111 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《近代物理》

核心觀念

本題考的是原子單光子電偶極躍遷的選擇定則。對於電子的軌道角量子數 $l$，允許的電偶極躍遷須滿足

$$\Delta l=\pm 1$$

而且躍遷前後的宇稱必須改變。

解題方法

在 $1s^2 2s^2 2p^5 5s \rightarrow 1s^2 2s^2 2p^5 4s$ 中，內層電子組態不變，外層電子由 $5s$ 態轉到 $4s$ 態。$s$ 軌域的 $l=0$，因此

$$\Delta l=0-0=0$$

觀念重點
愛因斯坦光電效應方程式（Einstein's Photoelectric Equation）：
$K_{\max} = h\nu - \phi = \frac{1}{2} m_e v_{\max}^2$

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推導與解析
光電子的最大速率可表示為：
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2(h\nu - \phi)}{m_e}}$

已知參數：

• 電子質量 $m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ kg}$
• 功函數 $\phi = 1.8 \text{ eV} = 1.8 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 2.88 \times 10^{-19} \text{ J}$

本題缺少入射光能量 $h\nu$（或波長 $\lambda$）之已知數據。

觀念與公式

1. 非相對論動量：電子動能 $K = 10\text{ eV} \ll m_e c^2 \approx 0.511\text{ MeV}$，可採用非相對論近似：
   $p = \sqrt{2m_e K}$

2. 動量不確定度：由於 $p = m_e v$，速度測量精確度為 $1.0\%$，故動量不確定度為：
   $\Delta p = p \times 1.0\% = 0.01 p$

3. 海森堡不確定原理：位置測量精確度（位置不確定度下限）滿足：
   $\Delta x \ge \frac{\hbar}{2\Delta p}$

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詳細推導與計算

• 物理常數選定：
  • 電子質量 $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}$
  • 約化普朗克常數 $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$
  • 電子伏特換算 $1\text{ eV} = 1.602 \times 10^{-19}\text{ J}$

1. 計算電子動量 $p$：

觀念與公式

根據麥克斯威-波茲曼統計（Maxwell-Boltzmann statistics），原子處於特定能階 $n$ 的粒子數佔有比率由簡併度（degeneracy）與玻爾茲曼因子決定：

$\frac{N_n}{N_1} = \frac{g_n}{g_1} e^{-\frac{E_n - E_1}{k_B T}}$

1. 能階與簡併度：

   • 氫原子第 $n$ 能階能量為 $E_n = -\frac{13.6\text{ eV}}{n^2}$。
   • 基態（$n=1$）能量 $E_1 = -13.6\text{ eV}$，簡併度 $g_1 = 2(1)^2 = 2$。
   • 第一激發態（$n=2$）能量 $E_2 = -3.4\text{ eV}$，簡併度 $g_2 = 2(2)^2 = 8$。
   • 能階差 $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4\text{ eV} - (-13.6\text{ eV}) = 10.2\text{ eV}$。
   • 簡併度比值 $\frac{g_2}{g_1} = \frac{8}{2} = 4$。

2. 溫度與物理常數：

   • 絕對溫度 $T = 1 \times 10^4\text{ }^\circ\text{C} + 273.15 = 10273.15\text{ K}$。

觀念與公式

群速 $v_g$ 與折射率 $n(\lambda)$ 之關係式為：
$v_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{c}{n - \lambda \frac{dn}{d\lambda}} = \frac{c}{n_g}$
其中 $n_g = n - \lambda \frac{dn}{d\lambda}$ 為群折射率（group index），$\lambda$ 為真空中波長。

計算過程

已知折射率為：
$n(\lambda) = 1.5255 + \frac{4825 \text{ nm}^2}{\lambda^2}$

對波長 $\lambda$ 微分：
$\frac{dn}{d\lambda} = -\frac{2 \times 4825 \text{ nm}^2}{\lambda^3}$

核心觀念

本題考查特殊相對論中的：

• 速度的 Lorentz 變換
• 相對論性動量
• 總能量與動能
• 四維動量在不同慣性座標系間的 Lorentz 變換

設空間站為座標系 $S$，太空船為座標系 $S'$。由於太空船相對空間站沿 $+x$ 軸以速度 $V_0$ 運動，因此

$$\beta_0=\frac{V_0}{c}, \qquad \gamma_0=\frac{1}{\sqrt{1-\beta_0^2}}.$$

粒子在空間站中速度分量為

$$v_x=v_y=-V_0.$$

粒子在空間站中的速率為 $\sqrt{2}V_0$，因此必須滿足

$$\sqrt{2}V_0<c$$

亦即 $\beta_0<1/\sqrt{2}$。

定義粒子在空間站中的 Lorentz 因子為

$$\gamma_i = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v_x^2+v_y^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-2\beta_0^2}}.$$

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解題方法：速度變換

沿 $x$ 軸的相對論速度變換公式為

$$v'_x= \frac{v_x-V_0}{1-\dfrac{v_xV_0}{c^2}},$$ $$v'_y= \frac{v_y}{\gamma_0\left(1-\dfrac{v_xV_0}{c^2}\right)}.$$

代入 $v_x=v_y=-V_0$：

$$v'_x = \frac{-V_0-V_0}{1+\dfrac{V_0^2}{c^2}} = -\frac{2V_0}{1+\beta_0^2},$$ $$v'_y = \frac{-V_0} {\gamma_0(1+\beta_0^2)}.$$

所以粒子在太空船中的速度向量為

$$\boxed{ \boldsymbol v' = -\frac{2V_0}{1+\beta_0^2}\,\hat{\boldsymbol x} - \frac{V_0}{\gamma_0(1+\beta_0^2)}\,\hat{\boldsymbol y} }.$$

若要求速率，則

$$|\boldsymbol v'| = \frac{V_0}{1+\beta_0^2} \sqrt{ 4+\frac{1}{\gamma_0^2} }.$$

由 $1/\gamma_0^2=1-\beta_0^2$，可寫為

$$\boxed{ |\boldsymbol v'| = \frac{V_0\sqrt{5-\beta_0^2}}{1+\beta_0^2} }.$$

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動量與能量的 Lorentz 變換

在空間站系 $S$ 中，粒子的總能量與動量為

$$E=\gamma_i m_0c^2,$$ $$p_x=\gamma_i m_0(-V_0)=-\gamma_i m_0V_0,$$ $$p_y=-\gamma_i m_0V_0.$$

四維動量沿 $x$ 軸變換時：

$$E'=\gamma_0(E-V_0p_x),$$ $$p'_x=\gamma_0\left(p_x-\frac{V_0E}{c^2}\right),$$ $$p'_y=p_y.$$

$x$ 方向動量

$$p'_x = \gamma_0 \left( -\gamma_i m_0V_0 -\frac{V_0}{c^2}\gamma_i m_0c^2 \right),$$

因此

$$\boxed{ p'_x=-2\gamma_0\gamma_i m_0V_0 }.$$

$y$ 方向動量

橫向動量在此 Lorentz 變換下不直接乘上 $\gamma_0$，所以

(a) 利用不確定性原理估計動能

氫原子處於第二激發態（$2^\text{nd}$ excited state），其主量子數為 $n = 3$。

1. 空間位置不確定度估計：
   氫原子在第 $n$ 軌道的平均半徑為 $r_3 = n^2 a_0 = 9 a_0$（其中 $a_0 \approx 0.529 \text{ \AA}$ 為波耳半徑）。
   取電子的位置不確定度為軌道半徑數量級：
   $\Delta x \approx r_3 = 9 a_0$

2. 動量與動能估計：
   由海森堡不確定性原理 $\Delta x \cdot \Delta p \approx \hbar$，估算動量不確定度（兼動量數量級）：
   $\Delta p \approx \frac{\hbar}{9 a_0}$
   估算電子的平均動能 $K$：
   $K \approx \frac{(\Delta p)^2}{2 m_e} = \frac{\hbar^2}{2 m_e (9 a_0)^2} = \frac{1}{81} \left( \frac{\hbar^2}{2 m_e a_0^2} \right) = \frac{13.6 \text{ eV}}{81} \approx 0.168 \text{ eV}$

【答案】
第二激發態動能估計值為 $K \approx \frac{\hbar^2}{162 m_e a_0^2} \approx 0.168 \text{ eV}$（或 $2.69 \times 10^{-20} \text{ J}$）。

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(b) 波耳模型與薛丁格方程式之角動量、磁矩大小計算與空間分佈圖

在第二激發態（$n = 3$），最大軌道角動量對應 $l_\text{max} = n - 1 = 2$。

1. 數值計算與對比

• 波耳模型（Bohr's Model）：

  • 軌道角動量大小：$L = n\hbar = 3\hbar$
  • 磁矩大小：$\mu = \frac{e}{2m_e} L = 3 \mu_B$（$\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}$ 為波耳磁子）
  • 空間特性：電子在半徑 $r_3 = 9a_0$ 的二維平面圓軌道上運動，角動量向量 $\mathbf{L}$ 垂直於軌道平面（設沿 $+z$ 軸），磁矩向量 $\boldsymbol{\mu}$ 因帶負電而指向反方向（沿 $-z$ 軸）。

• 薛丁格方程式（Schrödinger Equation）：

  • 最大軌道角動量大小（$l = 2$）：
    $|\mathbf{L}| = \sqrt{l(l+1)}\hbar = \sqrt{2(2+1)}\hbar = \sqrt{6}\hbar \approx 2.45 \hbar$
  • 最大 $z$ 軸分量（$m_l = +2$）：
    $L_z = m_l \hbar = 2\hbar$
    $\mathbf{L}$ 與 $z$ 軸之夾角滿足 $\cos\theta = \frac{L_z}{|\mathbf{L}|} = \frac{2}{\sqrt{6}} \implies \theta \approx 35.26^\circ$（在圓錐面上進動）。
  • 磁矩大小：
    $|\boldsymbol{\mu}| = \frac{e}{2m_e}|\mathbf{L}| = \sqrt{6}\mu_B \approx 2.45 \mu_B$
  • 磁矩最大 $z$ 軸分量：
    $\mu_z = -m_l \mu_B = -2\mu_B$

觀念與推導

設光線由空氣（折射率 $n_0 = 1$）垂直入射至折射率為 $n$（$n > 1$）、厚度為 $d$ 的非吸收薄膜，且透射至薄膜另一側的空氣中。

兩束主要反射光的相干情形如下：

1. 上界面反射光（空氣 $\to$ 薄膜）：光由光疏介質射向光密介質，發生反射時產生 $\pi$ 的相位躍遷。
2. 下界面反射光（薄膜 $\to$ 空氣）：光由光密介質射向光疏介質，發生反射時無相位躍遷（相位變化為 $0$）。

兩反射光在薄膜內部來回產生的光程差為 $\text{OPD} = 2nd$。

一、觀念與公式

1. 費米能階（Fermi Energy, $E_F$）：
   在三維自由電子模型中，費米能階與自由電子密度 $n$ 之關係為：
   $E_F = \frac{\hbar^2}{2m} (3\pi^2 n)^{2/3}$
   因此 $E_F \propto n^{2/3}$，自由電子密度 $n$ 越大者，費米能階 $E_F$ 越高。

2. 導電電子之平均速率：
   在 $T = 300\text{ K}$ 時，$k_B T \approx 0.0259\text{ eV} \ll E_F$，電子氣處於極度簡併狀態，適用費米-狄拉克統計。

   • 費米速率 $v_F$：$v_F = \sqrt{\frac{2E_F}{m}}$
   • 算術平均速率 $\langle v \rangle$：由速度空間之態密度分佈 $g(v) \propto v^2$（$0 \le v \le v_F$）積分求得：
     $\langle v \rangle = \frac{\int_0^{v_F} v \cdot v^2 \, dv}{\int_0^{v_F} v^2 \, dv} = \frac{3}{4} v_F$
   • 均方根速率 $v_{\text{rms}}$：由平均動能 $\langle E \rangle = \frac{3}{5} E_F = \frac{1}{2} m v_{\text{rms}}^2$ 求得：
     $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3}{5}} v_F \approx 0.775 v_F$

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二、計算步驟

1. 比較費米能階高低

已知兩金屬之自由電子密度分別為 $n_1 = 8.47 \times 10^{28}/\text{m}^3$ 與 $n_2 = 5.9 \times 10^{28}/\text{m}^3$。
因 $E_F \propto n^{2/3}$，且 $n_1 > n_2$，故自由電子密度為 $8.47 \times 10^{28}/\text{m}^3$ 之金屬具有較高的費米能階。

2. 計算該金屬之費米能階與費米速率

代入 $n = 8.47 \times 10^{28}/\text{m}^3$、電子質量 $m = 9.11 \times 10^{-31}\text{ kg}$、約化普朗克常數