113 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《電子學》

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第 1 題20 分

國立中央大學113學年度碩士班考試入學試題
所別：光電類
科目：電子學
*本科考試可使用計算器,廠牌、功能不拘
本試題共四大題計算題,無計算過程不予計分。答案請標示單位。

  1. (20%) A voltage amplifier with an input resistance Rin=5 kΩR_{in}=5 \text{ k}\Omega and output resistance Ro=3 kΩR_o=3 \text{ k}\Omega has an open-circuit voltage gain (AvoA_{vo}) of 50 V/V (assuming frequency-independent). The amplifier is then capacitance-coupled to a 10 kΩ10 \text{ k}\Omega source and 1 kΩ1 \text{ k}\Omega load as shown in Fig.1.
    (a) (10%) What is the overall voltage gain for DC and high frequency (f→∞f \to \infty)? Please describe the circuit as working as a low-pass, high-pass, or mid-pass filter.
    (b) (10%) What is the smallest C1C_1 and C2C_2 needed to make sure the cut-off frequency is less than 100 kHz? (You can separate input and output capacitors separately for a simple answer)

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核心觀念

本題考查：

  • 電壓放大器的輸入、輸出阻抗造成的分壓。
  • 電容耦合電路的低頻截止特性。
  • 中頻／高頻時電容視為短路，直流時電容視為開路。
  • RC 高通電路截止頻率：
fc=12πReqCf_c=\frac{1}{2\pi R_{\text{eq}}C}

(a) 直流與高頻電壓增益

直流 f=0f=0

直流時，C1C_1 與 C2C_2 皆視為開路，因此訊號無法：

  1. 由訊號源傳入放大器；
  2. 由放大器傳送至負載。

所以：

vovs∣DC=0\boxed{\left.\frac{v_o}{v_s}\right|_{\text{DC}}=0}

高頻 f→∞f\to\infty

高頻時，C1C_1 與 C2C_2 皆視為短路。

輸入端分壓為：

vivs=RinRs+Rin=5 kΩ10 kΩ+5 kΩ=13\frac{v_i}{v_s} = \frac{R_{\text{in}}}{R_s+R_{\text{in}}} = \frac{5\,\text{k}\Omega}{10\,\text{k}\Omega+5\,\text{k}\Omega} = \frac{1}{3}

放大器本身的開路電壓增益為：

Avo=50A_{vo}=50

輸出端由 RoR_o 與 RLR_L 分壓：

voAvovi=RLRo+RL=1 kΩ3 kΩ+1 kΩ=14\frac{v_o}{A_{vo}v_i} = \frac{R_L}{R_o+R_L} = \frac{1\,\text{k}\Omega}{3\,\text{k}\Omega+1\,\text{k}\Omega} = \frac{1}{4}

因此整體高頻電壓增益為：

vovs=RinRs+RinAvoRLRo+RL\frac{v_o}{v_s} = \frac{R_{\text{in}}}{R_s+R_{\text{in}}} A_{vo} \frac{R_L}{R_o+R_L} =13×50×14=5012≈4.17 V/V= \frac{1}{3}\times 50\times\frac{1}{4} = \frac{50}{12} \approx 4.17\ \text{V/V}

由於直流增益為 00，高頻增益為非零值，且兩個耦合電容皆形成高通特性，因此整體電路為：

高通濾波器（high-pass filter）\boxed{\text{高通濾波器（high-pass filter）}}

(b) 求 C1C_1 與 C2C_2

題目允許將輸入與輸出耦合電容分開設計，因此分別令各自的截止頻率低於 100 kHz100\,\text{kHz}。

輸入耦合電容 C1C_1

C1C_1 所看到的等效電阻為：

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第 2 題30 分

國立中央大學113學年度碩士班考試入學試題
所別: 光電類
科目: 電子學
*本科考試可使用計算器,廠牌、功能不拘
本試題共四大題計算題,無計算過程不予計分。答案請標示單位。
2. (30%) For the following BJT circuit in Fig. 2, two identical BJTs with β=100\beta=100 are connected in cascade and used to amplify the signal. Please find the follows: (hints: you can assume VBE=0.7VV_{BE}=0.7V)
(a) (12%) Determine the biasing current (IC1I_{C1}, IC2I_{C2}), base voltage (VB1V_{B1}, VB2V_{B2}), and collector voltage (VC1V_{C1}, VC2V_{C2}).
(b) (18%) Find small-signal gain at 1st stage (Vb2/VsigV_{b2}/V_{sig}) and overall gain (vo/Vsigv_o/V_{sig}).

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核心觀念

本題考查兩級 RC 耦合 BJT 放大器的：

  • 分壓偏壓分析
  • Thevenin 等效電路
  • BJT 小訊號參數 gmg_m、rπr_\pi
  • 共射極放大器增益
  • 級間負載效應與輸入信號分壓

中頻時，耦合電容與射極旁路電容視為短路；VCCV_{CC} 為交流接地，忽略晶體管的 ror_o。

(a) 直流偏壓分析

兩級電路的直流偏壓網路相同，因此兩顆 BJT 的偏壓電流相同。

1. 分壓電阻的 Thevenin 等效

VTH=VCCR2R1+R2=151020+10=5 VV_{TH}=V_{CC}\frac{R_2}{R_1+R_2} =15\frac{10}{20+10}=5\text{ V} RTH=R1∥R2=20 kΩ∥10 kΩ=6.667 kΩR_{TH}=R_1\parallel R_2 =20\text{ k}\Omega\parallel10\text{ k}\Omega =6.667\text{ k}\Omega

由於 β=100\beta=100、RE=4 kΩR_E=4\text{ k}\Omega，基極電流為

IB=VTH−VBERTH+(β+1)REI_B=\frac{V_{TH}-V_{BE}} {R_{TH}+(\beta+1)R_E} IB=5−0.76.667 kΩ+101(4 kΩ)=10.47 μAI_B= \frac{5-0.7} {6.667\text{ k}\Omega+101(4\text{ k}\Omega)} =10.47\ \mu\text{A}

因此

IC=βIB=100(10.47 μA)=1.047 mAI_C=\beta I_B =100(10.47\ \mu\text{A}) =1.047\text{ mA}

兩級相同，所以

IC1=IC2=1.047 mA\boxed{I_{C1}=I_{C2}=1.047\text{ mA}}

2. 基極電壓

IE=(β+1)IB=101(10.47 μA)=1.058 mAI_E=(\beta+1)I_B =101(10.47\ \mu\text{A}) =1.058\text{ mA} VE=IERE=(1.058 mA)(4 kΩ)=4.23 VV_E=I_E R_E =(1.058\text{ mA})(4\text{ k}\Omega) =4.23\text{ V} VB=VE+VBE=4.23+0.7=4.93 VV_B=V_E+V_{BE} =4.23+0.7 =4.93\text{ V}

故

VB1=VB2=4.93 V\boxed{V_{B1}=V_{B2}=4.93\text{ V}}

3. 集極電壓

VC=VCC−ICRCV_C=V_{CC}-I_C R_C VC=15−(1.047 mA)(4 kΩ)=10.81 VV_C=15-(1.047\text{ mA})(4\text{ k}\Omega) =10.81\text{ V}

故

VC1=VC2=10.81 V\boxed{V_{C1}=V_{C2}=10.81\text{ V}}

且

VCE=VC−VE=10.81−4.23=6.58 V>0.2 VV_{CE}=V_C-V_E=10.81-4.23=6.58\text{ V}>0.2\text{ V}

晶體管確實工作於主動區，以上偏壓假設成立。

(b) 小訊號增益

採用 VT=25 mVV_T=25\text{ mV}。

1. 小訊號參數

gm=ICVT=1.047 mA25 mV=41.9 mSg_m=\frac{I_C}{V_T} =\frac{1.047\text{ mA}}{25\text{ mV}} =41.9\text{ mS} rπ=βgm=10041.9 mS=2.39 kΩr_\pi=\frac{\beta}{g_m} =\frac{100}{41.9\text{ mS}} =2.39\text{ k}\Omega

每一級的基極輸入電阻為

Rin=R1∥R2∥rπR_{in}=R_1\parallel R_2\parallel r_\pi
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第 3 題20 分

國立中央大學113學年度碩士班考試入學試題
所別: 光電類
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3. (20%) For the circuit in Figure 3, assuming OP amplifiers are ideal, please find the voltage of the correspond nodes, VxV_x, Vout1V_{out1}, Vout2V_{out2}, Vout3V_{out3}, and Vout4V_{out4}.

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核心觀念

本題使用理想運算放大器的三項特性：

  1. 輸入端不取電流：i+=i−=0i_+=i_-=0。
  2. 負回授下具虛短：V−=V+V_-=V_+。
  3. 反相放大器依據反相端節點套用 KCL 求解。

各運算放大器的非反相端皆接地，因此其反相端為虛地：

V−=0 VV_-=0\text{ V}

(1) 求 VxV_x 與 Vout1V_{out1}

第一級運算放大器的反相端為虛地。由輸入端 Vin=2V_{in}=2 V 經 2 kΩ2\,\text{k}\Omega 流入的電流為

iin=2−02 kΩ=1 mAi_{in}=\frac{2-0}{2\,\text{k}\Omega}=1\text{ mA}

因此由 VxV_x 經 1 kΩ1\,\text{k}\Omega 流向虛地的電流為 11 mA：

Vx−01 kΩ=1 mA\frac{V_x-0}{1\,\text{k}\Omega}=1\text{ mA}

所以

Vx=−1 VV_x=-1\text{ V}

在 VxV_x 節點套用 KCL。該節點分別經由三個 1 kΩ1\,\text{k}\Omega 電阻連接至虛地、Vout1V_{out1} 與地，因此

Vx−01 kΩ+Vx−Vout11 kΩ+Vx−01 kΩ=0\frac{V_x-0}{1\,\text{k}\Omega} +\frac{V_x-V_{out1}}{1\,\text{k}\Omega} +\frac{V_x-0}{1\,\text{k}\Omega}=0

代入 Vx=−1V_x=-1 V：

−1+(−1−Vout1)−1=0-1+(-1-V_{out1})-1=0

得到

Vout1=−3 VV_{out1}=-3\text{ V}

(2) 求 Vout3V_{out3}

第三級為單位增益反相器，輸入電阻與回授電阻皆為 1 kΩ1\,\text{k}\Omega，且輸入為 Vin=2V_{in}=2 V。

Vout3=−1 kΩ1 kΩVinV_{out3} =-\frac{1\,\text{k}\Omega}{1\,\text{k}\Omega}V_{in}

因此

Vout3=−2 VV_{out3}=-2\text{ V}
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