115 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《光學》

核心觀念

這題考平行平板的折射與菲涅耳反射：

• 折射方向由史乃耳定律決定：$n_1\sin i=n_2\sin r$。
• 平板兩面互相平行，因此光線在第二面折射後會與入射光線平行；但光線會產生側向位移。
• 光在介面會有部分反射。對理想、無吸收的玻璃，總能量守恆；但穿透平板的光束能量會因反射而減少。

解題方法

令空氣折射率 $n_1=1$、玻璃折射率 $n_2=1.5$，入射角 $i=30^\circ$。由史乃耳定律：

$$1\sin30^\circ=1.5\sin r$$ $$\sin r=\frac{1}{3},\qquad r\approx19.47^\circ$$

玻璃內的折射角小於入射角，光線在玻璃內偏向法線。出射時，因第二面法線與第一面法線平行，光線會再偏離法線，且出射角回到 $30^\circ$。

平板厚度 $t=1\text{ cm}$，側向位移 $d$ 為：

$$d=\frac{t\sin(i-r)}{\cos r}$$

代入數值：

核心觀念

本題考查平面介面上的兩個重要角度：

1. 臨界角（critical angle）：由高折射率介質射向低折射率介質時，折射角恰為 $90^\circ$ 的入射角。入射角再增大便發生全反射。
2. 布儒斯特角（Brewster angle）：在特定入射角下，若入射光為 $p$ 偏振光，反射光消失，光能量全部進入折射光，因此可稱為全透射。

已知

$$n_1=2,\qquad n_2=1$$

且光線由介質 $n_1$ 射向空氣 $n_2$。

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解題方法

先使用斯涅耳定律：

$$n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t$$

其中 $\theta_i$ 是入射角，$\theta_t$ 是折射角，兩者皆由法線量起。

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（A）剛好產生全反射的角度

全反射的臨界狀態是折射光沿著介面傳播，因此

$$\theta_t=90^\circ$$

代入斯涅耳定律：

$$n_1\sin\theta_c=n_2\sin90^\circ$$

因此

$$\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1} =\frac{1}{2}$$

所以

$$\boxed{\theta_c=\sin^{-1}\left(\frac12\right)=30^\circ}$$

嚴格來說，當 $\theta_i=30^\circ$ 時是臨界狀態；當

$$\theta_i>30^\circ$$

才會真正發生全反射。

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（B）可能產生全透射的角度

全透射對應布儒斯特角。對於由折射率 $n_1$ 射向 $n_2$ 的介面，布儒斯特角滿足

$$\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}$$

代入數值：

$$\tan\theta_B=\frac{1}{2}$$

因此

$$\theta_B=\tan^{-1}\left(\frac12\right) \approx 26.565^\circ$$

所以入射角為

$$\boxed{\theta_B\approx26.6^\circ}$$

在此角度下，$p$ 偏振光的反射係數為零，故不產生反射光。

布儒斯特角也可由幾何關係驗算。此時入射光與折射光互相垂直：

$$\theta_B+\theta_t=90^\circ$$

由斯涅耳定律：

$$n_1\sin\theta_B=n_2\sin\theta_t =n_2\cos\theta_B$$

因此

$$\tan\theta_B=\frac{n_2}{n_1}=\frac12$$

與上述結果一致。

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核心觀念

薄透鏡成像遵守透鏡公式：

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$$

其中 $f$ 為焦距、$d_o$ 為物距、$d_i$ 為像距。依常用符號規則，物體在透鏡前方時 $d_o>0$；像在透鏡後方時 $d_i>0$，代表實像。

線性放大率為：

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}$$

$m<0$ 表示像相對於物體倒立。

解題方法

物體在透鏡前 $20\ \text{cm}$，所以 $d_o=20\ \text{cm}$。像在透鏡後 $5\ \text{cm}$，所以 $d_i=5\ \text{cm}$。代入透鏡公式：

核心觀念

雷射共振腔只允許符合駐波條件的頻率振盪，這些離散頻率稱為縱向模態。相鄰縱向模態的頻率間隔為

$$\Delta \nu_{\mathrm{FSR}}=\frac{c}{2L}$$

其中 $L$ 是共振腔長度，$c$ 是光速。能階的增益頻寬決定可獲得增益的頻率範圍；落在此範圍內的共振模態才有機會振盪。

解題方法

將腔長換算為 $L=100\ \mathrm{cm}=1.00\ \mathrm{m}$，相鄰縱向模態間隔為

$$\Delta \nu_{\mathrm{FSR}} =\frac{3.0\times 10^8}{2(1.00)} =1.5\times 10^8\ \mathrm{Hz}$$

增益頻寬為 $3.0\times 10^8\ \mathrm{Hz}$，因此頻寬涵蓋的模態間隔數約為

本題考驗學生對液晶顯示器（LCD）基本原理、液晶的性質以及彩色 LCD 的成像機制。

核心觀念：液晶的電光效應、偏振光、彩色濾光片。

解題步驟：

(A) 液晶顯示器（LCD）中，液晶的功能與其原理為何？

液晶（Liquid Crystal, LC）的定義與性質：
液晶是一類介於固體晶體和各向同性液體之間的物質。它們具有長鏈狀或盤狀的分子結構，在保持流動性的同時，分子之間會呈現一定的有序排列。這種有序性使得液晶具有各向異性（Anisotropy），特別是光學各向異性（Optical Anisotropy），即其對光的折射率、吸收率等性質隨光波偏振方向和分子取向而異。

液晶的功能與原理（電光效應）：
液晶在 LCD 中的核心功能是作為一個「電控光閥」（Electrically Controlled Light Valve）。其原理基於「電光效應」（Electro-optic Effect），主要是指液晶分子在外加電場作用下會改變其排列方向。

1. 分子取向：液晶分子本身具有一定的「自然取向」（或稱為「預傾角」），通常由基板表面的取向層（Alignment Layer）決定。在沒有電場時，液晶分子會按照取向層的指示排列。
2. 外加電場：當在液晶層兩側施加電壓時，會產生一個電場。由於液晶分子具有一定的電偶極矩，它們會受到電場力的作用，傾向於沿著電場方向（或垂直於電場方向，取決於液晶的介電各向異性）重新排列。
3. 光學性質改變：液晶分子的重新排列會改變液晶層的光學性質，特別是其對偏振光的「雙折射」效應。常見的 LCD 工作模式（如扭曲向列型，TN, Twisted Nematic）利用了這一點：
   • 在沒有電場時，液晶分子呈扭曲排列（例如，從輸入端的 0° 扭曲到輸出端的 90°）。當線偏振光通過這個扭曲的液晶層時，其偏振方向會隨著液晶分子的扭曲而旋轉 90°。
   • 施加電場後，液晶分子會趨於垂直於基板排列（或沿電場方向），扭曲結構消失。此時，線偏振光通過液晶層時，其偏振方向不再旋轉。

LCD 系統通常會配合使用偏振片。背光模組發出的光經過第一個偏振片（偏振方向固定），然後通過液晶層，最後再通過第二個偏振片（偏振方向通常與第一個偏振片垂直）。

• 無電場（關閉狀態）：偏振光被液晶扭轉 90°，能夠通過第二個偏振片，實現透光（亮點）。
• 有電場（開啟狀態）：偏振光通過液晶層時偏振方向不改變，無法通過與第一個偏振片垂直的第二個偏振片，實現不透光（暗點）。
  通過控制液晶層的電壓，可以精確控制通過第二個偏振片的透射光強度，從而實現灰階顯示。