113 年 國立中央大學光電科學與工程學系碩士班《光學》

此題考查薄透鏡成像公式的適用條件。

薄透鏡成像公式 $\frac{1}{P} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$ 是基於以下幾種重要假設：

1. 薄透鏡假設 (Thin Lens Approximation)：透鏡的厚度遠小於其曲率半徑。這使得我們可以將透鏡視為一個幾何平面，所有光線的折射都發生在這個平面上。
2. 近軸近似 (Paraxial Approximation)：
   • 光線與主軸的夾角很小（即光線非常靠近主軸）。
   • 光線與透鏡表面的法線夾角也很小。
     在這些假設下， Snell's law ($\sin \theta \approx \theta$) 才能近似為線性關係，從而推導出成像公式。
3. 單色光源 (Monochromatic Light)：公式通常假設使用的是單色光，即單一波長的光。如果使用白光，會產生色差 (chromatic aberration)，不同顏色的光有不同的焦距，導致成像模糊。
4. 理想透鏡 (Ideal Lens)：公式假設透鏡是理想的，沒有球面像差 (spherical aberration) 或其他像差。
5. 物體在透鏡一側，像在另一側 (Object and Image on Opposite Sides)：這個公式形式通常適用於透鏡成像，即物體和像位於透鏡的相對兩側。對於反射成像（如球面鏡），公式形式會有所不同（$\frac{1}{P} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$，其中 $f$ 為焦距，對於凹面鏡 $f>0$，凸面鏡 $f<0$）。

在何種情形下此計算結果不正確？

當上述任何一項假設不成立時，使用此公式的計算結果可能不正確或不完全準確：

此題考查光波的偏振概念及其與光波傳播方向的關係。

光波的偏振 (Polarization)

光波是一種橫波，其電場向量 ($\vec{E}$) 和磁場向量 ($\vec{B}$) 的振動方向垂直於光的傳播方向。偏振描述的就是電場向量振動方向的空間取向。

• 自然光 (Unpolarized Light)：來自日常光源（如太陽、白熾燈）的光，其電場向量在垂直於傳播方向的平面內隨機地、無規則地向各個方向振動。
• 偏振光 (Polarized Light)：如果光波的電場向量振動被限制在某一個或某些特定的方向上，這種光就稱為偏振光。
  • 線偏振光 (Linearly Polarized Light)：電場向量始終在一個固定的平面內振動。
  • 圓偏振光 (Circularly Polarized Light)：電場向量的端點在垂直於傳播方向的平面內描繪出一個圓。
  • 橢圓偏振光 (Elliptically Polarized Light)：電場向量的端點在垂直於傳播方向的平面內描繪出一個橢圓。

光波傳輸的方向由偏振控制？還是由波前控制？

光波的傳播方向主要由波前 (wavefront) 控制，而偏振則描述的是電場向量在垂直於傳播方向的平面內的振動特性。

• 波前 (Wavefront)：波前是振動相位相同的點所構成的曲面。在均勻介質中，光波的傳播方向（波線，ray）總是垂直於波前。光波的傳播方向由波的來源、介質的性質（如折射率）以及邊界條件（如反射、折射）決定。例如，在均勻介質中，光線沿直線傳播。

此題考查光的折射定律、全反射及全折射的條件。

1. 入射光不會偏折的條件 (非正向入射)

根據 Snell's Law (折射定律)：
$n_A \sin \theta_A = n_B \sin \theta_B$
其中 $n_A$ 和 $n_B$ 分別是介質 A 和介質 B 的折射率，$\theta_A$ 是入射角，$\theta_B$ 是折射角。

入射光不會偏折，意味著折射角 $\theta_B$ 等於入射角 $\theta_A$。
$n_A \sin \theta_A = n_B \sin \theta_A$

由於題目假設「非正向入射」，表示 $\theta_A \neq 0^\circ$。
如果 $\theta_A \neq 0^\circ$，則 $\sin \theta_A \neq 0$。
此時，要使等式成立，必須有：
$n_A = n_B$

因此，當兩種介質的折射率相等時，光線無論以何種角度（除了垂直入射，因為垂直入射本身就是一種不偏折的情況，但題目特別排除）入射，都不會發生偏折。

2. 產生全反射的條件

全反射 (Total Internal Reflection, TIR) 發生在光線從光密介質（折射率較大）射向光疏介質（折射率較小）時。

條件：
a. 光從光密介質射向光疏介質：即 $n_A > n_B$。
b. 入射角大於或等於臨界角：即 $\theta_A \ge \theta_c$，其中臨界角 $\theta_c$ 由下式定義：
$\sin \theta_c = \frac{n_B}{n_A}$

當 $\theta_A = \theta_c$ 時，折射角 $\theta_B = 90^\circ$，光線沿著界面傳播。
當 $\theta_A > \theta_c$ 時，根據折射定律，$\sin \theta_B = \frac{n_A}{n_B} \sin \theta_A > \frac{n_A}{n_B} \cdot \frac{n_B}{n_A} = 1$，這在實數範圍內是不可能的，這表明沒有折射光線產生，所有光都被反射回介質 A，即發生全反射。

3. 產生全折射的條件

「全折射」這個術語在標準的光學術語中較少見，但從字面意義和與「全反射」相對比，可以理解為所有入射的光都發生了折射，沒有任何光被反射。

在理想情況下，當光線從一種介質進入另一種介質時，通常會同時發生反射和折射（除非是特殊情況）。如果題目指的是不存在反射光，或者所有光線都進入了介質 B 並發生折射，那麼可以有以下幾種理解：

• 理解一：無反射發生
  在物理上，當光線入射到兩種不同折射率的界面時，總會有一定比例的光被反射，除非滿足特定條件，例如：
  • 入射角為 0 度（正向入射）：如題目排除的「非正向入射」。當 $\theta_A = 0^\circ$ 時，$\theta_B = 0^\circ$，此時反射係數為零（對於垂直入射的 P 偏振光），理論上所有光都折射。
  • 特殊介質或表面處理：例如，使用增透膜 (anti-reflection coating) 可以大大減小反射，使其趨近於零，但這不是由介質本身的性質決定，而是人為添加的。
  • 折射率相等：如第一點所述，若 $n_A = n_B$，則 $\theta_A = \theta_B$，所有光都會「折射」過去，但嚴格來說，由於折射率相同，光線不會改變方向，可以視為沒有發生界面效應。

此題考查 LED 和雷射的光譜特性及其產生機制。

LED 光譜與雷射光譜的差異

特性	單色 LED (Monochromatic LED)	雷射 (Laser)
光譜寬度	較寬，通常為幾十奈米 (nm) 的範圍。	極窄，接近單色，光譜寬度通常在幾個 nm 或更小，甚至可達 MHz 的頻寬（非常窄）。
單色性	雖然標榜「單色」，但實際上是具有一定寬度的波長範圍。	具有高度的單色性。
相干性	非相干光 (Incoherent light)。光波的相位隨機變化。	相干光 (Coherent light)。光波具有固定的相位關係。
方向性	輻射方向較廣，光束發散角較大。	方向性極佳，光束近似平行，發散角極小。
光譜形狀	通常是近似高斯 (Gaussian) 或類高斯形狀的連續譜帶。	通常是離散的譜線，其中心波長對應於激光腔內允許的縱模 (longitudinal modes)。

簡單來說：
LED 發出的光是許多不同波長（但集中在某個範圍內）的光的疊加，它們的相位是隨機的。
雷射發出的光則是非常單一的波長，且所有光波的相位是同步的（或有固定關係）。

雷射之光譜是如何產生？

雷射 (LASER) 的名稱是「受激輻射放大」 (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) 的縮寫，其光譜的產生基於以下關鍵機制：

此題考查半導體微影曝光機的解析度極限與關鍵參數的關係。

半導體製造中的曝光機 (exposure tool 或 stepper/scanner) 是用來將光罩 (reticle/mask) 上的電路圖案轉移到矽晶圓上的關鍵設備。曝光機的解析度（即能製造出的最小線寬或特徵尺寸，Feature Size, FS）決定了晶片的複雜度和性能。

曝光機的解析度 (Resolution, R) 主要與以下幾個關鍵參數相關，通常可以由一個簡化的公式來表示：

$R = k_1 \frac{\lambda}{NA}$

其中：

• $R$：解析度，即最小可印刷的線寬 (Feature Size, FS)。
• $k_1$：製程因子 (Process factor)。這是一個經驗常數，取決於所使用的微影技術、光罩類型、圖案複雜度、以及製程的優化程度。對於傳統的光刻，$k_1$ 的值通常在 0.3 到 1.0 之間。較低的值表示更先進的製程，能夠製造更小的特徵尺寸。
• $\lambda$：曝光光源的波長 (wavelength)。這是曝光機的核心參數之一。波長越短，解析度越高。
• $NA$：鏡頭的數值孔徑 (Numerical Aperture)。這是指曝光鏡頭（物鏡）匯聚光線的能力，定義為 $NA = n \sin \theta_{max}$，其中 $n$ 是鏡頭與晶圓間介質的折射率（通常是空氣，$n=1$），$\theta_{max}$ 是鏡頭能夠接收或發送的最大半角。$NA$ 越大，鏡頭能夠分辨的細節越多，解析度越高。

線寬與曝光機參數的相關性：

1. 光源波長 ($\lambda$)：

   • 相關性：線寬 $R$ 與波長 $\lambda$ 成正比。
   • 說明：要製造更小的線寬，需要使用更短波長的光源。這是推動半導體製程不斷發展的重要動力。例如，從早期的 g-line (436 nm) 和 i-line (365 nm) 光刻，發展到 KrF 準分子雷射 (248 nm)，再到 ArF 準分子雷射 (193 nm)，以及目前主流的極紫外光 (EUV) 光刻 (13.5 nm)。

2. 數值孔徑 ($NA$)：

   • 相關性：線寬 $R$ 與數值孔徑 $NA$ 成反比。
   • 說明：要製造更小的線寬，需要提高鏡頭的 $NA$。