111 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《光學》

核心觀念

本題考查介面上的 Fresnel 方程，以及反射係數與反射率的關係：

• $r_s$、$r_p$：分別為 $S$ 偏極與 $P$ 偏極的電場反射係數。
• $R_s$、$R_p$：分別為 $S$ 偏極與 $P$ 偏極的光強反射率。

反射率定義為

$$R_s=|r_s|^2,\qquad R_p=|r_p|^2.$$

介質折射率為

$$n_1=1,\qquad n_2=1.5.$$

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解題方法

（a）正入射 $\theta=0^\circ$

此時

$$\cos\theta=1,\qquad \sin\theta=0.$$

因此根號項為

$$\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2\sin^2\theta}=1.$$

代入 $S$ 偏極反射係數：

$$r_s=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} =\frac{1-1.5}{1+1.5} =-\frac{0.5}{2.5} =-0.2.$$

所以

$$R_s=|r_s|^2=(-0.2)^2=0.04.$$

代入題目給定的 $P$ 偏極公式：

$$r_p=\frac{n_2-n_1}{n_2+n_1} =\frac{1.5-1}{1.5+1} =0.2.$$

因此

$$R_p=|r_p|^2=(0.2)^2=0.04.$$

正入射時兩種偏極的反射率相同；反射係數的正負號差異屬於偏極基底方向定義，並不影響反射率。

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（b）掠入射 $\theta=90^\circ$

此時

$$\cos\theta=0,\qquad \sin\theta=1.$$

根號項為

$$\sqrt{1-\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^2} = \sqrt{1-\left(\frac{1}{1.5}\right)^2} = \sqrt{1-\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}.$$

對 $S$ 偏極：

$$r_s= \frac{0-n_2\sqrt{1-(n_1/n_2)^2}} {0+n_2\sqrt{1-(n_1/n_2)^2}} =-1.$$

所以

$$R_s=|-1|^2=1.$$

對 $P$ 偏極：

$$r_p= \frac{0-n_1\sqrt{1-(n_1/n_2)^2}} {0+n_1\sqrt{1-(n_1/n_2)^2}} =-1.$$

所以

$$R_p=|-1|^2=1.$$

因此掠入射時，兩種偏極的反射率皆趨近於 $100\%$。

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（c）Brewster angle

核心觀念

本題考查由高折射率介質射向低折射率介質時的全反射（total internal reflection, TIR），以及 Fresnel 反射係數在全反射情況下的複數形式。

已知

$$n_i=1.5,\qquad n_t=n_2=1$$

臨界角由 Snell 定律求得：

$$n_i\sin\theta_c=n_t\sin 90^\circ=n_t$$

因此

$$\theta_c=\sin^{-1}\left(\frac{n_t}{n_i}\right) =\sin^{-1}\left(\frac{1}{1.5}\right) \approx 41.8^\circ$$

當 $\theta>\theta_c$ 時，折射角不存在實數解，折射波變成介面外側沿法線方向指數衰減的 evanescent wave。此時反射波的振幅反射係數不再是實數，而是絕對值為 $1$ 的複數。

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解題方法

原式中的關鍵項為

$$\sqrt{1-\left(\frac{n_i}{n_t}\right)^2\sin^2\theta}$$

當 $\theta>\theta_c$ 時，由於

$$\sin\theta>\frac{n_t}{n_i}$$

所以

$$\left(\frac{n_i}{n_t}\right)^2\sin^2\theta>1$$

根號內為負值。令

$$\gamma= \sqrt{\left(\frac{n_i}{n_t}\right)^2\sin^2\theta-1}$$

則

$$\sqrt{1-\left(\frac{n_i}{n_t}\right)^2\sin^2\theta} =i\gamma$$

其中 $i=\sqrt{-1}$。

將此結果代回 Fresnel 反射係數公式。

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全反射時的 $s$ 偏振反射係數

原本

$$r_s= \frac{n_i\cos\theta-n_t\sqrt{1-\left(\frac{n_i}{n_t}\right)^2\sin^2\theta}} {n_i\cos\theta+n_t\sqrt{1-\left(\frac{n_i}{n_t}\right)^2\sin^2\theta}}$$

代入根號結果後：

$$r_s= \frac{n_i\cos\theta-i n_t\gamma} {n_i\cos\theta+i n_t\gamma}$$

因此，對於 $n_i=1.5$、$n_t=1$：

$$r_s= \frac{1.5\cos\theta-i\sqrt{(1.5)^2\sin^2\theta-1}} {1.5\cos\theta+i\sqrt{(1.5)^2\sin^2\theta-1}}$$

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全反射時的 $p$ 偏振反射係數

原本

$$r_p= \frac{n_t\cos\theta-n_i\sqrt{1-\left(\frac{n_i}{n_t}\right)^2\sin^2\theta}} {n_t\cos\theta+n_i\sqrt{1-\left(\frac{n_i}{n_t}\right)^2\sin^2\theta}}$$

代入根號結果：

核心觀念

本題考查介面上的 Fresnel 反射率。設光由折射率 $n_1$ 的介質入射至折射率 $n_2$ 的介質，入射角為 $\theta_0$，折射角為 $\theta_t$。

由 Snell 定律：

$$n_1\sin\theta_0=n_2\sin\theta_t$$

$s$ 偏振與 $p$ 偏振的反射率分別為

$$R_s= \left| \frac{n_1\cos\theta_0-n_2\cos\theta_t} {n_1\cos\theta_0+n_2\cos\theta_t} \right|^2$$ $$R_p= \left| \frac{n_2\cos\theta_0-n_1\cos\theta_t} {n_2\cos\theta_0+n_1\cos\theta_t} \right|^2$$

題目未提供 $n_1,n_2$ 的數值，因此以下給出一般形式。臨界角與 Brewster 角存在的前提是 $n_1>n_2$。

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解題方法

先由 Snell 定律求出 $\theta_t$，再代入 Fresnel 反射率公式。特殊角度可直接化簡，無須每次完整代入。

(a) 入射角 $\theta_0=0^\circ$

此時

$$\cos\theta_0=1,\qquad \theta_t=0^\circ,\qquad \cos\theta_t=1$$

因此

$$R_s= \left( \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \right)^2$$ $$R_p= \left( \frac{n_2-n_1}{n_2+n_1} \right)^2 = \left( \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \right)^2$$

所以

$$R_s=(7)= \left( \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \right)^2$$ $$R_p=(8)= \left( \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2} \right)^2$$

正入射時沒有 $s$、$p$ 偏振差異。

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(b) 入射角 $\theta_0=90^\circ$

當入射角趨近掠入射時，

$$\cos\theta_0\to 0$$

代入 Fresnel 公式可得

$$R_s\to 1,\qquad R_p\to 1$$

因此

$$R_s=(9)=1$$ $$R_p=(10)=1$$

表示掠入射時幾乎全部光能被反射。

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(c) 入射角 $\theta_0=\theta_B$，即 Brewster 角

Brewster 角的定義是 $p$ 偏振反射光消失，因此

$$R_p=0$$

由 $p$ 偏振反射振幅的分子為零：

$$n_2\cos\theta_B-n_1\cos\theta_t=0$$

結合 Snell 定律，可得

$$\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$$

因此

$$\theta_B=(11)=\tan^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$

且

$$R_p=(12)=0$$

Brewster 角時，反射光與折射光互相垂直。

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(d) 入射角 $\theta_0=\theta_c$，即臨界角

臨界角發生於光由高折射率介質射向低折射率介質，即 $n_1>n_2$。此時折射角為 $90^\circ$：

$$\theta_t=90^\circ$$

由 Snell 定律：

$$n_1\sin\theta_c=n_2\sin90^\circ=n_2$$

所以

$$\theta_c=(13)=\sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$$

在臨界角處，

本題主要在考察薄透鏡成像的兩個基本公式：高斯成像公式（或稱透鏡成像公式）和造鏡者公式。

(a) 鏡片高斯成像公式：
高斯成像公式描述了物距、像距和透鏡焦距之間的關係。對於一個薄透鏡，在空氣中，該公式為：
$\frac{1}{S_i} - \frac{1}{S_o} = \frac{1}{f}$
其中：
$S_i$ 是像距 (image distance)，通常定義為從透鏡中心到像的距離。
$S_o$ 是物距 (object distance)，通常定義為從透鏡中心到物的距離。
$f$ 是透鏡的焦距 (focal length)。

在這個公式中，我們需要注意符號約定：

• 物距 $S_o$：如果物體在透鏡的左側（即光線傳播方向的相反側），則 $S_o$ 為正。如果物體在透鏡的右側，則 $S_o$ 為負。
• 像距 $S_i$：如果像是位於透鏡的右側（即光線傳播方向的同側，實像），則 $S_i$ 為正。如果像是位於透鏡的左側（虛像），則 $S_i$ 為負。
• 焦距 $f$：對於凸透鏡（匯聚透鏡），焦距 $f$ 為正。對於凹透鏡（發散透鏡），焦距 $f$ 為負。

題目中提到 $f = -f_o = f_i$，這表示 $f_o$ 是物方焦距， $f_i$ 是像方焦距。對於薄透鏡，在空氣中，物方焦距和像方焦距的大小相等，符號通常相反（一個為正，一個為負，取決於定義）。如果 $f$ 是像方焦距 (也就是通常意義上的焦距，代表平行光匯聚的位置)，則 $f_o = -f_i$。題目給出的 $f = -f_o = f_i$ 意味著 $f_i$ 是焦距。

本題考察的是牛頓成像公式，這是另一種描述透鏡成像的公式，特別適用於處理焦點與物、像之間距離的關係。

牛頓成像公式將物距和像距與透鏡的焦距聯繫起來，但它使用物體距離焦點的距離 ($x_o$) 和像距離焦點的距離 ($x_i$) 來表示。

公式為：
$x_o x_i = f^2$
其中：
$x_o$ 是物體距離透鏡的物方焦點的距離。
$x_i$ 是像距離透鏡的像方焦點的距離。
$f$ 是透鏡的焦距。

符號約定：

• $x_o$：如果物體在物方焦點的右側（即物體在透鏡與物方焦點之間），則 $x_o$ 為負。如果物體在物方焦點的左側（物體遠離透鏡），則 $x_o$ 為正。
• $x_i$：如果像是位於像方焦點的右側（即像在透鏡與像方焦點之間，虛像），則 $x_i$ 為負。如果像是位於像方焦點的左側（實像），則 $x_i$ 為正。

實際上，更常見的定義是：

• $x_o$：物體距離物方焦點的距離。如果物體在焦點的同一側（即 $S_o > f$），則 $x_o$ 為正。如果物體在焦點的另一側（即 $0 < S_o < f$，虛像），則 $x_o$ 為負。
• $x_i$：像距離像方焦點的距離。如果像是實像（在焦點的另一側），則 $x_i$ 為正。如果像是虛像（在焦點的同一側），則 $x_i$ 為負。
• $f$：焦距，對於凸透鏡為正，凹透鏡為負。

使用這種約定，當物體在透鏡外側（$S_o > f$），形成實像（$S_i > 0$），則 $x_o = S_o - f > 0$ 且 $x_i = S_i - f > 0$。

核心觀念

本題考縱向放大率與橫向放大率的關係。橫向放大率 $M_T$ 是像高與物高之比；縱向放大率 $M_L$ 是像在光軸方向的位移與物在光軸方向位移之比。

在近軸成像下，若物方折射率為 $n_o$、像方折射率為 $n_i$，兩種放大率的大小關係為

$$|M_L|=\frac{n_i}{n_o}|M_T|^2.$$

解題方法

由近軸成像的縱向放大率關係，縱向放大率等於橫向放大率平方，再乘上像方與物方折射率之比。因此本題應填：

核心觀念

本題考薄透鏡系統的六個重要位置：物方與像方焦點 $F、F'$，主點 $P、P'$，以及節點 $N、N'$。焦點由平行於光軸的近軸光線經鏡頭後的會聚或發散情形定義；主點則是系統的主平面與光軸交點。

解題方法

本題是 C.a 的延續，考察光學系統中的其他重要點位名稱，同樣基於圖示。

根據圖示和題目敘述：
「由物方平行光軸光線經過鏡頭會聚焦於像方一點F'。」
這句話是標準的光學定義，描述了像方焦點 $F'$ 的性質。平行於光軸的入射光線，經過透鏡系統後，會匯聚在像方焦點 $F'$。

圖示中標示的點位：

• $F$：前部焦點 (Frontal Focal Point)
• $F'$：後部焦點 (Rear Focal Point)
• $P$：前部主點 (Frontal Principal Point)

本題考察光學系統中的重要點位名稱，特別是與光線路徑相關的點。題目敘述和圖示都指向了 節點 (Nodes) 的概念。

圖示中標示了 N 和 N' 兩個點，位於光軸上，分別在透鏡系統的物方和像方。
題目敘述：「有一束光對準鏡頭N點後,其出射光與入射光平行,而出射光延長線交於光軸之N點。」
這句話描述了節點的特性。

節點 (Nodes)：
對於一個光學系統（特別是多鏡片系統），節點是光軸上的兩個特殊點，稱為前部節點 (N) 和後部節點 (N')。
節點的特性是：

1. 入射光線通過前部節點 N，出射光線則平行於入射光線，並在後部節點 N' 處相對應。
2. 出射光線通過後部節點 N'，入射光線則平行於出射光線，並在前部節點 N 處相對應。

本題考察在特殊情況下，物方折射率與像方折射率相同時，物焦距、像焦距以及主點與節點之間的關係。

在光學系統中，我們通常有物方折射率 $n$ 和像方折射率 $n'$。
物方焦點 $F$ 和像方焦點 $F'$，以及前部主點 $P$ 和後部主點 $P'$。
物方焦距 $f_o$ 是指從 $P$ 到 $F$ 的距離。
像方焦距 $f_i$ 是指從 $P'$ 到 $F'$ 的距離。

(28) 物焦距與像焦距關係：
對於一個光學系統，如果物方折射率 $n$ 和像方折射率 $n'$ 不同，則物方焦距 $f_o$ 和像方焦距 $f_i$ 的關係是：
$\frac{f_o}{n} = \frac{f_i}{n'}$
也就是說，$f_o n' = f_i n$。

題目中給定物方折射率 $n$ 與像方折射率 $n'$ 相同，即 $n = n'$。
將 $n' = n$ 代入上述關係式：
$f_o n = f_i n$
由於 $n \ne 0$，我們可以將 $n$ 約掉：
$f_o = f_i$
因此，當物方和像方的折射率相同時，物方焦距等於像方焦距。

(29) 主點與節點關係：
對於一個光學系統，主點（$P, P'$）和節點（$N, N'$）是兩個重要的點對。

• 主點 (Principal Points)：在主點處，物方主點 $P$ 和像方主點 $P'$ 具有這樣的性質：從 $P$ 發出的單位高度的物體，其像的高度為 $M_T$；

核心觀念

本題考查球面折射面的近軸光線追跡公式，使用：

1. 近軸近似：$\sin\theta \approx \theta$。
2. 球面折射的近軸形式：
   $n_{j-1}i_{j-1}=n_j r_j$
3. 光線在兩相鄰曲面間以直線傳播，因此高度改變量為「中心厚度 $\times$ 光線傾角」。

依圖示採用笛卡兒符號規則：光線由左向右傳播、向上為正，曲率半徑向右為正，且

$C_j=\frac{1}{R_j}$

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解題方法

在第 $j$ 個球面折射面上，設曲面處光線高度為 $h_j$，入射光線與光軸夾角為 $u_{j-1}$，折射後光線與光軸夾角為 $u_j$。

曲面法線與光軸的近軸夾角為

$\alpha_j\approx-\frac{h_j}{R_j}=-h_jC_j$

因此入射角與折射角可寫成

$i_{j-1}\approx u_{j-1}-\alpha_j$

$r_j\approx u_j-\alpha_j$

由近軸 Snell 定律：

$n_{j-1}i_{j-1}=n_jr_j$

代入得

$$n_{j-1}(u_{j-1}-\alpha_j) =n_j(u_j-\alpha_j)$$

整理：

$$n_ju_j =n_{j-1}u_{j-1}+(n_j-n_{j-1})\alpha_j$$

再代入 $\alpha_j=-h_jC_j$：

$$n_ju_j =n_{j-1}u_{j-1} -h_j(n_j-n_{j-1})C_j$$

所以第 $j$ 個折射面的角度追跡公式為

核心觀念

本題考近軸光線追跡與像方焦距的幾何定義。平行光由物方入射時，$u_o=0$；出射光線與光軸交於像方焦點 $F'$。後焦距 $BFL$ 從光學系統最後一面量到 $F'$，像焦距 $f_i$ 則從像方主平面 $P'$ 量到 $F'$。

解題方法

依圖取光軸向右為正、光線高度向上為正。圖中的出射光線由正高度往光軸下降，因此 $u_i<0$。在近軸近似下，光線斜率可用角度 $u_i$ 表示。

從最後一面到焦點的軸向距離為 $BFL$。光線高度由 $h_i$ 降至零，因此

$$0=h_i+u_i BFL$$

所以

$$BFL=-\frac{h_i}{u_i}.$$

核心觀念

本題考近軸光線追跡中的前焦距與物焦距，並須區分兩者的量測基準與符號。依原卷 B(a)，同一外側介質下有 $f=-f_o=f_i$，因此物焦距 $f_o$ 與像焦距 $f_i$ 符號相反。

解題方法

圖中平行光由像方右側入射，故 $u_i=0$；光線經系統後由物方左側射出，與光軸交於焦點 $F$。圖示中 $F$ 位於第一面左側，因此依帶方向的近軸符號，前焦距為負。

令第一面座標為 $z_1$，焦點座標為 $z_F$。光線在第一面的高度為 $h_1$，斜率為 $u_o$，所以

$$u_o=\frac{0-h_1}{z_F-z_1}$$

而前焦距是第一面至 $F$ 的帶方向距離，故

$$\mathrm{FFL}=z_F-z_1=-\frac{h_1}{u_o}$$

再以近軸光線矩陣推得物焦距。令系統矩陣為

$$M= \begin{pmatrix} A&B\\ C&D \end{pmatrix}, \qquad AD-BC=1$$

由物方到像方的光線關係為

本題考察光學系統中的入瞳、出瞳、光圈以及主光線 (Chief Ray) 的概念。

圖示顯示了一個光學系統，並標示了物體、像、主光線、邊緣光線。

• 物 (Object)：位於左側。
• 像 (Image)：位於右側。
• 主光線 (Chief Ray)：從物體上某一點發出，經過物方孔徑光闌 (Aperture Stop) 的中心，並穿過光學系統，最終到達像平面上的對應點的光線。主光線是從物體邊緣最高點發出，經過物方孔徑光闌中心的光線。
• 邊緣光線 (Ray from the edge of the object)：從物體邊緣發出的光線。
• 光圈 (Aperture Stop)：限制通過系統的光線亮度的孔徑。在一個多鏡片系統中，光圈通常是某一個透鏡的物理直徑，或者是由兩個透鏡的光闌組合決定的有效孔徑。
• 入瞳 (Entrance Pupil)：從物體看來，系統的孔徑光闌的像。它決定了進入系統的光線的量。
• 出瞳 (Exit Pupil)：從像看來，系統的孔徑光闌的像。它決定了從系統射出的光線的量。

題目要求填寫 (36) 和 (37) 的位置。
根據圖示：

• (36)：標示在主光線與邊緣光線相交的點，位於系統的入口處。這是從物體看來，孔徑光闌的像。

本題考察平板玻璃對光線路徑和成像位置的影響。當一個厚度為 $d$、折射率為 $n$ 的平板玻璃放置在光學系統中時，它會對光線的傳播產生兩個主要影響：一是引起像面的垂直偏移，二是引起主平面的移動。

1. 像平面偏移量 (Image Plane Shift)
當光線穿過一個平板玻璃時，由於折射，光線的路徑會發生改變。如果平板玻璃被放置在鏡頭和像平面之間，它會導致像面發生偏移。

考慮一束高度為 $h$ 的光線（例如，來自視場邊緣的主光線）以入射角 $\theta_1$ 進入平板玻璃，折射角為 $\theta_2$。
根據 Snell's Law: $n_{air} \sin\theta_1 = n_{plate} \sin\theta_2$。
其中 $n_{air} = 1$ (空氣)。
所以 $\sin\theta_1 = n \sin\theta_2$。

光線在平板玻璃中的橫向偏移量 $\Delta y$ 可以通過幾何關係計算。
在平板玻璃的頂面，光線的橫向偏移為 0 (假設光線垂直於頂面中心入射)。
當光線從空氣進入平板玻璃時，其高度為 $h$。
折射後，光線在平板玻璃中的高度仍然是 $h$ (如果假設光線通過主平面)。
在近軸近似下，光線在平板玻璃中的橫向偏移量為：
$\Delta y = d \sin\theta_1 (1 - \frac{\cos\theta_1}{n \cos\theta_2})$
或者，更常用的公式是：
$\Delta y = d \tan\theta_2 (\frac{n_{plate}}{n_{air}} - \frac{n_{air}}{n_{plate}})$
這個公式是對於光線斜入射時的位移。

然而，題目問的是「像平面偏移量」。這個偏移量通常是指當光線從系統的最後一個表面出射後，與像平面的交點位置的變化。
對於一個放在像平面前的平板玻璃，它會使光線在出射時的夾角發生改變，從而影響像的位置。
如果我們考慮一束平行光，其角度為 $\theta_1$ 入射到平板玻璃，折射後角度為 $\theta_2$。
離開平板玻璃後，光線的角度為 $\theta_1$ (因為玻璃是平行的)。
但是，由於玻璃的厚度和折射率，光線的路徑會向後偏移。
偏移量 $\Delta = d \sin\theta_1 (1 - \frac{\cos\theta_1}{n \cos\theta_2})$。
這裡 $\theta_1$ 是入射角， $\theta_2$ 是折射角。

對於像平面偏移量，我們通常考慮的是光線到達像平面的位置。
如果平板玻璃放置在鏡頭和像平面之間，它會改變光線的傳播方向。
考慮光線從鏡頭出射，角度為 $\alpha$。
如果沒有平板玻璃，它會聚焦在像面上。
如果加入了平板玻璃，光線會被折射。
設平板玻璃的厚度為 $d$，折射率為 $n$。
光線以角度 $\alpha$ 入射到平板玻璃（假設是空氣到玻璃），折射角為 $\beta$。
$1 \cdot \sin\alpha = n \sin\beta$。
離開平板玻璃後，角度為 $\alpha$。
但是，光線的路徑向前偏移了。
偏移量（垂直於光軸方向）為 $d \sin\alpha (1 - \frac{\cos\alpha}{n \cos\beta})$。
這個偏移量會導致像面位置的變化。

在近軸近似下，$\alpha \approx 0$。
$\sin\alpha \approx \alpha$, $\cos\alpha \approx 1$。
$\sin\beta = \sin\alpha / n \approx \alpha / n$。
$\cos\beta = \sqrt{1 - \sin^2\beta} \approx \sqrt{1 - (\alpha/n)^2} \approx 1 - \frac{1}{2} (\frac{\alpha}{n})^2$。

本題考察使用三稜鏡測量鏡片折射率時，關於頂角量測的部分。

題目描述：使用 60°-60°-60° 的等邊三稜鏡，利用準直光照射其頂角位置，測量兩邊反射面的夾角。
要求回答：此夾角與頂角關係為何？

三稜鏡 (Prism)：
三稜鏡是一種光學元件，其截面為三角形。
頂角 (Apex Angle)：指三稜鏡的兩個反射面相交的夾角。
底面 (Base)：與頂角相對的第三個面。

等邊三稜鏡 (Equilateral Prism)：
指三個內角都為 60° 的三稜鏡。
因此，其頂角 A = 60°。

量測原理：
當準直光照射到三稜鏡的頂角位置時，光線會入射到其中一個反射面，然後折射進入稜鏡，再從另一個反射面折射出射。
然而，題目描述的是「測量兩邊反射面之夾角」。
這表示，我們是直接測量三稜鏡的頂角。

問題分析：
題目問的是「此夾角與頂角關係為何？」。
這裡的「夾角」是指「測量兩邊反射面之夾角」。
「頂角」是指三稜鏡的頂角。

由於三稜鏡是等邊的，其頂角 A = 60°。
如果我們直接測量兩個反射面之間的夾角，那麼這個夾角就是三稜鏡的頂角。
所以，測量到的夾角就是頂角本身。

本題是 F.a 的延續，更詳細地描述了測量頂角的方法。

題目描述：使用一個刻有 1 至 360 度刻度的平面圓盤，將準直光照射到三稜鏡的頂角位置，然後測量兩邊反射面之間的夾角。
要求回答：這個測量到的夾角與頂角的關係。

測量方法：

1. 設置： 將三稜鏡放置在圓盤的頂角位置。圓盤上的刻度用於精確測量角度。
2. 照明： 使用準直光（平行光）照射三稜鏡的頂角。
3. 觀察： 觀察光線在三稜鏡的兩個反射面上的反射。
4. 測量： 測量這兩個反射面之間的夾角。

關鍵點：
題目明確說「測量兩邊反射面之夾角」。
這就意味著，我們是直接測量三稜鏡頂部的兩個面之間的夾角。
這個夾角就是三稜鏡的頂角。

本題考察使用三稜鏡測量折射率的原理，包括最小偏向角法。

背景知識：
當光線通過三稜鏡時，會發生折射，導致光線方向偏離原來的方向。這個偏離的角度稱為偏向角 (Angle of Deviation)。
對於給定的三稜鏡和單色光，偏向角會隨著入射角 $i$ 的變化而變化。存在一個特定的入射角，使得偏向角取最小值，這個最小偏向角稱為最小偏向角 ($D_m$)。
在最小偏向角條件下，光線在三稜鏡內部是平行於底面的。

(b) 入射角(i)、頂角(A)、最小偏向角(Dm)關係：
對於三稜鏡，存在以下關係：

1. Snell's Law 在第一個界面 (入射面)： $n_{air} \sin i = n \sin r$ (其中 $n_{air}=1$, $n$ 是稜鏡的折射率, $r$ 是折射角)。
2. 幾何關係 (在稜鏡內部)： $A = r + r'$ (其中 $A$ 是頂角， $r$ 是入射面折射角， $r'$ 是出射面入射角)。
3. Snell's Law 在第二個界面 (出射面)： $n \sin r' = n_{air} \sin i'$ (其中 $i'$ 是出射角)。
4. 偏向角 D 的定義： $D = (i - r) + (i' - r')$。

在最小偏向角條件下 ($D = D_m$)，有以下特殊關係：

• 對稱性： 光路是對稱的。即，入射角 $i$ 等於出射角 $i'$，折射角 $r$ 等於出射面入射角 $r'$。
• $i = i'$
• $r = r'$
• $A = r + r' = 2r$ => $r = A/2$
• $D_m = (i - r) + (i' - r') = (i - r) + (i - r) = 2(i - r)$ => $D_m/2 = i - r$ => $i = D_m/2 + r$

本題考察數位相機自動對焦系統中，鏡頭移動與拍攝距離、景深之間的關係。

已知條件：

• 鏡頭焦距 $f = 5 mm$。
• 馬達精度：一步 $10 \mu m = 0.01 mm$。
• 最大鏡頭移動範圍：15 步。
• 無窮遠物體時，鏡頭到感測器距離為 $5 mm$ (即像距 $S_i = 5 mm$)。這是最清晰影像的位置，定義為第零步。
• 遠攝範圍：鏡頭位置從第 0 步到第 4 步。
• 近拍範圍：鏡頭位置從第 3 步到第 15 步。

基本公式：
薄透鏡成像公式：$\frac{1}{S_i} - \frac{1}{S_o} = \frac{1}{f}$
其中：
$S_i$ = 像距 (鏡頭到感測器的距離)
$S_o$ = 物距 (鏡頭到物體的距離)
$f$ = 鏡頭焦距

分析：
鏡頭位置的移動實際上是改變了鏡頭到感測器的距離 $S_i$。
當鏡頭移動時，為了保持對焦（影像清晰），物距 $S_o$ 也必須相應改變。
我們需要根據鏡頭位置（即 $S_i$ 的值）來計算對應的物距 $S_o$。

鏡頭位置與像距 $S_i$ 的關係：

• 第 0 步：$S_i = 5 mm$。
• 每移動一步，鏡頭位置改變 $0.01 mm$。
• 鏡頭向遠處移動（增加 $S_i$）或向近處移動（減少 $S_i$）。
  從圖示看，鏡頭位置 0 是 5mm。鏡頭位置增加表示 $S_i$ 增加。
  鏡頭位置 0 -> 4 步：表示 $S_i$ 增加。
  鏡頭位置 3 -> 15 步：表示 $S_i$ 增加。
  圖示中，鏡頭位置 0 對應 $S_i = 5mm$。
  鏡頭位置 15 對應 $S_i = 5mm + 15 \times 0.01mm = 5.15mm$。

計算物距 $S_o$：
由 $\frac{1}{S_i} - \frac{1}{S_o} = \frac{1}{f}$，可得 $\frac{1}{S_o} = \frac{1}{S_i} - \frac{1}{f}$。
$S_o = \frac{S_i f}{S_i - f}$。

核心觀念

望遠鏡由物鏡與目鏡組成，且為無焦系統（afocal system），因此：

• 平行光入射後仍以平行光射出。
• 物鏡焦點與目鏡前焦點重合。
• 物鏡與目鏡距離為
  $D=f_o+f_e$
• 角放大率為
  $M_P=-\frac{f_o}{f_e}=\frac{u_e}{u_o}=-8$
  其中負號表示成像方向倒轉。
• 出瞳是物鏡光圈經目鏡所成的像。

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(a) 求出射半視角 $\theta_e$

已知

$\theta_o=2^\circ,\qquad u_o=\tan\theta_o$

由角放大率定義：

$\frac{u_e}{u_o}=-8$

因此

$u_e=-8\tan 2^\circ$

所以出射半視角的大小為

$|\theta_e|=\tan^{-1}\left(8\tan2^\circ\right)$

計算得

$|\theta_e|\approx 15.8^\circ$

負號代表出射光方向相對於入射光倒轉，因此

$\theta_e\approx -15.8^\circ$

若題目只取半視角大小，則為 $15.8^\circ$。

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(b) 求物鏡焦距與兩鏡距離

已知目鏡焦距

$f_e=8\text{ mm}$

由

$-\frac{f_o}{f_e}=-8$

可得

$f_o=8f_e=8(8)=64\text{ mm}$

因此物鏡焦距為

$f_o=64\text{ mm}$

無焦望遠鏡中，物鏡與目鏡的距離為兩者焦距之和：

$D=f_o+f_e=64+8=72\text{ mm}$

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(c) 求 eye relief、物鏡口徑與物鏡成像高度

1. 求 eye relief $R$

物鏡光圈經目鏡成像後形成出瞳。目鏡到物鏡的距離為 $D=72\text{ mm}$，因此對目鏡而言，物鏡光圈是位於目鏡前方的物體，物距為

$s=D=72\text{ mm}$

使用薄透鏡公式：

$\frac{1}{f_e}=\frac{1}{s}+\frac{1}{R}$

代入 $f_e=8\text{ mm}$：

$\frac{1}{8}=\frac{1}{72}+\frac{1}{R}$

核心觀念

階梯式光纖的核心折射率為 $n_f$，包層折射率為 $n_c$。由全反射條件可得光纖的數值孔徑：

$$\mathrm{NA}=\sqrt{n_f^2-n_c^2}$$

介質折射率為 $n_0$ 時，接受半角 $\theta_{i\max}$ 滿足 $n_0\sin\theta_{i\max}=\mathrm{NA}$。本題由空氣入射，取 $n_0\approx1$。光纖常用的 F/# 定義為 $1/(2\mathrm{NA})$。

解題方法

圖中給定階梯式光纖核心折射率 $n_f=1.52$、包層折射率 $n_c=1.45$，並要求由空氣入射時的有效 NA、F/# 與最大半角。先由核心與包層折射率求 NA，再用空氣的折射率求最大半角。

$$\mathrm{NA}=\sqrt{1.52^2-1.45^2} =\sqrt{0.2079} \approx 0.456$$

因此，由空氣入射時的有效 NA 為 $0.456$。F/# 為：

核心觀念

分貝（dB）用來表示兩個功率的比值。功率比換算為分貝時使用

$$10\log_{10}\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\ \mathrm{dB}.$$

光纖的衰減量通常定義為輸入功率除以輸出功率，因此衰減量為正值。

解題方法

已知輸入功率 $P_{\mathrm{in}}=10\ \mathrm{W}$，輸出功率 $P_{\mathrm{out}}=0.1\ \mathrm{W}$。依衰減量定義：

核心觀念

偏振片只讓電場沿著其透射軸的分量通過。對線偏振光，若入射偏振方向與偏振片透射軸的夾角為 $\theta$，馬呂斯定律為

$$P_{\text{out}}=P_{\text{in}}\cos^2\theta$$

光依序通過兩片偏振片時，第二片的入射光是第一片透射後的光；因此要依序套用馬呂斯定律。

解題方法

初始光的偏振方向為垂直方向起算 $80^\circ$，第一片偏振片的透射軸為 $45^\circ$，兩者夾角為

$$\theta_1=|80^\circ-45^\circ|=35^\circ$$

第一片透射後的功率為

$$P_1=5\cos^2 35^\circ\ \mathrm{mW}$$

第二片的透射軸為 $20^\circ$，與第一片透射軸的夾角為

$$\theta_2=|45^\circ-20^\circ|=25^\circ$$

核心觀念

光柵的繞射方向由光柵方程決定。入射光垂直光柵時，入射角為零，因此

$$d\sin\theta_m=m\lambda$$

其中 $d$ 是相鄰刻線的間距，$m$ 是繞射級數，$\lambda$ 是波長，$\theta_m$ 是相對於光柵法線的繞射角。

解題方法

光柵每毫米有 $600$ 條刻線，所以刻線間距為

$$d=\frac{1}{600}\ \mathrm{mm} =1.6667\times10^{-3}\ \mathrm{mm} =1666.7\ \mathrm{nm}$$

題目指定第二級，故 $m=2$。

最短可見光波長為 $3800\ \text{Å}=380\ \mathrm{nm}$：

$$\sin\theta_2=\frac{m\lambda}{d} =\frac{2(380)}{1666.7} =0.456$$ $$\theta_2=\sin^{-1}(0.456)\approx 27.1^\circ$$

核心觀念

正入射光柵的主極大條件為

$$d\sin\theta_m=m\lambda$$

其中 $d$ 是相鄰刻線間距，$m$ 是繞射級次，$\theta_m$ 是該級光譜的繞射角。角分散度定義為波長改變時繞射角的變化率 $d\theta/d\lambda$。

光柵的色分辨本領為

$$R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN$$

其中 $N$ 是受光照的刻線總數；$\Delta\lambda$ 是依瑞利判準可分辨的最小波長差。

解題方法

每毫米有 $600$ 條刻線，因此刻線間距為

$$d=\frac{1}{600}\ \mathrm{mm} =1.667\times10^{-3}\ \mathrm{mm} =1.667\times10^{-6}\ \mathrm{m}$$

題目給定 $m=2$、$\lambda=5900\ \text{Å}=5.900\times10^{-7}\ \mathrm{m}$。先由光柵方程求繞射角：

$$\sin\theta_2=\frac{m\lambda}{d} =\frac{2(5.900\times10^{-7})}{1.667\times10^{-6}} =0.708$$

因此 $\cos\theta_2\approx0.7062$。

對光柵方程微分，並將級次 $m$ 與刻線間距 $d$ 視為常數：

$$d\cos\theta_m\,d\theta=m\,d\lambda$$

所以角分散度為

核心觀念

光柵的解析本領定義為

$$R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}$$

其中 $\lambda$ 是兩條譜線的代表波長，$\Delta\lambda$ 是兩線的波長間隔。光柵在第 $m$ 階繞射時，解析本領為

$$R=mN$$

其中 $N$ 是受照明的光柵刻線數。依瑞利判準，兩條譜線剛好可分辨時，須滿足此解析本領條件。

解題方法

兩條譜線的波長間隔為

$$\Delta\lambda=6058-6000=58\ \text{Å}$$

代表波長取兩波長的平均值：