112 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《電子學》

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第 1 題

國立中央大學 112 學年度碩士班考試入學試題
所別： 光電類
科目： 電子學
本試題共五大題計算題,無計算過程不予計分。答案請標示單位。

  1. Following figure shows an instrumentation amplifier.
    (a) Please DERIVE the gain of this amplifier. No points are given if you provide the result without derivation process. (10%)
    (b) As R1=5 kΩR_1 = 5 \text{ k}\Omega, R2=2 kΩR_2 = 2 \text{ k}\Omega, R3=4 kΩR_3 = 4 \text{ k}\Omega, Rg=500ΩR_g = 500 \Omega, V1=4.5 VV_1 = 4.5 \text{ V} and V2=4.25 VV_2 = 4.25 \text{ V}, calculate VoV_o. (5%)

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核心觀念

本題考查三運算放大器儀表放大器（instrumentation amplifier）的差動增益推導，使用理想運算放大器的兩項特性：

  1. 虛短：V+=V−V_+=V_-
  2. 虛斷：輸入端電流為零

電路可分為兩級：

  • 前級：兩個非反相放大器，利用 RgR_g 設定差動增益。
  • 後級：差動放大器，增益由 R3R2\dfrac{R_3}{R_2} 決定。

解題方法

（a）推導整體增益

令上方運算放大器輸出為 Vo2V_{o2}，下方運算放大器輸出為 Vo1V_{o1}。

由虛短特性，兩個反相端電壓分別為：

  • 上方反相端：V2V_2
  • 下方反相端：V1V_1

上方運算放大器

對上方反相端套用 KCL：

V2−Vo2R1+V2−V1Rg=0\frac{V_2-V_{o2}}{R_1}+\frac{V_2-V_1}{R_g}=0

整理得：

Vo2=V2+R1Rg(V2−V1)V_{o2} =V_2+\frac{R_1}{R_g}(V_2-V_1)

下方運算放大器

對下方反相端套用 KCL：

V1−Vo1R1+V1−V2Rg=0\frac{V_1-V_{o1}}{R_1}+\frac{V_1-V_2}{R_g}=0

整理得：

Vo1=V1+R1Rg(V1−V2)V_{o1} =V_1+\frac{R_1}{R_g}(V_1-V_2)

兩輸出之差為：

Vo2−Vo1=(V2−V1)+2R1Rg(V2−V1)=(1+2R1Rg)(V2−V1)\begin{aligned} V_{o2}-V_{o1} &=(V_2-V_1) +\frac{2R_1}{R_g}(V_2-V_1)\\ &=\left(1+\frac{2R_1}{R_g}\right)(V_2-V_1) \end{aligned}

後級差動放大器

後級電阻比例相同，故其差動增益為：

R3R2\frac{R_3}{R_2}

依照圖中輸入極性，後級輸出為：

Vo=R3R2(Vo1−Vo2)V_o=\frac{R_3}{R_2}(V_{o1}-V_{o2})

代入前級結果：

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第 2 題

  1. Please design an op-amp circuit to get an output voltage described by the following equation: (10%)
    Vo=RfR1V1+RfR2V2+RfR3V3V_o = \frac{R_f}{R_1} V_1 + \frac{R_f}{R_2} V_2 + \frac{R_f}{R_3} V_3

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核心觀念

本題考查運算放大器的反相加法器（inverting summing amplifier）：

  • 理想運算放大器在負回授且線性工作時，具有虛短路：
    V−=V+V_- = V_+
  • 若非反相端接地，則
    V−≈0V_- \approx 0
    此節點稱為虛地。
  • 由於運算放大器輸入端電流近似為零，可利用反相端的 KCL 寫出輸出電壓。

單級反相加法器會產生負號，而題目要求三個輸入項皆為正號，因此採用兩級電路：

  1. 第一級：反相加法器，產生負的加權總和。
  2. 第二級：單位增益反相器，再將整體符號反轉。

解題方法

設第一級輸出為 VxV_x。

第一級電路配置如下：

  • V1V_1 經由 R1R_1 接至反相端。
  • V2V_2 經由 R2R_2 接至反相端。
  • V3V_3 經由 R3R_3 接至反相端。
  • 回授電阻為 RfR_f，由第一級輸出 VxV_x 接回反相端。
  • 第一級非反相端接地。

第一級反相端為虛地，因此套用 KCL：

V1R1+V2R2+V3R3=−VxRf\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}+\frac{V_3}{R_3} = \frac{-V_x}{R_f}

整理得：

Vx=−(RfR1V1+RfR2V2+RfR3V3)V_x = -\left( \frac{R_f}{R_1}V_1+ \frac{R_f}{R_2}V_2+ \frac{R_f}{R_3}V_3 \right)

第二級採用單位增益反相器：

  • VxV_x 經由電阻 RR 接至第二級反相端。
  • 第二級回授電阻也取為 RR。
  • 第二級非反相端接地。

因此第二級輸出為：

Vo=−RRVx=−VxV_o=-\frac{R}{R}V_x=-V_x

代入第一級結果：

Vo=RfR1V1+RfR2V2+RfR3V3V_o = \frac{R_f}{R_1}V_1+ \frac{R_f}{R_2}V_2+ \frac{R_f}{R_3}V_3

恰好符合題目要求。

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第 3 題

  1. The figure below shows an active filter. Please answer the following questions.
    (a) Please DERIVE the transfer function H(ω)=Vo/ViH(\omega) = V_o/V_i of this circuit. (10%)
    (b) Which type of filter is this circuit? What is the corner frequency? (10%)
    (c) As R1=R2=100ΩR_1 = R_2 = 100 \Omega, C1=C2=0.1μFC_1 = C_2 = 0.1 \mu\text{F} and Vi=5cos⁡(10000t)V_i = 5\cos(10000t), please estimate the amplitude of VoV_o. (5%)

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核心觀念

本題是二階 Sallen–Key 主動高通濾波器，使用以下觀念：

  • 理想運算放大器輸入電流為零。
  • 負回授下，運算放大器兩輸入端電壓相等。
  • 右側兩個相等的 RLR_L 形成非反相放大器，因此
    K=1+RLRL=2.K=1+\frac{R_L}{R_L}=2.
  • 電容阻抗為
    ZC=1sC,s=jω.Z_C=\frac{1}{sC},\qquad s=j\omega.

設 VxV_x 為兩個電容中間節點電壓，VpV_p 為運算放大器正輸入端電壓，則 Vo=KVpV_o=K V_p。

(a) 轉移函數推導

在 VpV_p 節點寫 KCL：

sC2(Vp−Vx)+VpR2=0sC_2(V_p-V_x)+\frac{V_p}{R_2}=0

因此

Vx=Vp(1+1sR2C2).V_x=V_p\left(1+\frac{1}{sR_2C_2}\right).

在 VxV_x 節點寫 KCL：

sC1(Vx−Vi)+sC2(Vx−Vp)+Vx−VoR1=0.sC_1(V_x-V_i)+sC_2(V_x-V_p)+\frac{V_x-V_o}{R_1}=0.

代入

Vo=KVpV_o=K V_p

與

Vx=Vp(1+1sR2C2),V_x=V_p\left(1+\frac{1}{sR_2C_2}\right),

整理可得

VoVi=Ks2R1R2C1C2s2R1R2C1C2+s[R1C1+R1C2+(1−K)R2C2]+1.\frac{V_o}{V_i} = \frac{K s^2 R_1R_2C_1C_2} {s^2R_1R_2C_1C_2 +s\left[R_1C_1+R_1C_2+(1-K)R_2C_2\right]+1}.

本題 K=2K=2，故

H(s)=VoVi=2s2R1R2C1C2s2R1R2C1C2+s(R1C1+R1C2−R2C2)+1\boxed{ H(s)=\frac{V_o}{V_i} = \frac{2s^2R_1R_2C_1C_2} {s^2R_1R_2C_1C_2+s\left(R_1C_1+R_1C_2-R_2C_2\right)+1} }

若圖中 R1=R2=RR_1=R_2=R、C1=C2=CC_1=C_2=C，則

H(s)=2(sRC)2(sRC)2+sRC+1\boxed{ H(s)=\frac{2(sRC)^2}{(sRC)^2+sRC+1} }

令 s=jωs=j\omega：

H(jω)=−2(ωRC)21−(ωRC)2+jωRC\boxed{ H(j\omega)= \frac{-2(\omega RC)^2} {1-(\omega RC)^2+j\omega RC} }

(b) 濾波器種類與角頻率

當 ω→0\omega\to 0 時，電容近似開路，故 Vo→0V_o\to 0。

當 ω→∞\omega\to\infty 時，電容近似短路，故

∣H(jω)∣→2.\left|H(j\omega)\right|\to 2.

因此本電路是二階高通濾波器，通帶增益為 22。

由分母可得特徵角頻率：

ωc=1R1R2C1C2.\omega_c=\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}.

在本題元件相等時：

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第 4 題

國立中央大學 112 學年度碩士班考試入學試題
所別： 光電類
科目： 電子學
4. For the following circuit, n-MOSFET Q1~Q4 works as a MOS differential pair with active load while Q5 and Q6 work as a current mirror. These transistors are identical with Vt=1 VV_t = 1 \text{ V}, kn=μnCox(W/L)=1 mA/V2k_n = \mu_n C_{ox} (W/L) = 1 \text{ mA/V}^2, VA=100 VV_A = 100 \text{ V}, the conducting current at RREF=2 mAR_{REF} = 2 \text{ mA}, and VDD=VSS=5 VV_{DD} = V_{SS} = 5 \text{ V}.
(a) Please find the corresponding RREFR_{REF}. (5%)
(b) If a common-mode signal Vicm=1 mVV_{icm}=1 \text{ mV} is applied to both VG1V_{G1} and VG2V_{G2}, how much small-signal current is induced through Q6? If a 10 kΩ10 \text{ k}\Omega is connected to the load, how much small-signal current is through the load? Assume all the MOSFETs are in the saturation regime and perfectly matched. The channel length modulation of the differential pair can be ignored. (10%)
(c) Please find the output resistance (at vov_o). (5%)
(d) How about the gain (AvA_v) at the output with a 10 kΩ10 \text{ k}\Omega load? (5%)

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核心觀念

本題考查：

  • MOSFET 飽和區電流公式
    ID=12knVOV2,VOV=VGS−VtI_D=\frac{1}{2}k_nV_{OV}^2,\qquad V_{OV}=V_{GS}-V_t
  • MOSFET 小訊號參數
    gm=2IDVOV=2knIDg_m=\frac{2I_D}{V_{OV}}=\sqrt{2k_nI_D}
    ro=VAIDr_o=\frac{V_A}{I_D}
  • 差動對的共模訊號分析
  • 電流鏡的電流追蹤與共模抑制
  • 主動負載差動放大器的輸出電阻與電壓增益

靜態時尾端電流為 2 mA2\text{ mA}，因此匹配的差動對平均分流為

ID1=ID2=1 mAI_{D1}=I_{D2}=1\text{ mA}

(a) 求 RREFR_{REF}

參考支路 Q5Q_5 的導通電流為 2 mA2\text{ mA}，且

kn=1 mA/V2,Vt=1 Vk_n=1\text{ mA/V}^2,\qquad V_t=1\text{ V}

因此

2=12(1)VOV522=\frac{1}{2}(1)V_{OV5}^2

得到

VOV5=2 VV_{OV5}=2\text{ V}

所以

VGS5=Vt+VOV5=1+2=3 VV_{GS5}=V_t+V_{OV5}=1+2=3\text{ V}

Q5Q_5 的 source 接於 −VSS=−5 V-V_{SS}=-5\text{ V}，故其 gate voltage 為

VG5=−5+3=−2 VV_{G5}=-5+3=-2\text{ V}

RREFR_{REF} 兩端電壓為

VRREF=VDD−VG5=5−(−2)=7 VV_{R_{REF}}=V_{DD}-V_{G5}=5-(-2)=7\text{ V}

因此

RREF=7 V2 mA=3.5 kΩR_{REF}=\frac{7\text{ V}}{2\text{ mA}} =3.5\text{ k}\Omega

(b) 共模訊號造成的 Q6Q_6 電流與負載電流

Q6Q_6 的小訊號參數

Q6Q_6 的靜態電流為 2 mA2\text{ mA}，因此

VOV6=2 VV_{OV6}=2\text{ V} gm1=gm2=2knID=2(1)(1)=1.414 mSg_{m1}=g_{m2} =\sqrt{2k_nI_D} =\sqrt{2(1)(1)} =1.414\text{ mS}

尾端電流源 Q6Q_6 的輸出電阻為

ro6=VAID6=1002 mA=50 kΩr_{o6}=\frac{V_A}{I_{D6}} =\frac{100}{2\text{ mA}} =50\text{ k}\Omega

令差動對共同 source node 的小訊號電壓為 vsv_s。兩支輸入皆為 vicmv_{icm} 時，兩支 MOS 的總小訊號電流為

i6=2gm(vicm−vs)i_6=2g_m(v_{icm}-v_s)

另一方面，Q6Q_6 的 gate 為小訊號接地，因此

i6=vsro6i_6=\frac{v_s}{r_{o6}}

聯立可得

2gm(vicm−vs)=vsro62g_m(v_{icm}-v_s)=\frac{v_s}{r_{o6}}

因此

i6=2gm1+2gmro6vicmi_6 = \frac{2g_m}{1+2g_mr_{o6}}v_{icm}

代入數值：

i6=2(1.414 mS)1+2(1.414 mS)(50 kΩ)(1 mV)i_6= \frac{2(1.414\text{ mS})} {1+2(1.414\text{ mS})(50\text{ k}\Omega)} (1\text{ mV}) i6≈19.9 nA\boxed{i_6\approx 19.9\text{ nA}}

兩支差動對晶體管各自的電流變化為

ΔiD1=ΔiD2=i62≈9.93 nA\Delta i_{D1}=\Delta i_{D2}=\frac{i_6}{2} \approx 9.93\text{ nA}

負載電流

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第 5 題

國立中央大學 112 學年度碩士班考試入學試題
所別： 光電類
科目： 電子學
5. A BJT transistor is connected to the cascode MOS current mirror as shown below. Assume all MOSFETs are matched. The current conducted by BJT is followed by the exponential relationship VBE=VT×ln⁡(I/IS)V_{BE}=V_T \times \ln(I/I_S) and VBE=0.7VV_{BE}=0.7V at I=1mAI = 1mA. Please evaluate the following at room temperature (VT=25mVV_T=25mV):
(a) If the conducting current I=0.1 mAI = 0.1 \text{ mA}, please find the resistance RrefR_{ref}? (5%)
(b) If the kn=μnCox(W/L)=0.2 mA/V2k_n=\mu_n C_{ox}(W/L) = 0.2 \text{ mA/V}^2 and VI=1 VV_I = 1 \text{ V} for all the MOSFETs, please find the corresponding V1V_1 and V2V_2. (10%)
(c) Followed by (b), please find transconductance gmg_m of M4 and the resistance RoutR_{out} at the drain port of MOSFET M4. Assume the channel length modulation induced resistance ro=20 kΩr_o=20 \text{ k}\Omega. (10%)

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核心觀念

本題結合：

  1. BJT 的指數電流—電壓關係。
  2. MOSFET 飽和區公式與閘源電壓：
    ID=12kn(VGS−Vt)2I_D=\frac{1}{2}k_n(V_{GS}-V_t)^2
  3. Cascode current mirror 的電壓偏壓與輸出電阻。

已知所有 MOSFET 匹配，故各管的 VGSV_{GS} 與 gmg_m 可由相同的汲極電流求得。

(a) 求 RrefR_{ref}

已知 BJT 在 I=1 mAI=1\text{ mA} 時：

VBE=0.7 VV_{BE}=0.7\text{ V}

當電流降為 0.1 mA0.1\text{ mA} 時：

VBE=0.7+VTln⁡(0.11)V_{BE}=0.7+V_T\ln\left(\frac{0.1}{1}\right)

代入 VT=25 mVV_T=25\text{ mV}：

VBE=0.7+25 mV⋅ln⁡(0.1)V_{BE}=0.7+25\text{ mV}\cdot\ln(0.1) VBE=0.7−0.05756=0.6424 VV_{BE}=0.7-0.05756=0.6424\text{ V}

圖中 Q4Q4 為二極體接法，因此：

V1=VBE=0.6424 VV_1=V_{BE}=0.6424\text{ V}

由電路的 cascode 偏壓關係，M5M5 的閘極電壓為：

VG5=V1+VGS=0.6424+2=2.6424 VV_{G5}=V_1+V_{GS}=0.6424+2=2.6424\text{ V}

因此 M5M5 的源極電壓為：

VS5=VG5−VGS=0.6424 VV_{S5}=V_{G5}-V_{GS}=0.6424\text{ V}

此電壓即為 RrefR_{ref} 上端電壓，所以：

Rref=VS5I=0.6424 V0.1 mAR_{ref}=\frac{V_{S5}}{I} =\frac{0.6424\text{ V}}{0.1\text{ mA}} Rref=6.424 kΩ\boxed{R_{ref}=6.424\text{ k}\Omega}

(b) 求 V1V_1 與 V2V_2

先求 MOSFET 的 VGSV_{GS}

由：

ID=12kn(VGS−Vt)2I_D=\frac{1}{2}k_n(V_{GS}-V_t)^2

代入：

0.1=12(0.2)(VGS−1)20.1=\frac{1}{2}(0.2)(V_{GS}-1)^2

其中電流單位為 mA\text{mA}，因此：

(VGS−1)2=1(V_{GS}-1)^2=1

取導通時的正值：

VGS−Vt=1 VV_{GS}-V_t=1\text{ V} VGS=2 V\boxed{V_{GS}=2\text{ V}}

求 V1V_1

Q4Q4 的 VBEV_{BE} 即為 V1V_1：

V1=0.6424 V\boxed{V_1=0.6424\text{ V}}

求 V2V_2

M6M6 與 M5M5 的閘極相連，其閘極電壓為：

VG=V1+VGS=0.6424+2=2.6424 VV_G=V_1+V_{GS}=0.6424+2=2.6424\text{ V}

上方 cascode 管 M7M7 與 M4M4 的閘極電壓再高一個 VGSV_{GS}，因此：

VG4=2.6424+2=4.6424 VV_{G4}=2.6424+2=4.6424\text{ V}

M4M4 的源極就是圖中的 V2V_2，故：

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