115 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《電子學》

核心觀念

本題考查理想二極體的導通判斷、二極體導通後的等效短路，以及橋式電阻網路的節點電壓與支路電流分析。

由圖可知：

• $v_i=6\sin\omega t$，因此 $-6\text{ V}\le v_i\le 6\text{ V}$。
• $a$、$b$ 之間有 $4\,\text{k}\Omega$ 電阻。
• $a$、$b$ 分別經由 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻接到底部端點。
• 上方兩個理想二極體使正、負半週分別由不同支路導通。

要求：

$$V_{ab}=V_a-V_b$$

以及 $4\,\text{k}\Omega$ 電阻中的電流

$$I_{ab}=\frac{V_{ab}}{4\,\text{k}\Omega}.$$

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解題方法

1. 正半週：$v_i=+6\text{ V}$

此時上方右側二極體導通，等效為短路，因此

$$V_a=6\text{ V}.$$

節點 $b$ 由 $4\,\text{k}\Omega$ 電阻連接至 $a$，並經由 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻接到底部端點。以底部端點為參考地，對節點 $b$ 寫 KCL：

$$\frac{V_b-6}{4\,\text{k}\Omega} +\frac{V_b}{2\,\text{k}\Omega}=0.$$

整理得

$$V_b-6+2V_b=0,$$ $$3V_b=6,$$ $$V_b=2\text{ V}.$$

因此

$$V_{ab}=V_a-V_b=6-2=4\text{ V}.$$

而 $4\,\text{k}\Omega$ 電阻中的電流為

$$I_{ab} =\frac{V_a-V_b}{4\,\text{k}\Omega} =\frac{4}{4\,\text{k}\Omega} =1\text{ mA}.$$

2. 負半週：$v_i=-6\text{ V}$

核心觀念

本題考查具有射極電阻 $R_E$ 與集極回授偏壓電阻 $R_B$ 的 BJT 直流偏壓分析，使用：

• 主動區關係：$I_C=\beta I_B$
• 射極電流近似：$I_E\approx I_C=\beta I_B$
• 基極—射極電壓：$V_{BE}$
• Kirchhoff 電壓定律（KVL）

圖中 $R_B$ 連接於集極與基極之間，因此 $R_B$ 中流過的電流為基極電流 $I_B$。

解題方法與推導

沿著直流迴路

$$V_{CC}\rightarrow R_C\rightarrow R_B\rightarrow V_{BE}\rightarrow R_E$$

套用 KVL：

$$V_{CC}=I_C R_C+I_B R_B+V_{BE}+I_E R_E$$

在 BJT 主動區中，

$$I_C=\beta I_B$$

且當 $\beta$ 足夠大時，

$$I_E=I_C+I_B=(\beta+1)I_B\approx \beta I_B$$

代入 KVL：

$$V_{CC} =\beta I_B R_C+I_B R_B+V_{BE}+\beta I_B R_E$$

整理含 $I_B$ 的項次：

$$V_{CC}-V_{BE} =I_B\left[R_B+\beta R_C+\beta R_E\right]$$

因此，

核心觀念

直流偏壓分析時，輸入、輸出與旁路電容皆視為開路，因此只保留下列元件：

• $V_{CC}=15\text{ V}$
• $R_B=300\text{ k}\Omega$
• $R_C=3.2\text{ k}\Omega$
• $R_E=2\text{ k}\Omega$
• $\beta=100$
• 矽質 BJT：$V_{BE}\approx0.7\text{ V}$

發射極電阻具有負回授穩定作用，故

$$I_E=(\beta+1)I_B$$

由基極迴路套用 KVL：

$$V_{CC}=I_BR_B+V_{BE}+I_ER_E$$

因此

$$I_B= \frac{V_{CC}-V_{BE}} {R_B+(\beta+1)R_E}$$

解題計算

先求基極電流：

$$I_B= \frac{15-0.7} {300\text{ k}\Omega+101(2\text{ k}\Omega)}$$ $$I_B= \frac{14.3}{502\text{ k}\Omega} \approx 28.5\ \mu\text{A}$$

因此集極電流為

$$I_C=\beta I_B =100(28.5\ \mu\text{A}) \approx 2.85\text{ mA}$$

發射極電流為

$$I_E=(\beta+1)I_B =101(28.5\ \mu\text{A}) \approx 2.88\text{ mA}$$

發射極電壓：

核心觀念

本題考查 Wien bridge oscillator 的振盪條件、負回授增益，以及熱敏電阻的熱平衡。

在振盪頻率 $\omega_0=1/(RC)$ 時，由於 $R_1=R_2$、$C_1=C_2$，正回授網路的回授係數為

$$\beta=\frac{1}{3}$$

因此非反相放大器的閉迴路增益必須滿足

$$A_v=\frac{1}{\beta}=3$$

圖 4 的負回授增益為

$$A_v=1+\frac{R_3}{R_4}$$

故穩定振盪時

$$1+\frac{R_3}{R_4}=3$$

得到

$$R_3=2R_4$$

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題目資料不足之處

題目只給出熱敏電阻在 $25^\circ\mathrm{C}$ 時的電阻 $5\,\mathrm{k}\Omega$，但未給出其指數溫度係數，例如 NTC 熱敏電阻的 $\beta$ 值。

因此無法唯一求出 $75^\circ\mathrm{C}$ 時的 $R_3$，也就無法得到第 (a)、(b)、(c) 的唯一數值答案。以下以標準 NTC 模型表示：

$$R(T)=R_{25}\exp\left[B\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_{25}}\right)\right]$$

其中溫度必須使用絕對溫度 Kelvin。

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(a) 穩定振盪時的 $R_4$

穩定時熱敏電阻溫度由 $25^\circ\mathrm{C}$ 上升至 $75^\circ\mathrm{C}$，故

$$T_{25}=298.15\ \mathrm{K},\qquad T_{75}=348.15\ \mathrm{K}$$

其電阻為

$$R_{75} = 5\,\mathrm{k}\Omega \exp\left[ B\left( \frac{1}{348.15}-\frac{1}{298.15} \right) \right]$$

由 $R_3=2R_4$，

$$\boxed{ R_4=\frac{R_{75}}{2} }$$

亦即

$$\boxed{ R_4= 2.5\,\mathrm{k}\Omega \exp\left[ B\left( \frac{1}{348.15}-\frac{1}{298.15} \right) \right] }$$

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(b) 輸出 RMS 與峰值電壓

熱敏電阻的熱阻為 $1^\circ\mathrm{C/mW}$，溫升為

$$\Delta T=75-25=50^\circ\mathrm{C}$$

所以熱敏電阻消耗的功率為

$$P_3=\frac{\Delta T}{1^\circ\mathrm{C/mW}} =50\ \mathrm{mW}$$

由負回授分壓器，

$$V_-=\frac{R_4}{R_3+R_4}V_o =\frac{1}{3}V_o$$

因此熱敏電阻兩端電壓為

$$v_{R_3}=v_o-v_- =\frac{2}{3}v_o$$

對正弦波而言，

$$P_3=\frac{V_{R_3,\mathrm{rms}}^2}{R_3} =\frac{\left(\frac{2}{3}V_{o,\mathrm{rms}}\right)^2}{R_3}$$

代入 $P_3=0.05\ \mathrm{W}$，可得

$$0.05= \frac{4V_{o,\mathrm{rms}}^2}{9R_{75}}$$

所以

核心觀念

本題考查共源極 MOSFET 放大器的：

• 中頻電壓增益
• 源極旁路電容造成的低頻極點與傳輸零點
• Bode magnitude 與 phase plot

圖中源極電阻為

$$R_S=4.5\,\text{k}\Omega$$

且忽略 $r_o$。交流小訊號下，$V_{DD}$ 與 $-V_{SS}$ 皆視為接地。

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(a) 求 $R_D$

在中頻時，$C_S$ 視為短路，源極交流接地，因此共源極中頻增益為

$$A_{v,\text{mid}}=-g_mR_D$$

已知

$$g_m=5\,\text{mA/V}=5\times10^{-3}\,\text{S}$$

且

$$A_{v,\text{mid}}=-20$$

因此

$$-g_mR_D=-20$$ $$R_D=\frac{20}{5\times10^{-3}} =4\,\text{k}\Omega$$

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(b) 求 $C_S$

考慮源極旁路電容後，源極阻抗為

$$Z_S=R_S\parallel \frac{1}{sC_S} =\frac{R_S}{1+sR_SC_S}$$

共源極電壓增益為

$$A_v(s)=\frac{-g_mR_D}{1+g_mZ_S}$$

代入 $Z_S$：

$$A_v(s) =-g_mR_D \frac{1+sR_SC_S} {1+g_mR_S+sR_SC_S}$$

整理成零點、極點形式：

$$A_v(s) =-g_mR_D \frac{1+s/\omega_z} {1+s/\omega_p} \frac{1}{1+g_mR_S}$$

其中

$$\omega_z=\frac{1}{R_SC_S}$$ $$\omega_p=\frac{1+g_mR_S}{R_SC_S}$$

題目給定低頻極點

$$f_p=100\,\text{Hz}$$

先計算

$$g_mR_S=(5\times10^{-3})(4500)=22.5$$

因此

$$1+g_mR_S=23.5$$

由

$$\omega_p=2\pi f_p =\frac{1+g_mR_S}{R_SC_S}$$

得到

$$C_S= \frac{1+g_mR_S}{2\pi f_pR_S}$$ $$C_S= \frac{23.5}{2\pi(100)(4500)}$$ $$\boxed{C_S\approx 8.31\,\mu\text{F}}$$

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(c) Bode plots

轉移函數

代入數值後：

$$A_v(s) =-20\, \frac{1+s/\omega_z} {23.5(1+s/\omega_p)}$$

低頻增益為

$$A_{v,\text{low}} = -\frac{g_mR_D}{1+g_mR_S} = -\frac{20}{23.5} \approx -0.851$$

其 dB 值為

$$20\log_{10}(0.851)\approx -1.40\,\text{dB}$$

中頻增益為