113 年國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《近代物理》考古題與詳解

Question 1

Two copper plates are connected to a battery and a current meter, as depicted in the figure. When the battery is set to be 2 V and a blue light (wavelength: 465 nm) is shined on one of the plates, the current meter reads 3 µA. The current meter reads zero when the battery is set to be -3 V (with the same blue light incidence). What can be the possible voltage of the battery when the incident wavelength is decreased to be 400 nm?
(A) -2 V
(B) 3 V
(C) 0 V
(D) 1 V
(E) -4 V

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Accepted Answer

核心觀念 光電效應中，光電子的最大動能為 $$ K{\max}=hf-\phi $$ 其中 $h$ 是普朗克常數、$f$ 是入射光頻率、$\phi$ 是金屬的逸出功。施加反向電壓使光電流降為零時，電壓稱為截止電壓，其大小滿足 $$ eVs=K{\max} $$ 因此，入射光波長縮短、光子能量增加時，截止電壓的大小也會增加。 解題方法 波長由 $465\,	ext{nm}$ 縮短為 $400\,	ext{nm}$，光電子最大動能增加量為 $$ \Delta K{\max} =hc\left(\frac{1}{400\,	ext{nm}}-\frac{1}{465\,	ext{nm}}ight) \approx 0.43\,	ext{eV} $$ 已知 $465\,	ext{nm}$ 照射時，電池電壓設為 $-3\,	ext{V}$，電流表讀值為零，因此原截止電壓為 $-3\,	ext{V}$。波長縮短後，截止電壓的反向電壓大小增加約 $0.43\,	ext{V}$：

Question 2

What is the total mass of the electrons contained in -1 C of charge? (A) 5.6x10-10 kg (B) 5.6x10-11 kg (C) 5.6x10-12 kg (D) 5.6x10-13 kg (E) 5.6x10-14 kg

Accepted Answer

核心觀念 電子的電荷量為 $-e$，其中基本電荷量大小 $e=1.602	imes10^{-19}\,\mathrm{C}$；電子靜止質量為 $me=9.11	imes10^{-31}\,\mathrm{kg}$。總電荷為 $-1\,\mathrm{C}$ 時，電子個數由電荷量的大小求得： $$ N=\frac{|Q|}{e} $$ 總質量則為： $$ M=Nme $$ 解題方法 代入 $Q=-1\,\mathrm{C}$，先求電子個數： $$ N=\frac{1\,\mathrm{C}}{1.602	imes10^{-19}\,\mathrm{C}} \approx 6.24	imes10^{18} $$ 再乘上單一電子的質量： $$ M=(6.24	imes10^{18})(9.11	imes10^{-31}\,\mathrm{kg}) \approx 5.69	imes10^{-12}\,\mathrm{kg} $$

Question 3

A particle is strictly confined in a region of length L, but moving freely in the region. Two possible wavefunctions, $\phi_a$ and $\phi_b$ , of the particle are those shown in the figure. When the particle is in the state corresponding to the wavefuction $\phi_a$ , its total energy is 1 eV. What is its total energy in the state corresponding to $\phi_b$ ?
(A) 1 eV
(B) 2 eV
(C) 4 eV
(D) 8 eV
(E) None of the above

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Accepted Answer

核心觀念 粒子被限制在長度為 $L$ 的區域內，且在區域中自由移動，可視為一維無限深方形位能井。波函數必須在兩端為零；第 $n$ 個能階的波函數在井內有 $n$ 個半波長，能量為 $$ En=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} $$ 因此在粒子質量與井寬相同時，能量與量子數平方成正比：$En\propto n^2$。 解題方法 由圖形數波函數在 $0$ 到 $L$ 間包含的半波長數： - $\phia$ 有 $2$ 個半波長，對應 $na=2$。 - $\phib$ 有 $4$ 個半波長，對應 $nb=4$。 所以兩狀態能量比為 $$ \frac{Eb}{Ea} =\frac{nb^2}{na^2} =\frac{4^2}{2^2} =4 $$ 已知 $Ea=1\ 	ext{eV}$，因此

Question 4

The spherical waves of wavelength $\lambda$ emitted from a single point source are passing through two small holes, $S_1$ and $S_2$ , which are separated by the distance of $a$ , as shown in the figure. If $c \gg a$ , what is the approximated condition for destructive interference at a point P on the screen?
(A) $b\sin\theta = 1.5\lambda$
(B) $a\tan\theta = 1.5\lambda$
(C) $c\sin\theta = \lambda$
(D) $b\tan\theta = \lambda$
(E) $a\sin\theta = \lambda$

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Accepted Answer

核心觀念 兩個小孔 $S1、S2$ 可視為相干波源。兩孔到屏幕上觀察點 $P$ 的光程差為 $$ \Delta = a\sin	heta $$ 其中 $a$ 是兩孔間距，$	heta$ 是觀察方向與中央軸的夾角。由於題目給定 $c\gg a$，可將兩孔到 $P$ 的波前近似為平面波，因此使用上述近似式。 破壞性干涉的條件為 $$ \Delta=\left(m+\frac12ight)\lambda, \qquad m=0,1,2,\ldots $$ 因此 $$ a\sin	heta=\left(m+\frac12ight)\lambda $$ 第一個破壞性干涉位置為 $$ a\sin	heta=\frac{\lambda}{2} $$ 解題方法 先判斷光程差的來源。兩孔相距 $a$，且屏幕距離遠大於孔間距，因此由兩孔前往 $P$ 的光程差只與孔間距及觀察角度有關： $$ \Delta=a\sin	heta $$ 破壞性干涉要求兩波相位差為奇數倍的 $\pi$，等價於光程差為半奇數倍波長： $$ a\sin	heta=\frac{\lambda}{2},\frac{3\lambda}{2},\frac{5\lambda}{2},\ldots $$ 選項分析

Question 5

A particle is trapped in a potential well with the depth of $E_0$ . If the wavefunction of the particle is $\phi(x,t) = A\sin(\omega t+kx) + i A\cos(\omega t+kx)$ , where $A$ , $\omega$ and $k$ are constants and $i$ is the unit imaginary number, what is the probability, per unit length of the x axis, of finding the particle near the coordinate $x$ at time $t$ ?
(A) $A^2$
(B) $E_0 \cos(\omega t+kx)$
(C) $A\sin(\omega t+kx)$
(D) $A$
(E) None of the above

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Accepted Answer

核心觀念 一維位置機率密度由波函數的絕對值平方給出： $$ ho(x,t)=|\phi(x,t)|^2=\phi^(x,t)\phi(x,t) $$ 因此，在 $x$ 附近寬度為 $dx$ 的小區間內找到粒子的機率約為 $ho(x,t)\,dx$。 解題方法 令 $	heta=\omega t+kx$。題目給定 $$ \phi(x,t)=A\sin	heta+iA\cos	heta $$ 若 $A$ 為實常數，其複共軛為 $$ \phi^(x,t)=A\sin	heta-iA\cos	heta $$ 所以機率密度為 $$ \begin{aligned} ho(x,t) &=\phi^\phi\ &=A^2\sin^2	heta+A^2\cos^2	heta\ &=A^2 \end{aligned} $$

Question 6

A light beam is traveling in a structure with three layers of different refractive indices: $n_1=2$ , $n_2=2^{0.5}$ , $n_3=1$ . If the beam impinges at the interface between $n_1$ and $n_2$ with the incident angle of $60^\circ$ , as shown in the figure, what is $\theta$ when the light beam enters the layer with $n_3=1$ ?

(A) $30^\circ$
(B) $45^\circ$
(C) $90^\circ$
(D) $0^\circ$
(E) $60^\circ$

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Accepted Answer

核心觀念 光線通過平行介面時，依序使用史涅耳定律： $$ na\sin	hetaa=nb\sin	hetab $$ 其中角度是相對於介面法線量測。圖中的入射角 $60^\circ$ 是相對於介面量測，因此相對法線的入射角為 $30^\circ$。題圖標示 $n2=2^{0.5}=\sqrt{2}$。 解題方法 第一個介面 $n1	o n2$： $$ 2\sin30^\circ=\sqrt{2}\sin	heta2 $$ 所以 $\sin	heta2=1/\sqrt{2}$，得到 $	heta2=45^\circ$（相對法線）。 第二個介面 $n2	o n3$： $$ \sqrt{2}\sin45^\circ=1\sin	heta3 $$

Question 7

What is the 3rd energy level for an electron in a quantum well of width 1 nm with infinite walls?
(A) 3.393 eV
(B) 0.377 eV
(C) 6.032 eV
(D) 1.508 eV
(E) None of the above.

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Accepted Answer

核心觀念 一維無限深方形位阱中，電子的波函數在兩側位阱壁必須為零，因此只能形成駐波。寬度為 $L$ 時，能階為 $$ En=\frac{n^2h^2}{8mL^2},\qquad n=1,2,3,\ldots $$ 其中 $n=1$ 是基態，第三能階對應 $n=3$。 解題方法 先計算基態能量，再利用能階與 $n^2$ 成正比的關係求第三能階。取電子質量 $m=9.11	imes10^{-31}\,\mathrm{kg}$、普朗克常數 $h=6.626	imes10^{-34}\,\mathrm{J\,s}$，並代入 $L=1\,\mathrm{nm}=1.0	imes10^{-9}\,\mathrm{m}$： $$ E1=\frac{h^2}{8mL^2} \approx 6.02	imes10^{-20}\,\mathrm{J} \approx 0.376\,\mathrm{eV} $$ 因此第三能階為

Question 8

Light passes from air into a liquid and is deviated 19º when the angle of incidence is 52°. What is the index of refraction of the liquid?
(A) 1.33 eV
(B) 1.55 eV
(C) 1.74 eV
(D) 1.45
(E) 1.28

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Accepted Answer

核心觀念 光由空氣進入液體時會發生折射。折射率由史涅耳定律求得： $$ n{	ext{air}}\sin i=n{	ext{液體}}\sin r $$ 其中 $i$、$r$ 分別是入射角與折射角，皆相對於界面法線測量；空氣的折射率近似為 $1$。題目所說的偏折角，是入射光與折射光方向的夾角。 解題方法 光由空氣進入折射率較大的液體，折射光會偏向法線，因此 $r<i$，偏折角為 $i-r$。已知入射角 $i=52^\circ$、偏折角為 $19^\circ$，所以： $$ r=52^\circ-19^\circ=33^\circ $$ 代入史涅耳定律：

Question 9

A laser beam of wavelength $\lambda$ shined on a spectrometer with the grating spacing $a$ is split into two beams of wavelengths $\lambda_1$ and $\lambda_2$ due to the 2nd order diffraction. If $\lambda_2$ is slightly longer than $\lambda_1$ and $\theta$ is the diffraction angle for $\lambda_1$ , what is the difference in diffraction angles of the two beams?
(A) $\frac{(\lambda_2-\lambda_1)\sin\theta}{2a}$
(B) $\frac{(\lambda_2-\lambda_1)}{a\sin\theta}$
(C) $\frac{2(\lambda_2-\lambda_1)}{a\sin\theta}$
(D) $\frac{2(\lambda_2-\lambda_1)}{a\tan\theta}$
(E) None of the above

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Accepted Answer

核心觀念 光柵的第 $m$ 階繞射滿足 $$ a\sin	heta=m\lambda $$ 其中 $a$ 是光柵間距，$	heta$ 是繞射角。題目指定第二階，因此 $m=2$。 解題方法 對波長 $\lambda1$，繞射角為 $	heta$；對稍長的波長 $\lambda2$，令繞射角為 $	heta+\Delta	heta$。由光柵方程： $$ a\sin	heta=2\lambda1 $$ $$ a\sin(	heta+\Delta	heta)=2\lambda2 $$ 因為 $\lambda2$ 稍長，$\Delta	heta$ 很小，可用小角度近似： $$ \sin(	heta+\Delta	heta)\approx\sin	heta+\Delta	heta\cos	heta $$ 兩式相減得 $$ a\Delta	heta\cos	heta=2(\lambda2-\lambda1) $$ 所以兩束光的繞射角差為 $$ \Delta	heta\approx\frac{2(\lambda2-\lambda1)}{a\cos	heta} $$ 選項中沒有這個形式，故選 (E)。 選項分析

Question 10

If the wavelength of a moving electron is 450 nm, what is the velocity of that electron?
(A) $1.32 \times 10^5 \text{ cm/s}$
(B) $2.32 \times 10^5 \text{ cm/s}$
(C) $3.62 \times 10^5 \text{ cm/s}$
(D) $2.43 \times 10^5 \text{ cm/s}$
(E) None of the above

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Accepted Answer

核心觀念 物質波的德布羅意波長為 $$ \lambda=\frac{h}{p} $$ 電子速度遠低於光速，可用非相對論動量 $p=mv$，因此 $$ v=\frac{h}{m\lambda} $$ 解題方法 代入普朗克常數 $h=6.626	imes10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$、電子質量 $me=9.109	imes10^{-31}\ \mathrm{kg}$，以及波長 $\lambda=450\ \mathrm{nm}=4.50	imes10^{-7}\ \mathrm{m}$： $$ v=\frac{6.626	imes10^{-34}} {(9.109	imes10^{-31})(4.50	imes10^{-7})} \approx 1.62	imes10^3\ \mathrm{m/s} $$ 換算成公分每秒：

Question 11

In the Bohr hydrogen model, an electron moves around the nucleus with different orbits. If the electron is of the energy, $E$ , and moves in the 3rd lowest orbital, what is the period for one revolution?
(A) $3\pi\hbar/|E|$
(B) $\pi\hbar/|E|$
(C) $\pi\hbar/3|E|$
(D) $6\pi\hbar/|E|$
(E) None of the above.

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Accepted Answer

核心觀念 在波耳氫原子模型中，電子沿圓形軌道運動，角動量量子化為 $$ L=mvr=n\hbar $$ 其中 $n=1,2,3,\ldots$ 為主量子數；「第 3 低軌域」代表 $n=3$。對庫侖束縛軌道，總能量為負，且電子動能 $K=mv^2/2=|E|$。 解題方法 週期等於軌道周長除以速率： $$ T=\frac{2\pi r}{v} $$ 利用角動量 $L=mvr$，可將 $r$ 換成 $L/(mv)$： $$ T=\frac{2\pi L}{mv^2} =\frac{2\pi n\hbar}{2K} =\frac{\pi n\hbar}{|E|} $$ 代入 $n=3$：

Question 12

Consider a particle traveling in the potential step ( $V_0$ ) shown in the figure. If the particle is of the energy $E < V_0$ , what can be the correct type of wavefunction for the particle at $x > 0$ ?
(A) $Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$
(B) $Ae^{ikx}$
(C) $Ae^{-kx}$
(D) $Ae^{-ikx}$
(E) $Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查定態薛丁格方程在位能階躍中的解。粒子在 $E<V0$ 的區域屬於古典禁制區，波函數為指數形式，而非振盪的平面波。 解題方法 圖中位能在 $x=0$ 處升至 $V0$，且 $x0$ 延伸為無窮大的 $V0$ 區域；粒子能量為 $E<V0$。因此在 $x0$，定態薛丁格方程為 $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V0\psi=E\psi $$ 整理得 $$ \frac{d^2\psi}{dx^2}=\frac{2m(V0-E)}{\hbar^2}\psi =\kappa^2\psi, \qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V0-E)}}{\hbar}0 $$ 其通解為 $\psi(x)=C e^{\kappa x}+D e^{-\kappa x}$。由於 $x0$ 延伸至無窮遠，會隨 $x$ 增大而發散的 $e^{\kappa x}$ 項必須排除，留下指數衰減解 $\psi(x)=D e^{-\kappa x}$。

Question 13

When a bullet of the mass $m$, is fired from a gun, the speed and the location of the bullet are to be measured simultaneously. If the speed is measured with an uncertainty of $\Delta v$, what is the fundamental accuracy of the location, $\Delta x$, in the measurement? (h is Planck's constant) (A) $h/4\pi m\Delta v$ (B) $h/\Delta v$ (C) $h/\pi m\Delta v$ (D) $h/2\Delta v$ (E) $h/4\Delta v$. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念 本題考量位置與動量的海森堡不確定性原理： $$ \Delta x\,\Delta p \geq \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4\pi} $$ 子彈速度遠低於光速，可用非相對論動量 $p=mv$，因此速度的不確定度 $\Delta v$ 對應的動量不確定度為 $$ \Delta p=m\Delta v $$ 解題方法 將 $\Delta p=m\Delta v$ 代入不確定性原理，可得位置測量的最低不確定度： $$ \Delta x \geq \frac{h}{4\pi m\Delta v} $$ 題目問的是位置的「基本精度」，也就是原理所限制的最低不確定度，因此選與此下限相符的選項。 選項分析

Question 14

When a fish looks up at the surface of a perfectly smooth lake, the surface appears dark except inside a circular area directly above it. What is the angle that this illuminated region subtends? (hint: the index of refraction of water is 1.333)
(A) 57.2°
(B) 97.2°
(C) 67.2°
(D) 77.2°
(E) 87.2°

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核心觀念

本題考查水與空氣交界面的臨界角，以及魚在水中看到天空的「斯涅爾窗」。臨界角是光由折射率較大的介質射向折射率較小的介質時，折射角恰為 $90^\circ$ 所對應的入射角。

解題方法

原卷第 3 頁第 (14) 題沒有另附光路圖；題目提供魚在水中向上看、湖面平滑，以及水的折射率為 $1.333$ 。可用光路可逆性，將「空氣中的光折射進水中到達魚眼」反向追跡，求出圓形明亮區的邊界。

邊界光線在水面折射後沿著水面前進，因此空氣中的折射角為 $90^\circ$ 。由史涅耳定律，水中的邊界角 $\theta_c$ 滿足：

n_{\text{水}}\sin\theta_c=n_{\text{空氣}}\sin 90^\circ

取 $n_{\text{水}}=1.333$ 、 $n_{\text{空氣}}\approx1.00$ ：

\theta_c=\sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.333}\right)\approx48.6^\circ

Question 15

Two mirrors, each 1.6 m long, are facing each other. The distance between the mirrors is 20 cm. A light ray is incident on one end of one of the mirrors at angle of incidence of 30º. How many times (counting the first one) is the ray reflected before it reaches the other end?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14

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核心觀念 平面鏡的入射角是光線與鏡面法線的夾角。光線在兩鏡間反射時，角度大小不變，因此每穿越一次鏡間距，沿鏡面方向前進的距離都相同。 解題方法 設兩鏡的間距為 $d=0.20\,	ext{m}$，入射角為 $	heta=30^\circ$。光線與鏡面方向的夾角為 $90^\circ-	heta$，所以每次從一面鏡子到另一面鏡子時，沿鏡面方向的位移為 $$ \Delta x=\frac{d}{	an(90^\circ-	heta)} =d	an	heta =0.20	an30^\circ \approx 0.1155\,	ext{m} $$ 鏡長為 $L=1.6\,	ext{m}$，因此光線沿鏡面方向可走的位移間隔數為 $$ \frac{L}{\Delta x} =\frac{1.6}{0.1155} \approx 13.86 $$

Question 16

A marble with speed 20 cm/s rolls off the edge of a table 80 cm high. How far, horizontally, from the table edge does the marble strike the floor ?
(A) 6 cm
(B) 7 cm
(C) 8 cm
(D) 9 cm
(E) 10 cm

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核心觀念 大理石離開桌邊時，水平方向速度為 $20\ 	ext{cm/s}$，鉛直方向初速度為 $0$。忽略空氣阻力，水平方向做等速度運動，鉛直方向做自由落體運動： $$ h=\frac{1}{2}gt^2,\qquad x=vxt $$ 解題方法 取 $g=980\ 	ext{cm/s}^2$，桌高為 $h=80\ 	ext{cm}$。由自由落體公式求落地時間： $$ 80=\frac{1}{2}(980)t^2 \quad\Rightarrow\quad t=\sqrt{\frac{160}{980}}\approx 0.404\ 	ext{s} $$ 再用水平等速度運動求水平距離： $$ x=(20)(0.404)\approx 8.08\ 	ext{cm} $$

Question 17

An electron is trapped in an infinitely deep potential well with the width of 5 nm. When the electron is transferred from energy level $E_2$ to $E_1$ , a photon of the wavelength 800 nm is emitted. If the width of the infinite well is increased to 10 nm, and the trapped electron is still transferred from $E_2$ to $E_1$ , what can be the emitted photon wavelength?
(A) 200 nm
(B) 400 nm
(C) 600 nm
(D) 800 nm
(E) 1000 nm

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核心觀念 一維無限深位能井中，電子第 $n$ 個能階為 $$ En=\frac{n^2h^2}{8mL^2} $$ 其中 $L$ 是井寬。由 $E2$ 跃遷至 $E1$ 時，放出的光子能量為 $$ \Delta E=E2-E1 =\frac{(2^2-1^2)h^2}{8mL^2} =\frac{3h^2}{8mL^2} $$ 光子能量也滿足 $\Delta E=hc/\lambda$，所以在相同能階躍遷下，波長 $\lambda$ 與井寬平方成正比：$\lambda\propto L^2$。 解題方法 井寬由 $5\,	ext{nm}$ 增加至 $10\,	ext{nm}$，變為原來的 2 倍。因此能階差變為原來的 $1/4$，光子波長則變為原來的 4 倍： $$ \frac{\lambda{	ext{新}}}{800\,	ext{nm}} =\left(\frac{10}{5}ight)^2=4 $$

Question 18

The charge of a parallel-plate capacitor is varying as $q = q_0 \sin (2\pi ft)$ . The plates are very large and close together (area: A; separation: d). Neglecting edge effects, what is the displacement current through the capacitor?
(A) $2\pi f q_0 \cos(2\pi ft)$
(B) $\pi f q_0 \cos(2\pi ft)$
(C) $4\pi f q_0 \cos(2\pi ft)$
(D) $2\pi f q_0 \cos(\pi ft)$
(E) $2\pi f q_0 \cos(4\pi ft)$

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核心觀念 位移電流由電通量的變化率定義： $$ ID=\frac{d}{dt}\intS \mathbf D\cdot d\mathbf A $$ 平行板面積很大且忽略邊緣效應時，板間電場可視為均勻，電通量等於電容器上的電荷，因此 $ID=dq/dt$。也就是說，位移電流等於電荷對時間的變化率。 解題方法 原卷第 (18) 題給定平行板電容器的電荷 $q=q0\sin(2\pi ft)$，極板面積為 $A$、間距為 $d$，並註明忽略邊緣效應。題目要求板間的位移電流；圖中沒有其他需要代入的數值。 對電荷函數微分，並使用鏈鎖律： $$ ID=\frac{dq}{dt} =\frac{d}{dt}\left[q0\sin(2\pi ft)\right] =2\pi f q0\cos(2\pi ft) $$ 面積 $A$ 與間距 $d$ 不必代入，因為在計算板間電通量時會相消。量綱檢查也符合：$f q0$ 的單位是 $\mathrm{s}^{-1}\cdot\mathrm C=\mathrm A$。

Question 19

The magnetic field (B) of an electromagnetic wave obeys the following relation in a certain region:

B = 10^{-12} \sin(5 \times 10^8 t)

, where all quantities are in SI units. How large an electro-motive force would the field induce in a 300-turn coil of 20-cm² area oriented perpendicular to the filed?
(A)

-7 \times 10^{-6} \cos(5 \times 10^8 t) \text{ V}

(B)

-3 \times 10^{-6} \cos(8 \times 10^8 t) \text{ V}

(C)

-3 \times 10^{-6} \cos(5 \times 10^8 t) \text{ V}

(D)

-3 \times 10^{-6} \cos(5 \times 10^8 t) \text{ V}

(E)

-3 \times 10^{-4} \cos(5 \times 10^8 t) \text{ V}

Accepted Answer

核心觀念 法拉第電磁感應定律指出，線圈的感應電動勢為磁通量對時間的負變化率： $$ \mathcal{E}=-N\frac{d\PhiB}{dt} $$ 線圈平面垂直磁場時，磁通量最大，為 $\PhiB=BA$，因此 $$ \mathcal{E}=-NA\frac{dB}{dt} $$ 解題方法 依原卷掃描圖，第（19）題的磁場為 $B=10^{-12}\sin(5	imes10^6t)$；線圈匝數 $N=300$，面積 $A=20\ \mathrm{cm^2}=2.0	imes10^{-3}\ \mathrm{m^2}$。 先對磁場微分： $$ \frac{dB}{dt} =10^{-12}(5	imes10^6)\cos(5	imes10^6t) =5	imes10^{-6}\cos(5	imes10^6t) $$ 代入法拉第定律： $$ \mathcal{E} =-(300)(2.0	imes10^{-3})(5	imes10^{-6}) \cos(5	imes10^6t) $$ $$ \mathcal{E} =-3	imes10^{-6}\cos(5	imes10^6t)\ \mathrm{V} $$ 選項分析

Question 20

Two point charges are 3 m apart, and their combined charge is 20 µC. If one repels the other with a force of 0.075 N, what are the two charges?
(A) 10 and 10 µC
(B) 5 and 15 µC
(C) 7 and 13 µC
(D) 9 and 11 µC
(E) 4 and 16 µC

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Accepted Answer

核心觀念 兩點電荷相距 $r$ 時，庫侖定律給出靜電力大小： $$ F=k\frac{|q1q2|}{r^2} $$ 題目說兩電荷互相排斥，因此兩者同號；又因總電荷為 $20\,\mu	ext{C}$，可用 $q1+q2=20\,\mu	ext{C}$。由庫侖定律可先求出兩電荷的乘積，再配合總和判斷數值。 解題方法 取庫侖常數 $k=9.0	imes10^9\,	ext{N}\cdot	ext{m}^2/	ext{C}^2$，代入 $F=0.075\,	ext{N}$、$r=3\,	ext{m}$： $$ |q1q2|=\frac{Fr^2}{k} =\frac{0.075	imes 3^2}{9.0	imes10^9} =75	imes10^{-12}\,	ext{C}^2 =75\,(\mu	ext{C})^2 $$ 由於兩電荷同號，且總電荷為正，故 $q1q2=75\,(\mu	ext{C})^2$。因此兩電荷是以下二次方程式的根： $$ x^2-20x+75=0 $$ $$ (x-5)(x-15)=0 $$ 所以兩電荷分別為 $5\,\mu	ext{C}$ 與 $15\,\mu	ext{C}$。

113 年國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《近代物理》

第 (1) 題

第 (2) 題

核心觀念

解題方法

第 (3) 題

第 (4) 題

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選項分析

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