115 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《電磁學》

核心觀念
在靜電學中，電場 $\mathbf{E}$ 與電位 $V$ 之間滿足

$\mathbf{E}= -\nabla V .$

此關係說明電場方向為電位梯度的負方向，即電場線總是垂直於等位面（等電位面）。等電位面是指在同一面上電位相等的點，若沿等電位面走動，電位不變，故 $\nabla V$（亦即 $\mathbf{E}$）必須與該面正交。
另外，電場線的性質還包括：

• 電場線不可相交，因為若兩條線相交則同一點會有兩個不同的電場方向，與場的唯一定義相矛盾。
• 電場線起於正電荷，終止於負電荷，若系統僅有孤立電荷，則在無窮遠處視為「終止於無窮遠」的極限。
• 電場線不會形成封閉回路，除非同時存在正負電荷形成迴路，單純的靜電場不允許閉合回路。

解題方法
本題屬於概念性選擇題，只需檢驗每個敘述是否符合靜電場線的基本性質。

1. 逐條回顧電場線的四大公理（方向、起終點、不可相交、與等位面垂直）。
2. 判斷選項文字與上述公理的符合程度。
3. 若有疑慮，可以簡單的例子（點電荷、均勻電場）驗證敘述的正確性。

選項分析

• A. They form closed loops.
  錯誤。靜電場源自電荷，正電荷發出電場線，負電荷吸收電場線。若僅有正或負電荷，電場線無法自行閉合；只有在包含時間變化的磁場或電磁感應時，磁場線才形成閉環。

核心觀念

• 高斯定律（Gauss's Law）為靜電學基本定律之一，表述為
  $\oint_{\Sigma}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}$
  其中左側是電場 $\mathbf{E}$ 通过任意閉合曲面的通量，右側是被曲面所包圍的總電荷 $Q_{\text{enc}}$， $\varepsilon_{0}$ 為真空介電常數。
• 高斯定律的應用關鍵在於對稱性：若電荷分布在空間中呈現球對稱、柱對稱、平面對稱或其他足以使電場在高斯面上保持恆定且方向易於判斷，則積分可直接求得電場大小。
• 若電荷分布缺乏足夠對稱，或電場隨時間變化（即涉及電磁感應），則需使用更一般的麥克斯韋方程組或直接解泊松/拉普拉斯方程。

解題方法
本題屬於概念性選擇題，只需判斷何種情境下高斯定律最具效益。步驟如下：

1. 檢視每個選項所描述的物理條件。
2. 依據高斯定律的條件（靜電、僅與電荷分布相關、需對稱性）判斷其適用性。
3. 排除不符合條件的選項，留下唯一符合的答案。

選項分析

核心觀念

• 完美導體：在靜電平衡（electrostatic equilibrium）時，導體內部的自由電荷會重新分佈，使得電場 $\mathbf{E}=0$，否則電荷會受到電場力持續移動，無法達到平衡。
• 高斯定律：對任意包圍導體內部區域的高斯面，若 $\mathbf{E}=0$ 則通量 $\displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0$，由此得知體內自由電荷密度 $\rho_f=0$。
• 電流密度：電流密度 $\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}$（Ohm 定律），在完美導體（電導率 $\sigma\to\infty$）且 $\mathbf{E}=0$ 時，$\mathbf{J}=0$。

解題方法

1. 先確認「電磁學」中完美導體的基本性質：
   • 靜電平衡下，導體內部電場必為零（防止自由電荷持續移動）。
   • 所有自由電荷會聚集在導體表面，形成表面電荷密度 $\sigma_s$，其分布不必均勻，只須滿足邊界條件。
2. 依此性質逐一檢驗四個選項的敘述是否與上述結論相符。

選項分析

• A. electric field is uniform.

  • 錯誤。若導體內部電場為均勻非零值，則自由電荷會在該電場方向上持續漂移，無法維持靜電平衡。正確情形應為 $\mathbf{E}=0$（即不僅不均勻，根本不存在電場）。

• B. electric field is zero.

  • 正確。根據完美導體在靜電平衡的定理，內部電場必為零，否則自由電荷會重新分佈，破壞平衡。

核心觀念
電位差（electric potential difference）是描述電場中兩點之間能量轉移的物理量。其定義為將單位正電荷由一點移動到另一點所做的 機械功（或外力克服電場作的功），即

$\Delta V = \frac{W_{\text{外}}}{q}$

其中 $W_{\text{外}}$ 為外部力對電荷所做的功，$q$ 為電荷量。單位為伏特（V），亦可寫成 J /C。因為 $E = -\nabla V$，電位梯度與電場強度直接相關。

解題方法
此題屬概念判斷題，只需對四個選項的物理意義與單位進行比對：

1. 先確認選項所描述的量與電位差的定義是否一致。
2. 檢查單位：
   • 電位差：J /C (=V)
   • 力 per unit charge：N /C (=V/m) → 電場強度
   • 能量密度：J/m³ → 與電位差無關
   • 電通量：C/m² → 與電位差無關

只要單位與定義符合，即為正確選項。

選項分析

核心觀念

• 法拉第感應定律（Faraday’s law of induction）描述感應電場與時間變化的磁通量之間的關係。
• 數學表述為

其中 $\mathcal{E}$ 為感應電動勢，$\Phi_B$ 為穿過任意閉合迴路所包圍面的磁通。

解題方法

1. 先將四個選項與麥克斯韋方程組中的四條基本方程做對照：
   • 高斯定律（電）：$\displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$
   • 高斯定律（磁）：$\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0$
   • 安培—麥克斯韋定律：$\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}= \mu_0 I_{\text{enc}}+\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$
   • 法拉第感應定律：$\displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}= -\frac{d\Phi_B}{dt}$
2. 逐一檢視每個選項的描述是否與以上四條方程中的哪一條相符。
3. 若描述與法拉第定律相符，即為正確答案；其餘則屬於其他方程或概念，故為錯誤選項。

選項分析

• A. electric flux to charge density.
  • 這描述的是 高斯電定律：$\displaystyle \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= Q_{\text{enc}}/\varepsilon_0$。

核心觀念

• 位移電流（Displacement Current）：在麥克斯威方程組中，安培定律的修正項
  $\mathbf{J}_d = \varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$
  其物理意義是「變化的電場」對磁場的貢獻。
• 電荷守恆（Charge Conservation）：連續性方程式
  $\nabla\!\cdot\!\mathbf{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t}=0$
  必須對所有情形（包括真空中電場變化）成立。
• 麥克斯威方程組（真空）

解題方法

1. 觀察題目問「位移電流項被引入的目的」。
2. 回想歷史：1912 年麥克斯威在安培環路定律中加入 $\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$，目的在於使安培定律與連續性方程相容，即保證電荷守恆。
3. 檢驗每個選項是否與上述目的吻合。

選項分析

核心觀念
在電磁學中，介電質（dielectric）對電場的極化（polarization）描述為

$\mathbf P = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf E ,$

其中 $\varepsilon_0$ 為真空電容率，$\chi_e$ 為電容率（electric susceptibility），在**線性、非色散（nondispersive）**的介質裡 $\chi_e$ 為常數，故 $\mathbf P$ 與 電場 $\mathbf E$ 成正比。此關係是介質宏觀電磁方程式的基礎，與磁場 $\mathbf B$、電荷密度 $\rho$、電流密度 $\mathbf J$ 並無直接比例關係。

解題方法
本題屬於概念選擇題，唯一需要的步驟是回想線性均質介質的極化定義與其與 $\mathbf E$ 的線性關係。只要確認題目條件「nondispersive linear dielectric medium」即可直接套用上式，判斷哪個選項與 $\mathbf P$ 成正比。

選項分析

完美導體內部電場為零。由電場切向邊界條件

核心觀念

• 坡印廷向量 (Poynting vector) 定義為
  $\mathbf{S}= \mathbf{E}\times\mathbf{H}$
  其中 $\mathbf{E}$ 為電場、$\mathbf{H}$ 為磁場 (磁場強度) 或在真空中 $\mathbf{B}/\mu_0$。
• $\mathbf{S}$ 的單位是瓦特每平方公尺 $[{\rm W/m^2}]$，代表每單位時間、每單位面積通過的電磁能量，也就是功率流密度。
• 由麥克斯韋方程組可導出能量守恆方程（普朗克定理）
  $\frac{\partial u}{\partial t}+ \nabla\!\cdot\!\mathbf{S}= -\mathbf{J}\!\cdot\!\mathbf{E}$
  其中 $u$ 為電磁能密度，$\mathbf{J}\!\cdot\!\mathbf{E}$ 為電功率密度（耗散）。此式說明 $\mathbf{S}$ 為能量的「流」項。

解題方法

1. 觀察題目所問：「Poynting vector 代表什麼」。
2. 回憶其定義與單位，對應選項的物理意義：
   • 若是 能量密度，應具有單位 $[{\rm J/m^3}]$；
   • 若是 動量密度，單位為 $[{\rm kg/(m^2\! \cdot\! s)}]$；
   • 若是 功率流密度，單位即 $\rm W/m^2$，與 $\mathbf{S}$ 一致；
   • 若是 電荷流密度，單位為 $[{\rm C/(m^2\! \cdot\! s)}]$，與 $\mathbf{S}$ 不符。
3. 直接比對，選出唯一符合單位與物理意義的選項。

選項分析

• A. electromagnetic energy density

核心觀念

• 真空中的平面電磁波由麥克斯韋方程式導出，滿足

• 由上述方程可得波動方程式

• 解為平面波 $\mathbf{E}= \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}$、$\mathbf{B}= \mathbf{B}_0 e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}$，其中
  $\mathbf{k}\cdot\mathbf{E}_0 =0,\qquad \mathbf{k}\cdot\mathbf{B}_0 =0,$
  代表 電場與磁場皆垂直於波傳播方向 $\mathbf{k}$（橫波）。
• 交叉關係 $\mathbf{B}_0 = \frac{1}{\omega}\,\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0,$ 亦即 $\mathbf{E}_0 \perp \mathbf{B}_0$ 且兩者與 $\mathbf{k}$ 形成右手坐標系。
• 能流密度（波動的能量傳遞方向）由 Poynting 向量 定義
  $\mathbf{S}= \frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B},$
  方向即為 $\mathbf{E}\times\mathbf{B}$。
• 真空的相速度
  $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = c,$
  為常數，與頻率 $\omega$ 無關，故真空是非色散介質。

核心觀念

• 高斯定律：對任意閉合曲面 $\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$。
• 具球對稱的電荷分布時，可選取半徑為 $r$ 的球形高斯面，$\mathbf{E}$ 只沿徑向且大小僅與 $r$ 有關，$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}$。
• 只需先求出高斯面內包圍的總電荷 $Q_{\text{enc}}(r)$，再代入高斯定律求 $E(r)$。

解題方法

1. 計算 $r<R$ 內的包圍電荷

展開積分：

因此

2. 套用高斯定律求場

核心觀念

• 高斯定律：對任何閉合高斯表面，$\oint_{\mathcal S}\mathbf E\cdot d\mathbf A=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.$
• 球對稱：若電荷分佈僅與徑向距離 $r$ 有關，則電場僅沿徑向且大小只與 $r$ 有關，$\mathbf E(r)=E(r)\,\hat r$。
• 總電荷：若已知體積電荷密度 $\rho(r)$，則半徑 $r$ 內的總電荷 $Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^2\,dr'.$

解題方法

1. 先對一般 $r$（包括 $r<R$ 與 $r>R$）寫出高斯面：半徑為 $r$ 的球面。
2. 由球對稱，左式變為 $\oint_{\mathcal S}\mathbf E\cdot d\mathbf A =E(r)\,4\pi r^{2}.$
3. 右式使用 $Q_{\text{enc}}(r)$：
   • 若 $r<R$，需對 $\rho(r)=\rho_0\!\left(1-\dfrac{r}{R}\right)$ 於 $0\le r'\le r$ 積分。
   • 若 $r>R$，整個帶電球體已被全部包圍，$Q_{\text{enc}}$ 為總電荷 $Q_{\text{tot}}$（等於把 $r=R$ 代入上式的結果）。
4. 於 $r>R$ 代入高斯定律求 $E(r)$。

詳細計算

（1）求總電荷

核心觀念

總電荷等於體積電荷密度在帶電區域內的體積積分：

球座標的體積元素為 $dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$。由於電荷密度只與半徑 $r$ 有關，對角度積分後可寫成球殼形式：

解題方法

球內的電荷密度為 $\rho(r)=\rho_0(1-r/R)$，球外電荷密度為零，因此只需對 $0\le r\le R$ 積分：

由高斯定律，半徑 $r\le R$ 內的電量為

故電場為

利用電場能量

核心觀念

• 電流密度與總電流：在任意截面上，總電流 $I$ 與電流密度 $\mathbf J$ 的關係為
  $I=\int_{S}\mathbf J\cdot\hat{\mathbf n}\, \mathrm dS$
  其中 $\hat{\mathbf n}$ 為截面法向量。對於長圓柱形導線，截面為 $z$ 軸垂直的圓盤，$\hat{\mathbf n}$ 為 $\hat{\mathbf z}$。
• 圓柱坐標積分：在圓柱坐標 $(r,\phi,z)$ 中，面元為 $\mathrm dS = r\,\mathrm dr\,\mathrm d\phi$，且 $\phi$ 的積分範圍 $0\le\phi\le2\pi$。

解題方法

1. 先寫出總電流的積分式
   $I=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a}J_z(r)\; r\,\mathrm dr\,\mathrm d\phi$
   其中 $J_z(r)=J_0\bigl(1-\frac{r^{2}}{a^{2}}\bigr)^{2}$（題目給定），且在 $r>a$ 時 $J=0$，故積分上限取 $a$。
2. 執行 $\phi$ 方向的積分得到因子 $2\pi$：
   $I=2\pi\int_{0}^{a}J_0\Bigl(1-\frac{r^{2}}{a^{2}}\Bigr)^{2} r\,\mathrm dr$
3. 展開方括號並將常數提出：

核心觀念

圓柱對稱的電流沿 $+z$ 方向流動，因此磁場沿環繞導線的方位角方向 $\hat{\boldsymbol\phi}$，且大小只與距離軸心的 $r$ 有關。對半徑為 $r<a$ 的圓形安培迴路，安培定律為

由對稱性，迴路上磁場大小固定，且與線元素方向相同，所以左側為 $B(r)\,2\pi r$。

解題方法

半徑 $r<a$ 內所包圍的電流，是電流密度對截面積分。題目給定

以半徑 $s$、厚度 $ds$ 的圓環作面積元素，$dA=2\pi s\,ds$，因此

展開平方並積分：

核心觀念

對長直圓柱導線，電流沿 $+z$ 方向且具有圓柱對稱性。由對稱性可知，$r>a$ 處的磁場沿方位方向 $\hat{\boldsymbol\phi}$，且在半徑為 $r$ 的圓形安培迴路上大小處處相同。

安培定律為

此處迴路包住整條導線，因此所包覆的電流是電流密度在導線截面上的積分。

解題方法

題目給定軸向電流密度

先在圓柱截面上積分，求出總電流：

核心觀念

• 法拉第電磁感應定律（積分形式）

$\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}= -\,\frac{d}{dt}\!\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}$

• 對稱性：磁場在 $z$ 方向、僅在半徑 $R$ 的圓形區域內有非零值，且隨時間緩慢變化。
  由於系統在圓周方向具旋轉對稱，感應電場只能是 $\phi$ 方向的環向場，且只與徑向 $r$ 有關。

解題方法

1. 取半徑 $r\;(r<R)$ 的圓形閉合路徑 $C$ 作為積分路徑，路徑長度 $L=2\pi r$。
2. 由對稱性，沿 $C$ 的電場大小為常數 $E(r)$，方向為 $\boldsymbol{\hat\phi}$（右手螺旋方向），故

$\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=E(r)\,2\pi r .$

3. 計算穿過 $C$ 的磁通量 $\Phi_B$：
   • 磁場僅在 $z$ 方向，大小為 $B(t)$，且只在半徑 $R$ 內存在。
   • 當 $r<R$ 時，通過 $C$ 的磁通為

$\Phi_B=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}= B(t)\,\pi r^{2}\; .$

4. 代入法拉第定律：

核心觀念

• 法拉第感應定律（Faraday's law）
  $\oint_{\partial S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\frac{d\Phi_B}{dt}$
  其中 $\Phi_B=\int_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}$ 為穿過任意閉合迴路所包圍曲面的磁通量。
• 迴路對稱性：磁場在圓形區域內均勻指向 $\hat{z}$（或 $\hat{2}$），因此感應電場只會沿著同心圓的 $\hat{\theta}$ 方向，大小僅與半徑 $r$ 有關。

解題方法

1. 先選擇一條半徑為 $r$ 的同心圓迴路 $\mathcal C$（長度 $2\pi r$），作為 $\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$ 的路徑。
2. 計算此迴路所包圍曲面 $S$ 內的磁通量 $\Phi_B$。
   • 若 $r\le R$（迴路完全位於磁場區域內），磁通量為 $\Phi_B=\pi r^{2}B(t)$。
   • 若 $r>R$（迴路超出磁場區域），磁通量僅由半徑 $R$ 的磁場區域貢獻，$\Phi_B=\pi R^{2}B(t)$。
3. 代入法拉第定律，利用 $\oint_{\mathcal C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E_{\theta}(r)\,2\pi r$ 取得 $E_{\theta}(r)$ 的表達式。
4. 方向依勒薩爾定律（Lenz's law）決定：若 $B(t)$ 隨時間增加，感應電場方向為使通過迴路的磁通減少，故 $E_{\theta}$ 與 $\partial_t B$ 之符號相反。

詳細推導

(a) $r\le R$（圓形區域內）

$\Phi_B(r)=\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=B(t)\,\pi r^{2}$

$\frac{d\Phi_B}{dt}= \pi r^{2}\,\frac{dB}{dt}$

根據法拉第定律：

$\oint_{\mathcal C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E_{\theta}(r)\,2\pi r=-\frac{d\Phi_B}{dt}= -\pi r^{2}\frac{dB}{dt}$

解得

核心觀念

坡印廷向量描述電磁能量傳輸方向與單位面積功率：

電磁場能量密度為

對於線性、均勻、各向同性介質，

因此

本題要求的是區域 $r<R$ 內的場能流密度與能量密度，必須使用該區域的 $\mathbf{E}$、$\mathbf{H}$ 表示式。

解題方法

題目目前只提供「計算 $r<R$ 時的坡印廷向量與能量密度」，未提供 $r<R$ 區域的電場 $\mathbf{E}(r,t)$、磁場 $\mathbf{H}(r,t)$，以及介質參數 $\varepsilon$、$\mu$。因此無法得到唯一的具體向量方向與 $r$ 的函數形式。

在一般線性介質中，令

則 $r<R$ 內的坡印廷向量為

展開得

能量密度為

若題目使用時間諧和相量，並採用

則時間平均坡印廷向量為

核心觀念

題目要求計算 $r>R$ 區域的電磁能流密度與能量密度，使用兩個基本定義：

• 坡印廷向量

  $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}$

  表示電磁能量傳遞的方向與單位面積功率，單位為 $\mathrm{W/m^2}$。

• 電磁能量密度

  $u=\frac{1}{2}\left(\varepsilon |\mathbf{E}|^2+\mu |\mathbf{H}|^2\right)$

  單位為 $\mathrm{J/m^3}$。

題目未提供第 3 題前文所得到的 $r>R$ 區域電場與磁場表達式，因此以下以該區域已知的 $\mathbf{E}_{\text{out}}$ 與 $\mathbf{H}_{\text{out}}$ 表示。

解題方法

在 $r>R$ 區域，將外部場代入坡印廷向量定義：

若採球座標表示

則叉積為

因此徑向能流分量為

若 $S_r>0$，電磁能量由球心向外傳播；若 $S_r<0$，能量則朝球心方向傳播。

能量密度直接由外部電、磁場大小計算：

若場為均勻、無耗介質中的時間諧和場，並以相量 $\widetilde{\mathbf E}$、$\widetilde{\mathbf H}$ 表示，則時間平均坡印廷向量與平均能量密度分別為

核心觀念

本題考查真空中的四個 Maxwell 方程式，分別描述：

1. 電荷產生電場：Gauss 電場定律
2. 磁單極子不存在：Gauss 磁場定律
3. 時變磁場產生電場：Faraday 電磁感應定律
4. 電流與時變電場產生磁場：Ampère–Maxwell 定律

真空中的基本常數為

電場與磁場分別記為 $\mathbf{E}$ 與 $\mathbf{B}$。

解題方法

直接列出 Maxwell 方程式的微分形式即可。若題目中的「真空」僅表示介質為真空，但空間中仍可存在電荷密度 $\rho$ 與電流密度 $\mathbf{J}$，則方程式為

1. Gauss 電場定律

此式表示電場的散度由電荷密度決定。電荷是電場的源。

其積分形式為

其中 $Q_{\mathrm{enc}}$ 是封閉曲面 $S$ 所包住的總電荷。

2. Gauss 磁場定律

此式表示不存在孤立的磁單極子，磁力線必須形成閉合曲線。

其積分形式為

3. Faraday 電磁感應定律

此式表示時變磁場會產生旋轉型電場。負號代表楞次定律，感應效應會抵抗磁通量的變化。

其積分形式為

4. Ampère–Maxwell 定律

右側第一項 $\mu_0\mathbf{J}$ 是傳導電流造成的磁場，第二項

稱為位移電流項，表示時變電場也能產生磁場。

其積分形式為

核心觀念

• 法拉第感應定律（Faraday's law）：
  $\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
• 安培-麥克斯威爾定律（Ampère‑Maxwell law）：
  $\nabla\times\mathbf{B}= \mu_0\mathbf{J}+ \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$
• 高斯定律（Gauss's law for electricity）：
  $\nabla\cdot\mathbf{E}= \frac{\rho}{\epsilon_0}$
  在導出自由空間波動方程時，取 $\rho=0$、$\mathbf{J}=0$（無自由電荷、無自由電流），即
  $\nabla\cdot\mathbf{E}=0,\qquad \mathbf{J}=0$

解題方法

1. 先將 $\mathbf{B}$ 消除：對法拉第定律取旋度，利用向量恆等式 $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E}$。
2. 代入安培‑麥克斯威爾定律：把 $\partial\mathbf{B}/\partial t$ 用 $\nabla\times\mathbf{E}$ 的表式，並將 $\nabla\times\mathbf{B}$ 用安培‑麥克斯威爾定律表出。
3. 使用高斯定律：在自由空間 $\nabla\cdot\mathbf{E}=0$，可省掉第一項 $\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})$。
4. 整理得到二階偏微分方程：最後得到電場的波動方程式。

詳細推導步驟

1. 取法拉第定律的旋度：
   $\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr)$

核心觀念

• 麥克斯威爾方程組：在均勻、無電荷、無電流的自由空間 (ε、μ 為常數) 中，麥克斯威爾方程可寫成

以及

$\nabla\!\cdot\!\mathbf{E}=0,\qquad \nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0.$

• 波動方程：對 $\mathbf{E}$、$\mathbf{B}$ 取 curl 再代入，可得二階線性波動方程

• 波速：波動方程的標準形式 $\nabla^{2}\mathbf{F}= \frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf{F}}{\partial t^{2}}$，比較得

  $v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}\equiv c.$

  在真空 $\mu=\mu_{0},\ \varepsilon=\varepsilon_{0}$，因此 $c\approx 3.00\times10^{8}\ \text{m/s}$。

• 橫波性質：從 $\nabla\!\cdot\!\mathbf{E}=0$、$\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0$ 以及平面波假設

可得到

核心觀念

題目中的電場是兩個反向傳播平面波的疊加：

• $E_1\cos(kz-\omega t)$ 沿 $+z$ 方向傳播。
• $E_2\cos(kz+\omega t)$ 沿 $-z$ 方向傳播。

真空中的平面電磁波滿足

其中 $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$。電場、磁場與傳播方向彼此垂直，且方向必須符合右手定則。

令

則電場為

磁場 $\mathbf{B}(z,t)$

沿 $+z$ 傳播的波

對於

傳播方向為 $\hat{\mathbf z}$，因此

由於

得到

沿 $-z$ 傳播的波

對於

傳播方向為 $-\hat{\mathbf z}$，因此

因為

所以

由疊加原理，總磁場為

A. 坡印廷向量 $\mathbf{S}(z,t)$

坡印廷向量定義為

代入電場與磁場：

由於 $\hat{\mathbf y}\times\hat{\mathbf x}=-\hat{\mathbf z}$，

利用平方差公式：

可得

也可利用 $\dfrac{1}{\mu_0c}=\varepsilon_0c$ 寫成