

• 平面電磁波在真空中滿足麥克斯威爾方程式，特別是法拉第電磁感應律與安培-馬克士威方程（無自由電流、自由電荷）。
• 法拉第定律：$\nabla\times\mathbf{E}= -\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$。
• 安培定律（無電流）：$\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$。
• 在自由空間中，波速 $c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$，且 $\mathbf{E}$ 與 $\mathbf{B}$ 互相垂直、與傳播方向右手法則相符：$\mathbf{k}\times\mathbf{E}= \omega\mathbf{B}$。

解題方法

1. 先寫出給定的電場：

$\mathbf{E}(z,t)=E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{x}$

其傳播向量 $\mathbf{k}=k\hat{z}$。
2. 套用法拉第定律求 $\mathbf{B}$：

$\nabla\times\mathbf{E}= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$

計算左手邊的旋度。因 $\mathbf{E}$ 僅有 $x$ 分量且只與 $z$ 、$t$ 變化，

因此

3. 對時間積分得到 $\mathbf{B}$：

常數向量 $\mathbf{C}(z)$ 必須為零，因為在遠離來源的平面波中磁場只能是與電場同相位的正弦/餘弦波，且不會有額外靜磁場分量。故

核心觀念

坡印廷向量描述電磁波的能量流密度，方向代表能量傳播方向，定義為

自由空間平面波中，電場、磁場與傳播方向彼此垂直，並滿足 $H=E/\eta_0$，其中 $\eta_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}$ 是自由空間波阻抗。

解題方法

相位為 $kz-\omega t$，表示波沿 $+z$ 方向傳播；電場沿 $+x$ 方向。為使能量沿 $+z$ 傳播，磁場必須沿 $+y$ 方向，因為 $\hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}$。

自由空間中 $k/\omega=1/c$，由平面波的電磁場關係，

因此

代入坡印廷向量定義：

核心觀念

1. 無限大均勻面電流的磁場：
   對於位於平面上、具有均勻表面電流密度 $\mathbf{K}$ 的無限大導電平板，其在兩側所建立的磁場為均勻磁場，大小與距離無關，方向遵循右手定則。通式為：
   $\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{2} (\mathbf{K} \times \hat{n})$
   其中 $\hat{n}$ 為垂直於面電流並指向所求場點區域的單位法向量。

2. 重疊原理（Superposition Principle）：
   由多個電流源所產生的總磁場，等於各個電流源單獨存在時所產生磁場的向量和：
   $\mathbf{B}_{\text{total}} = \mathbf{B}_+ + \mathbf{B}_-$

解題方法

步驟一：單一無限大面電流之磁場分析

利用安培定律（Ampère's Law）可推導出單一均勻面電流 $\mathbf{K}$ 在法向量為 $\hat{n}$ 的區域所產生的磁場為 $\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{2}(\mathbf{K} \times \hat{n})$。

1. 位於 $z = d$ 的平板（$\mathbf{K}_+ = K_0 \hat{x}$）：

   • 當 $z > d$ 時，法向量 $\hat{n} = +\hat{z}$：
     $\mathbf{B}_+(z > d) = \frac{\mu_0}{2} (K_0 \hat{x} \times \hat{z}) = -\frac{\mu_0 K_0}{2} \hat{y}$
   • 當 $z < d$ 時，法向量 $\hat{n} = -\hat{z}$：
     $\mathbf{B}_+(z < d) = \frac{\mu_0}{2} [K_0 \hat{x} \times (-\hat{z})] = +\frac{\mu_0 K_0}{2} \hat{y}$

2. 位於 $z = -d$ 的平板（$\mathbf{K}_- = -K_0 \hat{x}$）：

   • 當 $z > -d$ 時，法向量 $\hat{n} = +\hat{z}$：
     $\mathbf{B}_-(z > -d) = \frac{\mu_0}{2} [(-K_0 \hat{x}) \times \hat{z}] = +\frac{\mu_0 K_0}{2} \hat{y}$
   • 當 $z < -d$ 時，法向量 $\hat{n} = -\hat{z}$：
     $\mathbf{B}_-(z < -d) = \frac{\mu_0}{2} [(-K_0 \hat{x}) \times (-\hat{z})] = -\frac{\mu_0 K_0}{2} \hat{y}$

步驟二：分區疊加各板磁場

根據重疊原理，計算三個區域內的總磁場 $\mathbf{B} = \mathbf{B}_+ + \mathbf{B}_-$：

1. 上方區域（$z > d$）：
   在此區域，點位於兩板上方（$z > d$ 且 $z > -d$）：

單一無限大電流面在另一面處產生的磁場大小為

上方電流面 $z=d$ 在下方電流面 $z=-d$ 處產生

故下方電流面所受單位面積磁力為